2024届安徽省马鞍山市第二中学十校高三下学期3月数学试卷 Word版含解析

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姓名__________座位号__________
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法、集合并集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：C
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.
【详解】, 所以.
故选：A.
3. 已知向量满足.若，则实数（ ）
A. B. C. 3D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出的坐标，再利用向量共线的坐标表示计算即得.
【详解】由，得，
由，得，所以.
故选：B
4. 已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象.若是偶函数，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定的图象变换求出的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得.
【详解】依题意，，
由是偶函数，得，而，则.
故选：B
5. 酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每血液中酒精含量达到为酒后驾车，及以上为醉酒驾车.若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了.假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他能驾驶需要的时间至少为（ ）（精确到0.001.参考数据：）
A. 7.963小时B. 8.005小时C. 8.022小时D. 8.105小时
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出指数不等式，根据对数运算法则即可计算.
【详解】由已知得：，
所以，即，
所以
故选：C.
6. 已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出切线方程，再对分和讨论即可.
【详解】由得，
所以切线方程是，
①若，则曲线为，显然切线与该曲线只有一个公共点，
②若，则，
即，
由，即，
得或，
综上:或或.
故选：B.
7. 已知圆，点.过原点的直线与圆相交于两个不同的点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取线段的中点，求出点的轨迹方程，再利用平面向量数量积的运算律及圆的性质求解即得.
【详解】圆的圆心，半径为2，
取线段的中点，连接，当与圆的圆心不重合时，，
点在以线段为直径的圆在圆内的圆弧上，当与重合时，也在此圆弧上，
因此点的轨迹是以线段为直径的圆在圆内的圆弧，圆弧所在圆心为，方程为，
显然，过点与点的直线斜率，
过点与点的直线斜率，显然，即过点与点的直线与该圆弧相交，
因此，点与点的距离为3，则，
所以的取值范围为.
故选：D
8. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，且，则使得恒成立的实数的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出数列的通项，再利用等比数列前项和公式求出即可得解.
【详解】数列中，，，当时，，两式相减得，
即，整理得，而，
因此数列是首项为3，公比为2的等比数列，，不满足上式，
则，当时，，，
而，依题意，，所以实数的最小值为.
故选：C
【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名.在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上､下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）.图2为某地区2023年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图.AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重.则（ ）
A. 该地区2023年5月有严重污染天气
B. 该地区2023年6月的AQI值比5月的AQI值集中
C. 该地区2023年5月的AQI值比6月的AQI值集中
D. 从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定信息，结合图示，逐项判断即得.
【详解】对于A，图2所示中5月份有AQI值超过200的异常值，A正确；
对于B，C，图2中5月份的箱体高度比6月份的箱体高度小，说明5月的AQI值比6月的AQI值集中，B错误，C正确；
对于D，虽然5月有严重污染天气，但从图 2所示中5月份箱体整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小，
AQI值整体集中于较小值，说明从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月，D正确.
故选：ACD
10. 已知抛物线的焦点为，从点发出的光线经过抛物线上的点（原点除外）反射，则反射光线平行于轴.经过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，经过点且垂直于轴的直线交轴于点；抛物线在点处的切线与轴分别交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，得到各线段的长度，从而判断AB，利用抛物线光学性质，结合抛物线的定义判断CD.
【详解】对于AB，设点，则，，
则，而，
所以，故A错误；
又，则，故B正确；
对于C，如下图所示，过点作轴的平行线，与抛物线的准线交于点，
又题意所给抛物线的光学性质可得，
又，所以，从而，故C正确；
对于D，因为，所以，即为的角平分线，
又由抛物线定义知，结合，可得四边形为菱形，
而轴经过线段中点，从而与轴的交点即为点，所以，故D正确.
故选：BCD
11. 已知点均在半径为的球面上，是边长为的等边三角形，，，则三棱锥的体积可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用线线垂直构造面面垂直结合三棱锥的外接球特征分类讨论计算即可.
【详解】
取的中点，设三棱锥的外接球球心为O，半径，
作于E，连接，
易知平面，
因为，所以平面，
又平面，所以平面平面，
作于G点，平面平面，则平面，
故三棱锥的体积为，
由题意可知，
即，
若在直线的下方，则，
若在直线的上方，则，
综上所述或.
故选：BC
【点睛】思路点睛：先根据条件得出球心与S点所在平面垂直于底面，再根据三棱锥的外接球性质及勾股定理计算夹角，最后分类讨论S点的位置计算三棱锥的高即可.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从中任意选1个数字，从中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数.在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两个计数原理及古典概型计算即可.
【详解】根据题意可知：若从中任意选1个不为0的数字有种选法，
从中任意选2个数字有种选法，
由选出的3个数字组成三位数有！种组法，共种方法，
其中偶数有个；
若从中选0，再从中任意选2个数字有种选法，
由选出的3个数字组成三位数有种组法，共种方法，
其中偶数有个；
所以该数为偶数的概率为.
故答案为：
13. 若函数为偶函数，是奇函数，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可.
【详解】由题意可知关于轴对称，关于中心对称，
，
所以，故，
所以，
即是的一个正周期，则
由，且，则，
故答案为：
14. 过双曲线的右焦点的直线分别在第一､第二象限交的两条渐近线于两点，且.若，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据渐近线的斜率与倾斜角的关系，结合正切二倍角的公式、正切的定义、勾股定理、双曲线离心率的公式进行求解即可.
【详解】由题意可知该双曲线的渐近线方程为，如图所示：
令，于是有，
由双曲线和两条渐近线的对称性可得：，
因，所以，
即，
在直角三角形中，设，
根据勾股定理可得：，或舍去，
即，
在直角三角形中，
，
由勾股定理可知：，
因，所以
，或舍去，
由，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角的正切公式、由已知等式化简成为的齐次方程，进而求出双曲线的离心率.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知分别是三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若，将射线和分别绕点顺时针旋转，，旋转后相交于点（如图所示），且，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可；
（2）根据正弦定理，结合余弦定理、两角和的正弦公式进行求解即可.
【小问1详解】
根据正弦定理，由
，
因为，所以，
所以由
，
因为因为，所以，
因此.
【小问2详解】
由（1）可知，由题意可知，
而，所以
，
在中，由正弦定理可知：
在中，由正弦定理可知：
，
在中，由余弦定理可知：
16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，.

（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，点在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理求出，再利用勾股定理逆定理和面面垂直的判定即可；
（2）建立合适的空间之间坐标系，求出相关法向量，根据线面角的空间向量求法即可.
【小问1详解】
证明:由余弦定理得，
所以，
因此，
又因为平面，
所以面，
又因为平面，
故平面平面.
【小问2详解】
由于，
所以二面角的平面角为，即，
在平面内过点作的垂线，交于，
由平面平面，且平面，平面平面，得平面，
以为坐标原点，为，，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，由于
则，即，
令，则，
所以
设直线与平面所成角为，
，
，
因此直线与平面所成角的正弦值为.

17. 某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4即视为合格品，否则视为不合格品.假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品，误差的样本均值为0，样本方差为4.用样本估计总体.
（1）试估计100件产品中不合格品的件数（精确到1）；
（2）在（1）的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品.收货方对每箱产品均采取不放回地随机抽取方式进行检验，箱与箱之间的检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受该箱产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝该箱产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受该箱产品，否则拒绝该箱产品.若该箱产品通过检验后生产方获利1000元；该箱产品被拒绝，则亏损89元.求100箱该产品利润的期望值.
附：若随机变量服从正态分布，则，
【答案】（1）约为5件；
（2）元.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正态分布的概率求出这批产品的合格率即可得估计值.
（2）利用互斥事件的概率及条件概率公式求出一箱产品通过的概率，再利用二项分布的期望公式及期望的性质计算即得.
【小问1详解】
分别用样本均值和样本标准差估计正态分布的参数和，得产品的尺寸误差，
，
因此估计这批产品的合格率为，样本的不合格品率为，
所以估计100件产品中有件不合格品.
【小问2详解】
设“抽检的第1件产品不合格”，“抽检的第2件产品不合格”，
则一箱产品被拒绝的事件为，
因此，
设100箱产品通过检验的箱数为，则，
因此100箱利润，
所以平均利润（元）.
18. 已知矩形中，分别是矩形四条边的中点，以矩形中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线上的动点满足.

（1）求直线与直线交点的轨迹方程；
（2）当时，过点的直线（与轴不重合）和点轨迹交于两点，过点作直线的垂线，垂足为点.设直线与轴交于点，求面积的最大值.
【答案】（1）不含点；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，借助向量共线用表示点，再求出直线的方程，联立消去参数即得.
（2）设出直线的方程，与点的轨迹方程联立，借助韦达定理求出点坐标，再建立三角形面积的函数关系，并求出最大值即得.
【小问1详解】
依题意，，
设点，由，得，即，
由，得，即，
当时，直线，直线，
联立消去参数得，即，
当时，得交点，满足上述方程，
所以直线与直线交点的轨迹方程:不含点.
【小问2详解】
当时，点，过点的直线可设为，
由消去x得：，即，
设，则，
依题意，，直线，
令，得点横坐标，又，
则，
因此直线过定点，显然，
而，
令，，
当且仅当，即取等号，此时，
所以面积的最大值为.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
19. 已知函数是的导函数.
（1）证明：在上存在唯一零点；
（2）设函数.
①当时，求函数的单调区间；
②当时，讨论函数零点的个数.
【答案】（1）证明见解析；
（2）①答案见解析；②只一个零点
【解析】
【分析】（1）对函数求导，构造利用其单调性结合零点存在性定理计算即可证明；
（2）①先求导函数，构造，利用其单调性及，得出，从而判定单调区间；②利用（1）、①的结论，分类讨论函数的单调性，极大值与0的关系判定零点个数即可.
【小问1详解】
由题意可知，
由，
令，易知在R上单调递增，
又，
若，由于且；
若，由于且；
所以在上存在唯一零点，使得，
即在上存在唯一零点；
【小问2详解】
①当时，易知
，
由（1）知单调递增，且只存在一个零点，
注意到，所以，
可得在区间和上，，即此时单调递增，
在上，，即此时单调递减；
②易知，即的一个零点为，
（i）当时，由上可知，即，
此时在区间和上，，单调递增，
上，，单调递减，
则时取得极大值，
又，即此时的零点只一个为；
（ii）当时，易知，此时，则在R上单调递增，
所以此时的零点只一个为；
（iii）当时，易知，
此时在区间和上，，单调递增，
在上，，单调递减，
则时取得极大值，
因为，所以，
若，则，
若，则
，
所以，同上此时的零点只一个为；
综上所述：的零点只一个为.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.