2022~2023学年江苏省南通市海门区实验初级中学八年级（上）月考数学试卷（10月）（含解析）

这是一份2022~2023学年江苏省南通市海门区实验初级中学八年级（上）月考数学试卷（10月）（含解析），文件包含《第十五章分式》单元检测试卷及解答doc、《第十五章分式》单元检测试卷doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共7页， 欢迎下载使用。

1.计算6÷−3的结果等于
．( )
A. −12B. −2C. −3D. −18
2.计算a2⋅a3，正确的结果是
A. 2a6B. 2a5C. a6D. a5
3.下列图形中，不是轴对称图形的是
( )
A. B. C. D.
4.下列计算，正确的是( )
A. a2−a=aB. a2⋅a3=a6C. a3+a3=a6D. (a3)2=a6
5.平面直角坐标系中，点P(1,−2)关于x轴对称的点的坐标为
( )
A. (1,2)B. (−1,−2)C. (−1,2)D. (−2,1)
6.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为( )
A. 8或10B. 8C. 10D. 6或12
7.课本107页，画∠AOB的角平分线的方法步骤是：
①以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M点，交OB于N点；
②分别以M，N为圆心，大于12 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③过点C作射线OC.射线OC就是∠AOB的角平分线．
请你说明这样作角平分线的根据是( )
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是60°，则顶角的度数是( )
A. 30°B. 30°或150°C. 60°或150°D. 60°或120°
9.如图，坐标平面内一点A(2,−1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为
( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
10.如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≅△ADC′，△AEB≅△AEB′，且C′D//EB′//BC，记BE，CD交于点F，若∠BAC=x°，则∠BFC的大小(用含x的式子表示)是
( )
A. xB. 180°−2xC. 180°− xD. 2x
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.一个正三角形的对称轴有 条．
12.一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：
，那么它的实际车牌号是： ．
13.一个等腰三角形的一个底角为80°，则它的顶角的度数为 ．
14.已知2a=4，2b=16，计算2a+b= ．
15.计算：(−0.25)100×4100= ．
16.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点N.连接MB，若AB=8，△MBC的周长是14，则BC的长为 ．
17.已知∠AOB=30°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=8，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是 ．
18.如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，延长BA到点D，使AD=AO，连接DO，若BD=BC，∠ABC=54 ∘，则∠BCA的度数为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.计算：
(1)2a⋅6a2
(2)(−4xy3)(−2x2)
(3) (3×102)×(5×105)
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
主观
(1)已知273×94=3x，求x的值.
(2)已知10a=2，10b=3求103a+b的值．
21.(本小题8分)
如图，在ΔABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．
求证：∠CBE=∠BAD．
22.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，已知A(−1,4)，B(4,2)，C(−1,0)三点．
(1)点A关于y轴的对称点A′的坐标为 ，点B关于x轴的对称点B′的坐标为 ，线段AC的垂直平分线与y轴的交点D的坐标为 ；
(2)求(1)中的△A′B′D的面积．
23.(本小题8分)
如图所示，在△ABC中，BC=BD=AD，∠CBD=36°，求∠A和∠C的度数．
24.(本小题8分)
已知，Rt△ABC中，∠C=90º．
(1)当∠B=60º时，BCAB= ；当∠A=45º时，BCAC= ．
(2)当∠B=2∠A时，求BCAB的值；
(3)若AB=2BC，求∠A的度数．
25.(本小题8分)
主观
(1)情境观察
小朱是个数学爱好者，她在数学活动课上将长方形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是 ，∠CAC′= °.
(2)问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

(3)拓展延伸
如图4，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，连接EF，小朱发现△AEF和△ABC的面积竟然相等，请你证明小朱的结论．
26.(本小题8分)
在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
(1)若α=60°且点P与点M重合(如图1)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并求出∠CDB的度数；
(2)在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】原式利用异号两数相除的法则计算即可得到结果．
【详解】解：6÷(−3)
=−(6÷3)
=−2，
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可得出结论．
【详解】解： a2⋅a3=a2+3=a5 ．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、B、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】D
【解析】【分析】利用幂的乘方，合并同类项及同底数幂的乘法法则判定即可．
【详解】解：A、 a2 与a不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
B、 a2⋅a3=a5≠a6 ，故本选项错误，不符合题意；
C、 a3+a3=2a3≠a6 ，故本选项错误，不符合题意；
D、 (a3)2=a6 ，故本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，合并同类项及同底数幂的乘法，熟记它们的法则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【详解】解：点P(1， − 2)关于x轴对称的点的坐标是(1,2)，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6.【答案】C
【解析】【详解】①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，
综上所述，它的周长是10．
故选C．
7.【答案】A
【解析】【分析】根据画法①可得OA=OB，根据画法②可知CM=CN，再由OC=OC，由SSS可以判断△OMC≌△ONC，从而得到答案．
【详解】先证明三角形全等，再利用全等的性质证明角相等．
解：从画法①可知OA=OB，
从画法②可知CM=CN，
又OC=OC，由SSS可以判断△OMC≌△ONC，
∴∠MOC=∠NOC，
即射线OC就是∠AOB的角平分线．
故选A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的作图，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
8.【答案】B
【解析】【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．
【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，
∵∠ABD=60°，BD⊥AC，
∴∠A=90°−60°=30°，
∴三角形的顶角为30°；
②当为钝角三角形时，如图2，
∵∠ABD=60°，BD⊥AC，
∴∠BAD=90°−60°=30°，
∵∠BAD+∠BAC=180°，
∴∠BAC=150°
∴三角形的顶角为150°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质及垂直平分线的性质作出相应图像，然后即可确定点的个数
【详解】解：以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点符合题意．
以A点为圆心，OA为半径作圆与x轴交于两点(O点除外)．
作线段OA的垂直平分线与x轴有一交点．如图所示：
共4个点符合，
故选C．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：延长 C′D 交AC于M，如图，
∵△ADC ≅ △ ADC′ ，△AEB ≅ △ AEB′ ，
∴∠ C′ =∠ACD，∠ C′AD =∠CAD=∠ B′AE =x，
∴∠ C′MC =∠ C′ +∠ C′AM =∠ C′ +2x，
∵ C′D /​/ EB′ ，
∴∠AEB=∠ C′MC ，
∵∠ AEB′ =180° − ∠ B′ − ∠ B′AE =180° − ∠ B′ −x，
∴∠ C′ +2x=180°−∠ B′ − x，
∴∠ C′ +∠ B′ =180° − 3x，
∵∠BFC=∠BDF+∠DBF
=∠BDF+∠ B′
=x+∠ACD+∠ B′
=x+∠ C′ +∠ B′
=x+180° − 3x
=180° − 2x．
故选：B．
11.【答案】3
【解析】【分析】根据轴对称的概念和等边三角形的性质进行解答即可．
【详解】解：根据正三角形是轴对称图形，三条中线所在的直线都是其对称轴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等边三角形的轴对称性，熟记等边三角形的轴对称性以及对称轴的概念是解题的关键．
12.【答案】K6289
【解析】【分析】关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称．
【详解】实际车牌号是K6289．
故答案为：K6289．
【点睛】本题考查了镜面反射的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．
13.【答案】20°
【解析】【分析】本题给出了一个底角为80°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
【详解】∵等腰三角形底角相等，
∴180°−80°×2=20°，
∴顶角为20°．
故答案为：20°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．
14.【答案】64
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法即可得出答案．
【详解】2a+b=2a⋅2b=4×16=64．
故答案为64．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法法则．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在运用时要抓住“同底数”这一关键点.同时要注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
15.【答案】1
【解析】【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案．
【详解】解：原式=(−0.25×4)100=1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了积的乘方运算法则，正确将原式变形是解题关键．
16.【答案】6
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM=BM，然后求出△MBC的周长=AC+BC，再代入数据进行计算即可得解．
【详解】∵M、N是AB的垂直平分线
∴AM=BM，
∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，
∵AB=8，△MBC的周长是14，
∴BC=14−8=6．
故答案为 6．
17.【答案】4
【解析】【分析】过M作 MN′ ⊥OB于 N′ ，交OC于P，即 MN′ 的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，根据含30度角的直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：过M作 MN′ ⊥OB于 N′ ，交OC于P，
∵点P是∠AOB的平分线OC上的动点，PN⊥OA，
∴PN= PN′ ，
则 MN′ 的长度等于PM+PN的最小值，
即 MN′ 的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，
∵∠ ON′M =90°，OM=8，
∴ MN′ = 12 OM=4，
∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为4．
故答案是：4．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，含30度角的直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
18.【答案】42°
【解析】【详解】试题分析：由△ABC三个内角的平分线得到角相等，关键等腰三角形的性质得到∠D=∠AOD，由外角的性质得到∠BAC=4∠D，由△DBO≌△CBO，得到∠BOC=∠D=α，∠BCA=2α，根据三角形的内角和列方程求得．
试题解析：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，
∴∠ABO=∠CBO，∠BAO=∠CAO，∠BCO=∠ACO，
∵AD=A0，
∴∠D=∠AOD，
∴∠BAO=2∠D，
设∠D=α，
则∠BAO=2α，∠BAC=4α，
在△DBO与△CBO中，
{BD=BC∠DBO=∠CBOBO=BO
∴△DBO≌△CBO，
∴∠BOC=∠D=α，
∴∠BCA=2α，
∴54+4α+2α=180，
∴α=21，
∴∠BCA=42°
19.【答案】【小题1】
解： 2a⋅6a2
=12a3
【小题2】
解： (−4xy3)(−2x2)
=8x3y3 ；
【小题3】
解： (3×102)×(5×105)
=15×107
=1.5×108 ．

【解析】1. 直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案；
2. 直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案；
3. 此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握单项式乘以单项式运算法则是解题关键．单项式乘以单项式，就是把系数和相同字母分别相乘，作为积的因式，对于只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式．
直接利用单项式乘以单项式运算法则计算，再写成科学记数法的形式即可．
20.【答案】【小题1】
273×94=(33)3×(32)4=39+8=317=3x ，
∴x=17．
【小题2】
103a+b
=103a⋅10b
=10a3⋅10b
=23×3
=24 ．

【解析】1. 先将 273×94 转化为 (33)3×(32)4=39+8=317 ；再令 3x=317 即可求出x的值．
2. 本题考查了幂运算的问题，熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则是解决本题的关键．
由同底数幂的乘法法则得 103a+b=103a⋅10b ，再根据幂的乘方法则得 103a=10a3 ，把 10a=2,10b=3 代入上式，计算可得答案．
21.【答案】∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，
又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD．
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CBE=∠BAD．

【解析】根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD.再有等腰三角形的三线合一，可以得到∠BAD=∠CAD，再通过等量代换即可得到结果．
22.【答案】【小题1】
(1,4)
(4,−2)
(0,2)
【小题2】
∵ A′(1,4)，B′(4,−2)，D(0,2)
根据所作图形可知：△A′ B′ D的面积=△A′B′D所在矩形的面积−周围三角形面积，即 S▵A′B′D=4×6−12×4×4−12×1×2−12×3×6=6 ．

【解析】1.
根据题意作图
∵ 已知A(−1,4)，B(4,2)，C(−1,0)三点，点A点A′关于y轴的对称，点B点B′关于x轴的对称，点D为线段AC的垂直平分线与y轴的交点
∴ 可得A′(1,4)，B′(4,−2)，D(0,2)
2. 此题考查线段垂直平分线的性质及关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题关键在于掌握对称点及线段垂直平分线的性质的运用．
根据点A′，点B′，点D的坐标求出△A′ B′ D所在矩形的面积，后利用△A′B′D所在矩形的面积减去周围三角形面积进而得出答案．
23.【答案】∵BC=BD， ∠CBD=36°
∴∠C=∠BDC=72°
∵BD=AD
∴∠A=∠ABD
∵∠BDC=∠A+∠ABD
∠A=∠ABD=36°．

【解析】由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可．
24.【答案】【小题1】
12
1
【小题2】
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90º，∠B=2∠A
∴∠B+∠A=90∘ 即 2∠B+∠A=90∘
∴∠A=30∘
∴可得BCAB=sin∠A=sin30∘=12
【小题3】
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90º，AB=2BC
∴sinA=BCAB=12
∴∠A=30∘

【解析】1.
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90º，
∴ 当∠B=60º时， cs∠B=cs60∘=BCAB=12
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90º
∴ ∠A=45º时， tan∠A=tan45∘=BCAC=1
2. 根据∠C=90º，∠B=2∠A可求得∠A 的度数，后根据三角函数的定义可求出 BCAB 的值．
3. 此题考查三角函数，解题关键在于掌握三角函数性质的运用．
根据∠C=90º，AB=2BC， 可求出 BCAB 的值，后根据反三角函数的定义可求出∠A的度数．
25.【答案】【小题1】
AD或A′D
90
【小题2】
EP=FQ，理由如下：
∵Rt△ABE 是等腰三角形，
∴EA=BA，
∠PEA+∠PAE=90°，
∠PAE+∠BAG=90°，
∴∠PEA=∠BAG，
∴ ∠EPA=∠AGB∠PEA=∠BAGEA=AB ，
∴△ABG ≅ △EAP(AAS)，
∴AG=EP，
同理△FQA ≅ △AGC(AAS)，
∴AG=FQ，
∴EP=FQ；
【小题3】
相等．理由如下：
过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．
由(2)知EP=FQ．
在△EPH与△FQH中，
∵ ∠EPH=∠FQH=90∘∠EHP=∠FHQHE=QF ，
∴△EPH ≅ △FQH(AAS)，
∴HE=HF，
由(2)知，△ABG ≅ △EAP，△FQA ≅ △AGC，
则 SΔABG=SΔEAP ， SΔFQA=SΔAGC ．
∵△EPH ≅ △FQH，则 SΔEPH=SΔFQH ，
∴ SΔABC=SΔABG+SΔAGC
=SΔEAP+SΔEPH+SΔFQA−SΔFQH
=SΔEAP+SΔFQA
=SΔAEF ，
即 S▵ABC=S▵AEF ．
∴△ABC与△AEF的面积相等．

【解析】1.
解：(1)根据将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ A′C′D ，
∴与BC相等的线段是 AD或 A′D ，
∵∠ C′AD =∠C，∠C+∠CAB=90°，
∴∠ C′AD +∠CAB=90°，
∴∠ CAC′ =90°；
故答案为：AD或A′D，90；
2. 根据全等三角形的判定得出△ABG ≅ △EAP，进而求出AG=EP.同理AG=FQ，即EP=FQ；
3. 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出△ABG ≅ △EAP、△FQA ≅ △AGC，△EPH ≅ △FQH是解题关键．
26.【答案】【小题1】
解：补全图形如图，
∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，AM=MC，
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，
∴AM=MQ，∠AMQ=120°，
∴CM=MQ，∠CMQ=60°，
∴△CMQ是等边三角形，
∴∠ACQ=60°，
∴∠CDB=30°；
【小题2】
解：∠CDB=90°−α.理由如下，
如图2，连接PC，AD，
∵AB=BC，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，
即BD为AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，
在△APD与△CPD中， AD=CDPD=PDPA=PC ，
∴△APD ≅ △CPD(SSS)，
∴∠2=∠1，∠PAD=∠3，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠3=∠PAD，
∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，
∴∠APQ+∠ADC=360°−(∠PAD+∠PQD)=180°，
∴∠ADC=180°−∠APQ=180°−2α，
∴2∠CDB=180°−2α，
∴∠CDB=90°−α．

【解析】1. 利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形，即可得出答案；
2. 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，得出∠APQ+∠ADC=360°−(∠PAD+∠PQD)=180°是解题关键．
首先利用已知得出△APD ≅ △CPD，进而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出．