高教版（2021）拓展模块一 上册第4章 立体几何精品课时练习

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一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3 分，共 30分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．平面和平面有不同在一条直线上的三个公共点
【答案】C
【解析】A，不在同一直线上的三个点，确定一个平面，所以A错误.
B，四边形可能是空间四边形，不一定是平面图形，所以B错误.
C，梯形有一组对边平行，所以是平面图形，所以C正确.
D，当时，两个平面没有公共点，故选：D
2．已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是（ ）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
【答案】D
【解析】∵α∥β，∴α与β无公共点，又m⊂α，n⊂β，∴m与n无公共点，∴m与n平行或异面，故选：D．
3．如图，空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形是( )
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
【答案】B
【解析】根据中位线定理可知：//且，可知四边形为平行四边形，故选：B.
4．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
【答案】A
【解析】∵EH∥FG，EH⊄平面BDC，FG⊂平面BDC，∴EH∥平面BDC，又EH⊂平面ABD，且平面ABD∩平面BDC＝BD，∴EH∥BD.
5．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α
C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
【答案】C
【解析】∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，∴由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故选C.
6．如图所示，已知S为四边形ABCD所在平面外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SAB．GH∥SD
C．GH∥SCD．以上均有可能
【答案】 B
【解析】 ∵GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，∴GH∥SD.
7．在四面体P－ABC中，若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
【答案】 A
【解析】 如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，
连接OA，OB，OC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，又PA＝PB＝PC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，则OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心．
8．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AC，若AB∶BB1＝eq \r(2)∶1，则AB1与平面BB1C1C所成的角的大小为( )
A．45° B．60°
C．30° D．75°
【答案】 A
【解析】 取BC的中点D，连接AD，B1D，
∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，
∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角．设AB＝eq \r(2)，则AA1＝1，AD＝eq \f(\r(6),2)，AB1＝eq \r(3)，∴sin∠AB1D＝eq \f(AD,AB1)＝eq \f(\r(2),2)，∴∠AB1D＝45°，即AB1与平面BB1C1C所成的角为45°.
9．在三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（ ）
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ABC⊥平面ADB
【答案】B
【解析】如图，因为AD⊥BC，AD⊥CD，BC∩CD＝C，所以AD⊥平面BCD，
又AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD，故选：B.
10．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
【答案】D
【解析】如图所示，平面ABB1A1∥平面EDD1E1，
平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，
∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3 分，共 24分）
11．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b的位置关系是 ．
【答案】相交或异面
【解析】a，b是异面直线，直线c∥直线a，因而c不平行于b，若c∥b，则a∥b，与已知矛盾，因而c不平行于b，即c与b相交或异面，故答案为：交或异面．
12．如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝ ．
【答案】5
【解析】因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，AB∥CD，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.
13．平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是 ．
【答案】 垂直
【解析】 在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，同理PO⊥BD，又AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.
14．如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是 ．
【答案】 平行
【解析】 ∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF，
又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.
又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.
15．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角的大小为 ．
【答案】45°
【解析】因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
16．如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝ ．
【答案】eq \r(5)
【解析】平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
∴PB＝eq \r(PA2＋AB2)＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5).
17．在三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的位置关系为 ．
【答案】 平行
【解析】 如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2∶1，
又AE∶ES＝2∶1，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，∴EG∥平面SBC.
18．如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为 ．
【答案】eq \f(1,3)
【解析】如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD，
由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角．
设点H是△BCD的中心，连接AH，则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上．在Rt△AMH中，AM＝eq \f(\r(3),2)×2＝eq \r(3)，HM＝eq \f(\r(3),2)×2×eq \f(1,3)＝eq \f(\r(3),3)，则cs∠AMB＝eq \f(\f(\r(3),3),\r(3))＝eq \f(1,3)，即所求二面角的平面角的余弦值为eq \f(1,3).
三、解答题（本题共6小题，共46分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.）
19．（6分）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1.
【答案】证明见解析
【解析】证明 取D1B1的中点O，连接OF，OB(图略)．
∵F为C1D1的中点，∴OF∥B1C1且OF＝eq \f(1,2)B1C1，
又BE∥B1C1，BE＝eq \f(1,2)B1C1，∴OF∥BE且OF＝BE，
∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO.
∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1.
20．（6分）如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC.
【答案】证明见解析
【解析】证明：作SH⊥AC交AC于点H，连接BH，
∵SA＝SC，∴AH＝HC. 在Rt△ABC中，H是AC的中点，∴BH＝eq \f(1,2)AC＝AH，
又SH＝SH，SA＝SB，∴△SAH≌△SBH(SSS)，∴SH⊥BH，
又AC∩BH＝H，AC，BH⊂平面ABC，∴SH⊥平面ABC，又SH⊂平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.
21．（8分）如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求AE与平面BDE所成的角的大小．
【答案】(1)证明见解析(2)30°
(1)证明 ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，
∵BD，DE⊂平面BED，BD∩DE＝D，∴AC⊥平面BDE.
(2)解 设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示．
∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角．
在Rt△EAD中，EA＝eq \r(AD2＋DE2)＝2eq \r(2)，AO＝eq \r(2)，∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝eq \f(AO,EA)＝eq \f(1,2)，∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°.
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．
【答案】45°
【解析】解：由题意知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
23．（8分）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到空间图形D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.
【答案】证明见解析
【解析】证明：如题图(1)，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，
过C作CE⊥AB，E为垂足(图略)，则四边形AECD为正方形，∴CE＝AE＝EB＝2，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
如题图(2)，平面ACD⊥平面ABC，且平面ACD∩平面ABC＝AC，
又BC⊂平面ABC，且BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD.
24．（10分）如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD?
【答案】(1)证明见解析；(2)45°
(1)证明：取PD的中点E，连接NE，AE，如图．
∵N是PC的中点，∴NE∥DC且NE＝eq \f(1,2)DC，
又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝eq \f(1,2)AB，
∴AM∥CD且AM＝eq \f(1,2)CD，∴NE∥AM，且NE＝AM，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.
(2)解：当α＝45°时，MN⊥平面PCD，证明如下．
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD，又∵MN∥AE，∴MN⊥PD，
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，
∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD.