2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之角平分线

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A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
2．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝8，点F是射线OB上的一个动点．若PF的最小值为4，则△POE的面积为（ ）
A．6B．8C．16D．32
4．如图，点P是∠ACB的平分线CD上一点，PE⊥BC于点E，点F为射线CA上一点．若PE＝6，则PF长的最小值是（ ）
A．4B．5.5C．6D．8
5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的长不可能是（ ）
A．4B．3.5C．2D．1.5
二．填空题（共5小题）
6．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB＝6，DE＝3，则AC的长是 ．
7．如图△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，CM＝4cm，AB＝7cm，则△ABM的面积是 cm2．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为 ．
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ ．
10．如图，地块△ABC中，边AB＝40m，AC＝30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320m2，则地块△ACD的面积为 m2．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．
12．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．
13．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
14．如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之角平分线
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】A
【分析】由题意可知，点P到射线OB，OA的距离相等，则点P在∠BOA的平分线上，即可得出答案．
【解答】解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度，
∴点P到射线OB，OA的距离相等，
∴点P在∠BOA的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质，理解题意，掌握角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解答本题的关键．
2．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】A
【分析】先根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，再利用三角形面积公式得到2×42×AC＝7，然后解关于AC的方程即可．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝2，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴2×42×AC＝7，
∴AC＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝8，点F是射线OB上的一个动点．若PF的最小值为4，则△POE的面积为（ ）
A．6B．8C．16D．32
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，PF的最小值为4，
∴PE＝4（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵OE＝8，
∴△OPE的面积16，
故选：C．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出PE＝4．
4．如图，点P是∠ACB的平分线CD上一点，PE⊥BC于点E，点F为射线CA上一点．若PE＝6，则PF长的最小值是（ ）
A．4B．5.5C．6D．8
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据垂线段最短和角平分线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵点P是∠ACB的平分线CD上一点，PE⊥BC于点E，PE＝6，
∴当PF⊥AC时，PF最短＝PE＝6．
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的长不可能是（ ）
A．4B．3.5C．2D．1.5
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质得到点P到OM的距离等于PA，根据垂线段最短得到PQ≥2，然后对各选项进行判断．
【解答】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴点P到OM的距离等于PA，即点P到OM的距离为2，
∴PQ≥2．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质，正确记忆角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB＝6，DE＝3，则AC的长是 4 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点D作DF⊥AC于F，然后利用角平分线的性质和三角形的面积公式列式计算即可列式计算即可得解．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC,
∴DE＝DF＝3，
∴S△ABC6×3AC×3＝15，
解得AC＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
7．如图△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，CM＝4cm，AB＝7cm，则△ABM的面积是 14 cm2．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】14．
【分析】过点M作MD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得MC＝MD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点M作MD⊥AB于D，
∵∠C＝90°，AM平分∠BAC，
∴MD＝MC＝4cm，
∴△ABM的面积AB•MD7×4＝14（cm2）．
故答案为：14．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为 18 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】18．
【分析】过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE的长，进而得出△ABD的面积．
【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD＝3，
又∵AB＝12，
∴△ABD的面积为12×3＝18，
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ 1 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】1．
【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质可得DE＝DF＝1，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝1，
∵AC＝2，
∴S△ACDAC•DF
2×1
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．如图，地块△ABC中，边AB＝40m，AC＝30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320m2，则地块△ACD的面积为 240 m2．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】240．
【分析】过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由平分线的性质证得DE＝DF，由三角形的面积公式求出DF，再由三角形的面积公式即可求出△ACD的面积．
【解答】解：过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝40m，△ABD的面积为320m2，
∵DE＝DF16（m），
∴△ACD的面积AC•DF30×16＝240（m2），
故答案为：240．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质证得DE＝DF是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD是△ABC的角平分线．
【点评】此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定．由三角形全等得到DE＝DF是正确解答本题的关键．
12．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PE，利用“HL”证明Rt△OPD和Rt△OPE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD＝OE，再利用“边角边”证明△ODF和△OEF全等，然后利用全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
在Rt△OPD和Rt△OPE中，，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），
∴OD＝OE，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOF＝∠EOF，
在△ODF和△OEF中，，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF＝EF．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于二次证明三角形全等．
13．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）60°；（2）27．
【分析】（1）AD是△ABC的角平分线，则AD将∠BAC分成两个度数相等的角；
（2）AD是△ABC的角平分线，则点D到∠BAC两边的距离相等．
【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD∠BAC60°＝30°．
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）如图，过D作DF⊥AC于点F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABCAB×DEAC×DF10×38×3＝27．
【点评】此题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边的距离相等、三角形内角和等于180度是解决此题的关键．
14．如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据AAS定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DF＝DE，由此可得出结论．
【解答】证明：∵BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DF＝DE，
∴AD平分∠BAC．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；
（2）根据全等三角形的性质定理得到AC＝AE，根据（1）的结论得到答案．
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
【点评】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法．
考点卡片
1．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
2．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
3．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
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