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安徽省皖南八校2024届高三下学期4月第三次联考数学试卷（Word版附解析）
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这是一份安徽省皖南八校2024届高三下学期4月第三次联考数学试卷（Word版附解析），文件包含安徽省皖南八校2024届高三4月第三次联考数学试卷Word版含解析docx、安徽省皖南八校2024届高三4月第三次联考数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
考生注意：
1本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区､崧泽文化区､良渚文化区､钱山漾文化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长､谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲､乙在内的6名研究生同学到这4个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲､乙两人安排在相同区域的方法种数为（ ）
A. 96B. 144C. 240D. 360
5. “”是“函数的图象关于对称”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（ ）
A. 0.25B. 0.27C. 0.48D. 0.52
7. 如图，在棱长为2的正方体中，内部有一个底面垂直于的圆锥，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积最大为（ ）
A. B. C. D.
8. 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于概率统计的说法中正确的是（ ）
A. 某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大
B 设随机变量服从正态分布，若，则
C. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则
D. 两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
10. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点，则下列为真命题是（ ）
A. 若，则点在圆上
B. 若复数满足，则复数在复平面内所对应点的轨迹是椭圆
C. 若复数满足，则复数在复平面内所对应点的轨迹是双曲线
D. 若，则点在抛物线上
11. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B.
C.
D. 若，则
三､填空题：共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从安徽省体育局获悉：第四届长三角体育节将于4月至9月在安徽省宣城市举办.据介绍，本届体育节以“绿色､健康､融合､共享”为主题，共设置山水生态类､快乐时尚类､传统体育类共21项赛事.下表是4月8日安徽代表队传统跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数：
则跳绳个数第60百分位数是__________.
13. 的展开式中，的系数为______．
14. 椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上第一象限内，记，存在圆经过点，且，则椭圆的离心率为__________.
四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）射线绕点旋转交线段于点，且，求面积的最小值.
16. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面是矩形，平面平面分别为线段的中点，点在线段上（不包括端点）.
（1）若，求证：点四点共面；
（2）若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出，若不存在，请说明理由.
17. 已知函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数有2个零点，试比较与的大小关系.
18. 现有甲､乙两个不透明盒子，都装有1个红球和1个白球，这些球的大小､形状､质地完全相同.
（1）若从甲､乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，次这样的操作后，记甲盒子中红球的个数为.求的分布列与数学期望；
（2）现从甲中有放回的抽取次，每次抽取1球，若抽取次数不超过次的情况下，抽取到2次红球，则停止抽取，一直抽取不到2次红球，第次抽取完也停止抽取，令抽取停止时，抽取的次数为，求的数学期望，并证明：.
19. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是平面内动点与两定点的距离的比值是个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过点斜率为的直线与椭圆相交于（点在轴上方）两点，点是椭圆上异于的两点，平分平分.
①求的取值范围；
②将点看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的周长为，求直线的方程.
选手
选手1
选手2
选手3
选手4
选手5
选手6
选手7
选手8
个数
141
171
161
147
145
171
170
172
考生注意：
1本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区､崧泽文化区､良渚文化区､钱山漾文化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长､谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲､乙在内的6名研究生同学到这4个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲､乙两人安排在相同区域的方法种数为（ ）
A. 96B. 144C. 240D. 360
5. “”是“函数的图象关于对称”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（ ）
A. 0.25B. 0.27C. 0.48D. 0.52
7. 如图，在棱长为2的正方体中，内部有一个底面垂直于的圆锥，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积最大为（ ）
A. B. C. D.
8. 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于概率统计的说法中正确的是（ ）
A. 某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大
B 设随机变量服从正态分布，若，则
C. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则
D. 两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
10. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点，则下列为真命题是（ ）
A. 若，则点在圆上
B. 若复数满足，则复数在复平面内所对应点的轨迹是椭圆
C. 若复数满足，则复数在复平面内所对应点的轨迹是双曲线
D. 若，则点在抛物线上
11. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B.
C.
D. 若，则
三､填空题：共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从安徽省体育局获悉：第四届长三角体育节将于4月至9月在安徽省宣城市举办.据介绍，本届体育节以“绿色､健康､融合､共享”为主题，共设置山水生态类､快乐时尚类､传统体育类共21项赛事.下表是4月8日安徽代表队传统跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数：
则跳绳个数第60百分位数是__________.
13. 的展开式中，的系数为______．
14. 椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上第一象限内，记，存在圆经过点，且，则椭圆的离心率为__________.
四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）射线绕点旋转交线段于点，且，求面积的最小值.
16. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面是矩形，平面平面分别为线段的中点，点在线段上（不包括端点）.
（1）若，求证：点四点共面；
（2）若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出，若不存在，请说明理由.
17. 已知函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数有2个零点，试比较与的大小关系.
18. 现有甲､乙两个不透明盒子，都装有1个红球和1个白球，这些球的大小､形状､质地完全相同.
（1）若从甲､乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，次这样的操作后，记甲盒子中红球的个数为.求的分布列与数学期望；
（2）现从甲中有放回的抽取次，每次抽取1球，若抽取次数不超过次的情况下，抽取到2次红球，则停止抽取，一直抽取不到2次红球，第次抽取完也停止抽取，令抽取停止时，抽取的次数为，求的数学期望，并证明：.
19. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是平面内动点与两定点的距离的比值是个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过点斜率为的直线与椭圆相交于（点在轴上方）两点，点是椭圆上异于的两点，平分平分.
①求的取值范围；
②将点看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的周长为，求直线的方程.
选手
选手1
选手2
选手3
选手4
选手5
选手6
选手7
选手8
个数
141
171
161
147
145
171
170
172
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