江苏省常州市武进区前黄实验学校八年级2023-2024学年上学期期中数学试题

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一、选择题（每小题2分，共16分）
1. 下列各选项中，两个三角形成轴对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；进行解答即可．
【详解】解：各选项中，两个三角形成轴对称的是选项A．
故选：A．
【点睛】此题考查了两个图形成轴对称的定义，确定两个图形成轴对称的关键是寻找对称轴，图形两部分对折后可完全重合．
2. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式进行计算即可．
【详解】解：由题意得：
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A. 2cm，3cm，4cmB. 3cm，4cm，5cm
C. 4cm，5cm，6cmD. 5cm，6cm，7cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理依次判断即可.
【详解】A、22+32≠42，故此选项错误；
B、32+42=52，故此选项正确；
C、42+52≠62，故此选项错误；
D、52+62≠72，故此选项错误；
故选B.
【点睛】本题是对勾股定理的考查，熟练掌握勾股定理知识是解决本题的关键.
4. 如图，若△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝4，则CF的长是（ ）

A. 2B. 3C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质求出EF，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，BC＝7，
∴EF＝BC＝7，
∴CF＝EF﹣EC＝3，
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
5. 一个正比例函数的图象经过(2,-1)，则它的表达式为
A. y=-2xB. y=2xC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设该正比例函数的解析式为，再把点代入求出的值即可．
【详解】设该正比例函数解析式为，
正比例函数的图象经过点，
，解得，
这个正比例函数的表达式是．
故选．
【点睛】考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6. 到的三个顶点距离相等的点是的（ ）
A. 三条角平分线的交点B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条高的交点D. 三边中线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定定理．根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”求解即可．
【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：B．
7. 等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（ ）
A. 70°B. 40°C. 70°或40°D. 70°或55°
【答案】D
【解析】
【分析】分①角是这个等腰三角形的顶角，②角是这个等腰三角形的底角两种情况，利用等腰三角形的定义和三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①当角是这个等腰三角形的顶角时，
则它的底角为；
②当角是这个等腰三角形的底角时，
则它的底角为；
综上，它的底角为或，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的内角和定理，正确分两种情况讨论是解题关键．
8. 如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线l运动，设点P的运动时间为t秒，当为锐角三角形时，t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况，时求出的值即可．
【详解】解：分两种情况：
当，如图：
在中，，
∴，
当，如图：
在中，，
∴，
∴当时，为锐角三角形，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了含的直角三角形，分两种情况考虑是解题的关键．
二、填空题（每小题2分，共20分）
9. 实数8的立方根是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据立方根的概念解答．
【详解】∵，
∴8的立方根是2．
故答案为：2
【点睛】本题考查立方根的概念义，正确掌握立方根的概念是解题的关键．
10. 近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上．数据819000用科学记数法表示为__________．
【答案】8.19×105
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：819000=8.19×105，
故答案是：8.19×105．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11. 已知点，则点A关于x轴的对称点的坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．
12. 比较大小： ________＋1．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＜
【解析】
【分析】运用平方法来比较二次根式的大小即可．
详解】∵，
，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了比较二次根式大小的方法，两边同时平方,转化为比较幂的大小，此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小.
13. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°．

【答案】30
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.
【详解】解：∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC=60°，
∴∠B=∠BCF=30°.
故答案为：30.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF.
14. 如图，△ABC中，，，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是________．
【答案】18
【解析】
【详解】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，DC=BC，再根据直角三角形的性质可得DE=EC=AC=6.5，然后可得答案．
【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，DC=BC，
∵BC=10，
∴DC=5，
∵点E为AC的中点，
∴DE=EC=AC=6.5，
∴△CDE的周长为：DC+EC+DE=13+5=18，
故答案为：18．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
15. 如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝98°，∠EAB＝20°，则∠BAD的度数为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理求出，再求出答案即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是能熟记全等三角形的性质．
16. 若一次函数y=（1-m）x+2，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是___________．
【答案】m＞1．
【解析】
【分析】对于一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)，当k＞0时，y随着x的增大而增大；当k＜0时，y随着x的增大而减小．
【详解】解：∵函数值y随着x的增大而减小， ∴1－m＜0，解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的性质，属于基础题型．理解k与增减性的关系是解题的关键．
17. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，且△ABD的面积为2，则△ABC的面积为_________．

【答案】3；
【解析】
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由面积可求得DE，根据角平分线的性质可求得DF，可求得△ACD的面积，进而求△ABC的面积．
【详解】

解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵S△ABD=2
∴ AB•DE=2，
又∵AB=4
∴ ×4×DE=2，解得DE=1，
∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC
∴DF=DE=1，
∴S△ACD= AC•DF= ×2×1=1，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=2+1=3
故答案为3．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
18. 如图，将长方形放置在平面直角坐标系中，点P是折线A－B－C上的动点（点P不与A、C重合），连接，将绕点P顺时针旋转，点O落到点Q处．已知点B坐标为，当时，则点Q坐标为______．

【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形．分两种情况讨论，由旋转的性质和全等三角形的性质可求解．
【详解】解：作于点D，轴于点E，
则四边形是矩形，

∵长方形中，点B坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∵将绕点P顺时针旋转，点O落到点Q处，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点Q坐标为，
当点P在上时，过点Q作，交的延长线于F，
∴，
∵将绕点P顺时针旋转90°，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点，
综上所述：点Q坐标为：或，
故答案为：或．
三、解答题（共64分）
19. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先计算乘方运算法则、算术平方根和绝对值的性质化简，然后相加减即可；
（2）首先根据二次根式性质、负整数指数幂运算法则和零指数幂运算法则求解，然后相加减即可．
【小问1详解】
解：原式
；
小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算、二次根式运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
20. 求x的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用平方根和立方根解方程，
（1）先移项，再直接开平方根，即可解答；
（2）直接开立方根，即可解答，注意开平方根要考虑正负两个答案是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
，
即或，
解得；
【小问2详解】
解：，
，
，
．
21. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．
（1）画出关于直线MN对称的；
（2）的面积为______．
（3）在线段MN上找一点P，使得．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置）
【答案】（1）见解析 （2）3
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用割补法求解即可；
（3）连接，与直线的交点即为所求．
【小问1详解】
如图所示，即为所求．
【小问2详解】
．
故答案为：3；
【小问3详解】
如图所示，点P即为所求．
【点睛】本题考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质．正确掌握轴对称的性质是解题的关键．
22. 如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．

（1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）求种植青菜部分的面积．
【答案】（1）长方形的周长为；
（2）种植青菜部分的面积为．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用．
（1）利用长方形的周长公式，即可列式作答；
（2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜部分的面积，即可列式作答．
【小问1详解】
解：依题意：
长方形的周长
，
所以长方形的周长为；
【小问2详解】
解：依题意：
种植青菜部分的面积
，
所以种植青菜部分的面积为．
23. 如图，和都是等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，连接．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）过点作于点，若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）13．
【解析】
【分析】（1）已知和都是等腰直角三角形，，推出，，，得到，即可证明；
（2）由题意得：，，得到，，由（1），得到，即可求得的度数；
（3）已知，得到，和都是等腰直角三角形，推出．，由（1），得到，在中，利用勾股定理即可求得线段的长．
【小问1详解】
和都是等腰直角三角形，，
，，．
．
．
【小问2详解】
，，
．
．
，
．
．
小问3详解】
，
．
，
和都是等腰直角三角形．
．
．
，
．
在中，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
24. 如图，一次函数的图像经过点、．

（1）根据图像，求一次函数的表达式；
（2）将直线向下平移5个单位后经过点，求的值．
（3）为轴上的一动点，当的面积为15时，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或8
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，，然后利用待定系数法解该函数解析式即可；
（2）首先根据平移的性质“一次函数的图像向左平移个单位是，向右平移个单位是；向上平移个单位是，向下平移个单位是”求得直线平移后的解析式，然后将点代入，求解即可；
（3）设该一次函数与轴交于点，首先求得点坐标，然后结合的面积为15，可得，然后整理并求解，即可获得答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，，，
将点的坐标代入，
可得，解得，
∴该函数解析式为；
【小问2详解】
将直线向下平移5个单位后得到，即，
∵经过点，
∴，
解得；
【小问3详解】
设该一次函数与轴交于点，如下图，

对于一次函数，
令，则有，
即，
根据题意，的面积为15，
则有，
即，
∴，
解得或8．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像与坐标轴交点、一次函数平移的性质等知识，正确求得一次函数解析式并运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
25. 课本再现
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成－一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：
类比迁移
（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为 ．
方法运用
（3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若，，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长．
（4）如图4，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为 ．
【答案】（1）见解析；（2）13；（3）20；（4）
【解析】
【分析】（1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解；
（2）根据，即可求解；
（3）求出，进而求出，，即可求解；
（4）过点E作，过点G作，表示出，，即可求解．
【详解】（1）
∴
∴
（2）∵，
∴
∴
（3）∵，
∴
∵
∴
∴
由图易证：
∴
即：
∴
∴根据勾股定理得：
∴
∴
∴根据对称性可知：“帽子”外围轮廓（实线）的周长为：
（4）如图：过点E作，过点G作，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查勾股定理的几何应用，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理．
26. 如图①，在长方形ABCD中，已知AB=20，AD=12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，
①请直接写出AQ长的取值范围： ；
②是否存在这样的t的值，使得QE=QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t=2；（2）①12≤AQ≤20；②存在这样的t值，使得QE=QB，t的值为3.6或10．
【解析】
【分析】（1）先证明∠APD=∠EPA=∠PAB，得AB=PB=20，根据勾股定理得PC=16，由PD=4=2t，可得结论；
（2）①分别计算两个边界点：由（1）知：t=2时，AQ=20，当AQ最小时，PQ⊥AB，此时AQ=12，可得结论；
②分两种情况：点E在矩形的内部和外部，根据等量关系列方程可解答．
【详解】（1）如图1，
∵AB∥CD，

∴∠DPA=∠PAB，
由轴对称得：∠DPA=∠EPA，
∴∠EPA=∠PAB，
∴BP=AB=20，
在Rt△PCB中，由勾股定理得：PC==16，
∴PD=4=2t，
∴t=2；
（2）①由（1）可知：当t=2时，Q与B重合，此时AQ=AB=20，
如图2，当PQ⊥AB时，E与Q重合，此时AQ=AD=12，

∴12≤AQ≤20，
故答案为：12≤AQ≤20；
②存在，分两种情况：
当点E在矩形ABCD内部时，如图3，

∵QE=PQ﹣PE=PQ﹣DP=PQ﹣2t，
∵QE=QB，PQ=AQ，
∴QB=AQ﹣2t，
∵AQ+BQ=AB=20，
∴AQ+AQ﹣2t=20，
∴AQ=10+t，
在Rt△EQA中，AQ=10+t，QE=AQ﹣2t=10-t，AE=12，
∴，
解得：t=3.6；
当点E在矩形ABCD的外部时，如图4，

∵QE=PE﹣PQ=DP﹣PQ=2t﹣PQ，
∵QE=QB，PQ=AQ，
∴BQ=2t﹣AQ，
∴AB﹣AQ=2t﹣AQ，
∴AB=2t，
∴t==10（此时P与C重合），
综上，存在这样的t值，使得QE=QB，t的值为3.6或10．
【点睛】本题考查了四边形综合题、矩形的性质、几何动点问题，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用轴对称的性质解决问题，属于中考压轴题．