中考数学一轮考点复习精讲精练专题14 直角三角形、等腰三角形、等边三角形【考点精讲】（2份打包，原卷版+解析版）

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等腰三角形
（1）定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.
（2）性质:①等腰三角形的两腰相等;
②等腰三角形的两底角相等,即“等边对等角”;
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”;
④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴,对称轴是底边的垂直平分线.
（3）判定:
①有两条边相等的三角形是等腰三角形;
②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.
等边三角形
（1）定义:三边相等的三角形是等边三角形.
（2）性质:
①等边三角形的三边相等，三角相等,且都等于60°;
②“三线合一”;
③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
（3）判定:
①三条边都相等的三角形是等边三角形;
②三个角都相等的三角形是等边三角形;
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
直角三角形
（1）性质:
①直角三角形的两锐角互余;
②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;
③直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半.
（2）判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.
（3）勾股定理及其逆定理
①勾股定理:直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方;
②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形.
考点1：等腰三角形的性质与判定
【例1】（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cmB．13cmC．8cm或13cmD．11cm或13cm
【答案】D
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），
则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D
【例2】（2022·浙江台州·中考真题）如图，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在射线 SKIPIF 1 < 0 上（不与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合），连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．下列命题中，假命题是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．
【详解】因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；
因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；
因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；
因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．故选：D．
【例3】（2021·江苏扬州市）如图，在 SKIPIF 1 < 0 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 SKIPIF 1 < 0 ，在网格中再找一个格点C，使得 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．
1．（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（ ）
A．10B．5C．4D．3
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【详解】∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，
∴CD＝5．
故选：B．
2．（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 ．
【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【详解】①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，
∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
3．如图，点P是射线ON上一动点，∠AON＝30°，当△AOP为等腰三角形时，∠A的度数一定不可能是（ ）
A．120°B．75°C．60°D．30°
【分析】分三种情形讨论即可：a、当点O为等腰三角形顶点．b、当点A为等腰三角形顶点．C、当点P为顶点．
【解答】解：当点O为等腰三角形顶点时，∠A＝75°，
当点A为等腰三角形顶点时，∠A＝120°，
当点P为顶点时，∠A＝30°，
综上，∠A的度数为30°或75°或120°，一定不可能等于60°，
故选：C．
4．（2022·云南·中考真题）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____．
【答案】40°或100°
【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°；
当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°；
故答案为：40°或100°．
5．（2022·山东滨州·中考真题）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 SKIPIF 1 < 0 ，立柱 SKIPIF 1 < 0 ，且顶角 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小为_______．
【答案】30°##30度
【分析】先由等边对等角得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根据三角形的内角和进行求解即可．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：30°．
6．如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有 个．
【分析】分别以A、O为圆心AO长为半径画弧，作AO的垂直平分线，即可在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形．
【详解】解：如图所示，分别以A、O为圆心，AO长为半径画弧，与直线PQ的交点B1，B2，B3符合题意；作AO的垂直平分线，与直线PQ的交点B4符合题意，若B2，B3，B4不重合，则最多有4个．
故答案为：4．
7．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．
故答案为6．

考点2：等边三角形的性质与判定
【例4】如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据边三角形纸片ABC的周长为6可求BC=2，根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【详解】解：∵等边三角形纸片ABC的周长为6，∴ SKIPIF 1 < 0
∵E，F是边BC上的三等分点，∴EF= SKIPIF 1 < 0 ，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，
∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是 SKIPIF 1 < 0 ×3=2．故选：B．
【例5】（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解．
【详解】解：添加 SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）．
（1）等边三角形与全等三角形的结合运用;
（2）等边三角形与含30°角的直角三角形的结合运用.
1．如图， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 是中线，延长 SKIPIF 1 < 0 至E，使 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有∠ADB＝∠CDB＝90°，且∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED＝30°，所以就有∠CBD＝∠DEC，即DE＝BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°.由此得出答案解决问题．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，
∵BD是AC上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故ABC均正确．故选：D．
2．如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点在同一直线上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ：下列结论中正确的是（ ）
①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ；④△BPO≌△EDO．
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】B
【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可．
【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠PCQ =∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD =∠BCE，
∴△ACD≌△BCE， ∴①的说法是正确的；
∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC =∠QEC，
∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，
∴PC=QC，∴△CPQ是等边三角形；∴②的说法是正确的；
∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE， SKIPIF 1 < 0 ，
过点C作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴CG=CH，∴ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，∴③的说法是正确的；
无法证明△BPO≌△EDO．∴④的说法是错误的；故答案为①②③，故选B．
3．下列条件不能得到等边三角形的是( )
A．有两个内角是 SKIPIF 1 < 0 的三角形B．有一个角是 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形
【答案】D
【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一个角为60°且两边相等、有两个内角为60°这三个条件中的任意一个条件即为等边三角形，根据这个定义进行逐项分析即可得到答案.
【详解】A、有两个内角是60°，因为三角形内角和是180°，可知另一个角也是60°，故该三角形为等边三角形，故本选项不合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
C、腰和底相等的等腰三角形，即三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
D、等腰三角形中两个底角是相等的，故不能判定该三角形是等边三角形，故本选项符合题意；
故答案为D.
4．（2021·广东）如图，在四边形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，点E是AC的中点，且 SKIPIF 1 < 0
（1）尺规作图：作 SKIPIF 1 < 0 的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为等边三角形．
【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据基本作图—角平分线作法，作出 SKIPIF 1 < 0 的平分线AF即可解答；
（2）根据直角三角形斜边中线性质得到 SKIPIF 1 < 0 并求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据等腰三角形三线合一性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到EF为中位线，进而可证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．
【详解】
解：（1）如图，AF平分 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵AF平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形．
5．（2021·江苏连云港市）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1） SKIPIF 1 < 0 是边长为3的等边三角形，E是边 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，小亮以 SKIPIF 1 < 0 为边作等边三角形 SKIPIF 1 < 0 ，如图1，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
（2） SKIPIF 1 < 0 是边长为3的等边三角形，E是边 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，小亮以 SKIPIF 1 < 0 为边作等边三角形 SKIPIF 1 < 0 ，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3） SKIPIF 1 < 0 是边长为3的等边三角形，M是高 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，小亮以 SKIPIF 1 < 0 为边作等边三角形 SKIPIF 1 < 0 ，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为3，E是边 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，其中点F、G都在直线 SKIPIF 1 < 0 上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．
【答案】（1）1；（2）3；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可证 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，可证 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处时， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在A处时，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合．可得点 SKIPIF 1 < 0 运动的路径的长 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，可证 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处时， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处时，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合．可求点 SKIPIF 1 < 0 所经过的路径的长 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的 SKIPIF 1 < 0 上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理 SKIPIF 1 < 0 即，可求 SKIPIF 1 < 0 ，点G所经过的路径长为 SKIPIF 1 < 0 长= SKIPIF 1 < 0 ，点H所经过的路径长为 SKIPIF 1 < 0 的长 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】
解:（1）∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处时， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在A处时，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合．
∴点 SKIPIF 1 < 0 运动的路径的长 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处时， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处时，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，
∴点 SKIPIF 1 < 0 所经过的路径的长 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）连接CG ,AC ，OB，
∵∠CGA=90°，
∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的 SKIPIF 1 < 0 上运动，
∵四边形ABCD为正方形，BC为边长，
∴∠COB=90°，设OC=x，
由勾股定理 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
点G所经过的路径长为 SKIPIF 1 < 0 长= SKIPIF 1 < 0 ，
点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧 SKIPIF 1 < 0 上运动，
点H所经过的路径长为 SKIPIF 1 < 0 的长度，
∵点G运动圆周的四分之一，
∴点H也运动圆周的四分一，
点H所经过的路径长为 SKIPIF 1 < 0 的长= SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．

考点3：直角三角形的性质
【例6】（2022·广西贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，
∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°；
故选：A．
【例7】（2022·湖南永州）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°，
∵点D为边AC的中点，BD=2
∴AC=2BD=4，
∴BC= SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
1．（2022·广西）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如己知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为 SKIPIF 1 < 0 ，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】分情况讨论，当△ABC是一个直角三角形时，当△AB1C是一个钝角三角形时，根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】如图，当△ABC是一个直角三角形时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
如图，当△AB1C是一个钝角三角形时，
过点C作CD⊥AB1，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
综上，满足已知条件的三角形的第三边长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
2．如图，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点P是 SKIPIF 1 < 0 内一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直角边，点C为直角顶点，作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论：①点A与点D的距离为 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ，其中正确结论有是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①② D．②③④
【答案】C
【分析】连结AD，由等腰 SKIPIF 1 < 0 ，可得AC=BC，等腰 SKIPIF 1 < 0 ，可得CD=CP，由余角性质可∠DCA=∠PCB，可证△ADC≌△BPC（SAS） SKIPIF 1 < 0 可判断①，由勾股定理DP= SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，可证△ADP为等腰直角三角形，可判断②，由PB与PD可求BD=2 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理AB= SKIPIF 1 < 0 ，可判断③，由面积 SKIPIF 1 < 0 可判断④即可
【详解】连结AD，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，∴AC=BC，
∵ SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，∴CD=CP，∴∠ACD+ACP=90°，∠ACP+∠PCB=90°，∴∠DCA=∠PCB，
在△ADC和△BPC中，AC=BC，∠DCA=∠PCB，DC=PC，
∴△ADC≌△BPC（SAS），∴ SKIPIF 1 < 0 ，①点A与点D的距离为 SKIPIF 1 < 0 正确，
在Rt△DCP中，由勾股定理DP= SKIPIF 1 < 0 ，在△ADP中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ADP为等腰直角三角形，∴AD⊥DP，② SKIPIF 1 < 0 正确；
BD=BP+PD=2 SKIPIF 1 < 0 ，在Rt△ADB中，由勾股定理，AB= SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 不正确；
SKIPIF 1 < 0 ，④ SKIPIF 1 < 0 不正确．故选择：C．
3．（2021·河南商丘市·八年级期末）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点F，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是_____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先利用同角的余角相等得到 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，再通过证 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，再 利用三角形内角和得 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，最后利用角的和差即可得到答案， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2020·南通市通州区平潮初级中学初二期中）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= ．
【答案】2．
【解析】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质．
作EG⊥OA于F，
∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°．∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2．
5．（2022·贵州遵义）如图，在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 的值最小时， SKIPIF 1 < 0 的长为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，证明 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图1所示，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
此时如图2所示，
SKIPIF 1 < 0 在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
图1 图2

考点4：勾股定理及其逆定理
【例8】（2022·湖北武汉·中考真题）如图，沿 SKIPIF 1 < 0 方向架桥修路，为加快施工进度，在直线 SKIPIF 1 < 0 上湖的另一边的 SKIPIF 1 < 0 处同时施工．取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的距离是_________ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如图所示：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据勾股定理即可求出 SKIPIF 1 < 0 的长．
【详解】如图所示：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则∠BEC=∠DEC=90°，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴∠BCE=90°-30°=60°，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴∠ECD=45°=∠D，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【例9】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．100B．200C．300D．400
【答案】C
【分析】根据题意 SKIPIF 1 < 0 ，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，那么原式则为 SKIPIF 1 < 0 ，再将AB的值代入即可求出答案．
【详解】解：∵在 SKIPIF 1 < 0 中，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AB为 SKIPIF 1 < 0 的斜边，
∴根据勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
（1）已知直角三角形的两边长，求第三边长.
（2）已知直角三角形的一边长，求另两边长的关系.
（3）用于证明平方关系的问题.
1．（2022·贵州遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】B
【分析】根据题意求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而等面积法即可求解．
【详解】解：在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选B．
2．已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，BD是AC边上的高线， SKIPIF 1 < 0 ，那么BD等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】由题意根据已知可求得AD的长，再根据勾股定理即可求得BD的长．
【详解】解：∵AB=AC=10，DC=2，
∴AD= AC-DC=8，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：C．
3．（2021·广东·高州市长坡中学八年级期中）在直角坐标系中，点A(3，2)到原点的距离是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，AB⊥x轴于点B，
∵A（3，2），
∴OB=3，AB=2，
∴OA= SKIPIF 1 < 0 ，
∴点A（3，2）到原点的距离是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
4．已知，如图长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．12
【答案】C
【分析】首先翻折方法得到ED=BE，再设出未知数，分别表示出线段AE，ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，知道 AE的长度后，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．
【详解】解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，
∴ED=BE，
设AE=xcm，则ED=BE=（9-x）cm，
在Rt△ABE中，
AB2+AE2=BE2，
∴32+x2=（9-x）2，
解得：x=4，
∴△ABE的面积为：3×4× SKIPIF 1 < 0 = 6（cm2），
故选C.
5．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．6B．9C．12D．18
【答案】D
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，据此求解即可．
【详解】解：如图示， SKIPIF 1 < 0
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
6．（2022·湖北黄冈·中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
【答案】m2-1
【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】∵2m为偶数，∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，解得a=m2-1，故答案为：m2-1．
7．（2022·黑龙江齐齐哈尔）在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．
【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．