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2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之矩形
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这是一份2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之矩形，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之矩形
一、选择题（共9小题）
1．（2021春•柯桥区期末）如图所示的▱ABCD，再添加下列某一个条件，不能判定▱ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠BCD
2．（2021•河南一模）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC
3．（2021春•广元期末）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2021春•潮南区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且AD＝BC，若∠D＝40°，则∠B＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
5．（2021春•科右中旗期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，两条对角线AC，BD所夹的钝角为120°，则边AD的长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
6．（2021•西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
7．（2021•南平校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
8．（2021•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．12 D．16
9．（2011秋•瑞安市期末）小明、小强、小刚家在如图所示的点A、B、C三个地方，它们的连线恰好构成一个直角三角形，B，C之间的距离为5km，新华书店恰好位于斜边BC的中点D，则新华书店D与小明家A的距离是（ ）
A．2.5km B．3km C．4km D．5km
二、填空题（共4小题）
10．（2021秋•鄞州区期中）如图：长方形ABCD中，AD＝26，AB＝12，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是以QP为腰的等腰三角形时，AP的长为 ．
11．（2021秋•福安市期中）如图，在矩形ABCD中，，则AO＝ ．
12．（2021秋•徐州期末）如图，△ABC中，若∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是AB的中点，则∠ACD＝ °．
13．（2021•泉州）如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝ ．
三、解答题（共9小题）
14．（2021春•九龙坡区期中）如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；
（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标．
15．（2021秋•江都区期中）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
（1）求证：ME＝MF；
（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．
16．（2021春•邵阳县期中）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC边上的中点，且△ABM≌△DCM；E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．
（2）求证：EF与MN互相垂直．
17．（2021春•南平期末）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）
18．（2021春•惠安县期中）在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE＝EF＝FB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AE⊥BD，AF＝2，AB＝4，求BF的长度．
19．（2021秋•泰兴市校级期中）已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD．
（2）若∠BAD＝45°，连接MB、MD，判断△MBD的形状，并说明理由．
20．（2021春•盐都区期中）如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．
21．（2021春•思明区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC＝∠ACB．求证：四边形ABCD是矩形．
22．（2021春•费县期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之矩形
参考答案与试题解析
一、选择题（共9小题）
1．（2021春•柯桥区期末）如图所示的▱ABCD，再添加下列某一个条件，不能判定▱ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠BCD
【考点】平行四边形的性质；矩形的判定．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形．
【答案】C
【分析】矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
【解答】解：由对角线相等的平行四边形是矩形，可得当AC＝BD时，能判定▱ABCD是矩形．
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当AB⊥BC时，能判定▱ABCD是矩形．
由平行四边形四边形对边平行，可得AD∥BC，即可得∠1＝∠2，所以当∠1＝∠2时，不能判定▱ABCD是矩形．
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当∠ABC＝∠BCD时，能判定▱ABCD是矩形．
故选：C．
【点评】本题考查的是矩形的判定定理以及平行四边形的判定和性质，难度一般．
2．（2021•河南一模）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC
【考点】矩形的判定．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【答案】A
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、AB＝AD，菱形ABCD，不能判定是矩形，故本选项错误；
B、OA＝OB，根据菱形的对角线互相平分且OA＝OB，知AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形可得▱ABCD是矩形，故本选项正确；
C、AC＝BD，根据对角线相等的菱形是矩形，故本选项正确；
D、DC⊥BC，则∠BCD＝90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得四边形ABCD是菱形，故本选项正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键．
3．（2021春•广元期末）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】先根据直角三角形的性质求出AC的长，再根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝90°．
∵E是AC的中点，DE＝5，
∴AC＝2DE＝10．
∵AD＝6，
∴CD＝＝＝8．
故选：D．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．
4．（2021春•潮南区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且AD＝BC，若∠D＝40°，则∠B＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】B
【分析】取BC的中点E，连接AE，根据直角三角形的性质得到AE＝BC＝BE，根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质计算．
【解答】解：取BC的中点E，连接AE，
∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，
∴AE＝BC＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∵AD＝BC，
∴AE＝AD，
∴∠AED＝∠D＝40°，
∴∠B＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5．（2021春•科右中旗期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，两条对角线AC，BD所夹的钝角为120°，则边AD的长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】根据矩形的性质推出AC＝BD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，求出OA＝OB，求出等边三角形AOB，推出OB＝AB＝3，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝3，
∵OB＝BD，
∴BD＝6，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：AD＝＝＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
6．（2021•西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM＝3，
∴DC＝6，
∵AD＝BC＝10，
∴AC＝＝2，
∵∠ABC＝90°，AO＝CO，
∴BO＝AC＝，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC的长．
7．（2021•南平校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
【考点】垂线段最短；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】先由矩形的判定定理推知四边形PEAF是矩形；连接PA，则PA＝EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值．
【解答】解：如图，连接PA．
∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠A＝90°．
又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形PEAF是矩形．
∴AP＝EF．
∴当PA最小时，EF也最小，
即当AP⊥CB时，PA最小，
∵AB•AC＝BC•AP，即AP＝＝＝4.8，
∴线段EF长的最小值为4.8；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PA⊥BC时，PA取最小值是解答此题的关键．
8．（2021•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．12 D．16
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【答案】D
【分析】在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF＝∠EFB＝60°，由折叠的性质可得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，∴∠A′EB′＝60°．根据直角三角形的性质得出A′B′＝AB＝2，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠B′EF＝∠EFB＝60°，
由折叠的性质得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，
∴∠A′EB′＝∠A′EF﹣∠B′EF＝120°﹣60°＝60°．
在Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E＝90°﹣60°＝30°，
∴B′E＝2A′E，而A′E＝2，
∴B′E＝4，
∴A′B′＝2，即AB＝2，
∵AE＝2，DE＝6，
∴AD＝AE+DE＝2+6＝8，
∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝2×8＝16．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．
9．（2011秋•瑞安市期末）小明、小强、小刚家在如图所示的点A、B、C三个地方，它们的连线恰好构成一个直角三角形，B，C之间的距离为5km，新华书店恰好位于斜边BC的中点D，则新华书店D与小明家A的距离是（ ）
A．2.5km B．3km C．4km D．5km
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】由D为直角三角形斜边BC上的中点，即AD为直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，由斜边BC的长即可得到AD的长，即为所求的距离．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，且D为斜边上的中点，
∴AD＝BC，又BC＝5km，
则AD＝2.5km．
故选：A．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线性质，即直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握此性质是解本题的关键．
二、填空题（共4小题）
10．（2021秋•鄞州区期中）如图：长方形ABCD中，AD＝26，AB＝12，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是以QP为腰的等腰三角形时，AP的长为 6.5或8或18 ．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】分BP＝QP和BQ＝QP两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，且AD＝26，点Q是BC的中点，
∴BQ＝13，
当BP＝QP时，过P作PM⊥BQ，交BQ于点M，如图1，
则BM＝MQ＝6.5，且四边形ABMP为矩形，
∴AP＝BM＝6.5，
当QP＝BQ时，以点Q为圆心，BQ为半径作圆，于AD交于R、S两点，如图2，
过Q作QN⊥RS，交RS于点N，则可知RN＝SN，
在Rt△RNQ中，可求得RN＝SN＝5，
则AR＝8，AS＝18，
即R、S为满足条件的P点的位置，
∴AP＝8或18，
综上可知，AP的长为6.5或8或18．
故答案为：6.5或8或18．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理的应用，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
11．（2021秋•福安市期中）如图，在矩形ABCD中，，则AO＝ ．
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由矩形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD＝，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD＝，
∴AO＝，
故答案为：
【点评】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相等且互相平分是本题的关键．
12．（2021秋•徐州期末）如图，△ABC中，若∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是AB的中点，则∠ACD＝ 35 °．
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形内角和定理得到∠A＝35°，根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝55°，
∴∠A＝35°，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴DA＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13．（2021•泉州）如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝ 5 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得答案．
【解答】解：由直角三角形的性质，得
CE＝AB＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用直角三角形的性质是解题关键．
三、解答题（共9小题）
14．（2021春•九龙坡区期中）如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；
（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标．
【考点】坐标与图形性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据矩形的性质，点B的横坐标与点A的横坐标相等，纵坐标与点C的纵坐标相等解答，进而利用长方形的周长解答即可；
（2）求出被分成的两个部分的周长，再根据点D在边OA上或AB上确定出点D坐标即可；
【解答】解：（1）∵A（6，0），C（0，10），
∴OA＝6，OC＝10．
∵四边形OABC是长方形，
∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝10，
∴点B的坐标为（6，10）．
∵OC＝10，OA＝6，
∴长方形OABC的周长为：2×（6+10）＝32．
（2）∵CD把长方形OABC的周长分为3：5两部分，
∴被分成的两部分的长分别为12和20．
①当点D在AB上时，
AD＝20﹣10﹣6＝4，
所以点D的坐标为（6，4）．
②当点D在OA上时，
OD＝12﹣10＝2，
所以点D的坐标为（2，0）．
【点评】考查了点的坐标的确定，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，难点在于（2）求出被分成的两个部分的周长并确定出点D的位置．
15．（2021秋•江都区期中）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
（1）求证：ME＝MF；
（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．
【考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME＝BC，MF＝BC，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，
∴ME＝BC，MF＝BC，
∴ME＝MF；
（2）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵MF＝MB，ME＝MC，
∴∠MFB＝∠ABC，∠MEC＝∠ACB，
∴∠BMF+∠CME＝360°﹣130°×2＝100°，
∴∠FME＝180°﹣100°＝80°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
16．（2021春•邵阳县期中）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC边上的中点，且△ABM≌△DCM；E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．
（2）求证：EF与MN互相垂直．
【考点】全等三角形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由平行四边形的性质和全等三角形的性质得出∠A＝90°，即可得出结论；
（2）先证明四边形MENF是平行四边形，再证明平行四边形MENF是菱形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠A+∠D＝180°，
又∵△ABM≌△DCM，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（2）证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM．
∴NE＝FM，NE∥FM．
∴四边形MENF是平行四边形．
∵△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM．
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF．
∴平行四边形MENF是菱形．
∴EF与MN互相垂直．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质，菱形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题（2）的关键．
17．（2021春•南平期末）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】作出图形，然后写出已知，求证，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE、BE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形AEBC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBC是矩形，然后根据矩形的对角线互相平分且相等可得CD＝AB．
【解答】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
求证：CD＝AB；
证明：如图，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE、BE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝BD，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴AD＝BD＝CD＝DE，
∴CD＝AB．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质证明，作辅助线，构造出矩形是解题的关键．
18．（2021春•惠安县期中）在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE＝EF＝FB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AE⊥BD，AF＝2，AB＝4，求BF的长度．
【考点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接AC，由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，再由DE＝FB，证出OE＝OF，即可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得出AD＝AF，再根据勾股定理求出BD，即可得出BF．
【解答】（1）证明：连接AC，交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OB＝OD，
∵DE＝FB，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵DE＝EF＝BF，AE⊥BD，
∴AD＝AF＝2，
∴BD＝＝＝2，
∴BF＝BD＝．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
19．（2021秋•泰兴市校级期中）已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD．
（2）若∠BAD＝45°，连接MB、MD，判断△MBD的形状，并说明理由．
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到BM＝DM，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到MN⊥BD．
（2）依据等腰三角形外角的性质，即可得到∠BMC＝2∠BAM，∠DMC＝2∠DAM，再根据∠BAD＝45°，可得∠BMC+∠DMC＝2∠BAD＝90°，依据BM＝DM，即可得到△BDM是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点，
∴Rt△ABC中，BM＝AC，
Rt△ACD中，DM＝AC，
∴BM＝DM，
又∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
（2）等腰直角三角形，理由：
∵M是AC的中点，
∴AM＝AC＝BM，
∴∠BAM＝∠ABM，
∴∠BMC＝2∠BAM，
同理可得∠DMC＝2∠DAM，
又∵∠BAD＝45°，
∴∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD＝90°，
又∵BM＝DM，
∴△BDM是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质以及等腰直角三角形的判定的运用，熟记各性质是解题的关键．
20．（2021春•盐都区期中）如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．
【考点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，求出AD＝CE，AD∥CE，AE＝DC，根据矩形的判定得出即可；
（2）根据矩形的性质得出OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD，求出OA＝OC，求出△AOC是等边三角形，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，
∵CE＝BC，
∴AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AB＝DC，AE＝AB，
∴AE＝DC，
∴四边形ACED是矩形；
（2）∵四边形ACED是矩形，
∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD，
∴OA＝OC，
∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC＝AC＝4，
∴CD＝8．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
21．（2021春•思明区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC＝∠ACB．求证：四边形ABCD是矩形．
【考点】平行四边形的性质；矩形的判定．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等角对等边得出OB＝OC，根据平行四边形性质求出OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，推出AC＝BD，根据矩形的判定推出即可．
【解答】证明：如图，在▱ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∵∠1＝∠2，
∴BO＝CO，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD为矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
22．（2021春•费县期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【考点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案；
（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
理由是：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵2∠2+2∠4＝180°，
∴∠2+∠4＝90°，
∴∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF＝90°是解题关键．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
3．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
4．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
5．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
6．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
7．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
8．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
9．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
10．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
11．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
13．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
14．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之矩形
一、选择题（共9小题）
1．（2021春•柯桥区期末）如图所示的▱ABCD，再添加下列某一个条件，不能判定▱ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠BCD
2．（2021•河南一模）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC
3．（2021春•广元期末）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2021春•潮南区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且AD＝BC，若∠D＝40°，则∠B＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
5．（2021春•科右中旗期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，两条对角线AC，BD所夹的钝角为120°，则边AD的长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
6．（2021•西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
7．（2021•南平校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
8．（2021•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．12 D．16
9．（2011秋•瑞安市期末）小明、小强、小刚家在如图所示的点A、B、C三个地方，它们的连线恰好构成一个直角三角形，B，C之间的距离为5km，新华书店恰好位于斜边BC的中点D，则新华书店D与小明家A的距离是（ ）
A．2.5km B．3km C．4km D．5km
二、填空题（共4小题）
10．（2021秋•鄞州区期中）如图：长方形ABCD中，AD＝26，AB＝12，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是以QP为腰的等腰三角形时，AP的长为 ．
11．（2021秋•福安市期中）如图，在矩形ABCD中，，则AO＝ ．
12．（2021秋•徐州期末）如图，△ABC中，若∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是AB的中点，则∠ACD＝ °．
13．（2021•泉州）如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝ ．
三、解答题（共9小题）
14．（2021春•九龙坡区期中）如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；
（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标．
15．（2021秋•江都区期中）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
（1）求证：ME＝MF；
（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．
16．（2021春•邵阳县期中）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC边上的中点，且△ABM≌△DCM；E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．
（2）求证：EF与MN互相垂直．
17．（2021春•南平期末）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）
18．（2021春•惠安县期中）在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE＝EF＝FB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AE⊥BD，AF＝2，AB＝4，求BF的长度．
19．（2021秋•泰兴市校级期中）已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD．
（2）若∠BAD＝45°，连接MB、MD，判断△MBD的形状，并说明理由．
20．（2021春•盐都区期中）如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．
21．（2021春•思明区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC＝∠ACB．求证：四边形ABCD是矩形．
22．（2021春•费县期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之矩形
参考答案与试题解析
一、选择题（共9小题）
1．（2021春•柯桥区期末）如图所示的▱ABCD，再添加下列某一个条件，不能判定▱ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠BCD
【考点】平行四边形的性质；矩形的判定．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形．
【答案】C
【分析】矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
【解答】解：由对角线相等的平行四边形是矩形，可得当AC＝BD时，能判定▱ABCD是矩形．
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当AB⊥BC时，能判定▱ABCD是矩形．
由平行四边形四边形对边平行，可得AD∥BC，即可得∠1＝∠2，所以当∠1＝∠2时，不能判定▱ABCD是矩形．
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当∠ABC＝∠BCD时，能判定▱ABCD是矩形．
故选：C．
【点评】本题考查的是矩形的判定定理以及平行四边形的判定和性质，难度一般．
2．（2021•河南一模）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC
【考点】矩形的判定．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【答案】A
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、AB＝AD，菱形ABCD，不能判定是矩形，故本选项错误；
B、OA＝OB，根据菱形的对角线互相平分且OA＝OB，知AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形可得▱ABCD是矩形，故本选项正确；
C、AC＝BD，根据对角线相等的菱形是矩形，故本选项正确；
D、DC⊥BC，则∠BCD＝90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得四边形ABCD是菱形，故本选项正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键．
3．（2021春•广元期末）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】先根据直角三角形的性质求出AC的长，再根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝90°．
∵E是AC的中点，DE＝5，
∴AC＝2DE＝10．
∵AD＝6，
∴CD＝＝＝8．
故选：D．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．
4．（2021春•潮南区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且AD＝BC，若∠D＝40°，则∠B＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】B
【分析】取BC的中点E，连接AE，根据直角三角形的性质得到AE＝BC＝BE，根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质计算．
【解答】解：取BC的中点E，连接AE，
∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，
∴AE＝BC＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∵AD＝BC，
∴AE＝AD，
∴∠AED＝∠D＝40°，
∴∠B＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5．（2021春•科右中旗期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，两条对角线AC，BD所夹的钝角为120°，则边AD的长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】根据矩形的性质推出AC＝BD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，求出OA＝OB，求出等边三角形AOB，推出OB＝AB＝3，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝3，
∵OB＝BD，
∴BD＝6，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：AD＝＝＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
6．（2021•西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM＝3，
∴DC＝6，
∵AD＝BC＝10，
∴AC＝＝2，
∵∠ABC＝90°，AO＝CO，
∴BO＝AC＝，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC的长．
7．（2021•南平校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
【考点】垂线段最短；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】先由矩形的判定定理推知四边形PEAF是矩形；连接PA，则PA＝EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值．
【解答】解：如图，连接PA．
∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠A＝90°．
又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形PEAF是矩形．
∴AP＝EF．
∴当PA最小时，EF也最小，
即当AP⊥CB时，PA最小，
∵AB•AC＝BC•AP，即AP＝＝＝4.8，
∴线段EF长的最小值为4.8；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PA⊥BC时，PA取最小值是解答此题的关键．
8．（2021•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．12 D．16
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【答案】D
【分析】在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF＝∠EFB＝60°，由折叠的性质可得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，∴∠A′EB′＝60°．根据直角三角形的性质得出A′B′＝AB＝2，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠B′EF＝∠EFB＝60°，
由折叠的性质得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，
∴∠A′EB′＝∠A′EF﹣∠B′EF＝120°﹣60°＝60°．
在Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E＝90°﹣60°＝30°，
∴B′E＝2A′E，而A′E＝2，
∴B′E＝4，
∴A′B′＝2，即AB＝2，
∵AE＝2，DE＝6，
∴AD＝AE+DE＝2+6＝8，
∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝2×8＝16．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．
9．（2011秋•瑞安市期末）小明、小强、小刚家在如图所示的点A、B、C三个地方，它们的连线恰好构成一个直角三角形，B，C之间的距离为5km，新华书店恰好位于斜边BC的中点D，则新华书店D与小明家A的距离是（ ）
A．2.5km B．3km C．4km D．5km
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】由D为直角三角形斜边BC上的中点，即AD为直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，由斜边BC的长即可得到AD的长，即为所求的距离．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，且D为斜边上的中点，
∴AD＝BC，又BC＝5km，
则AD＝2.5km．
故选：A．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线性质，即直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握此性质是解本题的关键．
二、填空题（共4小题）
10．（2021秋•鄞州区期中）如图：长方形ABCD中，AD＝26，AB＝12，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是以QP为腰的等腰三角形时，AP的长为 6.5或8或18 ．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】分BP＝QP和BQ＝QP两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，且AD＝26，点Q是BC的中点，
∴BQ＝13，
当BP＝QP时，过P作PM⊥BQ，交BQ于点M，如图1，
则BM＝MQ＝6.5，且四边形ABMP为矩形，
∴AP＝BM＝6.5，
当QP＝BQ时，以点Q为圆心，BQ为半径作圆，于AD交于R、S两点，如图2，
过Q作QN⊥RS，交RS于点N，则可知RN＝SN，
在Rt△RNQ中，可求得RN＝SN＝5，
则AR＝8，AS＝18，
即R、S为满足条件的P点的位置，
∴AP＝8或18，
综上可知，AP的长为6.5或8或18．
故答案为：6.5或8或18．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理的应用，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
11．（2021秋•福安市期中）如图，在矩形ABCD中，，则AO＝ ．
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由矩形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD＝，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD＝，
∴AO＝，
故答案为：
【点评】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相等且互相平分是本题的关键．
12．（2021秋•徐州期末）如图，△ABC中，若∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是AB的中点，则∠ACD＝ 35 °．
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形内角和定理得到∠A＝35°，根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝55°，
∴∠A＝35°，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴DA＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13．（2021•泉州）如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝ 5 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得答案．
【解答】解：由直角三角形的性质，得
CE＝AB＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用直角三角形的性质是解题关键．
三、解答题（共9小题）
14．（2021春•九龙坡区期中）如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；
（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标．
【考点】坐标与图形性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据矩形的性质，点B的横坐标与点A的横坐标相等，纵坐标与点C的纵坐标相等解答，进而利用长方形的周长解答即可；
（2）求出被分成的两个部分的周长，再根据点D在边OA上或AB上确定出点D坐标即可；
【解答】解：（1）∵A（6，0），C（0，10），
∴OA＝6，OC＝10．
∵四边形OABC是长方形，
∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝10，
∴点B的坐标为（6，10）．
∵OC＝10，OA＝6，
∴长方形OABC的周长为：2×（6+10）＝32．
（2）∵CD把长方形OABC的周长分为3：5两部分，
∴被分成的两部分的长分别为12和20．
①当点D在AB上时，
AD＝20﹣10﹣6＝4，
所以点D的坐标为（6，4）．
②当点D在OA上时，
OD＝12﹣10＝2，
所以点D的坐标为（2，0）．
【点评】考查了点的坐标的确定，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，难点在于（2）求出被分成的两个部分的周长并确定出点D的位置．
15．（2021秋•江都区期中）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
（1）求证：ME＝MF；
（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．
【考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME＝BC，MF＝BC，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，
∴ME＝BC，MF＝BC，
∴ME＝MF；
（2）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵MF＝MB，ME＝MC，
∴∠MFB＝∠ABC，∠MEC＝∠ACB，
∴∠BMF+∠CME＝360°﹣130°×2＝100°，
∴∠FME＝180°﹣100°＝80°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
16．（2021春•邵阳县期中）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC边上的中点，且△ABM≌△DCM；E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．
（2）求证：EF与MN互相垂直．
【考点】全等三角形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由平行四边形的性质和全等三角形的性质得出∠A＝90°，即可得出结论；
（2）先证明四边形MENF是平行四边形，再证明平行四边形MENF是菱形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠A+∠D＝180°，
又∵△ABM≌△DCM，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（2）证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM．
∴NE＝FM，NE∥FM．
∴四边形MENF是平行四边形．
∵△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM．
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF．
∴平行四边形MENF是菱形．
∴EF与MN互相垂直．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质，菱形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题（2）的关键．
17．（2021春•南平期末）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】作出图形，然后写出已知，求证，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE、BE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形AEBC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBC是矩形，然后根据矩形的对角线互相平分且相等可得CD＝AB．
【解答】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
求证：CD＝AB；
证明：如图，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE、BE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝BD，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴AD＝BD＝CD＝DE，
∴CD＝AB．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质证明，作辅助线，构造出矩形是解题的关键．
18．（2021春•惠安县期中）在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE＝EF＝FB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AE⊥BD，AF＝2，AB＝4，求BF的长度．
【考点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接AC，由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，再由DE＝FB，证出OE＝OF，即可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得出AD＝AF，再根据勾股定理求出BD，即可得出BF．
【解答】（1）证明：连接AC，交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OB＝OD，
∵DE＝FB，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵DE＝EF＝BF，AE⊥BD，
∴AD＝AF＝2，
∴BD＝＝＝2，
∴BF＝BD＝．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
19．（2021秋•泰兴市校级期中）已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD．
（2）若∠BAD＝45°，连接MB、MD，判断△MBD的形状，并说明理由．
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到BM＝DM，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到MN⊥BD．
（2）依据等腰三角形外角的性质，即可得到∠BMC＝2∠BAM，∠DMC＝2∠DAM，再根据∠BAD＝45°，可得∠BMC+∠DMC＝2∠BAD＝90°，依据BM＝DM，即可得到△BDM是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点，
∴Rt△ABC中，BM＝AC，
Rt△ACD中，DM＝AC，
∴BM＝DM，
又∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
（2）等腰直角三角形，理由：
∵M是AC的中点，
∴AM＝AC＝BM，
∴∠BAM＝∠ABM，
∴∠BMC＝2∠BAM，
同理可得∠DMC＝2∠DAM，
又∵∠BAD＝45°，
∴∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD＝90°，
又∵BM＝DM，
∴△BDM是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质以及等腰直角三角形的判定的运用，熟记各性质是解题的关键．
20．（2021春•盐都区期中）如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．
【考点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，求出AD＝CE，AD∥CE，AE＝DC，根据矩形的判定得出即可；
（2）根据矩形的性质得出OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD，求出OA＝OC，求出△AOC是等边三角形，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，
∵CE＝BC，
∴AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AB＝DC，AE＝AB，
∴AE＝DC，
∴四边形ACED是矩形；
（2）∵四边形ACED是矩形，
∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD，
∴OA＝OC，
∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC＝AC＝4，
∴CD＝8．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
21．（2021春•思明区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC＝∠ACB．求证：四边形ABCD是矩形．
【考点】平行四边形的性质；矩形的判定．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等角对等边得出OB＝OC，根据平行四边形性质求出OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，推出AC＝BD，根据矩形的判定推出即可．
【解答】证明：如图，在▱ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∵∠1＝∠2，
∴BO＝CO，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD为矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
22．（2021春•费县期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【考点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案；
（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
理由是：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵2∠2+2∠4＝180°，
∴∠2+∠4＝90°，
∴∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF＝90°是解题关键．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
3．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
4．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
5．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
6．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
7．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
8．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
9．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
10．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
11．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
13．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
14．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
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