2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题13函数与方程（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题13函数与方程（学生版），共8页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解.
【考点预测】
1.函数的零点
(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2.函数零点存在定理
(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
【常用结论】
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
【方法技巧】
1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
2.函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
3.已知函数的零点求参数，主要方法有：
①直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合；
③分离参数，转化为求函数的最值.
4.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
5.函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养.
二、【题型归类】
【题型一】函数零点所在区间的判定
【典例1】已知函数f(x)＝eq \f(6,x)－lg2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，4) D．(4，＋∞)
【典例2】函数f(x)＝lnx－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(1，e)和(3，4) D．(e，＋∞)
【典例3】(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
【题型二】函数零点个数的判定
【典例1】已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0， 0＜x≤1，,|x2－4|－2，x＞1，)) 则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．
【典例2】函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2， x≤0，,2x－6＋lnx，x>0))的零点个数是________．
【典例3】函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型三】根据函数零点个数求参数
【典例1】已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x2＋2x|，x≤0，,\f(1,x)，x>0，))若关于x的方程f(x)－a(x＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4－2eq \r(3)) B．(4＋2eq \r(3)，＋∞)
C．[0,4－2eq \r(3)] D．(0,4－2eq \r(3))
【典例2】若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3)))
【典例3】已知函数若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是______．
【题型四】根据函数零点的范围求参数
【典例1】已知函数f(x)＝3x－eq \f(1＋ax,x).若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3)))
C．(－∞，0) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))
【典例2】若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是________．
【典例3】若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( )
A．a>eq \f(1,5) B．a>eq \f(1,5)或a<－1
C．－1三、【培优训练】
【训练一】若关于x的方程eq \f(|x|,x＋4)＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )
A．(0,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)) D．(1，＋∞)
【训练二】已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|【训练三】设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(xcs（πx）))，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上的零点个数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【训练四】已知函数f(x)是偶函数，f(0)＝0，且x>0时，f(x)是增函数，f(3)＝0，则函数g(x)＝f(x)＋lg|x＋1|的零点个数为________．
【训练五】已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2|lg2x|，02，))若f(x)＝m有四个零点a，b，c，d，求abcd的取值范围．
【训练六】已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4x)，x＞0，,x＋1，x≤0，))若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 函数f(x)＝ln x－eq \f(2,x－1)的零点所在的区间是( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
2. 已知x＝a是函数的零点，若0A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0
C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定
3. 函数f(x)＝x·cs 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4. 若函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
5. 已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为( )
A．(－1，0) B．{－1}∪(0，＋∞)
C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．(0，1)
6. 已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝lg3x＋x，h(x)＝x－eq \f(1,\r(x))的零点依次为a，b，c，则( )
A．aC．c7. 函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3)))
8. 若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【多选题】
9. 若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－a，x≤0，,ln x，x>0))有两个不同的零点，则实数a的取值可能为( )
A．－1 B.eq \f(1,2) C．1 D．2
10. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－2x，x≤0，,|lg2x|，x>0，))若x1A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．111. 已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是( )
A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数
B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数
C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称
D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点
12. 下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)
B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1
C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点
D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
【填空题】
13. 函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln x－x2＋2x，x>0，,4x＋1，x≤0))的零点个数是________．
14. 若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－a，x≤0，,ln x，x>0))有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
15. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex， x≤0，,ln x， x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．
16. 函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln（－x－1），x<－1，,2x＋1，x≥－1，))若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
【解答题】
17. 设函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x)))(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
18. 已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4x)，x>0，,x＋1，x≤0.))
(1)求g[f(1)]的值；
(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
19. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,lg2x，x>0，))求函数y＝f(f(x))＋1的所有零点构成的集合．
20. 若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)上恰有一个零点，求实数a的取值范围．
21. 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)若f(－1)＝0，试判断函数f(x)的零点个数；
(2)若对任意x1，x2∈R，且x122. 设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1，若函数g(x)＝f(x)－lga(x＋2)(a>1)在区间[－2，6]内恰有三个零点，求实数a的取值范围．