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数学北师大版（2021）第六单元 直线与圆的方程6.8 圆的方程6.8.1 圆的标准方程教案及反思
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这是一份数学北师大版（2021）第六单元 直线与圆的方程6.8 圆的方程6.8.1 圆的标准方程教案及反思，共4页。教案主要包含了课前知识储备，学生知识储备检测，发布任务，小组讨论，完成任务，对照练习，随堂练习，课堂检测等内容，欢迎下载使用。
1.已知点M(2,-1)和B(-1,3)，则线段AB的长度为 .
附录2：学生知识目标检测
1.圆心为点(-3,0)，且半径为5的圆的方程为 .
2.已知圆的方程为(x-3)2+y+22=1，则与这个圆同心，且半径为6的圆的方程为 .授课题目
6.8.1圆的标准方程
授课类型
新授课
建议学时
1学时
单元知识概览
内容分析
本章将学习平面直角坐标系中两点间的距离、线段的中点坐标、点到直线的距离等知识；学习用坐标法建立直线的方程和圆的方程，通过对方程的讨论，研究直线和圆的位置关系等问题；通过对实际例子的研究，了解直线、圆在实际生产与生活中的应用；通过对坐标法的学习，培养数形结合的思维习惯，不断提升中职学生的数学运算、直观想象、逻辑推理和数学抽象等数学核心素养
教学目标
知识目标
1.了解圆的定义，掌握圆的标准方程
2.能根据圆心和半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆心和半径
能力目标
1.通过分析圆的标准方程的结构特征，理解圆心坐标和圆的半径与圆的标准方程之间的对应关系，进一步培养用解析法研究几何问题的能力
2.借助直观图形认识圆的圆心、半径两个要素，渗透数形结合的数学思想
素养目标
通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学习数学的兴趣
教学重难点
重点
圆的标准方程的特征的理解和掌握、判定点与圆的位置关系
难点
圆的标准方程的推导过程
教学方法
教法
任务驱动法
学法
合作学习法、讨论学习法
教学资源
使用云班课软件做知识的检测
课程思政
在中华民族传统文化中圆是一种重要的形态，它象征着“圆满”和“饱满”.在日常生活中，圆形的物体随处可见，如天上的太阳、汽车的轮子、盘子、艺术体操运动员手中的圆环等.人们之所以制造出那么多的圆形物体，除了视觉美观外，更重要的是圆具有很多特别有用的性质
教学过程
第1学时
课前准备
【课前知识储备】
两点间的距离公式
【学生知识储备检测】
见附录1
课中教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图、媒体资源等
（一）
情景导入
我们知道点可以用坐标来表示，直线可以用二元一次方程来表示，那么圆的代数形式是什么呢？
【发布任务】
全班分小组，明确小组长的任务
引导学生写出点和直线的代数形式
【小组讨论】
1.分组讨论，由组长记录
2.每个小组长归纳总结并展示
从点和直线有代数形式入手，从而引出课题
（二）
合作探究
通过观察知道，当圆心和半径确定时，圆的大小和位置就确定了.因此圆心和半径是确定圆的最基本要素.所以圆的代数表达形式也离不开圆心和半径.
例如：圆心为C(1,2)，半径为3的圆，圆上任一点到圆心的距离为3，设M(x,y)为圆上任一点，则MC=3，即x-12+y-22=3，所以此圆上任一点的坐标满足方程(x-1)2+(y-2)2=9.
讲解圆的两个基本要素
利用两点间的距离公式求解
从具体问题入手，由易到难，符合学生认知发展水平
（三）
抽象概括
图6-28
如图6-28，圆心坐标C(a,b)，半径为r，设点M(x,y)是圆上任一点，则M点满足CM=r.
由两点间距离公式，点M满足的条件是：(x-a)2+(y-b)2=r.
两边平方可得x-a2+y-b2
=r2.
若点M(x,y)在圆上，则点M的坐标满足上面的方程，反之若点M的坐标满足上面的方程，则点M到C的距离为r，点M在以C为圆心，r为半径的圆上.这样圆和方程就形成了对应关系.
一般地，我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2叫作以(a,b)为圆心，以r为半径的圆的方程，称为圆的标准方程.
特殊地，当a=0，b=0时，即圆心为原点时，圆的方程为x2+y2=r2.
结合图讲解
说明圆和方程之间一一对应的关系，从而得到圆的标准方程
抓住关键字词，并做好笔记
1.培养学生的数学抽象核心素养.
2.渗透数形结合的数学思想
（四）
示范讲解
例1 根据下列圆的方程，确定圆心坐标和半径：
(1)(x-2)2+y2=9；
(2)(x+1)2+(y-3)2=10.
解 (1)圆心坐标是(2,0)，半径r=3.
(2) 圆心坐标是(-1,3)，半径r=10.
例2 写出圆心为C(2,-1)，半径r=3的圆的方程，并作图.
解 将a=2，b=-1，r=3代入圆的标准方程中，得x-22+
y--12=32.整理得，圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9，如图6-29
图6-29
例3 求以点C1,2为圆心且过点A
-1,0的圆的方程，并判断点M-3,3，
N(2,1)和Q(3,0)是在圆上、圆内还是圆外.
分析 一个点与圆的位置关系，取决于该点到圆心的距离d与圆的半径r之间的关系.点在圆外⇔d>r；点在圆上⇔d=r；点在圆内⇔d解 半径r=
CA=(-1-1)2+(0-2)2=22.
所以圆的标准方程为
(x-1)2+(y-2)2=8.
分别计算M(-3,3)，N(2,1)和Q(3,0)到圆心的距离，得
CM=(-3-1)2+(3-2)2=17>22，所以点M在圆外；
CN=2-12+1-22=2
<22，所以点N在圆内；
CQ=3-12+0-22=8
=22，所以点Q在圆上.
讲解
【发布任务】
例2由学生独立完成，教师根据学情点评,多鼓励表扬
引导学生将图转化为代数间的大小关系
巩固
【完成任务】
学生上台讲解
发现圆心C和圆上一点A之间的距离就是半径
1.学以致用，通过例题进一步领会圆的标准方程
2.树立学生的学习自信
3.渗透数形结合的数学思想
（五）
课堂练习
【对照练习】
P40【随堂练习】1，2题
【课堂检测】
见附录2
【发布任务】
让学生独立完成随堂练习后点评
【完成任务】
独立完成
加深圆标准方程的理解，提升学生数学运算的核心素养
（六）
课堂小结
圆的标准方程
【发布任务】
让学生自主归纳总结，多鼓励表扬参与者
【归纳总结】
学生积极参与课堂小结归纳，其它同学可作补充
提升学生归纳概括能力，巩固知识点
布置作业
数学学习指导与能力训练P31-32必做水平一、选做水平二
分层练习，满足不同层次学生需求
板书设计
6.8.1圆的标准方程
一、圆的标准方程 二、示范讲解 三、课堂练习
例
简明扼要，突出重点
课后拓展延伸
已知含有一个未知参数的圆的标准方程及圆上一点，求圆的方程
反 思 诊 改
教学反思
1.已知点M(2,-1)和B(-1,3)，则线段AB的长度为 .
附录2：学生知识目标检测
1.圆心为点(-3,0)，且半径为5的圆的方程为 .
2.已知圆的方程为(x-3)2+y+22=1，则与这个圆同心，且半径为6的圆的方程为 .授课题目
6.8.1圆的标准方程
授课类型
新授课
建议学时
1学时
单元知识概览
内容分析
本章将学习平面直角坐标系中两点间的距离、线段的中点坐标、点到直线的距离等知识；学习用坐标法建立直线的方程和圆的方程，通过对方程的讨论，研究直线和圆的位置关系等问题；通过对实际例子的研究，了解直线、圆在实际生产与生活中的应用；通过对坐标法的学习，培养数形结合的思维习惯，不断提升中职学生的数学运算、直观想象、逻辑推理和数学抽象等数学核心素养
教学目标
知识目标
1.了解圆的定义，掌握圆的标准方程
2.能根据圆心和半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆心和半径
能力目标
1.通过分析圆的标准方程的结构特征，理解圆心坐标和圆的半径与圆的标准方程之间的对应关系，进一步培养用解析法研究几何问题的能力
2.借助直观图形认识圆的圆心、半径两个要素，渗透数形结合的数学思想
素养目标
通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学习数学的兴趣
教学重难点
重点
圆的标准方程的特征的理解和掌握、判定点与圆的位置关系
难点
圆的标准方程的推导过程
教学方法
教法
任务驱动法
学法
合作学习法、讨论学习法
教学资源
使用云班课软件做知识的检测
课程思政
在中华民族传统文化中圆是一种重要的形态，它象征着“圆满”和“饱满”.在日常生活中，圆形的物体随处可见，如天上的太阳、汽车的轮子、盘子、艺术体操运动员手中的圆环等.人们之所以制造出那么多的圆形物体，除了视觉美观外，更重要的是圆具有很多特别有用的性质
教学过程
第1学时
课前准备
【课前知识储备】
两点间的距离公式
【学生知识储备检测】
见附录1
课中教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图、媒体资源等
（一）
情景导入
我们知道点可以用坐标来表示，直线可以用二元一次方程来表示，那么圆的代数形式是什么呢？
【发布任务】
全班分小组，明确小组长的任务
引导学生写出点和直线的代数形式
【小组讨论】
1.分组讨论，由组长记录
2.每个小组长归纳总结并展示
从点和直线有代数形式入手，从而引出课题
（二）
合作探究
通过观察知道，当圆心和半径确定时，圆的大小和位置就确定了.因此圆心和半径是确定圆的最基本要素.所以圆的代数表达形式也离不开圆心和半径.
例如：圆心为C(1,2)，半径为3的圆，圆上任一点到圆心的距离为3，设M(x,y)为圆上任一点，则MC=3，即x-12+y-22=3，所以此圆上任一点的坐标满足方程(x-1)2+(y-2)2=9.
讲解圆的两个基本要素
利用两点间的距离公式求解
从具体问题入手，由易到难，符合学生认知发展水平
（三）
抽象概括
图6-28
如图6-28，圆心坐标C(a,b)，半径为r，设点M(x,y)是圆上任一点，则M点满足CM=r.
由两点间距离公式，点M满足的条件是：(x-a)2+(y-b)2=r.
两边平方可得x-a2+y-b2
=r2.
若点M(x,y)在圆上，则点M的坐标满足上面的方程，反之若点M的坐标满足上面的方程，则点M到C的距离为r，点M在以C为圆心，r为半径的圆上.这样圆和方程就形成了对应关系.
一般地，我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2叫作以(a,b)为圆心，以r为半径的圆的方程，称为圆的标准方程.
特殊地，当a=0，b=0时，即圆心为原点时，圆的方程为x2+y2=r2.
结合图讲解
说明圆和方程之间一一对应的关系，从而得到圆的标准方程
抓住关键字词，并做好笔记
1.培养学生的数学抽象核心素养.
2.渗透数形结合的数学思想
（四）
示范讲解
例1 根据下列圆的方程，确定圆心坐标和半径：
(1)(x-2)2+y2=9；
(2)(x+1)2+(y-3)2=10.
解 (1)圆心坐标是(2,0)，半径r=3.
(2) 圆心坐标是(-1,3)，半径r=10.
例2 写出圆心为C(2,-1)，半径r=3的圆的方程，并作图.
解 将a=2，b=-1，r=3代入圆的标准方程中，得x-22+
y--12=32.整理得，圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9，如图6-29
图6-29
例3 求以点C1,2为圆心且过点A
-1,0的圆的方程，并判断点M-3,3，
N(2,1)和Q(3,0)是在圆上、圆内还是圆外.
分析 一个点与圆的位置关系，取决于该点到圆心的距离d与圆的半径r之间的关系.点在圆外⇔d>r；点在圆上⇔d=r；点在圆内⇔d
CA=(-1-1)2+(0-2)2=22.
所以圆的标准方程为
(x-1)2+(y-2)2=8.
分别计算M(-3,3)，N(2,1)和Q(3,0)到圆心的距离，得
CM=(-3-1)2+(3-2)2=17>22，所以点M在圆外；
CN=2-12+1-22=2
<22，所以点N在圆内；
CQ=3-12+0-22=8
=22，所以点Q在圆上.
讲解
【发布任务】
例2由学生独立完成，教师根据学情点评,多鼓励表扬
引导学生将图转化为代数间的大小关系
巩固
【完成任务】
学生上台讲解
发现圆心C和圆上一点A之间的距离就是半径
1.学以致用，通过例题进一步领会圆的标准方程
2.树立学生的学习自信
3.渗透数形结合的数学思想
（五）
课堂练习
【对照练习】
P40【随堂练习】1，2题
【课堂检测】
见附录2
【发布任务】
让学生独立完成随堂练习后点评
【完成任务】
独立完成
加深圆标准方程的理解，提升学生数学运算的核心素养
（六）
课堂小结
圆的标准方程
【发布任务】
让学生自主归纳总结，多鼓励表扬参与者
【归纳总结】
学生积极参与课堂小结归纳，其它同学可作补充
提升学生归纳概括能力，巩固知识点
布置作业
数学学习指导与能力训练P31-32必做水平一、选做水平二
分层练习，满足不同层次学生需求
板书设计
6.8.1圆的标准方程
一、圆的标准方程 二、示范讲解 三、课堂练习
例
简明扼要，突出重点
课后拓展延伸
已知含有一个未知参数的圆的标准方程及圆上一点，求圆的方程
反 思 诊 改
教学反思
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