山西省临汾市尧都区临汾市兴国实验学校2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析）

这是一份山西省临汾市尧都区临汾市兴国实验学校2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了1~17等内容，欢迎下载使用。

下册第16.1~17.1
注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各式：，，，，其中分式共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列各式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
3．一粒石子落入湖面，形成一个如圆周样的涟漪，在圆周长与半径的关系式中，变量是（ ）

A．，B．，C．，D．，
4．纳米是表示微小距离的单位，纳米毫米，而毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知，1纳米是多么的小，碳纳米管是一种微纳米材料，重量轻，主要是由六边形排列的碳原子构成数层到数十层的同轴圆管，层与层之间保持固定的距离，约为纳米．将数据纳米用科学记数法可以表示为（ ）
A．毫米B．毫米
C．毫米D．毫米
5．若，的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，若输入的值为，则输出的值为（ ）

A．B．C．7D．5
7．解分式方程时，下列去分母变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程30千米的普通道路，路线包含快速通道，全程25千米．走路线比路线的平均速度提高，时间节省20分钟，问走路线和路线的平均速度分别是多少？设走路线的平均速度为千米/小时．根据题意，可列方程（ ）
A．B．
C．D．
9．已知，，，，把，，，按从小到大的顺序排列为（ ）
A．B．
C．D．
10．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．在函数中，自变量的取值范围是 ．
12．若分式的值为，则的值为 ．
13．分式与的最简公分母是 ．
14．如图，某链条每节长为3.6cm，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为1.2cm．按照这种连接方式，节链条总长度为，则与的关系式是 ．
15．若，，，，以此类推，则 ．（用含的式子表示）
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：．
（2）解分式方程：．
17．化简：，然后再从，，中选择一个合适的值，代入求值．
18．一种弹簧秤最大能称不超过的物体，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂重物的质量之间满足的关系如下表：
(1)上表反映了两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当所挂重物的质量为时，挂重后弹簧的长度是多少？
(3)写出与之间满足的函数关系式，并求出当所挂重物的质量为时，挂重后弹簧的长度．
19．已知关于的分式方程．
(1)当时，求分式方程的解．
(2)若分式方程无解，求的值．
20．在“送温暖献爱心”的捐款活动中，七、八年级的捐款总金额都是3000元．已知七年级平均每人捐款数额比八年级平均每人捐款数额少2元．
信息1：七、八年级的人数之比为；
信息2：七年级的人数比八年级的人数多．
选择其中的一个信息作为条件，求出七、八年级的人数．
你选择的条件是______，根据你选的条件，写出解答过程．
21．阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务：
在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，“倒数法”是常用的变形技巧之一．所谓“倒数法”，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知，求代数式的值．
解：∵，
∴，即，
∴，
∴．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：已知，且，求的值．
解：令，则，，，
∴．
任务：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求的值．
22．综合与实践
数学课上李老师在讲评一道试题：一辆货车送货上山并按原路返回，上山的速度是千米/小时，下山的速度为千米/小时，求货车上、下山的平均速度．
小聪说：这个简单，平均速度就是求平均数，所以平均速度就是千米/小时．
小明说：我有不同的意见．平均速度应该是总路程除以总时间，假设上山的路程为，则平均速度应为千米/小时
问题探究：
(1)你认为谁的说法是正确的？请将小明的结果化为最简分式．
(2)当，时，算出，的值，并比较它们的大小
(3)猜想，的大小关系，并证明．
23．综合与探究
我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．
再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．
应用上面的结论，解答下列问题：
(1)若为“十字分式方程”，则______，______．
(2)若十字分式方程，的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于的“十字分式方程”的两个解分别为（，且），求的值．
参考答案与解析
1．B
【分析】此题主要考查了分式的识别，关键是看分母中是否含有字母.．根据分式的概念，分母中含有字母的式子，形如（，中含有字母），逐一判断即可．
【解答】解：、是分式，共有个，
故选：B．
2．B
【分析】根据最简分式的定义即可得出答案.
【解答】A.，故A错误；
B.无法约分，故B正确；
C.，故C错误；
D.，故D错误；
故选：B.
【点拨】本题考查的是最简分式的定义：分式的分子与分母没有非零次的公因式.掌握最简分式的定义是解题的关键.
3．A
【分析】根据变量是变化的量，进行判断即可．
【解答】解：∵，
∴随着的变化而变化，是固定不变的量，
∴变量是和；
故选A．
【点拨】本题考查变量与常量．解题的关键是掌握变量是变化的量，是解题的关键．
4．B
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数；一般形式为，，为整数，确定与的值是解题的关键．根据小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，，为第一位有效数字前面的个数，即可求解．
【解答】解：纳米毫米，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了分式的性质，根据题意逐项把各选项分式字母的值均扩大为原来的2倍，约分后与原分式进行比较，从而可判断分式的值是否发生变化，从而可得答案．
【解答】解：A. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意；
B. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意；
C. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项符合题意；
D. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意．
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了求函数的函数值，根据流程图可知只需要把代入函数中进行求解即可．
【解答】解：∵，
∴，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以，化成整式方程，问题得解．
【解答】解：，
方程两边同乘以得 ．
故选：A
8．D
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列方式方程是解题的关键；根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线b的平均速度为千米/小时，利用时间=路程速度，结合走路线b比路线a时间节省20分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设走路线a的平均速度为x千米/小时，则走路线b的平均速度为千米/小时，
由题意得，，
故选：．
9．A
【分析】本题主要考查有理数的大小比较，涉及到有理数的平方、负整数指数幂、0指数幂的运算知识，数量掌握各个运算规则是求解的关键；先将，，，化简，再比较大小即可求解．
【解答】解：，，，，
∴，
故选：A．
10．B
【分析】此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键．先求出分式方程的解，根据关于的分式方程的解为正数，分式有意义的条件，可得且，进而求解即可；
【解答】解：，
，
，
关于的分式方程的解为正数，
且，即，
且，
且，
故选：．
11．
【分析】本题考查了函数自变量的取值，分式有意义的条件等知识，根据即可求解．
【解答】解：在函数中，∵，
∴自变量的取值范围是．
故答案为：
12．
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解．
【解答】解：分式的值为，
，
解得：，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确的对分母分解因式．将各个分式的分母因式分解即可求解．
【解答】解：，，
分式与的最简公分母是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查图形的变化类规律，先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算。
【解答】解：由题意得：
1节链条的长度,
2节链条的总长度,
3节链条的总长度,
∴节链条总长度,
∴与的关系式为：.
故答案为：
15．
【分析】本题考查了分式的混合远算，找出已知式子的规律是解题的关键．根据已知求得，，，从而找出规律即可解答．
【解答】解：，，，
，，，
，
，
故答案为：．
16．（1）2；（2）
【分析】（1）根据实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂运算法则计算即可；
（2）根据解分式方程的步骤计算即可．
【解答】解：（1）原式＝．
（2）方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
【点拨】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，解分式方程，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，解分式方程是解题的关键；
17．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算．根据分式的混合运算化简，再带值计算即可．
【解答】解：原式
当时，
原式．
18．(1)所挂重物的质量是自变量；挂重后弹簧的长度是因变量
(2)厘米
(3)，厘米
【分析】本题考查的用表格表示的变量间关系；
（1）根据自变量和因变量的定义直接判断即可；
（2）读表格可知，未悬挂物体的时候，弹簧的长度为12cm，即为弹簧的原长，再计算所求的的值即为物体每增加时弹簧增加的长度；
（3）根据第（2）小题，先求出时弹簧增加的长度，再加上弹簧的原长即可．
【解答】（1）解：所挂重物的质量是自变量；挂重后弹簧的长度是因变量．
（2）时，，
∴弹簧的原长是，
当悬挂物体的时候，弹簧的长度变成了，
相比较原长增加了，
即每增加，弹簧的长度增加了，
∴当所挂重物的质量为时，挂重后弹簧的长度为
（3）解：依题意，与之间满足的函数关系式为
当时，．
答：挂重后弹簧的长度为16cm．
19．(1)
(2)或
【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义．
（1）将代入分式方程，再解方程即可；
（2）分式方程化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求出的值即可．
【解答】（1）解：当时，分式方程为．
去分母，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：，
去分母，得，
整理，得，
当分式方程无解时，，，
当分式方程产生增根时，增根为或，
把代入，的值不存在；
把代入，解得，
综上所述，或．
20．见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用等知识．选择信息1，设七年级有人，则八年级有人，根据“七年级平均每人捐款数额比八年级平均每人捐款数额少2元”列出方程，解方程即可求解；选择信息2．设八年级有人，则七年级有人，根据“七年级平均每人捐款数额比八年级平均每人捐款数额少2元”列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：选择信息1．
设七年级有人，则八年级有人．
根据题意，得．
方程两边同乘以得 ，
解得．
检验：当时，，
∴是原方程的解．
∴，．
答：七年级的人数是300，八年级的人数是250
选择信息2．
设八年级有人，则七年级有人．
根据题意，得．
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：七年级的人数是300，八年级的人数是250．
21．(1)4
(2)8
【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的约分，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的约分是解题的关键．
（1）利用倒数法把原式变形，约分即可；
（2）设，用k表示出a，b，c，代入约分即可
【解答】（1）解：∵，
∴．
∴，即．
∴．
（2）设．则，，，
∴．
22．(1)小明的说法正确，
(2)，，
(3)，见解析
【分析】此题主要考查了列代数式，正确掌握平均速度的求法是解题关键．
（1）根据平均速度的求法即可判断小明是正确的，根据分式的运算即可化简；
（2）先分别将，代入两个式子求出，，再比较大小即可；
（3）利用作差法即可求解．
【解答】（1）解：小明的说法正确，
；
（2）当，时，
，
，
，
；
（3）
．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解．
（2）结合运用“十字方程”得到，，将变形为，整体代入即可求解；
（3）将原方程变形为，结合运用“十字方程”得到，，代入即可求解．
【解答】（1）解：（1）可化为，
，．
故答案为：；
（2）解：由已知得，，
；
（3）解：原方程变为，
，
∵，且，
，，
，，
．
【点拨】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键．
…
…