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2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之确定二次函数的表达式
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这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之确定二次函数的表达式，共17页。试卷主要包含了已知点P上一动点等内容，欢迎下载使用。
1．已知抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3），则该抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
2．滑雪爱好者小张从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得的一些如下数据（如表），为观察：s与t之间的关系，建立坐标系（如图），以t为横坐标，s为纵坐标绘制了如图所示的函数图象
根据以上信息，可知，s与t的函数关系式是（不考虑取值范围）（ ）
A．B．
C．D．
3．把二次函数y＝x2﹣2x化成顶点式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1B．y＝（x﹣1）2﹣1
C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x+1）2﹣1
4．将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+4
5．小明在用“描点法”探究二次函数的性质时，画出了以下表格：
遗憾的是，部分数据已经遗忘（如表所示），小明只记得遗忘的三个数a，b，c中有两个数相同．根据以上信息，小明探究的二次函数表达式可能是（ ）
A．y＝x2﹣3x﹣2B．
C．y＝2x2﹣5x﹣1D．
二．填空题（共5小题）
6．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ．
7．将二次函数y＝﹣x2+4x+2化成顶点式为 ．
8．如图，函数y＝﹣（x﹣h）2+k的图象，则其解析式为 ．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点OB＝OC＝3OA，则该抛物线的解析式是 ．
10．已知点P（m，n）为抛物线y＝ax2﹣4ax+b（a≠0）上一动点．当1≤m≤4时，n的取值范围是1≤n≤4，则抛物线的解析式为 ．
三．解答题（共5小题）
11．已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）写出它的开口方向、对称轴．
12．抛物线的图象如图所示，其中点A为顶点．
（1）写出点A，B的坐标；
（2）求出抛物线的解析式．
13．已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），求抛物线的解析式．
14．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
15．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
（1）这个二次函数的解析式是 ；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为 ．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之确定二次函数的表达式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3），则该抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】B
【分析】根据题意，抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3），得到对称轴经过点A（3，3），列出式子，求出答案．
【解答】解：由题意得：
抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3），
∴对称轴经过点A（3，3），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：．
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法是解答本题的关键．
2．滑雪爱好者小张从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得的一些如下数据（如表），为观察：s与t之间的关系，建立坐标系（如图），以t为横坐标，s为纵坐标绘制了如图所示的函数图象
根据以上信息，可知，s与t的函数关系式是（不考虑取值范围）（ ）
A．B．
C．D．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】观察函数图象，可知s与t成二次函数关系，根据给定数据，利用待定系数法，即可求出s与t的函数关系式．
【解答】解：观察函数图象，可知：s与t成二次函数关系，
设s＝at2+bt+c（a≠0），
将（0，0），（1，4.5），（2，14）代入s＝at2+bt+c得：，
解得：，
∴s与t的函数关系式是st2+2t．
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据给定数据，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．
3．把二次函数y＝x2﹣2x化成顶点式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1B．y＝（x﹣1）2﹣1
C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x+1）2﹣1
【考点】二次函数的三种形式．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【答案】B
【分析】利用配方法，即可求解．
【解答】解：y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数由一般式化为顶点式的方法，利用完全平方公式进行配方；熟记完全平方公式是解题的关键．
4．将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+4
【考点】二次函数的三种形式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式变形，把一般式化为顶点式，得到答案．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1
＝x2﹣2x+1﹣2
＝（x﹣1）2﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
5．小明在用“描点法”探究二次函数的性质时，画出了以下表格：
遗憾的是，部分数据已经遗忘（如表所示），小明只记得遗忘的三个数a，b，c中有两个数相同．根据以上信息，小明探究的二次函数表达式可能是（ ）
A．y＝x2﹣3x﹣2B．
C．y＝2x2﹣5x﹣1D．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】分别求出各选项抛物线的对称轴，根据每两个数相同，分别判断即可得到答案．
【解答】解：A、y＝x2﹣3x﹣2的对称轴为直线x，
B、y的对称轴为直线x，
C、y＝2x2﹣5x﹣1的对称轴为直线x，
D、y的对称轴为直线x，
若a与b相同，则抛物线的对称轴为直线x，只有B选项符合；
若a与c相同，则抛物线的对称轴为直线x1，没有选项符合；
若b与c相同，则抛物线的对称轴为直线x，选项A、D均符合，
但当x＝2时，y＝22﹣3×2﹣2＝﹣4≠﹣3故A不符合，当x＝2时，y，故D不符合；
∴a与b相同，B选项符合，
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数的图象与性质，抛物线关于对称轴的对称性，正确理解二次函数的图象与性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： y＝x2+2 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题；开放型；二次函数图象及其性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c＝2即可．
【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式可以为y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
7．将二次函数y＝﹣x2+4x+2化成顶点式为 y＝﹣（x﹣2）2+6 ．
【考点】二次函数的三种形式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】y＝﹣（x﹣2）2+6．
【分析】利用完全平方公式进行配方即可求解．
【解答】解：y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x2﹣4x+22）+2+22＝﹣（x﹣2）2+6，
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+6．
【点评】本题考查了二次函数由一般式化为顶点式的方法，二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
8．如图，函数y＝﹣（x﹣h）2+k的图象，则其解析式为 y＝﹣（x+1）2+5 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图象得出顶点的坐标，即可求得解析式．
【解答】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，5）
所以函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+5．
故答案为y＝﹣（x+1）2+5．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，根据图象得出顶点是本题的关键．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点OB＝OC＝3OA，则该抛物线的解析式是 y＝x2﹣2x﹣3 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】y＝x2﹣2x﹣3．
【分析】根据抛物线与y轴交于点C易得点C的坐标为C（0，﹣3），根据OB＝OC＝3OA，可得点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴OB＝3，OA＝1，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
将B（3，0），A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3得，
，
解得，
∴该抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是本题的关键．
10．已知点P（m，n）为抛物线y＝ax2﹣4ax+b（a≠0）上一动点．当1≤m≤4时，n的取值范围是1≤n≤4，则抛物线的解析式为 或 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】抛物线的解析式为或．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况考虑，依据二次函数的性质找出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：①当a＜0时，当时函数有最大值4，x＝4时有最小值1，有，
解得：，
此时抛物线的解析式为；
②当a＞0时，当时函数有最小值1，x＝4时有最大值4，
有，
解得：，
此时抛物线的解析式为．
综上可知：抛物线的解析式为或．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解决该题型题目时，分类讨论是关键．
三．解答题（共5小题）
11．已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）写出它的开口方向、对称轴．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接设顶点式，再用待定系数法求二次函数的解析式．进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴方程．
【解答】解：（1）设函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把顶点和点（1，﹣3）代入解析式，得：
a，所以抛物线的解析式为：；
（2）由（1）的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴x＝﹣1．
【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．
12．抛物线的图象如图所示，其中点A为顶点．
（1）写出点A，B的坐标；
（2）求出抛物线的解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）A（2，﹣4），B（0，4）；
（2）y＝2（x﹣2）2﹣4．
【分析】（1）观察图象即可写出点A，B的坐标；
（2）利用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）观察图象可知，A（2，﹣4），B（0，4）；
（2）∵A为顶点，A（2，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，
把B（0，4）代入得，4a﹣4＝4，
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣4．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象和性质，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，属于中考常考题型．
13．已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），求抛物线的解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设函数的解析式是y＝a（x+1）2﹣8，把（0，﹣6）代入函数解析式即可求得a的值，则函数的解析式即可求得．
【解答】解：由题意设函数的解析式是y＝a（x+1）2﹣8．
把（0，﹣6）代入函数解析式得a﹣8＝﹣6，
解得：a＝2，
则抛物线的解析式是y＝2（x+1）2﹣8．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．
14．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】数形结合；待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．
【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；
（2）求出A关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．
【解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）如图：
∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），
∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．
【点评】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．
15．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
（1）这个二次函数的解析式是 y＝x2+2x﹣3 ；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为 ﹣4≤y＜5 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）见解析；（3）﹣4≤y＜5．
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据x＝﹣4、﹣2时的函数值即可写出y的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，
把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，
故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；
（2）如图所示：
（3）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，
当x＝﹣0时，y＝﹣3，
又对称轴为x＝﹣1，
∴当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是﹣4≤y＜5．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
考点卡片
1．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
2．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
3．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
4．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
5．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 17:57:56；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968
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1．已知抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3），则该抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
2．滑雪爱好者小张从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得的一些如下数据（如表），为观察：s与t之间的关系，建立坐标系（如图），以t为横坐标，s为纵坐标绘制了如图所示的函数图象
根据以上信息，可知，s与t的函数关系式是（不考虑取值范围）（ ）
A．B．
C．D．
3．把二次函数y＝x2﹣2x化成顶点式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1B．y＝（x﹣1）2﹣1
C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x+1）2﹣1
4．将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+4
5．小明在用“描点法”探究二次函数的性质时，画出了以下表格：
遗憾的是，部分数据已经遗忘（如表所示），小明只记得遗忘的三个数a，b，c中有两个数相同．根据以上信息，小明探究的二次函数表达式可能是（ ）
A．y＝x2﹣3x﹣2B．
C．y＝2x2﹣5x﹣1D．
二．填空题（共5小题）
6．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ．
7．将二次函数y＝﹣x2+4x+2化成顶点式为 ．
8．如图，函数y＝﹣（x﹣h）2+k的图象，则其解析式为 ．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点OB＝OC＝3OA，则该抛物线的解析式是 ．
10．已知点P（m，n）为抛物线y＝ax2﹣4ax+b（a≠0）上一动点．当1≤m≤4时，n的取值范围是1≤n≤4，则抛物线的解析式为 ．
三．解答题（共5小题）
11．已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）写出它的开口方向、对称轴．
12．抛物线的图象如图所示，其中点A为顶点．
（1）写出点A，B的坐标；
（2）求出抛物线的解析式．
13．已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），求抛物线的解析式．
14．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
15．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
（1）这个二次函数的解析式是 ；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为 ．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之确定二次函数的表达式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3），则该抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】B
【分析】根据题意，抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3），得到对称轴经过点A（3，3），列出式子，求出答案．
【解答】解：由题意得：
抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3），
∴对称轴经过点A（3，3），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：．
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法是解答本题的关键．
2．滑雪爱好者小张从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得的一些如下数据（如表），为观察：s与t之间的关系，建立坐标系（如图），以t为横坐标，s为纵坐标绘制了如图所示的函数图象
根据以上信息，可知，s与t的函数关系式是（不考虑取值范围）（ ）
A．B．
C．D．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】观察函数图象，可知s与t成二次函数关系，根据给定数据，利用待定系数法，即可求出s与t的函数关系式．
【解答】解：观察函数图象，可知：s与t成二次函数关系，
设s＝at2+bt+c（a≠0），
将（0，0），（1，4.5），（2，14）代入s＝at2+bt+c得：，
解得：，
∴s与t的函数关系式是st2+2t．
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据给定数据，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．
3．把二次函数y＝x2﹣2x化成顶点式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1B．y＝（x﹣1）2﹣1
C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x+1）2﹣1
【考点】二次函数的三种形式．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【答案】B
【分析】利用配方法，即可求解．
【解答】解：y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数由一般式化为顶点式的方法，利用完全平方公式进行配方；熟记完全平方公式是解题的关键．
4．将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+4
【考点】二次函数的三种形式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式变形，把一般式化为顶点式，得到答案．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1
＝x2﹣2x+1﹣2
＝（x﹣1）2﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
5．小明在用“描点法”探究二次函数的性质时，画出了以下表格：
遗憾的是，部分数据已经遗忘（如表所示），小明只记得遗忘的三个数a，b，c中有两个数相同．根据以上信息，小明探究的二次函数表达式可能是（ ）
A．y＝x2﹣3x﹣2B．
C．y＝2x2﹣5x﹣1D．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】分别求出各选项抛物线的对称轴，根据每两个数相同，分别判断即可得到答案．
【解答】解：A、y＝x2﹣3x﹣2的对称轴为直线x，
B、y的对称轴为直线x，
C、y＝2x2﹣5x﹣1的对称轴为直线x，
D、y的对称轴为直线x，
若a与b相同，则抛物线的对称轴为直线x，只有B选项符合；
若a与c相同，则抛物线的对称轴为直线x1，没有选项符合；
若b与c相同，则抛物线的对称轴为直线x，选项A、D均符合，
但当x＝2时，y＝22﹣3×2﹣2＝﹣4≠﹣3故A不符合，当x＝2时，y，故D不符合；
∴a与b相同，B选项符合，
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数的图象与性质，抛物线关于对称轴的对称性，正确理解二次函数的图象与性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： y＝x2+2 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题；开放型；二次函数图象及其性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c＝2即可．
【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式可以为y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
7．将二次函数y＝﹣x2+4x+2化成顶点式为 y＝﹣（x﹣2）2+6 ．
【考点】二次函数的三种形式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】y＝﹣（x﹣2）2+6．
【分析】利用完全平方公式进行配方即可求解．
【解答】解：y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x2﹣4x+22）+2+22＝﹣（x﹣2）2+6，
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+6．
【点评】本题考查了二次函数由一般式化为顶点式的方法，二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
8．如图，函数y＝﹣（x﹣h）2+k的图象，则其解析式为 y＝﹣（x+1）2+5 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图象得出顶点的坐标，即可求得解析式．
【解答】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，5）
所以函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+5．
故答案为y＝﹣（x+1）2+5．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，根据图象得出顶点是本题的关键．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点OB＝OC＝3OA，则该抛物线的解析式是 y＝x2﹣2x﹣3 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】y＝x2﹣2x﹣3．
【分析】根据抛物线与y轴交于点C易得点C的坐标为C（0，﹣3），根据OB＝OC＝3OA，可得点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴OB＝3，OA＝1，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
将B（3，0），A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3得，
，
解得，
∴该抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是本题的关键．
10．已知点P（m，n）为抛物线y＝ax2﹣4ax+b（a≠0）上一动点．当1≤m≤4时，n的取值范围是1≤n≤4，则抛物线的解析式为 或 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】抛物线的解析式为或．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况考虑，依据二次函数的性质找出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：①当a＜0时，当时函数有最大值4，x＝4时有最小值1，有，
解得：，
此时抛物线的解析式为；
②当a＞0时，当时函数有最小值1，x＝4时有最大值4，
有，
解得：，
此时抛物线的解析式为．
综上可知：抛物线的解析式为或．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解决该题型题目时，分类讨论是关键．
三．解答题（共5小题）
11．已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）写出它的开口方向、对称轴．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接设顶点式，再用待定系数法求二次函数的解析式．进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴方程．
【解答】解：（1）设函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把顶点和点（1，﹣3）代入解析式，得：
a，所以抛物线的解析式为：；
（2）由（1）的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴x＝﹣1．
【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．
12．抛物线的图象如图所示，其中点A为顶点．
（1）写出点A，B的坐标；
（2）求出抛物线的解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）A（2，﹣4），B（0，4）；
（2）y＝2（x﹣2）2﹣4．
【分析】（1）观察图象即可写出点A，B的坐标；
（2）利用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）观察图象可知，A（2，﹣4），B（0，4）；
（2）∵A为顶点，A（2，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，
把B（0，4）代入得，4a﹣4＝4，
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣4．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象和性质，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，属于中考常考题型．
13．已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），求抛物线的解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设函数的解析式是y＝a（x+1）2﹣8，把（0，﹣6）代入函数解析式即可求得a的值，则函数的解析式即可求得．
【解答】解：由题意设函数的解析式是y＝a（x+1）2﹣8．
把（0，﹣6）代入函数解析式得a﹣8＝﹣6，
解得：a＝2，
则抛物线的解析式是y＝2（x+1）2﹣8．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．
14．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】数形结合；待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．
【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；
（2）求出A关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．
【解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）如图：
∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），
∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．
【点评】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．
15．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
（1）这个二次函数的解析式是 y＝x2+2x﹣3 ；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为 ﹣4≤y＜5 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）见解析；（3）﹣4≤y＜5．
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据x＝﹣4、﹣2时的函数值即可写出y的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，
把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，
故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；
（2）如图所示：
（3）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，
当x＝﹣0时，y＝﹣3，
又对称轴为x＝﹣1，
∴当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是﹣4≤y＜5．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
考点卡片
1．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
2．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
3．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
4．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
5．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 17:57:56；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968
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