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江苏省南通市海门区海门区六甲初级中学2023-2024学年八年级下学期下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份江苏省南通市海门区海门区六甲初级中学2023-2024学年八年级下学期下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含江苏省南通市海门区海门区六甲初级中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题原卷版docx、江苏省南通市海门区海门区六甲初级中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
1. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x和y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．
【详解】解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值，都有唯一的函数值y与之相对应，
所以A、C、D不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
2. 已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝x＋2上，则y1和y2的大小关系是（ ）
A. y1＞y2B. y1＝y2C. y1＜y2D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出y1和y2的值再进行比较即可．
【详解】解：∵点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝x+2上，
∴y1＝×（﹣4）+2＝﹣2+2＝0，y2＝×2+2＝1+2＝3，
∵0＜3，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点睛】考查了一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
3. 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A.添加，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意；
B.添加，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意；
C.添加，可判断平行四边形ABCD为矩形，符合题意；
D.添加，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定定理，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．
4. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，根据勾股定理求得，然后根据矩形的性质得出．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，
点的坐标是，
，
，
故选：B．
5. 直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．根据直线经过第一、二、四象限可以确定、的符号，则易求的符号，由的符号来求直线所经过的象限．
【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限，
∴直线经过第一、二、三象限．
故选：B．
6. 如图（折线）描述了一辆汽车在某一直路上行驶的过程中，汽车离出发地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的变量关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车共行驶了100千米；②汽车在1.5至2小时之间匀速行驶；③汽车在整个行驶过程中（含停留过程）的平均速度为千米/时；④汽车出发后3小时至4.5小时之间，其行驶的速度在逐渐减小，其中正确的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．根据图象中的数据，结合速度、时间、路程之间的关系，对上述说法进行判断，即可解题．
【详解】解：①由图知，汽车单趟行驶了100千米，往返一共行驶了200千米，故①错误；
②汽车在1.5至2小时之间是休息状态没有行驶，故②错误；
③汽车在整个行驶过程中平均速度为（千米/时），故③正确；
④汽车出发后3小时至4.5小时之间，图象为一条直线，
其行驶的速度为匀速，故④错误；
综上所述，正确的为③；
故选：C．
7. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形性质得到，，利用三角形内角和定理与等腰三角形性质推出，进而得到，再结合直角三角形斜边中线定理即可解题．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
对角线，相交于点，，
，，
，
，
于点，
，则，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8. 如图，正方形中，点P和H分别在边上，且，，，则BE的长是（ ）
A. B. 5C. 7D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正方形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，利用余角性质可得，再利用三角形面积法可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
即
故选: D.
【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
9. 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上，已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用待定系数法求出直线l的解析式，然后求出点A、P的坐标，再分和两种情况，分别画出图形进行求解即可．
【详解】解：将代入直线得：，
∴直线，
令，即，
解得：，
则A点坐标为，
将代入，得：，
解得：，
∴P点坐标为，
①如图，当时，则轴，
∴；
②如图，当时，过点P作轴于N，则，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
综上，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法，正确分类讨论是解题的关键．
10. 如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于（ ）
A. 34B. 89C. 74D. 109
【答案】C
【解析】
【分析】过点B作BM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l1于点N，根据正方形的性质，易证△MAB≌△NDA（AAS），可得AN＝MB，再根据题意，即可求出AN和ND，根据勾股定理，可得AD的长，进一步即可求出正方形ABCD的面积．
【详解】解：过点B作BM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l1于点N，如图所示：
则有∠BMA＝∠AND＝90°，
∴∠MBA＋∠MAB＝90°，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠MAB＋∠DAN＝90°，
∴∠DAN＝∠MBA，
∴△MAB≌△NDA（AAS），
∴AN＝MB，
∵h1＝5，h2＝2，
∴AN＝MB＝5，ND＝5＋2＝7，
根据勾股定理，得 ，
∴正方形ABCD的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及勾股定理，全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（11、12题每小题3分，13~18题每小题4分，共30分）
11. 函数中，自变量x的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2；
故答案为x≠2．
12. 已知函数y=（m-2） +2是关于x的一次函数，则m = _____
【答案】0
【解析】
【详解】试题解析：函数是关于x的一次函数，
故 解得：
故答案
13. 依次连接菱形各边中点所得到的四边形是______．
【答案】矩形
【解析】
【分析】根据题意，作出菱形，连接四边中点，根据三角形的中位线定理可得，，则四边形为平行四边形，在根据菱形对角线互相垂直，推出，即可得出结论．
【详解】解：如图，四边形为菱形，点为菱形各边中点，
∵点为菱形各边中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
故答案为：矩形．
【点睛】本题主要考查了菱形的中点四边形，解题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
14. 矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD的点F处，则线段BE的长为_____________.
【答案】2.5
【解析】
【分析】首先根据折叠的性质与矩形的性质，得到AF=AB=5，EF=BE，AD=BC=4；然后在Rt△ADF中，利用勾股定理，求得DF的长，进而得到CF的长；再设CE=x，则EF=BE=4-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求得x的值，最后由BE=BC-CE，即可得到结果．
【详解】解：由题意可得AF=AB=5，AD=BC=4，EF=BE，
在Rt△ADF中，由勾股定理，得DF===3．
在矩形ABCD中，DC=AB=5，
∴CF=DC-DF=2．
设CE=x，则EF=BE=4-x，
在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，即x2+22=(4-x)2，
解得x=1.5，
则BE=4-x=2.5．
故答案为2.5．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质，找出线段间的关系，利用勾股定理列出等量关系式是解题的关键．
15. 如图，一次函数y＝6﹣x与正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】将点A的横坐标代入y＝6﹣x可得其纵坐标的值，再将所得点A坐标代入y＝kx可得k．
【详解】解：设A（2，m）．
把A （2，m）代入y＝6﹣x得：m＝﹣2+6＝4，
把A （2，4）代入y＝kx得4＝2k，解得k＝2．
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
16. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，P是AD边上的动点，于点E，于点F，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD＝45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF＝OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE＝AE，从而得到PE+PF＝OA，然后根据正方形的性质解答即可．
【详解】解：在正方形ABCD中，OA⊥OD，∠OAD＝45°，AD＝CD＝2，OA＝AC，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OAAC．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
17. 如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝50°，则∠BCF＝__________度．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先通过菱形的性质求证，可得，再根据三角形内角和定理及同旁内角的关系进行角度的求解即可．
【详解】∵四边形ABCD是菱形
∴，，
在与中
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，
故答案为：50．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判断及性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握相关几何综合求解方法是解决本题的关键．
18. 如图，菱形中，，，E，F分别是边和对角线上的点，且，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，的下方作，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可．
【详解】解：如图，的下方作，使得，连接，．
四边形是菱形，，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键．
三． 解答题（共90分）
19. 已知一次函数，一次函数图象经过点．
（1）求的值；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数图象；
（3）当时，的取值范围为_____．
【答案】（1）
（2）图象见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）将点代入解析式，求得解析式；
（2）令，得，令，得，根据两点画出函数图象即可求解；
（2）观察函数图象，分别求出当时，当时的自变量取值，即可求解．
【小问1详解】
解：点代入，即，
解得，
∴，
【小问2详解】
解：令，得，令，得，
∴一次函数过点，，
画出函数图象，如图，
【小问3详解】
解：对于，y随x的增大而减小，
当时，
解得：，
当时，，
解得：，
∴当时，的取值范围为．
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，画一次函数图象，求函数值的取值范围，数形结合是解题的关键．
20. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．求证：四边形BNDM是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据AD//BC得到∠DMO＝∠BNO，然后由对角线BD的垂直平分线MN得出OB＝OD，MN⊥BD，证出△MOD≌△NOB，得到OM＝ON，OB＝OD，进而说明四边形BNDM是平行四边形，最后由MN⊥BD，证出平行四边形BNDM是菱形．
【详解】证明：∵，
∴∠DMO＝∠BNO
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形．
【点睛】此题主要考查了平行四边形和菱形的性质及判定定理，熟练掌握其性质与判定是解题关键．
21. 若与成正比例，且当时，．
（1）求y与x的函数解析式．
（2）求当时，x的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，把，代入可得，从而可得答案；
（2）把代入函数解析式求解x即可．
【小问1详解】
解：设，
把，代入得，解得，
所以，
所以y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
当时，，
解答．
【点睛】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，求解函数自变量的值，理解成正比例的含义是解本题的关键．
22. 如图，矩形中，点在上，，分别在图1和图2中按要求仅用无刻度的直尺画图．（保留画图痕迹）
（1）在图1中，画出的平分线；
（2）在图2中，画出的平分线，交于点，并说明理由．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析；理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接即可；
（2）连接交于点，延长交于即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
则为所作；
【小问2详解】
如图，连接、，交于点，连接并延长交于，
则即为所作．
理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴平分，
即平分．
【点睛】本题考查作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形和矩形的性质、角平分线的定义．
23. 如图所示，中，，于，于，求证：.
【答案】见解析
【解析】
【分析】取CE的中点F，连接AF、BF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=EF=BF=CF，根据三角形的内角和等于180°求出∠ACE+∠BEC=45°，然后求出∠AEC+∠BCE=135°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BFC+∠AFE=90°，然后求出∠AFB=90°，从而判断出△ABF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的可得AF=AB，然后证明即可．
【详解】证明：如图，取CE的中点F，连接AF、BF，
∵CB⊥DE，EA⊥CD，
∴AF=EF=BF=CF=CE，
在△CDE中，∵∠CDE=135°，
∴∠ACE+∠BEC=180°-135°=45°，
∴∠AEC+∠BCE=（90°-∠ACE）+（90°-∠BEC）=180°-45°=135°，
∴∠BFC+∠AFE=（180°-2∠BCE）+（180°-2∠AEC）=360°-2（∠AEC+∠BCE）=360°-2×135°=90°，
∴∠AFB=180°-（∠BCF+∠AFE）=180°-90°=90°，
∴△ABF等腰直角三角形，
∴AF=AB，
∴CE=2AF=2×AB=AB，
即CE=AB．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
24. 、两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从、两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在、之间的地相遇，相遇后，甲立即返回地，乙继续向地前行． 甲到达地时停止行走，乙到达地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示：
（1）求甲、乙两人行走的速度；
（2）求甲从开始到停止用的时间；
（3）求乙到达地时，甲与地相距的路程。
【答案】（1）甲、乙两人行走的速度分别为米/分、米/分；
（2）甲从开始到停止用的时间为分钟；
（3）乙到达地时，甲与地相距的路程为180米．
【解析】
【分析】本题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
（1）根据图象中数据，结合速度、时间、路程之间的关系，即可得到甲行走的速度，再结合相遇问题中速度、时间、路程之间的关系得到甲、乙速度和，即可推出乙行走的速度；
（2）首先找出甲从开始到停止的运动情况，结合相遇问题中速度、时间、路程之间的关系得到相遇时间，推出甲从出发到相遇地点所用时间，即可解题；
（3）根据题意算出乙到达地所用时间，推出乙到达地时，甲还差几分钟到达地，再结合速度、时间、路程之间的关系算出乙到达地时，甲与地相距的路程，即可解题．
【小问1详解】
解：由题知，甲行走的速度为：（米/分），
甲、乙速度和为：（米/分），
乙行走的速度为：（米/分）；
答：甲、乙两人行走的速度分别为米/分、米/分；
【小问2详解】
解：从乙出发后两人相遇时间为：（分钟），
甲从出发到相遇地点所用时间为：（分钟），
相遇后，甲立即返回地，
甲从开始到停止用的时间为（分钟），
答：甲从开始到停止用的时间为分钟；
【小问3详解】
解：乙到达地所用时间为：（分钟），
甲到达地还需（分钟），
乙到达地时，甲与地相距的路程为（米），
答：乙到达地时，甲与地相距的路程为180米．
25. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一点如果满足，我们就把点称作“和谐点”．
（1）在直线上的“和谐点”为________；
（2）求一次函数的图象上的“和谐点”坐标；
（3）已知点，点坐标分别为，，如果线段上始终存在“和谐点”，直接写出的取值范围是________．
【答案】（1）（3，6）和（－3，6）；
（2）（，）和（－2，4）；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据“和谐点”的定义求出x即可；
（2）根据“和谐点”的定义可知或，分别与联立，求出对应的x，y的值即可；
（3）作出的简图，由题意可知PQy轴，然后分情况讨论：①当m＞0时，②当m＜0时，分别求出线段上存在“和谐点”的临界情况，然后根据函数图象可得的取值范围．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得：x＝3或x＝－3，
在直线上的“和谐点”为：（3，6）和（－3，6）；
【小问2详解】
由“和谐点”的定义可知或，
联立，解得：，
联立，解得：，
所以一次函数的图象上的“和谐点”坐标为（，）和（－2，4）；
【小问3详解】
如图为的函数图象的简图，PQy轴，
①当m＞0时，
令，解得：，
令，解得：，
由图可知，如果线段上始终存在“和谐点”，的取值范围是；
②当m＜0时，
令，解得：，
令，解得：，
由图可知，如果线段上始终存在“和谐点”，的取值范围是，
综上，当或时，线段上始终存在“和谐点”．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，求函数图象的交点坐标等知识，正确理解“和谐点”的定义，熟练应用数形结合的数学思想是解题的关键．
26. 如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）求的值；
（3）若F恰为的中点，求正方形的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）6； （3）．
【解析】
【分析】（1）作于M，于N，通过证明，得到，即可求证；
（2）通过证明得到，即，求解即可；
（3）连接，根据勾股定理求得，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，作于M，于N．
∵四边形是正方形，
∴，
∵于M，于N，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形；
【小问2详解】
解：∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵F是中点，
∴，
∴，
∴正方形的面积．
【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法与性质，做辅助线，构造出全等三角形．
1. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x和y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．
【详解】解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值，都有唯一的函数值y与之相对应，
所以A、C、D不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
2. 已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝x＋2上，则y1和y2的大小关系是（ ）
A. y1＞y2B. y1＝y2C. y1＜y2D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出y1和y2的值再进行比较即可．
【详解】解：∵点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝x+2上，
∴y1＝×（﹣4）+2＝﹣2+2＝0，y2＝×2+2＝1+2＝3，
∵0＜3，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点睛】考查了一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
3. 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A.添加，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意；
B.添加，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意；
C.添加，可判断平行四边形ABCD为矩形，符合题意；
D.添加，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定定理，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．
4. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，根据勾股定理求得，然后根据矩形的性质得出．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，
点的坐标是，
，
，
故选：B．
5. 直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．根据直线经过第一、二、四象限可以确定、的符号，则易求的符号，由的符号来求直线所经过的象限．
【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限，
∴直线经过第一、二、三象限．
故选：B．
6. 如图（折线）描述了一辆汽车在某一直路上行驶的过程中，汽车离出发地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的变量关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车共行驶了100千米；②汽车在1.5至2小时之间匀速行驶；③汽车在整个行驶过程中（含停留过程）的平均速度为千米/时；④汽车出发后3小时至4.5小时之间，其行驶的速度在逐渐减小，其中正确的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．根据图象中的数据，结合速度、时间、路程之间的关系，对上述说法进行判断，即可解题．
【详解】解：①由图知，汽车单趟行驶了100千米，往返一共行驶了200千米，故①错误；
②汽车在1.5至2小时之间是休息状态没有行驶，故②错误；
③汽车在整个行驶过程中平均速度为（千米/时），故③正确；
④汽车出发后3小时至4.5小时之间，图象为一条直线，
其行驶的速度为匀速，故④错误；
综上所述，正确的为③；
故选：C．
7. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形性质得到，，利用三角形内角和定理与等腰三角形性质推出，进而得到，再结合直角三角形斜边中线定理即可解题．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
对角线，相交于点，，
，，
，
，
于点，
，则，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8. 如图，正方形中，点P和H分别在边上，且，，，则BE的长是（ ）
A. B. 5C. 7D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正方形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，利用余角性质可得，再利用三角形面积法可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
即
故选: D.
【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
9. 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上，已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用待定系数法求出直线l的解析式，然后求出点A、P的坐标，再分和两种情况，分别画出图形进行求解即可．
【详解】解：将代入直线得：，
∴直线，
令，即，
解得：，
则A点坐标为，
将代入，得：，
解得：，
∴P点坐标为，
①如图，当时，则轴，
∴；
②如图，当时，过点P作轴于N，则，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
综上，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法，正确分类讨论是解题的关键．
10. 如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于（ ）
A. 34B. 89C. 74D. 109
【答案】C
【解析】
【分析】过点B作BM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l1于点N，根据正方形的性质，易证△MAB≌△NDA（AAS），可得AN＝MB，再根据题意，即可求出AN和ND，根据勾股定理，可得AD的长，进一步即可求出正方形ABCD的面积．
【详解】解：过点B作BM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l1于点N，如图所示：
则有∠BMA＝∠AND＝90°，
∴∠MBA＋∠MAB＝90°，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠MAB＋∠DAN＝90°，
∴∠DAN＝∠MBA，
∴△MAB≌△NDA（AAS），
∴AN＝MB，
∵h1＝5，h2＝2，
∴AN＝MB＝5，ND＝5＋2＝7，
根据勾股定理，得 ，
∴正方形ABCD的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及勾股定理，全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（11、12题每小题3分，13~18题每小题4分，共30分）
11. 函数中，自变量x的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2；
故答案为x≠2．
12. 已知函数y=（m-2） +2是关于x的一次函数，则m = _____
【答案】0
【解析】
【详解】试题解析：函数是关于x的一次函数，
故 解得：
故答案
13. 依次连接菱形各边中点所得到的四边形是______．
【答案】矩形
【解析】
【分析】根据题意，作出菱形，连接四边中点，根据三角形的中位线定理可得，，则四边形为平行四边形，在根据菱形对角线互相垂直，推出，即可得出结论．
【详解】解：如图，四边形为菱形，点为菱形各边中点，
∵点为菱形各边中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
故答案为：矩形．
【点睛】本题主要考查了菱形的中点四边形，解题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
14. 矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD的点F处，则线段BE的长为_____________.
【答案】2.5
【解析】
【分析】首先根据折叠的性质与矩形的性质，得到AF=AB=5，EF=BE，AD=BC=4；然后在Rt△ADF中，利用勾股定理，求得DF的长，进而得到CF的长；再设CE=x，则EF=BE=4-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求得x的值，最后由BE=BC-CE，即可得到结果．
【详解】解：由题意可得AF=AB=5，AD=BC=4，EF=BE，
在Rt△ADF中，由勾股定理，得DF===3．
在矩形ABCD中，DC=AB=5，
∴CF=DC-DF=2．
设CE=x，则EF=BE=4-x，
在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，即x2+22=(4-x)2，
解得x=1.5，
则BE=4-x=2.5．
故答案为2.5．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质，找出线段间的关系，利用勾股定理列出等量关系式是解题的关键．
15. 如图，一次函数y＝6﹣x与正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】将点A的横坐标代入y＝6﹣x可得其纵坐标的值，再将所得点A坐标代入y＝kx可得k．
【详解】解：设A（2，m）．
把A （2，m）代入y＝6﹣x得：m＝﹣2+6＝4，
把A （2，4）代入y＝kx得4＝2k，解得k＝2．
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
16. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，P是AD边上的动点，于点E，于点F，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD＝45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF＝OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE＝AE，从而得到PE+PF＝OA，然后根据正方形的性质解答即可．
【详解】解：在正方形ABCD中，OA⊥OD，∠OAD＝45°，AD＝CD＝2，OA＝AC，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OAAC．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
17. 如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝50°，则∠BCF＝__________度．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先通过菱形的性质求证，可得，再根据三角形内角和定理及同旁内角的关系进行角度的求解即可．
【详解】∵四边形ABCD是菱形
∴，，
在与中
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，
故答案为：50．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判断及性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握相关几何综合求解方法是解决本题的关键．
18. 如图，菱形中，，，E，F分别是边和对角线上的点，且，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，的下方作，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可．
【详解】解：如图，的下方作，使得，连接，．
四边形是菱形，，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键．
三． 解答题（共90分）
19. 已知一次函数，一次函数图象经过点．
（1）求的值；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数图象；
（3）当时，的取值范围为_____．
【答案】（1）
（2）图象见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）将点代入解析式，求得解析式；
（2）令，得，令，得，根据两点画出函数图象即可求解；
（2）观察函数图象，分别求出当时，当时的自变量取值，即可求解．
【小问1详解】
解：点代入，即，
解得，
∴，
【小问2详解】
解：令，得，令，得，
∴一次函数过点，，
画出函数图象，如图，
【小问3详解】
解：对于，y随x的增大而减小，
当时，
解得：，
当时，，
解得：，
∴当时，的取值范围为．
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，画一次函数图象，求函数值的取值范围，数形结合是解题的关键．
20. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．求证：四边形BNDM是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据AD//BC得到∠DMO＝∠BNO，然后由对角线BD的垂直平分线MN得出OB＝OD，MN⊥BD，证出△MOD≌△NOB，得到OM＝ON，OB＝OD，进而说明四边形BNDM是平行四边形，最后由MN⊥BD，证出平行四边形BNDM是菱形．
【详解】证明：∵，
∴∠DMO＝∠BNO
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形．
【点睛】此题主要考查了平行四边形和菱形的性质及判定定理，熟练掌握其性质与判定是解题关键．
21. 若与成正比例，且当时，．
（1）求y与x的函数解析式．
（2）求当时，x的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，把，代入可得，从而可得答案；
（2）把代入函数解析式求解x即可．
【小问1详解】
解：设，
把，代入得，解得，
所以，
所以y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
当时，，
解答．
【点睛】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，求解函数自变量的值，理解成正比例的含义是解本题的关键．
22. 如图，矩形中，点在上，，分别在图1和图2中按要求仅用无刻度的直尺画图．（保留画图痕迹）
（1）在图1中，画出的平分线；
（2）在图2中，画出的平分线，交于点，并说明理由．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析；理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接即可；
（2）连接交于点，延长交于即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
则为所作；
【小问2详解】
如图，连接、，交于点，连接并延长交于，
则即为所作．
理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴平分，
即平分．
【点睛】本题考查作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形和矩形的性质、角平分线的定义．
23. 如图所示，中，，于，于，求证：.
【答案】见解析
【解析】
【分析】取CE的中点F，连接AF、BF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=EF=BF=CF，根据三角形的内角和等于180°求出∠ACE+∠BEC=45°，然后求出∠AEC+∠BCE=135°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BFC+∠AFE=90°，然后求出∠AFB=90°，从而判断出△ABF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的可得AF=AB，然后证明即可．
【详解】证明：如图，取CE的中点F，连接AF、BF，
∵CB⊥DE，EA⊥CD，
∴AF=EF=BF=CF=CE，
在△CDE中，∵∠CDE=135°，
∴∠ACE+∠BEC=180°-135°=45°，
∴∠AEC+∠BCE=（90°-∠ACE）+（90°-∠BEC）=180°-45°=135°，
∴∠BFC+∠AFE=（180°-2∠BCE）+（180°-2∠AEC）=360°-2（∠AEC+∠BCE）=360°-2×135°=90°，
∴∠AFB=180°-（∠BCF+∠AFE）=180°-90°=90°，
∴△ABF等腰直角三角形，
∴AF=AB，
∴CE=2AF=2×AB=AB，
即CE=AB．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
24. 、两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从、两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在、之间的地相遇，相遇后，甲立即返回地，乙继续向地前行． 甲到达地时停止行走，乙到达地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示：
（1）求甲、乙两人行走的速度；
（2）求甲从开始到停止用的时间；
（3）求乙到达地时，甲与地相距的路程。
【答案】（1）甲、乙两人行走的速度分别为米/分、米/分；
（2）甲从开始到停止用的时间为分钟；
（3）乙到达地时，甲与地相距的路程为180米．
【解析】
【分析】本题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
（1）根据图象中数据，结合速度、时间、路程之间的关系，即可得到甲行走的速度，再结合相遇问题中速度、时间、路程之间的关系得到甲、乙速度和，即可推出乙行走的速度；
（2）首先找出甲从开始到停止的运动情况，结合相遇问题中速度、时间、路程之间的关系得到相遇时间，推出甲从出发到相遇地点所用时间，即可解题；
（3）根据题意算出乙到达地所用时间，推出乙到达地时，甲还差几分钟到达地，再结合速度、时间、路程之间的关系算出乙到达地时，甲与地相距的路程，即可解题．
【小问1详解】
解：由题知，甲行走的速度为：（米/分），
甲、乙速度和为：（米/分），
乙行走的速度为：（米/分）；
答：甲、乙两人行走的速度分别为米/分、米/分；
【小问2详解】
解：从乙出发后两人相遇时间为：（分钟），
甲从出发到相遇地点所用时间为：（分钟），
相遇后，甲立即返回地，
甲从开始到停止用的时间为（分钟），
答：甲从开始到停止用的时间为分钟；
【小问3详解】
解：乙到达地所用时间为：（分钟），
甲到达地还需（分钟），
乙到达地时，甲与地相距的路程为（米），
答：乙到达地时，甲与地相距的路程为180米．
25. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一点如果满足，我们就把点称作“和谐点”．
（1）在直线上的“和谐点”为________；
（2）求一次函数的图象上的“和谐点”坐标；
（3）已知点，点坐标分别为，，如果线段上始终存在“和谐点”，直接写出的取值范围是________．
【答案】（1）（3，6）和（－3，6）；
（2）（，）和（－2，4）；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据“和谐点”的定义求出x即可；
（2）根据“和谐点”的定义可知或，分别与联立，求出对应的x，y的值即可；
（3）作出的简图，由题意可知PQy轴，然后分情况讨论：①当m＞0时，②当m＜0时，分别求出线段上存在“和谐点”的临界情况，然后根据函数图象可得的取值范围．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得：x＝3或x＝－3，
在直线上的“和谐点”为：（3，6）和（－3，6）；
【小问2详解】
由“和谐点”的定义可知或，
联立，解得：，
联立，解得：，
所以一次函数的图象上的“和谐点”坐标为（，）和（－2，4）；
【小问3详解】
如图为的函数图象的简图，PQy轴，
①当m＞0时，
令，解得：，
令，解得：，
由图可知，如果线段上始终存在“和谐点”，的取值范围是；
②当m＜0时，
令，解得：，
令，解得：，
由图可知，如果线段上始终存在“和谐点”，的取值范围是，
综上，当或时，线段上始终存在“和谐点”．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，求函数图象的交点坐标等知识，正确理解“和谐点”的定义，熟练应用数形结合的数学思想是解题的关键．
26. 如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）求的值；
（3）若F恰为的中点，求正方形的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）6； （3）．
【解析】
【分析】（1）作于M，于N，通过证明，得到，即可求证；
（2）通过证明得到，即，求解即可；
（3）连接，根据勾股定理求得，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，作于M，于N．
∵四边形是正方形，
∴，
∵于M，于N，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形；
【小问2详解】
解：∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵F是中点，
∴，
∴，
∴正方形的面积．
【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法与性质，做辅助线，构造出全等三角形．
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