2023—2024学年下学期初中数学沪教新版八年级期中必刷常考题之二元二次方程和方程组

这是一份2023—2024学年下学期初中数学沪教新版八年级期中必刷常考题之二元二次方程和方程组，共16页。试卷主要包含了下列方程中，二元二次方程是，由方程组消去y后得到的方程是，将方程组等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在一条直线上，若阴影部分的面积为38，大长方形的周长为30，则一张小长方形的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．下列方程中，二元二次方程是（ ）
A．2x2+3x﹣4＝0B．y2+2x＝0
C．y（x2+x）＝2D．
3．某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（ ）
A．25本B．20本C．15本D．10本
4．下列方程组中是二元二次方程组有（ ）个．
（1） （2） （3） （4）．
A．1B．2C．3D．4
5．已知，则表达式a4+a3b+a2b2+ab3+b4的值为（ ）
A．12499B．12599C．12699D．12799
6．由方程组消去y后得到的方程是（ ）
A．2x2﹣2x+5＝0B．2x2﹣2x﹣3＝0
C．2x2+2x+1＝0D．2x2+2x+9＝0
二．填空题（共5小题）
7．m2＝n+1011，n2＝m+1011，且m≠n，则m2+n2＝ ．
8．已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为 ．
9．方程组的解是 ．
10．将方程组：转化成两个二元二次方程组分别是 和 ．
11．如图，大长方形由2个完全一样的大正方形、2个完全一样的小正方形和5个完全一样的小长方形拼成．若这个大长方形的周长为48cm，四个正方形的面积之和为68cm2，则其中一个小长方形的面积是 cm2．
三．解答题（共4小题）
12．某市计划采购A，B两种花卉对某广场进行美化．
（1）该市第一批花费2000元采购A，B两种花卉共1500盆，此时A，B两种花卉的价格分别为1元/盆，2元/盆，求采购A，B两种花卉各多少盆？
（2）由于花卉价格有所调整，该市第二批分别花费450元，900元购买A，B两种花卉，已知购买的B种花卉每盆比A种花卉多1元，且B种花卉比A种花卉的盆数多20%，求购买A种花卉多少盆？
13．某校为举办30周年校庆，对校内的甲、乙两块绿地（甲为正方形，乙为长方形）进行改造，在改造过程中产生以下两个问题，请你给予解答：
（1）在改造甲绿地时，将相邻的两边，一边增加2米，一边减少2米，得到一块新的长方形绿地，那么面积是否不变？请说明理由；
（2）在改造乙绿地时，发现若将它的长增加4米，宽减少1米，则面积保持不变；若将它的长减少2米，宽增加1米，则面积仍保持不变；求原乙绿地的面积．
14．皮薄汁甜，好吃不上火的爱媛果冻橙近年来备受人们欢迎，某爱媛果冻橙基地11月15日开始采摘发售．采摘发售第一周，大果累计卖了20000元，中果卖了14400元，已知大果每箱单价比中果每箱多25%，且销量比中果多20箱．
（1）求每箱大果、中果的售价分别是多少元？
（2）由于供不应求，该批发商开始调整价格，第二周每箱大果价格在第一周基础上上涨了2a%，销量减少了20箱，同时每箱中果比第一周多元，销量增加了25%，最终销售总额比第一周多了7000元，求a的值．
15．如图，在大长方形ABCD中放入10个相同的小长方形（图中空白部分）．若大长方形的周长是104，图中阴影部分的面积是327．设小长方形的长为x，宽为y．求一个小长方形的周长和面积分别是多少？
2023—2024学年下学期初中数学沪教新版八年级期中必刷常考题之二元二次方程和方程组
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在一条直线上，若阴影部分的面积为38，大长方形的周长为30，则一张小长方形的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】二元二次方程组．
【专题】几何图形问题；整式；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】大长方形的长＝2x+y，大长方形的宽＝x+2y，根据阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣5个小长方形的面积，以及大长方形的周长等于30，列出含有x和y的等式，通过变形得出小长方形的面积，即xy的值，从而求出结果．
【解答】解：由题意知，大长方形的长＝2x+y，
大长方形的宽＝x+2y，
则大长方形的周长＝2[（2x+y）+（x+2y）]＝30，
化简得x+y＝5，
∴（x+y）2＝52，
即x2+2xy+y2＝25，
∵阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣5个小长方形的面积，
∴38＝（2x+y）（x+2y）﹣5xy，
化简得x2+y2＝19，
∴19+2xy＝25，
解得xy＝3，
则一张小长方形的面积为3．
故选：B．
【点评】本题考查了二元二次方程组，通过观察图形特点并结合已知条件列出方程，运用完全平方公式求解是解题的关键．
2．下列方程中，二元二次方程是（ ）
A．2x2+3x﹣4＝0B．y2+2x＝0
C．y（x2+x）＝2D．
【考点】二元二次方程组．
【专题】推理填空题．
【答案】B
【分析】本题根据二元二次方程的定义解答．二元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有两个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、方程中含有一个未知数；故本选项错误；
B、方程中含有两个未知数，且未知数的次数是2，符合二元二次方程的定义；故本选项正确；
C、由原方程，得yx2+yx＝2，该方程的最高次数是3；故本选项错误；
D、由原方程，得y2x﹣3y2+1＝0该方程的最高次数是3；故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二元二次方程的概念，判断一个方程是否是二元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有两个未知数，且未知数的最高次数是2．
3．某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（ ）
A．25本B．20本C．15本D．10本
【考点】二元二次方程组．
【专题】经济问题．
【答案】C
【分析】设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40﹣x）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值即可．
【解答】解：设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40﹣x）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本．
故选：C．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，能根据题意得出关于x、y的二元一次方程组是解答此题的关键．
4．下列方程组中是二元二次方程组有（ ）个．
（1） （2） （3） （4）．
A．1B．2C．3D．4
【考点】二元二次方程组；无理方程．
【答案】B
【分析】组成二元二次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是二次的整式方程．
【解答】解：（1） 次数是2，符合二元二次方程组，（2） 次数是2，符合二元二次方程组，（3） 次数是2，不符合二元二次方程组，（4）有三个未知数，不符合二元二次方程组，
故选：B．
【点评】此题考查二元二次方程组定义，一定紧扣二元二次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
5．已知，则表达式a4+a3b+a2b2+ab3+b4的值为（ ）
A．12499B．12599C．12699D．12799
【考点】二元二次方程组；代数式求值．
【专题】数与式；应用意识．
【答案】A
【分析】设ab＝m，a+b＝n，构建关于m，n的方程组，求出m，n的值，正确的ab，a+b的值，可得结论．
【解答】解：设ab＝m，a+b＝n，
则有，
解得或，
当m＝11，n＝6时，ab＝11，a+b＝6，
∴a（6﹣a）＝11，
∴a2﹣6a+11＝0，
∵Δ＝62﹣4×1×11＜0，
∴方程无解，此种情形不成立，
∴m＝6，n＝11，
∴ab＝6，a+b＝11，
∵a4+a3b+a2b2+ab3+b4
＝a3（a+b）+（ab）2+b3（a+b）
＝（a+b）（a3+b3）+（ab）2
＝（a+b）2[（a+b）2﹣3ab）]+（ab）2
＝112×（112﹣18）+62
＝12499，
故选：A．
【点评】本题考查二元方程组，一元二次方程的根的判别式，乘法公式，因式分解等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，属于中考常考题型．
6．由方程组消去y后得到的方程是（ ）
A．2x2﹣2x+5＝0B．2x2﹣2x﹣3＝0
C．2x2+2x+1＝0D．2x2+2x+9＝0
【考点】二元二次方程组．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】由x﹣y＝1得y+1＝x，将y+1＝x代入（x﹣1）2+（y+1）2+4＝0，化简即可．
【解答】解：∵x﹣y＝1，
∴y+1＝x①，
将①代入（x﹣1）2+（y+1）2+4＝0，得：
（x﹣1）2+x2+4＝0，
化简得：2x2﹣2x+5＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了代入消元解二元二次方程组，解一元二次方程，解决本题的关键是通过代入消元将（x﹣1）2+（y+1）2+4＝0转化为2x2﹣2x+5＝0．
二．填空题（共5小题）
7．m2＝n+1011，n2＝m+1011，且m≠n，则m2+n2＝ 2021 ．
【考点】二元二次方程组．
【专题】整式；推理能力．
【答案】2021．
【分析】先求出m+n的值，然后求出m2+n2＝m+n+2022，最后得出结论即可．
【解答】解：∵m2＝n+1011，n2＝m+1011，
∴m2﹣n2＝n﹣m，
∴（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，
即m+n＝﹣1，
∴m2+n2＝m+n+2022＝﹣1+2022＝2021，
故答案为：2021．
【点评】本题主要考查平方差公式的应用，熟练利用平方差公式求出m+n的值是解题的关键．
8．已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为 ．
【考点】二元二次方程组．
【专题】常规题型；运算能力．
【答案】．
【分析】分别列两个方程代入x，y的值就可以．
【解答】解：把x，y的值代入符合要求；
故答案为：．
【点评】考察二元一次方程组定义，方程组得解，解题关键x，y都能使两个方程左右值相等．
9．方程组的解是 ， ．
【考点】二元二次方程组．
【专题】方程思想；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察方程组，选用代入法，即可达到降次的目的．
【解答】解：，
由①得x＝y+3③，
把③代入②式，整理得y2+3y+2＝0，
解得y1＝﹣1，y2＝﹣2．
把y1＝﹣1代入x＝y+3，得x1＝2，
把y2＝﹣2代入x＝y+3，得x2＝1．
故原方程组的解为，．
故答案为：，．
【点评】此题考查了二元二次方程组，关键是熟练掌握运用代入法解二元二次方程组的方法．
10．将方程组：转化成两个二元二次方程组分别是 和 ．
【考点】二元二次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程组中，方程x2﹣5xy+6y2＝0的左边可因式分解，根据：两个因式的积为0，则其中至少有一个因式为0，将原方程组转化为两个二元二次方程组．
【解答】解：由方程x2﹣5xy+6y2＝0得（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，
即x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，
所以，原方程组可化为，，
故答案为：，．
【点评】本题考查了二元二次方程组的定义．关键是将方程组中的某个方程左边因式分解，使其积为0，可将较复杂的高次方程组转化为简单的高次方程组．
11．如图，大长方形由2个完全一样的大正方形、2个完全一样的小正方形和5个完全一样的小长方形拼成．若这个大长方形的周长为48cm，四个正方形的面积之和为68cm2，则其中一个小长方形的面积是 15 cm2．
【考点】二元二次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】15．
【分析】设小长方形的长为x cm，宽为y cm，则大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，根据“这个大长方形的周长为48cm，四个正方形的面积之和为68cm2”，即可得出关于x，y的二元二次方程组，方程①可化简得x+y＝8③，再利用（2×③2﹣②）÷4，即可求出xy（一个小长方形的面积）的值．
【解答】解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，则大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，
依题意得：，
①化简得：x+y＝8③，
（2×③2﹣②）÷4得：xy＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了二元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元二次方程组是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
12．某市计划采购A，B两种花卉对某广场进行美化．
（1）该市第一批花费2000元采购A，B两种花卉共1500盆，此时A，B两种花卉的价格分别为1元/盆，2元/盆，求采购A，B两种花卉各多少盆？
（2）由于花卉价格有所调整，该市第二批分别花费450元，900元购买A，B两种花卉，已知购买的B种花卉每盆比A种花卉多1元，且B种花卉比A种花卉的盆数多20%，求购买A种花卉多少盆？
【考点】二元二次方程组；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）采购A种花卉1000盆，B种花卉500盆；
（2）购买A种花卉300盆．
【分析】（1）设采购A种花卉x盆，B种花卉y盆，根据该市第一批花费2000元采购A，B两种花卉共1500盆，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种花卉m盆，A种花卉每盆n元，根据该市第二批分别花费450元，900元购买A，B两种花卉，列出二元二次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）设采购A种花卉x盆，B种花卉y盆，
由题意得：，
解得：，
答：采购A种花卉1000盆，B种花卉500盆；
（2）设购买A种花卉m盆，A种花卉每盆n元，
由题意得：，
解得：，
答：购买A种花卉300盆．
【点评】本题考查了二元二次方程组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元二次方程组．
13．某校为举办30周年校庆，对校内的甲、乙两块绿地（甲为正方形，乙为长方形）进行改造，在改造过程中产生以下两个问题，请你给予解答：
（1）在改造甲绿地时，将相邻的两边，一边增加2米，一边减少2米，得到一块新的长方形绿地，那么面积是否不变？请说明理由；
（2）在改造乙绿地时，发现若将它的长增加4米，宽减少1米，则面积保持不变；若将它的长减少2米，宽增加1米，则面积仍保持不变；求原乙绿地的面积．
【考点】二元二次方程组．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】（1）改造后的面积比改造前减少了4平方米；
（2）原乙绿地的面积为24平方米．
【分析】（1）设甲正方形的边长为x米，则改造前的面积为x2平方米，再根据题意可得：改造后的面积＝（x2﹣4）平方米，然后进行计算即可解答；
（2）设原乙绿地长方形的长为a米，宽为b米，然后根据题意可得：，从而进行计算即可解答．
【解答】解：（1）面积减少了4平方米，
理由：设甲正方形的边长为x米，则改造前的面积为x2平方米，
由题意得：改造后的面积＝（x+2）（x﹣2）＝（x2﹣4）平方米，
∴x2﹣（x2﹣4）＝x2﹣x2+4＝4（平方米），
答：改造后的面积比改造前减少了4平方米；
（2）设原乙绿地长方形的长为a米，宽为b米，
由题意得：，
解得：，
∴原乙绿地长方形的面积＝ab＝8×3＝24（平方米），
∴原乙绿地的面积为24平方米．
【点评】本题考查了二元二次方程组的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．皮薄汁甜，好吃不上火的爱媛果冻橙近年来备受人们欢迎，某爱媛果冻橙基地11月15日开始采摘发售．采摘发售第一周，大果累计卖了20000元，中果卖了14400元，已知大果每箱单价比中果每箱多25%，且销量比中果多20箱．
（1）求每箱大果、中果的售价分别是多少元？
（2）由于供不应求，该批发商开始调整价格，第二周每箱大果价格在第一周基础上上涨了2a%，销量减少了20箱，同时每箱中果比第一周多元，销量增加了25%，最终销售总额比第一周多了7000元，求a的值．
【考点】二元二次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）每箱大果的售价是100元，每箱中果的售价是80元；
（2）a的值是10．
【分析】（1）设采摘发售第一周，每箱中果的售价是x元，中果的销量是y箱，则每箱大果的售价是（1+25%）x元，大果的销量是（y+20）箱，根据大果累计卖了20000元，中果卖了14400元，列出二元二次方程组，解方程组即可；
（2）根据（1）中的结果结合第二周销售总额比第一周多了7000元，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设采摘发售第一周，每箱中果的售价是x元，中果的销量是y箱，则每箱大果的售价是（1+25%）x元，大果的销量是（y+20）箱，
由题意得：，
解得：，
∴（1+25%）x＝1.25×80＝100，y+20＝180+20＝200，
答：每箱大果的售价是100元，每箱中果的售价是80元；
（2）由题意得：100（1+2a%）×（200﹣20）+（80a）×[180×（1+25%）]＝20000+14400+7000，
解得：a＝10，
答：a的值是10．
【点评】本题考查了二元二次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元二次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
15．如图，在大长方形ABCD中放入10个相同的小长方形（图中空白部分）．若大长方形的周长是104，图中阴影部分的面积是327．设小长方形的长为x，宽为y．求一个小长方形的周长和面积分别是多少？
【考点】二元二次方程组．
【专题】方程与不等式；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】由大长方形的周长是104，图中阴影部分的面积是327．列出方程组，可求解．
【解答】解：由题意可得：，
∴，
∴2（x+y）＝26，xy＝30，
∴一个小长方形的周长为26，面积为30．
【点评】本题考查了二元二次方程组，找到正确的数量关系是解题的关键．
考点卡片
1．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
2．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
3．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程． （3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程． 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
4．二元二次方程组
二元二次方程组．
二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法．
一般解法：
二元二次方程组的一般解法是代入法，在（1）中现将y作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程．因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有实数解．将（3）代入（2）中，解出 x ，再根据（3）解出 y ．
二元二次方程组最多可能有四组解．用代入法解二元二次方程组计算量大，计算困难（尤其是解无理方程和一元四次方程），因此必须寻找更简便的方法．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/1 12:30:16；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968

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