浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团中考数学二模试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团中考数学二模试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. −2023的绝对值是( )
A. 12023B. −12023C. −2023D. 2023
2. 下列计算，正确的是( )
A. a2−a=aB. a2⋅a3=a6C. a9÷a3=a3D. (a3)2=a6
3. 抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1−6)一次，则正面朝上的数字( )
A. 一定是6B. 可能是6C. 一定大于6D. 一定小于6
4. 点M(m,n)在y轴上，则点M的坐标可能为( )
A. (−4,−4)B. (4,4)C. (−2,0)D. (0,2)
5. 两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AB与DF交于点M.若BC//EF，则∠BMD的大小为( )
A. 60°B. 67.5°C. 75°D. 82.5°
6. 我省某市即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成，现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务，设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是( )
A. 6000x−6000x+20=15B. 6000x+20−6000x=15
C. 6000x−6000x−15=20D. 6000x−15−6000x=20
7. 若a<0A. 1−a<1−bB. a+18. 如图，在△ACB中，∠ACB=90°，D是BC上一点，连接AD，若∠B=α，∠ADC=β，AB=a，则CD的长可表示为( )
A. acsβ
B. asinα
C. asinαtanβ
D. asinαcsβ
9. 已知二次函数y1=(x+2a)(x−2b)和一次函数y2=−x+2b(a,b为常数).若a+2=b.当函数y=y1+y2的图象经过点(c,0)时，b与c之间的数量关系为( )
A. c=5−2b或c=2bB. c=−5+2b或c=−2b
C. c=2bD. c=−5+2b
10. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点.连接BE，把△ABE沿直线BE折叠，使点A落在点F处，BF交对角线AC于点G，则CG的长是( )
A. 4 27
B. 3 27
C. 3 28
D. 5 28
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 若 x−1有意义，请写出符合条件的一个x的值：______ ．
12. 若多项式A满足，A⋅(a+1)=a2−1，则A= ______ ．
13. 如图，点P是⊙O外一点，PT是⊙O的切线，T为切点，连接OT.若∠P=35°，则∠O= ______ ．
14. 已知圆锥的母线长13cm，圆锥的高12cm，则这个圆锥的侧面积是______ cm2．
15. 已知实数x，y，a满足x+3y+a=4，x−y−3a=0.若−1≤a≤1，t=x+y，那么t的取值范围是______ ．
16. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD是边BC上的高，△ABC绕点C旋转，点B落在线AD上的点E处，点落在点F处，那么∠ECD= ______ °，cs∠FAD= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解不等式：3(2x−1)−2(x+1)≤1．
18. (本小题8.0分)
每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动.活动结束后，校教导处对本校八年级学生4月份的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量(单位：本)进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全两幅统计图．
(2)本次抽取学生4月份“读书量”的中位数为______ 本.
(3)已知该校八年级有600名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”不少于4本的学生人数．
19. (本小题8.0分)
如图，在边长为6的等边三角形ABC中，点E，D、F分别在边AB、BC、AC上，∠EDF=60°．
(1)求证：△BDE∽△CFD；
(2)若BD=1，FC=3，求BE的长．
20. (本小题10.0分)
平面直角坐标系中，反比例函数y1=k1x(k1为常数，k1≠0)和一次函数y2=k2(x+2−a)+1(k2,a为常数，k2≠0)的图象都经过点A(23,a)．
(1)若a=3，求k1的值．
(2)若点B(a−2,1)是反比例函数与一次函数图象的另一个交点，
①求y1，y2的函数表达式．
②若021. (本小题10.0分)
如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．
(1)求证：四边形CDEF是菱形；
(2)若AB=2，BC=3，∠A=120°，求BP的值．
22. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2−2ax+1(a是常数)．
(1)当a=2时，求函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)若函数图象经过点(1,p)，(−1,q)，求证：pq≤4；
(3)已知函数图象经过点A(−3,y1)，B(a+1,y2)，点C(m,y3)，若对于任意的4≤m≤6都满足y1>y3>y2，求a的取值范围．
23. (本小题12.0分)
已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F．
(1)如图1，若AC=120°，求OF的长．
(2)如图2，若E为弦BD的中点，求证：DF=2OF．
(3)连接BC、CD、DA，若BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正4n边形的一边，求△ACD的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−2023的绝对值是|−2023|=2023．
故选：D．
根据负实数的绝对值是它的相反数，求出−2023的绝对值即可．
此题主要考查了绝对值的含义和求法，解答此题的关键是要明确：①当a是正实数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负实数时，a的绝对值是它的相反数−a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2.【答案】D
【解析】解：A、a2−a，不能合并，故A错误；
B、a2⋅a3=a5，故B错误；
C、a9÷a3=a6，故C错误；
D、(a3)2=a6，故D正确；
故选：D。
根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方进行计算即可。
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键。
3.【答案】B
【解析】解：抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1−6)一次，则正面朝上的数字可能是6，
故选：B．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】D
【解析】解：∵点M(m,n)在y轴上，
∴m=0，
∴(0,2)．
故选：D．
根据y轴上的点的横坐标为0判断即可．
本题考查了点的坐标，掌握y轴上的点的坐标特点是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F和∠B的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB的度数，在△BMD中，利用三角形内角和可求出∠BMD的度数．
【解答】
解：在△ABC和△DEF中，
∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，
∴∠B=90°−∠C=60°，
∠F=90°−∠E=45°，
∵BC//EF，
∴∠MDB=∠F=45°，
在△BMD中，∠BMD=180°−∠B−∠MDB=75°．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
6000x−6000x+20=15，
故选：A．
根据实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】
解：(A)∵a<0∴−a>−b，
∴1−a>1−b，故A错误．
(B)当a=−1，b=1时，
∴a+1=0，b−1=0，
即a+1=b−1，故B错误．
(C)当a=−3时，b=1时，
∴a2=9，b2=1，
即a2>b2，故C错误．
(D)∵a<0∴a2>0，a−b<0
∴a3−a2b=a2(a−b)<0，故D正确．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠ADC=β，
在Rt△ACD中，AC=tanβ⋅CD，
∵∠B=α，AB=a，
在Rt△ACB中，sinα=ACAB，
∴tanβ⋅CD=sinα⋅AB，
即CD=asinαtanβ．
故选：C．
在Rt△ACD中，先用CD表示出AC，然后在Rt△ACB中用sinα表示即可．
本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义并灵活运用是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵y=y1+y2，
∴y=(x+2a)(x−2b)−x+2b
=(x+2a−1)(x−2b)，
又a=b−2，
∴y=(x+2b−5)(x−2b)，
∵抛物线经过点(c,0)，
∴(c+2b−5)(c−2b)=0，
∴c+2b−5=0或c−2b=0.(也可以写成2b+c=5或2b−c=0.也可以写成c=5−2b或c=2b)．
故选：A．
把y1=(x+2a)(x−2b)和y2=−x+2b代入y=y1+y2中可以求出y=(x+2b−5)(x−2b)，然后把(c,0)代入，得出关于b，c等式即可求解．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：延长BF交CD于H，连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，∠D=∠DAB=90°，AD=CD=AB=1，
∴AC= AD2+CD2= 1+1= 2，
由翻折的性质可知，AE=EF，∠EAB=∠EFB=90°，∠AEB=∠FEB，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE=EF，
∵∠D=∠EFH=90°，
在Rt△EHD和Rt△EHF中，
EH=EHED=EF，
∴Rt△EHD≌Rt△EHF(HL)，
∴∠DEH=∠FEH，
∵∠DEF+∠AEF=180°，
∴2∠DEH+2∠AEB=180°，
∴∠DEH+∠AEB=90°，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△EDH∽△BAE，
∴EDAB=DHEA=12，
∴DH=14，CH=34，
∵CH//AB，
∴CGGA=CHAB=34，
∴CG=37AC=3 27．
故选：B．
延长BF交CD于H，连接EH.证明△EDH∽△BAE，推出EDAB=DHEA=12，推出DH=14，CH=34，由CH//AB，推出CGGA=CHAB=34，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
11.【答案】1(答案不唯一)
【解析】解：由于 x−1有意义，
所以x−1≥0，
即x≥1，
所以x可以为：1(答案不唯一)．
根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再写成符合条件的数即可．
本题考查二次根式有意义的条件，理解“负数没有平方根”是正确解答的前提．
12.【答案】a−1
【解析】解：∵a2−1=(a+1)(a−1)，
A⋅(a+1)=a2−1，
∴A=a−1，
故答案为：a−1．
注意到a2−1满足两数的平方差，则可利用平方差公式进行计算．
此题主要考查平方差公式的逆运算，同时考查利用平方差公式化简分式求值．
13.【答案】55°
【解析】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，
∴半径OT⊥PT，
∴∠PTO=90°，
∵∠P=35°，
∴∠O=90°−∠P=55°．
故答案为：55°．
由切线的性质定理得到∠PTO=90°，由直角三角形的性质，即可求出∠O的度数．
本题考查切线的性质，直角三角形的性质，关键是掌握切线的性质．
14.【答案】65π
【解析】解：根据勾股定理得，圆锥的底面半径r= 132−122=5(cm)，
∴12×2π×5×13=65π(cm2).
故答案为：65π．
利用勾股定理，计算出圆锥的底面半径r，然后根据扇形的面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的有关计算，要理解圆锥的有关概念；也考查了勾股定理以及圆的周长公式．
15.【答案】1≤t≤3
【解析】解：联立方程组x+3y+a=4①x−y−3a=0②，
将a作为参数解得：x=1+2ay=1−a，
∵−1≤a≤1，
∴x+y=a+2，
可得：1≤t≤3．
故答案为：1≤t≤3．
把a当作参数，联立方程组求出x，y的值，然后用x表示出x+y，利用不等式的性质求解．
本题主要考查了不等式的性质和解二元一次方程组，掌握把a当作参数，联立方程组求出x，y的值，然后利用不等式的性质求解是关键．
16.【答案】60 21−2 310．
【解析】解：如图，过点F作FG⊥AD于点G，

∵将△ABC绕点C旋转，点B落在线段AD上的点E处，点A落在点F处，
∴CE=BC=8，CF=EF=AB=AC=10，
∵AB=AC，AD是边BC上的高，
∴BD=CD=4，
∴cs∠ECD=CDCE=510=12，
∴∠ECD=60°，
∴DE=CE⋅sin∠ECD=8×sin60°=4 3，
∵∠ACF=∠ECD=60°，
∴△ACF是等边三角形，
∴AF=EF=10，
在Rt△ACD中，AD= AC2−CD2= 102−42=2 21，
∴AE=AD−DE=2 21−4 3，
∵AF=EF，FG⊥AD，
∴AG=EG=2 21−4 32= 21−2 3，
∴cs∠FAD=AGAF= 21−2 310，
故答案为：60， 21−2 310．
如图，过点F作FG⊥AD于点G，由旋转可知：CE=BC=8，CF=EF=AB=AC=10，利用三角函数可得∠ECD=60°，进而可得：DE=4 3，AF=EF=5，运用勾股定理可得AD=2 21，AE=2 21−4 3，由等腰三角形性质可得AG的长，再运用三角函数可得答案．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数定义，解题关键是要熟练运用等腰三角形性质．
17.【答案】解：3(2x−1)−2(x+1)≤1，
去括号，得：6x−3−2x−2≤1，
移项，得：6x−2x≤1+3+2，
合并同类项，得：4x≤6，
系数化为1，得：x≤32．
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18.【答案】3
【解析】解：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为3÷5%=60(人)，
读4本的人数为60×20%=12(人)，
读3本的百分比为：2160×100%=35%，
读5本的百分比为：660×100%=10%，
补全两幅统计图如图：

(2)把这些数从小到大排列，中位数是第30、31个数的平均数，
则中位数是3+32=3(本)；
故答案为：3；
(3)根据题意得：600×(10%+20%)=180(人)，
答：估计该校八年级学生中4月份“读书量”不少于4本的学生人数为180人．
(1)根据读1本的人数和所占的百分比求出总人数，再可求出读4本的人数和读3本、5本的百分比，即可补全两幅统计图；
(2)根据平均数、众数和中位数的定义即可得出答案；
(3)用八年级的总人数乘以“读书量”为4本的学生人数所占的百分比即可．
考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19.【答案】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠EDC=∠B+∠BED，
即∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，
而∠EDF=60°．
∴∠BED=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴△BDE∽△CFD；
(2)解：∵BC=6，BD=1，
∴CD=5，
∵△BDE∽△CFD，
∴BECD=BDCF，即BE5=13，
解得BE=53，
即BE的长为53．
【解析】(1)先根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，再利用三角形外角性质证明∠BED=∠CDF，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
(2)由于△BDE∽△CFD，根据相似三角形的性质得到BECD=BDCF，然后根据比例的性质可求出BE的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了等边三角形的性质．
20.【答案】解：(1)若a=3，则A(23,3)，
∵反比例函数y1=k1x(k1为常数，k1≠0)图象经过点A(23,3)，
∴k1=23×3=2；
(2)①∵反比例函数y1=k1x(k1为常数，k1≠0)和一次函数y2=k2(x+2−a)+1(k2,a为常数，k2≠0)的图象都经过点A(23,a)，B(a−2,1)，
∴23a=(a−2)×1，
解得：a=6，
∴A(23,6)，
∴6=k123，6=k2(23+2−6)+1，
解得：k1=4，k2=−32，
∴y1，y2的函数表达式分别为y1=4x，y2=−32x+7；
②如图：

令y2=0，则−32x+7=0，
解得：x=143，
∴一次函数y2=−32x+7与x轴的交点为(143,0)，
∴由图象可得，当0【解析】(1)根据待定系数法即可求得；
(2)①根据题意23a=(a−2)×1，求得a的值，从而得出A(23,6)，然后分别代入y1，y2，利用待定系数法即可求得；
②根据图象，结合A、B的坐标以及直线与x轴的交点即可求得．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标符合解析式．
21.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EDF=∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠EDF=∠CDF，
∴∠DFC=∠CDF，
∴CD=CF，
同理可得CD=DE，
∴CF=DE，且CF//DE，
∴四边形CDEF是平行四边形，
又∵CD=CF，
∴平行四边形CDEF为菱形；
(2)如图，过P作PG⊥BC于G，
∵AB=2，BC=3，∠A=120°，且四边形CDEF为菱形，
∴CF=EF=CD=AB=2，∠ECF=12∠BCD=12∠A=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=2，
∴PC=12CE=1，
∴CG=12PC=12，PG= 32PC= 32，
∴BG=BC−CG=3−12=52，
在Rt△BPG中，由勾股定理可得BP= BG2+PG2= (52)2+( 32)2= 7，
即BP的值为 7．
【解析】本题主要考查平行四边形的性质及菱形的判定和性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键，在求BP的值时注意构造直角三角形．
(1)利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得CF=CD=DE，可证得结论；
(2)过P作PG⊥BC于G，在Rt△PGC中可求得PG和CG的长，则可求得BG的长，在Rt△BPG中，由勾股定理可求得BP的长．
22.【答案】(1)解：当a=2时，y=x2−4x+1=(x−2)2−3，
∴抛物线的顶点坐标为(2,−3)，对称轴为直线x=1；
(2)证明：∵函数图象经过点(1,p)，(−1,q)，
∴p=1−2a+1=2−2a，q=1+2a+1=2+2a，
∴pq=(2−2a)(2+2a)=4(1−a2)，
∴1−a2≤1，
∴pq≤4；
(3)解：∵对于任意的4≤m≤6都满足y1>y3>y2，
∴点A，B，C存在如下情况：
情况1，如图1，当−3
∴−3+m2解得32情况2，如图2，当−3
∴a>m−1a>m+1，
∴a>m+1，解得a>7，
综上所述，327．
【解析】(1)由配方法可求出顶点坐标，x=−3时，y1=22，x=3时，y2=−2，则可得出答案；
(2)将已知两点代入求出p=2−2a，q=2+2a，再表示出pq=(2−2a)(2+2a)=4(1−a2)，由1−a2≤1，即可求解；
(3)分两种情况，当−3本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)解：∵OD⊥AC，
∴AD=CD，∠AFO=90°，
又∵AC=BD，
∴AC=BD，即AD+CD=CD+BC，
∴AD=BC，
∴AD=CD=BC，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
∵AB=2，
∴AO=BO=1，
∴AF=AOsin∠AOF=1× 32= 32；
(2)证明：如图1，连接BC，

∵AB为直径，OD⊥AC，
∴∠AFO=∠C=90°，AF=FC，
∴OD//BC，
∴∠D=∠EBC，
∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，
∴△DEF≌△BEC(ASA)，
∴BC=DF，
∵AF=FC，AO=OB，
∴BC=2OF，
∴DF=2OF；
(3)如图2，

∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正(n+4)边形的一边，
∴∠BOC=360n、∠AOD=∠COD=360n+4，
则360n+2×360n+4=180，
解得：n=4或−2，−2舍去．
∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，
∴BC=AC= 2，
∵∠AFO=90°，
∴OF=AOcs∠AOF= 22，
则DF=OD−OF=1− 22，
∴S△ACD=12AC⋅DF=12× 2×(1− 22)= 2−12．
【解析】(1)由AC=BD知AD+CD=CD+BC，得AD=BC，根据OD⊥AC知AD=CD，从而得AD=CD=BC，即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，利用AF=AOsin∠AOF可得答案；
(2)连接BC，设OF=t，证OF为△ABC中位线及△DEF≌△BEC得BC=DF，再利用三角形中位线定理证明即可；
(3)先求出BC、CD、AD所对圆心角度数，从而求得BC=AD= 2、OF= 22，从而根据三角形面积公式计算可得．
本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点．