2023—2024学年下学期初中数学沪教新版八年级期中必刷常考题之二元二次方程组的解法

这是一份2023—2024学年下学期初中数学沪教新版八年级期中必刷常考题之二元二次方程组的解法，共16页。试卷主要包含了根据下列表格对应值等内容，欢迎下载使用。
1．小亮仿照探究一元二次方程解的方法，课后尝试探究了一元三次方程x3+12x2﹣15x﹣1＝0的解，列表如表：
据此可知，方程x3+12x2﹣15x﹣1＝0的一个解x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜0.5B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2
2．数形结合是我们学习数学的一种重要思想方法，请运用数形结合的思想方法判断方程x3﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有3个实数根B．有2个实数根
C．有1个实数根D．无实数根
3．根据下列表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3B．x＜2C．4＜x＜5D．3＜x＜4
4．五个完全相同的小矩形拼成如图所示的大矩形，大矩形的面积是135cm2，则小矩形的宽为（ ）cm．
A．3B．C．D．
5．已知x＝1，y＝2是方程3ax2﹣2y2＝1的一个解，则a的值是多少（ ）
A．4B．3C．2D．1
二．填空题（共5小题）
6．如果方程x3﹣4x2+（3+k）x﹣k＝0的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数k＝ ．
7．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3﹣4x＝0，它的解是 ．
8．要生产一个底面为正方形的长方体形容器，容积为128L（1L＝1立方分米），使它的高是底面边长的2倍，则底面边长为 分米．
9．已知实数x、y满足（x2+1）（x2﹣3）＝0，则x2＝ ．
10．写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，那么这个方程可以是 ．
三．解答题（共5小题）
11．解方程：
（1）x2﹣7x﹣18＝0；
（2）4x2+1＝4x．
12．皮薄汁甜，好吃不上火的爱媛果冻橙近年来备受人们欢迎，某爱媛果冻橙基地11月15日开始采摘发售．采摘发售第一周，大果累计卖了20000元，中果卖了14400元，已知大果每箱单价比中果每箱多25%，且销量比中果多20箱．
（1）求每箱大果、中果的售价分别是多少元？
（2）由于供不应求，该批发商开始调整价格，第二周每箱大果价格在第一周基础上上涨了2a%，销量减少了20箱，同时每箱中果比第一周多元，销量增加了25%，最终销售总额比第一周多了7000元，求a的值．
13．已知方程组有两组不同的实数解，．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使3？若存在，请求出所有符合条件的k的值；若不存在，请说明理由．
14．某市计划采购A，B两种花卉对某广场进行美化．
（1）该市第一批花费2000元采购A，B两种花卉共1500盆，此时A，B两种花卉的价格分别为1元/盆，2元/盆，求采购A，B两种花卉各多少盆？
（2）由于花卉价格有所调整，该市第二批分别花费450元，900元购买A，B两种花卉，已知购买的B种花卉每盆比A种花卉多1元，且B种花卉比A种花卉的盆数多20%，求购买A种花卉多少盆？
15．某校为举办30周年校庆，对校内的甲、乙两块绿地（甲为正方形，乙为长方形）进行改造，在改造过程中产生以下两个问题，请你给予解答：
（1）在改造甲绿地时，将相邻的两边，一边增加2米，一边减少2米，得到一块新的长方形绿地，那么面积是否不变？请说明理由；
（2）在改造乙绿地时，发现若将它的长增加4米，宽减少1米，则面积保持不变；若将它的长减少2米，宽增加1米，则面积仍保持不变；求原乙绿地的面积．
2023—2024学年下学期初中数学沪教新版八年级期中必刷常考题之二元二次方程组的解法
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．小亮仿照探究一元二次方程解的方法，课后尝试探究了一元三次方程x3+12x2﹣15x﹣1＝0的解，列表如表：
据此可知，方程x3+12x2﹣15x﹣1＝0的一个解x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜0.5B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2
【考点】高次方程；估算一元二次方程的近似解．
【专题】推理能力．
【答案】C
【分析】通过观察表格发现，x3+12x2﹣15x﹣1＝0的一个解在1＜x＜1.5之间，由此确定解即可．
【解答】解：∵x＝1时，x3+12x2﹣15x﹣1＜0，
x＝1.5时，x3+12x2﹣15x﹣1＜0，
∴x3+12x2﹣15x﹣1＝0的一个解在1＜x＜1.5之间，
故选：C．
【点评】本题考查高次方程的解，熟练掌握估算法解高次方程的解，能够类比一元二次方程的近似解的方法是解题的关键．
2．数形结合是我们学习数学的一种重要思想方法，请运用数形结合的思想方法判断方程x3﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有3个实数根B．有2个实数根
C．有1个实数根D．无实数根
【考点】高次方程；根的判别式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；应用意识．
【答案】C
【分析】首先将方程变形得x2﹣10，画出函数y和函数y＝x2﹣1的图象，观察图象即可得出答案．
【解答】解：∵x≠0
∴方程x3﹣x﹣1＝0两边同时除以x得x2﹣10，
∴x2﹣1，
∴画出函数y和函数y＝x2﹣1的图象如图，
观察图象，函数y和函数y＝x2﹣1的图象有一个交点，
所以，方程x3﹣x﹣1＝0有一个实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了方程与函数的关系，利用图象的交点求高次方程的解是解决此题的关键．
3．根据下列表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3B．x＜2C．4＜x＜5D．3＜x＜4
【考点】高次方程．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据x＝3时，ax2+bx+c＝0.5＞0，x＝4时，ax2+bx+c＝﹣0.5＜0，由此可得出ax2+bx+c＝0时，x的取值范围．
【解答】解：由表格中的对应值可知：ax2+bx+c的值随x的增大而减小，
又∵当x＝3时，ax2+bx+c＝0.5＞0，当x＝4时，ax2+bx+c＝﹣0.5＜0，
∴当3＜x＜4时，一定有ax2+bx+c＝0，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是3＜x＜4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的意义，解决问题的关键是观察表格的对应值，得ax2+bx+c的值随x的增大而减小，且当x的取值在3到4之间变化时，ax2+bx+c的值的符号发生了变化．
4．五个完全相同的小矩形拼成如图所示的大矩形，大矩形的面积是135cm2，则小矩形的宽为（ ）cm．
A．3B．C．D．
【考点】二元二次方程组．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】设小矩形的长为x cm，宽为y cm，根据图形中的数量关系以及大矩形的面积是135cm2，列出二元二次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设小矩形的长为x cm，宽为y cm，
由题意得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
即小矩形的宽为3cm，
故选：A．
【点评】本题考查了二元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元二次方程组是解题的关键．
5．已知x＝1，y＝2是方程3ax2﹣2y2＝1的一个解，则a的值是多少（ ）
A．4B．3C．2D．1
【考点】高次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】把x＝1，y＝2代入得到关于a的方程，即可解得答案．
【解答】解：将x＝1，y＝2代入方程3ax2﹣2y2＝1得：
3a﹣8＝1，
解得a＝3，
故选：B．
【点评】本题考查高次方程的解，解题的关键是掌握方程解的概念，把x＝1，y＝2代入得到关于a的方程．
二．填空题（共5小题）
6．如果方程x3﹣4x2+（3+k）x﹣k＝0的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数k＝ ．
【考点】高次方程；三角形三边关系．
【专题】代数几何综合题；应用意识．
【答案】．
【分析】根据原方程可知x﹣1＝0，和x2﹣3x+k＝0，因为关于x的方程（x﹣1）（x2﹣3x+k）＝0有三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，所以x2﹣3x+k＝0的根的判别式Δ＝0，然后再由等腰三角形的三边关系来确定k的值．
【解答】解：∵关于x的方程x3﹣4x2+（3+k）x﹣k＝0有三个根，
∵x3﹣4x2+（3+k）x﹣k＝0，
∴x3﹣3x2+kx﹣x2+3x﹣k＝0，
∴x（x2﹣3x+k）﹣（x2﹣3x+k）＝0，
∴（x﹣1）（x2﹣3x+k）＝0，
∴①x﹣1＝0，解得x1＝1；
②x2﹣3x+k＝0，
∴Δ＝9﹣4k＝0，即k，
∴k的值是k．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及等腰三角形的三边关系．解答此题时，需注意三个根可以作为一个等腰三角形的三边长．
7．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3﹣4x＝0，它的解是 0或﹣2或2 ．
【考点】高次方程．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】0或﹣2或2
【分析】利用因式分解求解即可．
【解答】解：x3﹣4x＝0，
∴x（x2﹣4）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x+2＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝2．
故答案为：0或﹣2或2．
【点评】本题主要考查了解高次方程，熟练掌握整式的因式分解是解题的关键．
8．要生产一个底面为正方形的长方体形容器，容积为128L（1L＝1立方分米），使它的高是底面边长的2倍，则底面边长为 4 分米．
【考点】高次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】4．
【分析】设底面边长为x分米，则高是2x分米，根据生产的长方体形容器的容积为128L，可列出关于x的一元三次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设底面边长为x分米，则高是2x分米，
根据题意得：2x•x2＝128，
即x3＝64，
解得：x＝4，
∴底面边长为4分米．
故答案为：4．
【点评】本题考查了高次方程，找准等量关系，正确列出一元三次方程是解题的关键．
9．已知实数x、y满足（x2+1）（x2﹣3）＝0，则x2＝ 3 ．
【考点】高次方程．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】3．
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：∵（x2+1）（x2﹣3）＝0，
又∵x2+1≠0，
∴x2﹣3＝0，
∴x2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查高次方程的解，解题的关键是学会利用因式分解法解方程．
10．写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，那么这个方程可以是 x+xy+y＝5 ．
【考点】高次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x+xy+y＝5（答案不唯一）．
【分析】根据题意，只要写出的方程是二元二次方程，且是该方程的解即可．
【解答】解：答案不唯一，例如：x+xy+y＝5，x2+y＝3，等等．
故答案为：x+xy+y＝5（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了二元二次方程定义及二元二次方程的解，此题属于开放型试题，答案不唯一，只要符合二元二次方程的定义，且是该方程的解即可．
三．解答题（共5小题）
11．解方程：
（1）x2﹣7x﹣18＝0；
（2）4x2+1＝4x．
【考点】高次方程；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝9，x2＝﹣2；
（2）x1＝x2．
【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣9＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
【解答】解：（1）x2﹣7x﹣18＝0，
（x﹣9）（x+2）＝0，
x﹣9＝0或x+2＝0，
所以x1＝9，x2＝﹣2；
（2）4x2﹣4x+1＝0，
∵a＝4，b＝﹣4，c＝1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，
∴x，
∴x1＝x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
12．皮薄汁甜，好吃不上火的爱媛果冻橙近年来备受人们欢迎，某爱媛果冻橙基地11月15日开始采摘发售．采摘发售第一周，大果累计卖了20000元，中果卖了14400元，已知大果每箱单价比中果每箱多25%，且销量比中果多20箱．
（1）求每箱大果、中果的售价分别是多少元？
（2）由于供不应求，该批发商开始调整价格，第二周每箱大果价格在第一周基础上上涨了2a%，销量减少了20箱，同时每箱中果比第一周多元，销量增加了25%，最终销售总额比第一周多了7000元，求a的值．
【考点】二元二次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）每箱大果的售价是100元，每箱中果的售价是80元；
（2）a的值是10．
【分析】（1）设采摘发售第一周，每箱中果的售价是x元，中果的销量是y箱，则每箱大果的售价是（1+25%）x元，大果的销量是（y+20）箱，根据大果累计卖了20000元，中果卖了14400元，列出二元二次方程组，解方程组即可；
（2）根据（1）中的结果结合第二周销售总额比第一周多了7000元，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设采摘发售第一周，每箱中果的售价是x元，中果的销量是y箱，则每箱大果的售价是（1+25%）x元，大果的销量是（y+20）箱，
由题意得：，
解得：，
∴（1+25%）x＝1.25×80＝100，y+20＝180+20＝200，
答：每箱大果的售价是100元，每箱中果的售价是80元；
（2）由题意得：100（1+2a%）×（200﹣20）+（80a）×[180×（1+25%）]＝20000+14400+7000，
解得：a＝10，
答：a的值是10．
【点评】本题考查了二元二次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元二次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
13．已知方程组有两组不同的实数解，．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使3？若存在，请求出所有符合条件的k的值；若不存在，请说明理由．
【考点】高次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）k且k≠0；
（2）不成立．
【分析】（1）将方程整理为kx2﹣（1+2k）x+k0，根据题意可得k≠0，Δ＝（1+2k）2﹣4k（k）＞0，求出k的范围即可；
（2）由根与系数的关系可得x1+x22，x1•x2＝1，通过计算可得2，即可进行判断．
【解答】解：（1），
将②代入①，得kx2﹣（1+2k）x+k0，
∵方程组有两组不同的实数解，
∴k≠0，Δ＝（1+2k）2﹣4k（k）＞0，
解得k且k≠0；
（2）不存在，理由如下：
∵kx2﹣（1+2k）x+k0，
∴x1+x22，x1•x2＝1，
∵2，
∴3不成立．
【点评】本题考查高次方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的存在关系是解题的关键．
14．某市计划采购A，B两种花卉对某广场进行美化．
（1）该市第一批花费2000元采购A，B两种花卉共1500盆，此时A，B两种花卉的价格分别为1元/盆，2元/盆，求采购A，B两种花卉各多少盆？
（2）由于花卉价格有所调整，该市第二批分别花费450元，900元购买A，B两种花卉，已知购买的B种花卉每盆比A种花卉多1元，且B种花卉比A种花卉的盆数多20%，求购买A种花卉多少盆？
【考点】二元二次方程组；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）采购A种花卉1000盆，B种花卉500盆；
（2）购买A种花卉300盆．
【分析】（1）设采购A种花卉x盆，B种花卉y盆，根据该市第一批花费2000元采购A，B两种花卉共1500盆，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种花卉m盆，A种花卉每盆n元，根据该市第二批分别花费450元，900元购买A，B两种花卉，列出二元二次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）设采购A种花卉x盆，B种花卉y盆，
由题意得：，
解得：，
答：采购A种花卉1000盆，B种花卉500盆；
（2）设购买A种花卉m盆，A种花卉每盆n元，
由题意得：，
解得：，
答：购买A种花卉300盆．
【点评】本题考查了二元二次方程组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元二次方程组．
15．某校为举办30周年校庆，对校内的甲、乙两块绿地（甲为正方形，乙为长方形）进行改造，在改造过程中产生以下两个问题，请你给予解答：
（1）在改造甲绿地时，将相邻的两边，一边增加2米，一边减少2米，得到一块新的长方形绿地，那么面积是否不变？请说明理由；
（2）在改造乙绿地时，发现若将它的长增加4米，宽减少1米，则面积保持不变；若将它的长减少2米，宽增加1米，则面积仍保持不变；求原乙绿地的面积．
【考点】二元二次方程组．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】（1）改造后的面积比改造前减少了4平方米；
（2）原乙绿地的面积为24平方米．
【分析】（1）设甲正方形的边长为x米，则改造前的面积为x2平方米，再根据题意可得：改造后的面积＝（x2﹣4）平方米，然后进行计算即可解答；
（2）设原乙绿地长方形的长为a米，宽为b米，然后根据题意可得：，从而进行计算即可解答．
【解答】解：（1）面积减少了4平方米，
理由：设甲正方形的边长为x米，则改造前的面积为x2平方米，
由题意得：改造后的面积＝（x+2）（x﹣2）＝（x2﹣4）平方米，
∴x2﹣（x2﹣4）＝x2﹣x2+4＝4（平方米），
答：改造后的面积比改造前减少了4平方米；
（2）设原乙绿地长方形的长为a米，宽为b米，
由题意得：，
解得：，
∴原乙绿地长方形的面积＝ab＝8×3＝24（平方米），
∴原乙绿地的面积为24平方米．
【点评】本题考查了二元二次方程组的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
考点卡片
1．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
2．估算一元二次方程的近似解
用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
3．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
4．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
5．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
6．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
7．二元二次方程组
二元二次方程组．
二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法．
一般解法：
二元二次方程组的一般解法是代入法，在（1）中现将y作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程．因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有实数解．将（3）代入（2）中，解出 x ，再根据（3）解出 y ．
二元二次方程组最多可能有四组解．用代入法解二元二次方程组计算量大，计算困难（尤其是解无理方程和一元四次方程），因此必须寻找更简便的方法．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/1 12:32:19；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968

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﹣3
6.875
25
x
3
4
5
ax2+bx+c
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x
0
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1
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2
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