2023-2024学年海南省儋州市八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年海南省儋州市八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a5B. (a−b)2=a2−b2
C. (a2)3=a5D. 3 5− 5=3
2.某班共有学生40人，其中10月份生日的学生人数为8人，则10月份生日学生的频数和频率分别为( )
A. 10和25%B. 25%和10C. 8和20%D. 20%和8
3.下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是( )
A. 全等三角形的对应角相等B. 等边三角形是锐角三角形
C. 两直线平行，同位角相等D. 对顶角相等
4.下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )
A. a2b+ab2=ab(a+b)B. x2+2x+3=x(x+2)+3
C. (a−b)(m−n)=(b−a)(n−m)D. (x+1)(x−1)=x2−1
5.计算−21x2y3÷7x2y的结果是( )
A. 3xB. −3xC. 3y2D. −3y2
6.如图所示，在△ABC中，∠B=55∘，∠C=30∘，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为( )
A. 45∘B. 55∘C. 60∘D. 65∘
7.如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口(到A、B、C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )
A. △ABC三边垂直平分线的交点
B. △ABC三条角平分线的交点
C. △ABC三条高所在直线的交点
D. △ABC三条中线的交点
8.如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙AD=24cm，CE=12cm.木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在DE上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离DE为( )
A. 48cmB. 42cmC. 38cmD. 36cm
9.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推4m至C处时(即水平距离CD=4m)，踏板离地的垂直高度CF=3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( )
A. 4mB. 5mC. 6mD. 8m
10.如图，△ABC中，∠ABC=30∘，BC=6，点D是BC边上一点，且BD=2，点P是线段AB上一动点，则PC+PD的最小值为( )
A. 2 7
B. 2 5
C. 2 3
D. 3 3
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.4的平方根是______，−27的立方根是______.
12.因式分解：x2−4=__________.
13.如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为______.
14.如图，在四边形ABCD中，BC//AD，∠BAD和∠ABC的角平分线恰好与CD交于点P.若∠BAD=70∘，
则∠ABP的度数为__________度，若AB=8，BC=2，则AD=__________.
三、解答题：本题共6小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题24分)
计算题：
(1)a⋅a5÷a3；
(2)(2x+3)(x−2)；
(3)3xy⋅(−2x3y)2÷(−6x5y3)；
(4)(2x−y)2+x(4y−3).
16.(本小题10分)
先化简，再求值：(a−2)(a+2)−a(a−2)，其中a=3.
17.(本小题10分)
在等腰△ABC中，三边长分别是a，b，c，并且满足a2−8a+16+|b−2|=0，求△ABC的周长.
18.(本小题10分)
儋州市在创建全国文明城市期间，我市某中学八年级开展创文明知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
八年级抽取部分学生成绩的频率分布表
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)本次总共调查的人数是______人；
(2)表中a=______，b=______；
(3)已知该校八年级共有500名学生参加这次竞赛，且成绩在90分以上(含90分)的成绩为优秀，估计该年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？
19.(本小题10分)
为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地.经学校课外实践活动小组测量得到：∠BAD=90∘，AD=3m，AB=4m，BC=13m，CD=12m.根据你所学过的知识，解决下列问题：
(1)四边形ABCD的面积；
(2)点D到BC的距离.
20.(本小题14分)
如图，把两个大小不同的等腰直角△ABC，△ADE如图所示摆放，使得点D、A、B在同一直线上，连结CD，BE.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)如图1，将△ABC绕着点A顺时针旋转某个角度后，使得点B、C、E在同一直线上，CD与AE交于点O.
①求证：△ABE≌△ACD；
②求证：DC⊥BE；
③连结BD，如图2，若BC=CE=2，求△ABD的面积.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故此选项正确；
B、(a−b)2=a2−2ab+b2，故此选项错误；
C、(a2)3=a6，故此选项错误；
D、3 5− 5=2 5，故此选项错误；
故选：A.
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及完全平方公式、二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及完全平方公式、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵某班共有学生40人，其中10月份生日的学生人数为8人，
∴10月份生日学生的频数和频率分别为：8、840=0.2.
故选：C.
直接利用频数与频率的定义分析得出答案．
此题主要考查了频数与频率，正确掌握相关定义是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意；
B、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，错误，为假命题，不符合题意；
C、逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，符合题意；
D、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
故选：C.
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．
4.【答案】A
【解析】解：A.原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
B.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C.原式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D.原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：A.
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
5.【答案】D
【解析】解：−21x2y3÷7x2y=−3y2，
故选：D.
根据单项式除以单项式的法则计算即可．
本题考查了整式的除法，熟练掌握单项式除以单项式的法则是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，∵∠B=55∘，∠C=30∘，
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=95∘，
由作图可知MN为AC的中垂线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=30∘，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=65∘，
故选：D.
根据内角和定理求得∠BAC=95∘，由中垂线性质知DA=DC，即∠DAC=∠C=30∘，从而得出答案．
本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故选：A.
根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．
此题考查了三角形的外心的概念和性质．熟知三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由题意得AB=BC，∠ABC=90∘，AD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠BEC=90∘，
∴∠ABD+∠CBE=90∘，∠BCE+∠CBE=90∘，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
∠ABD=∠BCD∠ADB=∠BECAB=BC，
∴△ABD≌△BCE(AAS)；
∴AD=BE=24cm，DB=EC=12cm，
∴DE=DB+BE=36cm，
答：两堵木墙之间的距离为36cm.
故选：D.
根据题意可得AB=BC，∠ABC=90∘，AD⊥DE，CE⊥DE，进而得到∠ADB=∠BEC=90∘，再根据等角的余角相等可得∠ABD=∠BCE，再证明△ABD≌△BCE，利用全等三角形的性质进行解答．
此题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件．
9.【答案】B
【解析】解：由题意可知，CF=3m，BE=1m，
∴BD=2m.
设AC的长为x m，则AB=AC=xm，
∴AD=AB−BD=(x−2)m.
在Rt△ACD中，
由勾股定理，得AD2+CD2=AC2，
即(x−2)2+42=x2，
解得：x=5.
故选：B.
设AC的长为x m，则AB=AC=xm，故AD=AB−BD=(x−2)m.在直角△ADC中利用勾股定理即可求解．
本题考查勾股定理的实际应用．找到直角三角形，利用勾股定理即可．
10.【答案】A
【解析】解：过点C作CM⊥AB于M，延长CM到C′，使MC′=MC，连接DC′，交AB于P，连接CP，
此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵∠ABC=30∘，
∴CM=12BC，∠BCC′=60∘，
∴CC′=2CM=BC，
∴△BCC′是等边三角形，
作C′E⊥BC于E，
∴BE=EC=12BC=3，由勾股定理得，C′E= BC2−12BC2= 32BC=3 3，
∵BD=2，
∴DE=1，
根据勾股定理可得DC′= C′E2+DE2= (3 3)2+12=2 7.
故选：A.
先确定DC′=DP+PC′=DP+CP的值最小，然后根据勾股定理计算．
此题考查了路线最短的问题，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是关键．
11.【答案】±2−3
【解析】解：∵22=4，(−2)2=4，
∴4的平方根是±2；
∵(−3)3=−27，
∴−27的立方根是−3.
故答案为±2，−3.
根据平方根的性质和立方根的性质进行求解．
此题考查了平方根的性质和立方根的性质．
正数有两个平方根，且它们互为相反数；负数有一个负的立方根．
12.【答案】(x+2)(x−2)
【解析】解：x2−4=(x+2)(x−2).
故答案为：(x+2)(x−2).
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
13.【答案】4
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，
∵AB=7，AC=3，
∴BE=AB−AE=AB−AC=7−3=4.
故答案为：4.
根据△ABC≌△ADE，得到AE=AC，由AB=7，AC=3，根据BE=AB−AE即可解答．
本题考查全等三角形的性质，解决本题的关键是熟记全等三角形的对应边相等．
14.【答案】55
6

【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质有关知识，延长BP交AD的延长线于点E，先利用平行线的性质可得∠CBP=∠E，∠ABC=110∘，从而利用角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP=55∘，从而可得∠ABP=∠E=∠CBP，进而可得AB=AE=8，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得BP=PE，再根据对顶角相等可得∠CPB=∠DPE，从而利用ASA证明△BCP≌△EDP，从而可得BC=DE=2，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】
解：延长BP交AD的延长线于点E，如图
∵BC//AD，
∴∠CBP=∠E，∠ABC=180∘−∠BAD=110∘，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP=12∠ABC=55∘，
∴∠ABP=∠E=∠CBP，
∴AB=AE=8，
∵AP平分∠BAE，
∴BP=PE，
∵∠CPB=∠DPE，
∴△BCP≌△EDP(ASA)，
∴BC=DE=2，
∴AD=AE−DE=8−2=6
15.【答案】解：(1)a⋅a5÷a3
=a6÷a3
=a3；
(2)(2x+3)(x−2)
=2x2−4x+3x−6，
=2x2−x−6；
(3)3xy⋅(−2x3y)2÷(−6x5y3)
=3xy⋅4x6y2÷(−6x5y3)
=12x7y3÷(−6x5y3)
=−2x2；
(4)(2x−y)2+x(4y−3)
=4x2−4xy+y2+4xy−3x
=4x2+y2−3x.
【解析】(1)按照从左到右的顺序进行计算，即可解答；
(2)利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
(3)先算乘方，再算乘除，即可解答；
(4)利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】解：(a−2)(a+2)−a(a−2)
=a2−4−a2+2a
=2a−4，
当a=3时，原式=2×3−4
=6−4
=2.
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：∵a2−8a+16+|b−2|=0，
∴(a−4)2+|b−2|=0，
∵(a−4)2≥0，|b−2|≥0，
∴a−4=0，b−2=0，
∴a=4，b=2，
∵等腰△ABC三边长分别是a，b，c，
∴有以下两种情况，
①当a=4为底边时，b，c为腰，此时b=c=2，
∵b+c=4=a，
∴a，b，c不能构成三角形，
∴此种情况不存在；
②当b=2为底边时，a，c为腰，此时a=c=4，
∵b+c=6>a，
∴a，b，c能构成三角形，
∴△ABC的周长为：a+b+c=4+2+4=10.
【解析】此题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系．
首先将已知a2−8a+16+|b−2|=0转化为(a−4)2+|b−2|=0，再利用非负数的性质求出a=4，b=2，然后在分两种情况讨论即可得出△ABC的周长．
18.【答案】50180.28
【解析】解：(1)2÷0.04=50，
答：本次总共调查的人数是50；
故答案为：50；
(2)a=50×0.36=18，b=14÷50=0.28，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：18，0.28；
(3)500×(0.36+0.28)=320(人)，
答：估计该年级学生成绩为优秀的大约有320人．
(1)用“75≤x<80”的频数除以它的频率0.04可得样本容量；
(2)根据频数分布表中的数据，依据频数、频率、数据总数之间的关系可得a、b的值，根据a的值可以将频数分布直方图补充完整；
(3)用七年级的人数乘样本中成绩为优秀的学生所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图1，连接BD，
∵∠BAD=90∘，AD=3m，AB=4m，
∴BD= AB2+AD2= 42+32=5(m)，
∵52+122=132，
∴BD2+CD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90∘，
∴S四边形ABCD=SRt△ABD+SRt△BDC=12AB⋅AD+12BD⋅CD=12×(4×3+5×12)=36(m2)，
答：四边形土地的面积为36m2；
(2)如图2，过点D作DE⊥BC于点E，
由(1)可知，△BDC是直角三角形，∠BDC=90∘，
∴S△BDC=12BC⋅DE=12BD⋅CD，
∴DE=BD⋅CDBC=5×1213=6013(m)，
答：点D到BC的距离为6013m.
【解析】(1)连接BD，由勾股定理得BD=5m，再由勾股定理的逆定理得△BDC是直角三角形，且∠BDC=90∘，然后由S四边形ABCD=SRt△ABD+SRt△BDC，列式计算即可；
(2)过点D作DE⊥BC于点E，由三角形面积求出DE的长即可．
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=90∘，AB=AC，AE=AD，
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)①证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
②证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BCA=45∘，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠DCA=∠B=45∘，
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90∘，
∴DC⊥BE；
③解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
∵BC=CE=2，
∴BE=4，
又∵△ABE≌△ACD，
∴CD=BE=4，
又∵DC⊥BE，
∴S△BDE=12⋅BE⋅CD=12×4×4=8，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CF=BF=12BC=1，
∴EF=3，
∴在Rt△AEF中，AE= AF2+EF2= 12+32= 10，
∴S△ABE=12⋅BE⋅AF=12×4×1=2，S△ADE=12⋅AD⋅AE=12× 10× 10=5，
∴S△AED=S△EDE−S△ADE−S△AEE=8−5−2=1.
【解析】(1)根据SAS可证明△ABE≌△ACD；
(2)①根据SAS可证明△ABE≌△ACD；
②由全等三角形的性质证出∠DCA=∠B=45∘，则可得出结论；
③过点A作AF⊥BC于点F，由勾股定理及全等三角形的性质可得出答案．
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．成绩x/分
频数
频率
75≤x<80
2
0.04
80≤x<85
6
0.12
85≤x<90
10
0.20
90≤x<95
a
0.36
95≤x≤100
14
b