江苏省宿迁市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(含解析)

这是一份江苏省宿迁市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
一、选择题
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．4，5，6C．5，12，13D．11，60，61
3．用直尺和圆规作一个已知角的平分线是数学中的一个基本作图．例如，用直尺和圆规作的平分线，具体做法：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线、于点C、D；
②分别以点C、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点M；
③作射线，射线就是的平分线．
证明这种作图方法之所以正确，那是因为我们可以证明，其数学依据是（ ）．
A．B．C．D．
4．如图，，若要使，还需要添加一个条件，则这个条件不能是（ ）．
A．B．C．D．
5．如图，在中，平分，，垂足为点E．若的面积为16，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
6．如图，若点D在上，，则下列结论中不一定成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
7．如图，在中，，，过点C的直线与交于点D，且将的面积分成相等的两部分，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．50B．62C．65D．68
二、填空题
9．在中，，若，，则 ．
10．如图，中，，，则的度数是 ．

11．如图，在中，斜边上的中线，则 ．
12．在中，，，若，则的度数为 ．
13．等腰三角形的两条边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长是 ．
14．墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 ．
15．等边三角形是一个轴对称图形，它有 条对称轴．
16．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
17．如图，在中，，，分别以为一边向外部作正方形，它们的面积分别为、，则的值为 ．
18．如图，的三边，，的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则 ：：
三、解答题：
19．如图，点在一条直线上，且，，．求证：．
20．如图，点D、E在BC上，且，．求证：．
21．如图，在中，，的平分线交于点，为的中点．若，，求的长．
22．如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（请保留作图痕迹）
23．如图，已知BE⊥CD，BE=DE，BC=AD．
(1)求证：△BEC≌△DEA；
(2)求∠DFC的度数．
24．图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
25．如图，四边形中，，E是对角线的中点，连接、．若，， 求的周长．
26．一架梯子长米，如图斜靠在墙上，梯子的底部离墙的底端的距离为米．

(1)求梯子的顶端与地面的距离；
(2)如果梯子的顶端上升了米，那么梯子底部在水平方向是不是也向墙的底端靠近了米？为什么？
27．如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点M，与相交于点N．
求证：

(1)；
(2)是等边三角形．
28．看图解答：

(1)如图1，将含的三角板的直角顶点D放置在含的直角三角板的斜边的中点位置上，两直角边分别交、于M、N，利用三角形的全等，发现与数量关系是________；若，，，y与x的关系式为________；
(2)若将三角板绕顶点D旋转，两直角边分别与、的延长线交于M、N，如图2，（1）中的与数量关系是否改变？并说明理由；
(3)若将三角板的顶点D从中点处沿方向平移、旋转至，如图3，其余条件不变，求证：．


参考答案与解析
1．B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A. 不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，故此项不符合题意；
B. 能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，故此项符合题意；
C. 不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，故此项不符合题意；
D. 不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，故此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，熟记轴对称图形的定义是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查了勾股数的定义，熟记定义是解本题的关键．
【详解】解：A、，是勾股数，不符合题意；
B、，不是勾股数，符合题意；
C、，是勾股数，不符合题意；
D、，是勾股数，不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】根据判定即可．
【详解】解：根据题意得：，
因为,
所以，
依据是，
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图的依据，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
4．A
【分析】全等三角形的判定定理有，，，，根据以上内容判断即可．
【详解】解：A.根据，，，不能推出和全等，故A符合题意；
B.∵在和中，
∴，故B不符合题意；
C.∵在和中，
∴，故C不符合题意；
D.∵在和中，
∴，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
5．C
【分析】过点D作，垂足为F，先利用三角形的面积公式求出，然后再利用角平分线的性质可得，即可解答．
【详解】
解：过点D作，垂足为F，
的面积为16，，
，
，
平分，，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．D
【分析】根据全等三角形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质，求出，再得出选项即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∵
∴，
∴，
无法得出，
即选项A、选项B、选项C正确，选项D不一定正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
7．C
【分析】先根据题意得出为的中线，再根据直角三角形斜边中线等腰斜边的一半，得出，即可得出，根据三角形内角和定理得出答案即可．
【详解】解：∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，且将的面积分成相等的两部分，
∴为的中线，
∴，
∴，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和的应用，三角形中线的性质，解题的关键是根据题意得出为的中线．
8．A
【分析】由，，，可以得到，而，由此可以证明，所以，；同理证得，，，故，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
【详解】∵且，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
同理证得，，，
故，
故．
故选：A．
【点睛】本题考查的全等三角形的判定的相关知识点，作辅助线是本题的关键．
9．
【分析】直接根据勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，若，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理解直角三角形是解本题的关键．
10．##80度
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理求角度是解题的关键．
由等边对等角可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．10
【分析】根据直角三角形斜边上中线性质得出AB=2CD，代入求出即可．
【详解】解：∵CD是直角三角形ABC斜边AB上的中线，CD=5，
∴AB=2CD=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12．##75度
【分析】先根据三角形内角和定理求出，然后根据全等三角形的性质求出．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应角相等．
13．15
【分析】分两种情况讨论，当3为底时和当3为腰时，再求和即可；本题主要考查等腰三角形的知识，熟练掌握构成三角形的定义是解题的关键．
【详解】解：①当3为底时，其它两边都为6，
3、6、6可以构成三角形，
周长为：．
②当3为腰时，其它两边为3和6，
,
不能构成三角形，故舍去，
故答案为：15．
14．12：51
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：51．
故答案为：12：51．
【点睛】本题考查镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧．
15．3
【分析】根据轴对称图形的概念识别和等边三角性质的性质回答即可．
【详解】解：∵等边三角形三条边上的高线所在直线均为对称轴，
∴等边三角形有3条对称轴．
故答案为3．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及轴对称图形的判断，熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．
16．55°
【分析】根据∠BAC＝∠DAE能够得出∠1＝∠EAC，然后可以证明△BAD≌△CAE，则有∠2＝∠ABD，最后利用∠3＝∠1+∠ABD可求解．
【详解】∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．
17．
【分析】设，则，根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：设，
则
又∵在中，，，
∴
∴的值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
18．4：6：5
【分析】过点作三边的高，根据角平分线性质得到 ，根据三角形面积公式得到面积之比等于三边之比即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，于点，于点，
、、是的三条角平分线，
，
，，的长分别为40，50，60，
：：：：：：4：6：5
故答案为：4：6：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握辅助线的做法，注意数形结合思想的运用是解题关键．
19．见详解
【分析】利用“”证明，然后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握常用的全等三角形判定方法．
20．证明见解析
【分析】先根据等腰三角形的等边对等角得到，再得出，然后根据全等三角形的判定即可证得结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键．
21．5
【分析】根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出．
【详解】解：，的平分线交于点，
，，
由勾股定理得，，
为的中点，
．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
22．如图，点P为所作．
【分析】本题考查了作图，分别作线段的垂直平分线和角平分线，根据角平分线上的点到线段两端的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到它们的交点，熟知角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】连接，作的垂直平分线，
作的角平分线，
两线交于，此时点为所求灯柱位置，如图所示：
23．(1)见解析
(2)∠DFC=90°．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△BEC≌Rt△DEA；
（2）由全等三角形的性质可得∠B=∠D，由三角形内角和定理可求∠DFC=90°．
【详解】（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEA=90°，
在Rt△BEC和Rt△DEA中：
，
∴Rt△BEC≌Rt△DEA（HL）；
（2）解：∵Rt△BEC≌Rt△DEA，
∴∠B=∠D，
∵∠DAE=∠BAF，
∴∠BFA=∠DEA=90°，
∴∠DFC=90°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．
【分析】连接，根据勾股定理求出的长，然后运用勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据即可得出答案．
【详解】：连接，
，，，
，
，即，
是直角三角形，且，
．
【点睛】本题考查了勾股定理以及其逆定理，作出辅助线构造直角三角形是解本题的关键．
25．18
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，进而求解的周长即可．
【详解】∵
∴和是直角三角形
∵E是对角线的中点
∴
∵
∴的周长．
【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
26．(1)米；
(2)梯子底部在水平方向不是也向墙的底端靠近了4．0米；原因见解析．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）根据勾股定理求出的长即可；
（2）根据梯子的顶端上升米后，梯子底部在水平方向移动的距离，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据勾股定理可得，梯子的顶端与地面的距离为：
（米），
答：梯子的顶端与地面的距离为米．
（2）解：梯子的顶端上升米后，梯子的顶端与地面的距离为：
（米），
此时梯子的底部离墙的底端的距离为：
（米），
梯子底部在水平方向移动的距离为：
（米），
∵，
∴梯子底部在水平方向不是也向墙的底端靠近了米．

27．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明，则；
（2）由（1）得：，即，证明，则，进而可证是等边三角形．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得：，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
28．(1)；；
(2)与数量关系不变，理由见解析；
(3)见解析．
【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是根据判定，据此得出对应边相等．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
（1）根据是等腰直角三角形，且是的中点，得出，即可得到，且，再根据，即可得到，进而可得答案；
（2）根据是等腰直角三角形，且是的中点，证明出，即可得到；
（3）根据，得到，，，再根据是等腰直角三角形，可知，可得，可知是等腰三角形，求得的度数，进而得到的度数，最后根据是直角，求得，即可得到，据此得出结论．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，且D是的中点，
∴，，，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，且，
∵，
∴，
即，
∴y与x的关系式为；
故答案为：；；
（2）解：与数量关系不变．
理由如下：∵是等腰直角三角形，且D是的中点，
∴，，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．