山西省晋城市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题(含解析)

这是一份山西省晋城市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题(含解析)，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列分式中，是最简分式的是( )
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 在□ABCD中，已知∠A﹣∠B=20°，则∠C=（ ）
A. 60°B. 80°C. 100°D. 120°
4. 在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是（ ）
A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 七边形
7. 如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB = 4，则OE的长是 （ ）
A. 2B.
C 1D.
8. 已知一三角形的三边长m，n，p满足，则这个三角形的面积为（ ）
A. 12B. 60C. 48D. 24
9. 甲、乙两车沿相同路线从A地向B地行进，两地相距10千米，如图所示的是甲、乙两车离A地的距离y随时间x变化的图象，则下列结论错误的是（ ）
A. 甲的速度为1千米/分钟B. 甲比乙先到B地
C. 乙比甲晚4分钟出发D. 乙的速度为2.5千米/分钟
10. 在菱形ABCD中，相邻两内角度数之比为1：2，若它较短的对角线长度为4cm，则它的面积是（ ）
A. 16cmB. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 因式分解：______．
12. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为__________．
13. 如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC=90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB=_______°
14. 山西老陈醋是中国四大名醋之一，已有3000余年的历史，素有“天下第一醋”的盛誉，以色、香、醇、浓、酸五大特征著称于世．某粮油店销售一种山西老陈醋，标价每瓶70元（10斤装），店里有个团购优惠，团购老陈醋5瓶以上，超过部分可享受8折优惠，若康康和朋友一起团购了x（x>5）瓶老陈醋共付款y元，则y与x的函数关系式为______．
15. 一张矩形MNPQ纸片按如图所示的方式折叠，使得顶点Q与N重合，折痕为AB，MN=3，MQ=9，则折痕AB的长度为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. （1）①解不等式组，并写出它非负整数解；
②解方程；
（2）先化简，然后a在、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．
17. 如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
18. 山西某中学王老师为了选拔一名优秀的学生参加市内的数学比赛，对两名备赛选手进行了6次测验，两位同学的测验成绩如表所示：
（参考公式）
根据表中提供的数据，解答下列问题：
（1）a的值为______，d的值为______．
（2）求b和c的值，并直接指出哪位同学的成绩更稳定．
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
19. 智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是，，．
（1）操作与实践：步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的．
（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）应用与求解：
①智慧组成员将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标________．
②在轴上有一点，智慧组成员要求使得的值最小，请直接写出点的坐标________．
20. 2021年是建党100周年，各种红色书籍在网上热销．某网店购进了相同数量的甲、乙两种红色书籍，其中甲种书籍共用了1600元，乙种书籍共用了2000元，已知乙种书籍每本进价比甲种书籍贵4元．
（1）甲、乙两种书籍每本进价各多少元?
（2）这批商品上市后很快销售一空．该网店计划按原进价再次购进这两种商品共100件，将新购进的商品按照表格中的售价销售．设新购进甲种书籍数量不低于乙种书籍的数量（不计其他成本）．
问：网店怎样安排进货方案，才能使销售完这批商品获得的利润最大?最大利润是多少？
21. 阅读与思考
若两个等腰三角形有公共腰，则称这两个等腰三角形不在公共腰上的两个顶点关于腰互为对顶点．若再满足不在公共腰上的两个角的和是90°，则称这两个顶点关于腰为互余对顶点．
如图1，在四边形ABCD中，AC是一条对角线，CD=CA=CB，则点B与点D关于AC互为对顶点，若再满足∠B+∠D=90°，则点B与点D关于AC为互余对顶点．
任务：
如图2，平行四边形ABCD与四边形ABCE有两边重合，AC为两个四边形的对角线，AE=AD=AC，∠ACB=70°．
（1）证明：点B与点E关于AC互为对顶点．
（2）当点B与点E关于AC为互余对顶点时，求∠DCE的度数．
22. 请阅读下列材料，完成相应的任务：
无刻度直尺作图：“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．
如图1，已知点P是线段AB的中点，分别以PA、PB为边在AB的同侧作与，其中，，．求作：线段PC的中点E．
按照常规思路，用尺规作线段PC的垂直平分线，垂足即为PC的中点．仔细分析图形，你会发现，只用无刻度的直尺连接线段AD，AD与CP交点E即为PC的中点（如图2）．
证明：连接CD．
，
（依据1），
，
，同理，．
……
（1）【任务1】写出上述证明过程中依据1的内容：________．
（2）【任务2】请补全证明过程．
（3）【任务3】如图，在平行四边ABCD中，点E是CD边的中点．求作：，使的面积与平行四边ABCD的面积相等．（要求：利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写画法．）
23. 如图，过A（0，6），B（6，0）两点的直线与直线y=x交于点F，平行于y轴的直线l从y轴出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿x轴向右平移，到达F点时停止．直线l分别与AB，OF交于点C、D．以CD为斜边向左侧作等腰直角三角形，设与重叠部分图形的周长为p，直线l的运动时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式及点F的坐标．
（2）当点E落在y轴上时，求p值．
（3）试探究当直线l从y轴出发，向右移动过程中，p与t的函数关系式（直线l在y轴上与经过F点的两种情况不考虑）．
晋城一中2022－2023学年第二学期八年级期末考试
数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列分式中，是最简分式的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式，逐一判断即可．
【详解】A． ，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B． ，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C． ，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D． 是最简分式，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查的是最简分式的判断，掌握最简分式的定义和公因式的定义是解决此题的关键．
2. 在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可．
【详解】解：设点M的坐标为（x，y），
∵点M到x轴的距离为4，
∴，
∴，
∵点M到y轴的距离为5，
∴，
∴，
∵点M在第四象限内，
∴x＞0，y＜0，
∴x=5，y=-4，
即点M的坐标为(5,-4)．
故选：B．
【点睛】此题考查平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离，象限内点的坐标的符号特点等，其中要牢记第四象限内的点的坐标符号特点为（+，-）．
3. 在□ABCD中，已知∠A﹣∠B=20°，则∠C=（ ）
A. 60°B. 80°C. 100°D. 120°
【答案】C
【解析】
【详解】分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A+∠B=180°，又由∠A-∠B=20°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A-∠B=20°，
∴∠A=100°，
∴∠C=∠A=100°．
故选C．
点睛：此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补．
4. 在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由ABCD可得出∠BAO=∠DCO、∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证出△ABO≌△CDO（AAS），根据全等三角形的性质可得出AB=CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由ABCD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解．
【详解】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形；
C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
6. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是（ ）
A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 七边形
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式列式计算即可解答．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
由题意得：，解得．
所以这个多边形是五边形．
故选B．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角问题，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
7. 如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB = 4，则OE的长是 （ ）
A. 2B.
C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得BO=DO，所以OE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
【详解】解：在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，
∵点E是边BC的中点，
所以OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=2．
故选A．
【点睛】本题利用平行四边形的性质和三角形的中位线定理求解，需要熟练掌握．
8. 已知一三角形的三边长m，n，p满足，则这个三角形的面积为（ ）
A. 12B. 60C. 48D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】根据非负数的性质，分别求出m、p、n，根据勾股定理的逆定理，判定该三角形是直角三角形，再进一步根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半求解即可．
【详解】解：
化简可得：
∴
∴m=6，p=8，n=10
∵
∴三角形为直角三角形
∴
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式和平方的非负性，勾股定理的逆定理的运用，直角三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握非负性及直角三角形的判定．
9. 甲、乙两车沿相同路线从A地向B地行进，两地相距10千米，如图所示的是甲、乙两车离A地的距离y随时间x变化的图象，则下列结论错误的是（ ）
A. 甲的速度为1千米/分钟B. 甲比乙先到B地
C. 乙比甲晚4分钟出发D. 乙的速度为2.5千米/分钟
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象结合速度＝路程÷时间，逐项分析即可．
【详解】解：A、甲的速度为：10÷10＝1千米/分钟，正确；
B、由函数图象可知乙比甲先到B地，原说法错误；
C、由函数图象可知乙比甲晚4分钟出发，正确；
D、乙的速度为：10÷（8－4）＝2.5千米/分钟，正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息的能力，正确理解横纵坐标所表示的意义是解题的关键．
10. 在菱形ABCD中，相邻两内角度数之比为1：2，若它较短的对角线长度为4cm，则它的面积是（ ）
A. 16cmB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形ABCD中相邻两内角的度数之比为1：2，求得∠A的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，求得AE的长，继而由勾股定理，求得DE的长，则可求得答案．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中相邻两内角的度数之比为1：2，BD= 4cm，
∴，AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，AD=BD=4cm，
∴∠ADE=30°，
∴AE=AD=2cm，
∴（cm），
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
分析】先提公因式m，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为__________．
【答案】3
【解析】
【详解】由旋转的性质可得：AD=AB，
，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=4，BC=7，
∴CD=BC−BD=7−4=3.
故答案为：3.
13. 如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC=90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB=_______°
【答案】30
【解析】
【分析】先证明是等边三角形，得到，再由四边形是矩形，得到，则．
【详解】解：∵四边形OD'DC为菱形，
∴，
∵在扭动过程中，CD的长度是不会发生变化的，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，熟知菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
14. 山西老陈醋是中国四大名醋之一，已有3000余年的历史，素有“天下第一醋”的盛誉，以色、香、醇、浓、酸五大特征著称于世．某粮油店销售一种山西老陈醋，标价每瓶70元（10斤装），店里有个团购优惠，团购老陈醋5瓶以上，超过部分可享受8折优惠，若康康和朋友一起团购了x（x>5）瓶老陈醋共付款y元，则y与x的函数关系式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据x（x>5），超过部分可享受8折优惠，列出函数关系式即可求解．
【详解】根据题意，购5瓶，每瓶70元，超过部分可享受8折优惠，则，
即
故答案为：
【点睛】本题考查了列函数关系式，理解题意是解题的关键．
15. 一张矩形MNPQ纸片按如图所示的方式折叠，使得顶点Q与N重合，折痕为AB，MN=3，MQ=9，则折痕AB的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质证明，利用相似三角形对应边成比例，得出，然后证明，得出AO=BO，即可求出AB的长．
【详解】解：连接NQ，如图所示：
∵四边形MNPQ为矩形，
∴，，
∴，
由折叠可知，AB垂直平分NQ，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
∴，
∴AO=BO，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，根据题意证明，求出，是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. （1）①解不等式组，并写出它的非负整数解；
②解方程；
（2）先化简，然后a在、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．
【答案】（1）①；非负整数解为0，1；②；（2），5
【解析】
【分析】（1）①分别求出两个不等式的解集然后再求出不等式组的解集，最后写出其非负整数解即可；
②先去分母转化为整式方程求解，求出整式方程的解后进行检验即可得解；
（2）按照分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可．
【详解】解：（1）①，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的非负整数解为0，1．
②
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
即，
检验：把x=2代入x-3得：，
∴是原方程的解．
（2）解：
∵，，
∴，
取，原式．
【点睛】本题主要考查了解不等式组、解分式方程和分式的化简求值，注意解分式方程时，需要对解出的根进行检验．
17. 如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）52
【解析】
【分析】（1）证，得出，由，证出四边形是平行四边形，进而得出结论；
（2）由菱形的性质得出，，，由勾股定理得的长，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
18. 山西某中学王老师为了选拔一名优秀学生参加市内的数学比赛，对两名备赛选手进行了6次测验，两位同学的测验成绩如表所示：
（参考公式）
根据表中提供的数据，解答下列问题：
（1）a的值为______，d的值为______．
（2）求b和c的值，并直接指出哪位同学的成绩更稳定．
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
【答案】（1）85，86
（2），；乙的成绩更稳定
（3）选择乙同学．理由：甲乙同学成绩的平均数相同，且乙同学成绩的中位数更大，方差更小，成绩更稳定．
【解析】
【分析】（1）将甲的成绩按照从低到高的顺序排列，求出a值，根据众数的定义求出d的值．
（2）根据平均数的定义求出c值，再利用题中所给的方差公式求b值，再对比两位同学的平均数、中位数、众数及方差确定成绩稳定的人．
（3）平均数相同的情况下，应选择中位数较大且成绩稳定的同学参赛．
【小问1详解】
甲同学成绩从低到高排序为：80，83，85，85，87，90；
则中位数；
观察乙同学的成绩，出现次数最多的成绩为86，故众数．
【小问2详解】
根据平均数的定义，；
根据题中所给的方差公式，
．
由于甲乙同学成绩的平均数相同，而甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差，
故乙的成绩更稳定．
【小问3详解】
选择乙同学．
理由：甲乙同学成绩的平均数相同，且乙同学成绩的中位数更大，方差更小，成绩更稳定．
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差的求解，解决本题的关键是熟知各指标的求解方法．
19. 智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是，，．
（1）操作与实践：步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的．
（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）应用与求解：
①智慧组成员将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标________．
②在轴上有一点，智慧组成员要求使得的值最小，请直接写出点的坐标________．
【答案】（1）图见解析
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质画出即可；根据平移的性质画出即可；
（2）①根据中心对称的性质，连接，，，交点即为旋转中心，即可得出答案；②作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，利用待定系数法求出直线的解析式，进而可得出点的坐标．
【小问1详解】
解：画出和如图所示．
【小问2详解】
由图可知，旋转中心为点．
故答案为：．
②如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点．
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
将点，代入，得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—旋转变换、平移变换，轴对称—最短路线问题，用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数图像与轴的交点坐标．熟练掌握平移、旋转、对称的性质是解答本题的关键．
20. 2021年是建党100周年，各种红色书籍在网上热销．某网店购进了相同数量的甲、乙两种红色书籍，其中甲种书籍共用了1600元，乙种书籍共用了2000元，已知乙种书籍每本进价比甲种书籍贵4元．
（1）甲、乙两种书籍每本进价各是多少元?
（2）这批商品上市后很快销售一空．该网店计划按原进价再次购进这两种商品共100件，将新购进的商品按照表格中的售价销售．设新购进甲种书籍数量不低于乙种书籍的数量（不计其他成本）．
问：网店怎样安排进货方案，才能使销售完这批商品获得的利润最大?最大利润是多少？
【答案】（1）甲种商品每件进价是16元，则乙种商品每件进价为20元
（2）购进甲种商品50件，乙种商品50件，利润最大，最大利润为900元
【解析】
【分析】（1）设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元，找出等量关系，根据题意列出分式方程即可求解；
（2）设新购甲种商品m件，则乙种商品为件，根据题意即可得到y与x之间的函数关系式；再根据m的取值与一次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
设甲种商品每件进价是x元，则乙种商品每件进价元，
由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，当时，．
答：甲种商品每件进价是16元，则乙种商品每件进价为20元．
【小问2详解】
设新购甲种商品m件，则乙种商品为件，
由题意可得：，解得
∴
．
∴y随m得增大而减小，且，
∴当时，，此时．
答：购进甲种商品50件，乙种商品50件，利润最大，最大利润为900元．
【点睛】本题主要考查了列分式方程解决实际问题、一次函数的应用，解题的关键是找到数量关系列出方程或函数关系式．
21. 阅读与思考
若两个等腰三角形有公共腰，则称这两个等腰三角形不在公共腰上的两个顶点关于腰互为对顶点．若再满足不在公共腰上的两个角的和是90°，则称这两个顶点关于腰为互余对顶点．
如图1，在四边形ABCD中，AC是一条对角线，CD=CA=CB，则点B与点D关于AC互为对顶点，若再满足∠B+∠D=90°，则点B与点D关于AC为互余对顶点．
任务：
如图2，平行四边形ABCD与四边形ABCE有两边重合，AC为两个四边形的对角线，AE=AD=AC，∠ACB=70°．
（1）证明：点B与点E关于AC互为对顶点．
（2）当点B与点E关于AC为互余对顶点时，求∠DCE的度数．
【答案】（1）见解析 （2）∠DCE=20°
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD=CB，根据题意可得， CB=AC．结合定义即可得证；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，∠CAB=∠B=55°，根据平行四边形的性质可得，∠D=∠B=55°．根据新定义可得∠E=90°－∠B=35°，由AE=AC，可得∠ACE=∠E=35°，继而根据∠DCE=∠ACD－∠ACE即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB．
∵AD=AC，
∴CB=AC．
∵AE=AC，
∴点B与点E关于AC互为对顶点．
【小问2详解】
∵CB=AC，∠ACB=70°，
∴∠CAB=∠B=55°．
∵四边形ABCD平行四边形，
∴∠D=∠B=55°．
∵，
∴∠ACD=∠CAB=55°
∵点B与点E关于AC为互余对顶点，
∴∠E=90°－∠B=35°．
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠E=35°，
∴∠DCE=∠ACD－∠ACE=55°－35°=20°．
【点睛】本题考查了几何新定义，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，理解新定义是解题的关键．
22. 请阅读下列材料，完成相应的任务：
无刻度直尺作图：“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．
如图1，已知点P是线段AB的中点，分别以PA、PB为边在AB的同侧作与，其中，，．求作：线段PC的中点E．
按照常规思路，用尺规作线段PC的垂直平分线，垂足即为PC的中点．仔细分析图形，你会发现，只用无刻度的直尺连接线段AD，AD与CP交点E即为PC的中点（如图2）．
证明：连接CD．
，
（依据1），
，
，同理，．
……
（1）【任务1】写出上述证明过程中依据1的内容：________．
（2）【任务2】请补全证明过程．
（3）【任务3】如图，在平行四边ABCD中，点E是CD边的中点．求作：，使的面积与平行四边ABCD的面积相等．（要求：利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写画法．）
【答案】（1）同一个三角形中，等边对等角
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据“同一个三角形中，等边对等角”判定即可．
（2）根据已知易得四边形ACDP是平行四边形，利用平行四边形的性质求解；
（3）连接AE，延长AE交BC的延长线于点Q，即为所求．
【小问1详解】
解：写出上述证明过程中依据1的内容：同一个三角形中，等边对等角．
故答案为：同一个三角形中，等边对等角；
【小问2详解】
证明：连接CD，如图2．
，
（同一个三角形中，等边对等角）．
，
，
同理，．
，
，
．
P是AB的中点，
．
在和中，
，
，
．
∵，
四边形APDC是平行四边形.
，
E是PC的中点；
【小问3详解】
解：如图，即为所求
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23. 如图，过A（0，6），B（6，0）两点的直线与直线y=x交于点F，平行于y轴的直线l从y轴出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿x轴向右平移，到达F点时停止．直线l分别与AB，OF交于点C、D．以CD为斜边向左侧作等腰直角三角形，设与重叠部分图形的周长为p，直线l的运动时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式及点F的坐标．
（2）当点E落在y轴上时，求p的值．
（3）试探究当直线l从y轴出发，向右移动过程中，p与t的函数关系式（直线l在y轴上与经过F点的两种情况不考虑）．
【答案】（1）y=－x+6，点F的坐标为（3，3）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出直线AB的解析式，再将直线AB与直线y=x联立求出交点F的坐标即可；
（2）作EM⊥CD于点M，设点D的坐标为（a，a），根据为等腰直角三角形，求出，由点E在y轴上，求出，再求出周长P；
（3）分两种情况讨论：①当0【小问1详解】
设过A（0，6），B（6，0）两点的直线解析式为y=kx+b，
代入点的坐标，得，
解得k=－1，b=6．
故直线AB的解析式为y=－x+6，
联立方程，得，解得，
∴点F的坐标为（3，3）．
【小问2详解】
过点E作EM⊥CD于点M，
设点D的坐标为（a，a），则C（a，6－a）．
∵为等腰直角三角形，
∴
∵点E在y轴上，
∴，
∴，解得，
∴CD=6－2a=3，，
∴．
【小问3详解】
由（2）可知时，点E恰好在y轴上．
当0点D坐标为，，CD=6－t．
∵△CED为等腰直角三角形，
∴∠CKI=∠ECD=45°
∴，．
同理可得．
∵，
∴，
即．
如图，当3∴，
∴
，
即．
综上，
【点睛】本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的性质、三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
83
85
90
80
85
87
85
a
85
b
乙
86
86
83
84
85
86
c
85.5
d
种类
甲
乙
售价（元/件）
24
30
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
83
85
90
80
85
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a
85
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乙
86
86
83
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种类
甲
乙
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