2024年湖南省初中学业水平考试数学冲刺卷（三）

这是一份2024年湖南省初中学业水平考试数学冲刺卷（三），共11页。试卷主要包含了000000006米，数据0等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
4.本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．-2024的相反数是（ ）
A．-12024B．12024C．-2024D．2024
2．下列计算正确的是（ ）
A．a+3b=4abB．5ab2-5a2b=0C．7a+a=7a2D．-ab+3ba=2ab
3．刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的6纳米刻蚀机已获成功，6纳米就是0.000000006米，数据0.000000006用科学记数法表示为（ ）
A．6×10-8B．6×10-9C．0.6×10-8D．60×10-9
4．下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线l1∥l2，且分别与直线 l交于点A，B，把一块含 30°角的三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1=45°，则∠2 的度数是（ ）
A．95°B．100°C．105°D．115°
6．下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员选拔赛成绩的平均数x与方差S2．根据表中数据，要从中选择一名成绩好，又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ）
A．36000.8x-3600x=4B．3600x-24000.8x=4
C．24000.8x-3600x=0D．24000.8x-2400x=4
8．如图反比例函数y=kx与⊙O的一个交点为P2,1，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．34πB．πC．54πD．32π
9．某超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总得有甲作从犯；（3）乙不会开车．在此案中，能肯定的作案对象是（ ）
A．嫌疑犯乙B．嫌疑犯丙C．嫌疑犯甲D．嫌疑犯甲和丙
10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc>0；②a+b+c>0；③2a+b>0；④其顶点坐标为12,-2；⑤当x<0时，y随x的增大而减小；⑥4ac>b2-8a中正确的有( )
A．3个B．4个C．5个D．6个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．式子x+3有意义，则x的取值范围是 ．
12．分解因式：xy2+6xy+9x= ．
13．若某多边形的边数为a，且关于x的不等式组 x+6<2+3xa+x3>x有且只有两个整数解，则这个多边形的内角和为 ．
14．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，且OE∥CD，若OE=3，则菱形的周长为 ．
第14题图 第15题图 第16题图
15．将⊙O按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则⊙O的面积为 ．
16．如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3，和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3，中的两个，能让灯泡L2发光的概率是______．
17．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以正六边形ABCDEF的边AB，AF为直径作圆，两圆交于点A，点G，则图中阴影部分的面积为 ．
第17题图 第18题图

18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），弧AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，点A2024的坐标是 ．
三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分）
19．计算：2sin45°-8+(π-1)0+2-1．
20．先化简再求值：1-1x+2÷x2+2x+1x2-4，在-2，-1，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
21．为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．
(1)本次抽查的学生人数是_______，并补全条形统计图；
(2)本次捐款金额的众数为______元，中位数为______元；
(3)若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？
22．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的试验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，最后在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．
(1)求AB的长．（结果保留根号）
(2)已知本路段对校车限速为50千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）
23．学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶思想情操，展示才华智慧的舞台．某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，鼓励学生积极参与社团活动．与此同时，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品．经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元，购买1个A种奖品和4个B种奖品需花费88元．
(1)求A，B两种奖品的单价；
(2)学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍．设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？
24．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=12AC，连接CE．
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)连接BE，交AC于点F，连接DF，若AC=10,BD=12，求DF的长．
25．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E是BD上一动点（不与点B，D重合），连接DE并延长交AB的延长线于点F，点P在AF上，且∠PEF=∠DCE，连接AE，CE分别交OD，OB于点M，N，连接AC，设⊙O的半径为r．
(1)求证：PE是⊙O的切线；
(2)当∠DCE=15°时，求证：AM=2ME；
(3)在点E的移动过程中，判断AN⋅CM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+3ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC=4，直线y=-x+b经过点A，C，点D为y轴左侧抛物线上一点，连接CD，AD．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当点D在直线AC下方时，连接DB交AC于点E，求S△ADC-S△BDC的最大值及此时点D的坐标；
(3)是否存在点D，使∠CBA=45°+∠DCA？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
甲
乙
丙
丁
平均数x/cm
561
560
561
560
方差S2
15.5
3.5
3.5
15.6
参考答案与解析
一、选择题
二、填空题
11．x≥-3 12．xy+32 13．1260°或1440° 14．24
15．16 16．13 17．π3-32 18．（0，﹣2018）
三、解答题
19．【详解】解：2sin45°-8+(π-1)0+2-1
=2×22-22+1+2-1
=2-22+1+2-1
=0
20．【详解】解：1-1x+2÷x2+2x+1x2-4
=x+2-1x+2÷x+12x+2x-2
=x+1x+2×x+2x-2x+12
=x-2x+1
当x=±2,-1时，分式无意义，所以取x=1，
当x=1时，原式=1-21+1=-12
21．【详解】（1）解：8÷16%=50（人），
“捐款为15元”的学生有50-8-14-6-4=18（人），补全条形统计图如下：
（2）解：捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，
这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元
（3）（3）样本平均数为5×8+10×14+15×18+20×6+25×450=13.4（元/人），
所以全校八年级学生为600名，捐款总金额为13.4×600=8040（元），
答：全校八年级学生为600名，捐款总金额为8040元．
22．【详解】（1）解：由题意得,在Rt△ADC中, tan30°=CDAD=24AD
解得AD=243.
在Rt△BDC 中, tan60°=CDBD=24BD，解得BD=83
所以AB=AD-BD=243-83=163 (米).
（2）解：校车从A到B用时2秒,所以速度为163÷2≈13.6 (米/秒),
因为13.6米/秒=48.96千米/时<50千米/时,
所以此校车没有超速．
23．【详解】（1）解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元．
则有2x+y=64x+4y=88，解得x=24y=16．
答：A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元．
（2）设花费w元，购买B种奖品60-a个．
∵a>260-a，∴a>40．
w=24a+1660-a=8a+960．
∵8>0，∴w随a的增大而增大．
由题知a为正整数，
∴a取最小值41时，w有最小值，w的最小值为8×41+960=1288（元）．
60-a=19．
答：购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少，最少为1288元．
24．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=12AC，
∴∠DOC=90°，
∵DE∥AC，DE=12AC，
∴DE∥OC，DE=OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵∠DOC=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形OCED是矩形，
∴∠BDE=90°，
∵BD=12，DE=12AC=5，
∴BE=DE2+BD2=13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=2OB，
∵AC∥DE，
∴△BOF∽△BDE，
∴BFBE=OBBD=12，
∴点F为BE的中点，
∴DF=12BE=132．
25．【详解】（1）证明：连接OE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED=90°，则∠CEF=∠CEP+∠PEF=90°，
∵OC=OE，
∴∠DCE=∠OEC，
又∵∠PEF=∠DCE，
∴∠PEF=∠OEC，
∴∠CEP+∠PEF=∠CEP+∠OEC=∠OEP=90°，
∴OE⊥PE，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠DCE=15°，
∴∠DOE=30°，
∵AB⊥CD，则∠AOD=90°，
∴∠AOE=120°，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=30°，
则AM=2OM，
又∵∠DOE=30°=∠OEA，
∴OM=ME，
∴AM=2ME；
（3）AN⋅CM是定值，AN⋅CM=AC2=2r2，理由如下：连接AD，
∵AB⊥CD，且AB、CD是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠ACD=∠ADC=45°，
则∠ACN=∠ACD+∠DCE=45°+∠DCE，∠AMC=∠ADC+∠DAE=45°+∠DAE，
∵∠DCE=∠DAE，
∴∠ACN=∠AMC，
又∵∠ACM=∠CAN=45°，
∴△ACM∽△NAC，
∴ACAN=CMAC，则AN⋅CM=AC2，
∵OA=OC=r，
∴AC=OA2+OC2=2r，则AC2=2r2，
即：AN⋅CM=AC2=2r2．
26．【详解】（1）解：∵CO=4，则点C0,-4，
将点C的坐标代入一次函数表达式得：-4=b，
则一次函数表达式为：y=-x-4，
令y=-x-4=0，得x=-4，∴点A-4,0，
把A、C两点坐标代入二次函数解析式中，得：c=-416a-12a+c=0，解得：a=1c=-4，
则抛物线的表达式为：y=x2+3x-4；
（2）解：由y=x2+3x-4=0，得x1=1，x2=-4，
∴点B1,0，
设直线BD交y轴于点N，设点Dm,m2+3m-4，
设直线BD的表达式为：y=kx+d，
则k+d=0mk+d=m2+3m-4，解得：k=m+4d=-m-4，
直线BD的表达式为：y=m+4x-m-4，
令x=0,得y=-m-4，
∴点N0,-m-4，CN=OC-ON=-m，
过点D作DH∥y轴交AC于点H，则点Hm,-m-4，
则S△ADC-S△BDC=12×DH×OA-12×CN×xB-xD
=12×-m-4-m2-3m+4×4-12×-m×1-m
=-52m2-152m
=-52m+322+458，
∵-52＜0，则S△ADC-S△BDC有最大值，
当m=-32时，S△ADC-S△BDC的最大值为458，
此时点D-32,-254；
（3）解：存在，理由：
当点D在AC下方时，由点A、C的坐标知，∠OAC=∠OCA=45°，
∵∠CBA=45°+∠DCA，
∴∠CBA=∠DCO，
∴∠CBA+∠OCB=∠DCO+∠OCB，即∠DCB=90°，
∴DC⊥CB；
设点Dm,m2+3m-4，则DE=-m，CE=m2+3m-4-(-4)=m2+3m；
过点D作DE⊥y轴于E，如图，
∵∠DCB=∠BOC=∠DEC=90°，
∴∠BCO+∠DCE=∠DCE+∠CDE，
∴∠BCO=∠CDE，
∴△BCO∽△CDE，
∴CEDE=OBOC=14，即4CE=DE，
∴4(m2+3m)=-m，
解得：m=0（舍去），m=-134，则点D-134,-5116；
当点D在AC的上方时，如图，设CD交x轴于点F，
∵∠BFC=∠OAC+∠DCA=45°+∠DCA，∠CBA=45°+∠DCA，
∴∠BFC=∠DCA，
∴CF=CB；
∵CO⊥BF，
∴OF=OB=1，
∴F(-1,0)；
设直线CD解析式为y=k1x-4，把点F坐标代入得：k1=-4，
∴直线CD的表达式为：y=-4x-4，
联立直线CD的表达式与抛物线表达式得：x2+3x-4=-4x-4，
解得：x=-7，x=0（舍去），
即点D-7,24；
综上，点D的坐标为：-134,-5116或-7,24．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
D
D
B
C
C
C
B
C
C
A