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2023-2024学年海南省海口市八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）
展开这是一份2023-2024学年海南省海口市八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.(−4)2的平方根是( )
A. 16B. 4C. ±4D. ±2
2.下列说法中，正确的是( )
A. 16=±4B. −32的算术平方根是3
C. 1的立方根是±1D. − 7是7的一个平方根
3.若a=5+ 15，b=3+ 17，c=1+ 19，则a、b、c的大小关系是( )
A. c
A. a2⋅a3B. a3+a3C. a12÷a2D. (−a3)2
5.下列算式计算结果为x2−x−12的是( )
A. (x+3)(x−4)B. (x−3)(x+4)C. (x−3)(x−4)D. (x+3)(x+4)
6.已知a−b=1，a2+b2=25，则ab的值为( )
A. 6B. 12C. 13D. 24
7.已知等腰三角形的两边长分别是4cm和8cm，则周长为( )
A. 16cmB. 20cmC. 16cm或20cmD. 24cm
8.下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是( )
A. 三条边的比为2：3：4B. 三条边满足关系a2=b2−c2
C. 三条边的比为1：1： 2D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A
9.如图，O是△ABC内一点，OA=OB=OC，∠BAC=70∘，则∠1等于( )
A. 20∘
B. 30∘
C. 35∘
D. 40∘
10.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠C=90∘，E是BC上一点，AE、ED分别平分∠BAD、∠CDA，若AB=12，DC=4，则AD等于( )
A. 12
B. 16
C. 18
D. 20
11.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
12.如图，在5×5的正方形网格中，点A、B都在格点处，若以线段AB为腰的等腰三角形ABC另一顶点C也在格点处，则点C所处的位置个数为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.计算：(−2x2y)⋅(3xy2)2=______.
14.根据图，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式______.
15.如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点D、E分别在BC、AC上(点D不与B、C两点重合)，且∠1=∠C，若AD=DE，则AE的长为______.
16.如图，△ABC是边长为5的等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，若BD=2，则DF的长为______.
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题17分)
计算：
(1)(3x−1)(2x+3)−(−3x)2；
(2)5a(a−2b)−(a−5b)2；
(3)先化简，再求值：[(xy−2)2−(2−xy)(2+xy)−2xy]÷(−4xy)，其中x=3，y=2.
18.(本小题10分)
把下列多项式分解因式：
(1)32a−2ab2；
(2)(x+3y)2−12xy.
19.(本小题8分)
我市某中学举行了“科普知识”竞赛，为了解此次“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如图的不完整的统计表和统计图(图1，图2).
请根据图表信息解答以下问题：
(1)一共抽取了______个参赛学生的成绩，表中c=______；
(2)补全频数分布直方图(图1)；
(3)扇形统计图中“C”对应的圆心角为______度.
20.(本小题9分)
如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DG//AC交BC于G.求证：
(1)△GDF≌△CEF；
(2)△ABC是等腰三角形．
21.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90∘.
(1)利用直尺和圆规，按下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法).
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②作线段CD的垂直平分线，交BC于点E，交AC于点F，连接DF.
(2)在(1)作出的图形中，若BD=5，FC=3，求四边形BCFD的周长.
22.(本小题16分)
如图1，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，AD⊥BC于点D，E、F两点分别在AD和DC上，且DE=DF，连接EF、BE、AF.
(1)求证：△BED≌△AFD；
(2)将△EDF绕点D顺时针旋转.
①如图2的位置，BE与AD、AF分别交于点H、G，猜想BE与AF有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由；
②如图3的位置，A、E、F三点恰好在一条直线上，连接CF.求证：BE=EF+FC；BE//CF.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵(−4)2=16，
∴16的平方根是±4.
故选：C.
根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了立方根、平方根及算术平方根的定义及求法，属于基础题，较简单．
根据立方根、平方根及算术平方根的定义逐项作出判断即可．
【解答】
解：A、 16=4，故本选项错误；
B、−32=−9，根据负数没有平方根可知−32没有算术平方根，故本选项错误；
C、1的立方根是1，故本选项错误；
D、− 7是7的一个平方根，故本选项正确．
故选D.
3.【答案】A
【解析】解：∵a=5+ 15，b=3+ 17，c=1+ 19，
∴a2=40+10 15，b2=26+6 17，c2=20+2 19，
∵a2>b2>c2，
∴a>b>c，
故选：A.
分别给a，b，c平方，再比较大小即可．
本题考查了实数的大小比较，比较时数的大小的方法有：求差法、平方法以及近似值法．
4.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故此选项不合题意；
B、a3+a3=2a3，故此选项不合题意；
C、a12÷a2=a10，故此选项不合题意；
D、(−a3)2=a6，故此选项符合题意．
故选：D.
直接利用合并同类项以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的法则.
利用多项式乘多项式法则即可得到结果．
【解答】
解：A.(x+3)(x−4)=x2−x−12，符合题意；
B.(x−3)(x+4)=x2+x−12，不符合题意；
C.(x−3)(x−4)=x2−7x+12，不符合题意；
D.(x+3)(x+4)=x2+7x+12，不符合题意．
故选：A.
6.【答案】B
【解析】解：∵a−b=1，a2+b2=25，
∴(a−b)2=12=1，
a2+b2−2ab=1，
25−2ab=1，
2ab=24，
∴ab=12，
故选：B.
先把a−b=1的左右两边同时平方，然后利用完全平方公式展开，求出ab即可．
本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握应用完全平方公式进行解答．
7.【答案】B
【解析】解：当腰长为4cm时，4+4=8cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为8cm时，符合三边关系，其周长为8+8+4=20cm.
故该三角形的周长为20cm.
故选B.
题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．应向学生特别强调．
8.【答案】A
【解析】解：A、三条边的比为2：3：4，22+32≠42，故不能判断一个三角形是直角三角形；
B、三条边满足关系a2=b2−c2，即a2+c2=b2，故能判断一个三角形是直角三角形；
C、三条边的比为1：1： 2，12+12=( 2)2，故能判断一个三角形是直角三角形；
D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90∘，故能判断一个三角形是直角三角形．
故选：A.
根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90∘即可．
9.【答案】A
【解析】解：∵OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠1=∠OCB，∠OAC=∠OCA，
∵∠BAC=70∘，
∴∠OAB+∠OAC=70∘，
∴∠OBA+∠OCA=70∘，
∴∠1+∠OCB=180∘−∠BAC−(∠OBA+∠OCA)=40∘，
∴∠1=∠OCB=20∘，
故选：A.
利用等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA，∠1=∠OCB，∠OAC=∠OCA，从而可得∠OBA+∠OCA=70∘，然后利用三角形内角和定理可得∠1+∠OCB=40∘，从而可得∠1=∠OCB=20∘，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，过点E作EF⊥AD于点F，
∵AB//CD，∠C=90∘，
∴∠B+∠C=180∘，
∴∠B=90∘，
∴AB⊥BE，
∵AE、ED分别平分∠BAD、∠CDA，
∴BE=FE，EF=EC，
在Rt△ABE和△Rt△AFE中，
AE=AEEB=EF，
∴Rt△ABE≌△Rt△AFE(HL)，
∴AB=AF=12，
在Rt△CDE和△Rt△FDE中，
ED=EDEC=EF，
∴Rt△CDE≌△Rt△FDE(HL)，
∴CD=FD=4，
∴AD=AF+FD=12+4=16，
故选：B.
过点E作EF⊥AD于点F，根据角平分线的性质证明Rt△ABE≌△Rt△AFE，得AB=AF=12，证明Rt△CDE≌△Rt△FDE(HL)，得CD=FD=4，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到Rt△ABE≌△Rt△AFE.
11.【答案】C
【解析】解：设正方形D的面积为x，
∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，
∴根据图形得：2+4=x−3，
解得：x=9，
故选：C.
设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4=x−3，求出即可．
本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意得出方程．
12.【答案】D
【解析】解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有6个．
故选：D.
根据网格结构，分别以A、B为圆心，AB为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数．
本题考查了等腰三角形的性质，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
13.【答案】−18x4y5
【解析】解：(−2x2y)⋅(3xy2)2
=(−2x2y)⋅(9x2y4)
=−18x4y5，
故答案为：−18x4y5.
根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计算．
本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
14.【答案】(a+b)2=(a−b)2+4ab
【解析】解：根据题意得：
(a+b)2=(a−b)2+4ab.
故答案为：(a+b)2=(a−b)2+4ab.
本题需先根据题意，再结合图形列出式子，即可求出答案．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，在解题时要根据题意和图形进行解答是本题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：∵AB=AC=4，
∴∠B=∠C，
∴∠BAD+∠ADB=180∘−∠B，
∵∠1=∠C，
∴∠B=∠1，
∴∠ADB+∠EDC=180∘−∠1，
∴∠BAD=∠EDC，
∵AD=ED，
∴△ABD≌△DCE(AAS)，
∴AB=CD=4，BD=CE，
∵BC=6，
∴CE=BD=BC−CD=6−4=2，
∴AE=AC−CE=4−2=2，
故答案为：2.
根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，从而可得∠B=∠1=∠C，然后利用一线三等角构造全等△ABD≌△DCE，从而利用全等三角形的性质可得AB=CD=4，BD=CE=2，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：∵△ABC是边长是5的等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60∘，BC=5，
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60∘，
∴∠DEC=180∘−60∘−60∘=60∘，
∴△EDC是等边三角形，
∴DE=CD，
∵BD=2，
∴CD=BC−BD=5−2=3，
∴DE=CD=3，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90∘，
∴∠F∠=90∘−∠EDC=30∘，
∴DF=2DE=6.
故答案为：6.
由等边三角形的性质推出∠B=∠ACB=60∘，BC=5，由平行线的性质推出∠EDC=∠B=60∘，求出∠DEC=180∘−60∘−60∘=60∘，判定△EDC是等边三角形，得到DE=CD，求出CD=BC−BD=3，得到DE=CD=3，由垂直的定义得到∠DEF=90∘，求出∠F∠=90∘−∠EDC=30∘，由含30度角的直角三角形的性质得到DF=2DE=6.
本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形，关键是判定△EDC是等边三角形，由含30度角的直角三角形的性质得到DF=2DE.
17.【答案】解：(1)原式=6x2+9x−2x−3−9x2=−3x2+7x−3；
(2)原式=5a2−10ab−(a2−10ab+25b2)
=5a2−10ab−a2+10ab−25b2
=4a2−25b2；
(3)原式=[(x2y2−4xy+4)−(4−x2y2)−2xy]÷(−4xy)
=(x2y2−4xy+4−4+x2y2−2xy)÷(−4xy)
=(2x2y2−6xy)÷(−4xy)
=−12xy+32，
当x=3，y=2时，原式=−12×3×2+32=−32.
【解析】(1)根据多项式乘多项式、积的乘方、合并同类项计算；
(2)根据单项式乘多项式、完全平方公式计算；
(3)根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)32a−2ab2
=2a(16−b2)
=2a(4−b)(4+b)；
(2)(x+3y)2−12xy
=x2+6xy+9y2−12xy
=x2−6xy+9y2
=(x−3y)2.
【解析】(1)先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可；
(2)先将整式化简，再用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握公式法、提取公因式法因式分解的方法是解题的关键．
19.【答案】40 12 108
【解析】解：(1)本次抽取的学生有：14÷35%=40(个)，
c=40−6−8−14=12(个)，
故答案为：40，12；
(2)由(1)知，c=12，
补全的频数分布直方图如图所示；
(3)360∘×1240=108∘，
即扇形统计图中“C”对应的圆心角度数是108∘.
故答案为：108.
(1)根据D组的频数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可得c的值；
(2)根据(1)中c的值和频数分布表，可以将频数分布直方图补充完整；
(3)根据频数分布表中C组的频数和(1)中的结果，可以计算出扇形统计图中“C”对应的圆心角度数．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】证明：(1)∵DG//AC
∴∠GDF=∠CEF(两直线平行，内错角相等)，
在△GDF和△CEF中
∠GDF=∠CEFDF=EF∠DFG=∠CFE，
∴△GDF≌△CEF(ASA)；
(2)由(1)△GDF≌△CEF得DG=CE
又∵BD=CE，
∴BD=DG，
∴∠DBG=∠DGB，
∵DG//AC，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】(1)利用平行线的性质得出∠GDF=∠CEF进而利用ASA得出△GDF≌△CEF；
(2)利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，比较简单，判定两三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，需要熟练掌握．
21.【答案】解：(1)①如图，射线CD即为所求；
②如图，直线EF即为所求．
(2)连接DE.
∵CD平分∠ACB，∠ACB=90∘，
∴∠DCF=∠DCE=45∘，
∵EF垂直平分线段CD，
∴FD=FC，ED=EC，
∴∠EDC=∠DCE=45∘，∠FDC=∠DCF=45∘，
∴∠DEC=∠DFC=90∘，
∴四边形DECF是矩形，
∵ED=EC，
∴四边形DECF是正方形，
∴DE=EC=DF=CF=3，
∵∠BED=90∘，DB=5，
∴BE= DB2−DE2= 52−32=4，
∴BC=BE+EC=7，
∴四边形BCFD的周长=BC+CF+DF+BD=7+3+3+5=18.
【解析】(1)①根据题意作出∠ACB的角平分线CD即可；
②根据线段的垂直平分线的作法作出图形；
(2)连接DE，证明四边形DECF是正方形，可得结论．
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】(1)证明：∵在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=AD=DC，∠BDE=∠ADF=90∘，
又∵DE=DF，
∴△BED≌△AFD(SAS)；
(2)解：①猜想：BE=AF，BE⊥AF.
证明：∵△BDA和△EDF为等腰直角三角形，
∴BD=AD，ED=FD，∠BDH=∠EDF=90∘，
∴∠BDH+∠ADE=∠EDF+∠ADE，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BED≌△AFD(SAS)，
∴BE=AF，∠DBE=∠DAF，
∵∠BHD=∠AHG，∠BDH=90∘，
∴∠BGA=90∘，
即BE⊥AF.
②证明：∵AD=CD，ED=FD，∠ADC=∠EDF=90∘，
∴∠ADC−∠EDC=∠EDF−∠EDC，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF.
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CF+EF，
由(2)①知BE=AF，
∴BE=EF+CF，
∵△EDF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45∘，
∴∠AED=135∘，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠CFD=∠AED=135∘，
∴∠AFC=∠CFD−∠DFE=135∘−45∘=90∘，
∴CF⊥AF.
由(2)①知BE⊥AF，
∴BE//CF.
【解析】(1)根据SAS可证明△BED≌△AFD；
(2)①证明△BED≌△AFD(SAS)，由全等三角形的性质得出BE=AF，∠DBE=∠DAF，则可证出结论；
②证明△ADE≌△CDF(SAS)，得出AE=CF.证出AE+EF=CF+EF，证出CF⊥AF.由(2)①知BE⊥AF，则可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．组别
成绩x/分
频数
A组
60≤x<70
6
B组
70≤x<80
b
C组
80≤x<90
c
D组
90≤x<100
14
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