第34讲 概率（17题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第34讲 概率
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc158817330" 题型01 事件的分类
\l "_Tc158817331" 题型02 判断事件发生可能性的大小
\l "_Tc158817332" 题型03 理解概率的意义
\l "_Tc158817333" 题型04 判断几个事件概率的大小关系
\l "_Tc158817334" 题型05 根据概率公式计算概率
\l "_Tc158817335" 题型06 根据概率作判断
\l "_Tc158817336" 题型07 已知概率求数量
\l "_Tc158817337" 题型08 几何概率列举法求概率
\l "_Tc158817338" 题型09 列举法求概率
\l "_Tc158817339" 题型10 画树状图法/列表法求概率
\l "_Tc158817340" 题型11 由频率估计概率
\l "_Tc158817341" 题型12 用频率估计概率的综合应用
\l "_Tc158817342" 题型13 放回实验概率计算方法
\l "_Tc158817343" 题型14 不放回实验概率计算方法
\l "_Tc158817344" 题型15 游戏公平性
\l "_Tc158817345" 题型16 概率的应用
\l "_Tc158817346" 题型17 概率与统计综合
题型01 事件的分类
1．（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽B．如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a
C．打开电视，正在播广告D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
【答案】B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意；
B、如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a，是必然事件，本选项符合题意；
C、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（2022·福建福州·统考一模）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．水滴石穿D．百发百中
【答案】B
【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可．
【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意；
B、水中捞月是不可能事件，故该选项符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，故该选项不符合题意；
D、百发百中是随机事件，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键．
3．（2021·广东广州·执信中学校考三模）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）
A．3天内将下雨B．打开电视，正在播新闻
C．买一张电影票，座位号是偶数号D．没有水分，种子发芽
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、3天内将下雨，是随机事件；
B、打开电视，正在播新闻，是随机事件；
C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；
D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；
故选D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（2019·山东临沂·校联考一模）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12
【答案】D
【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．
【详解】A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误；
B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误；
C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事件，故此选项错误；
D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了随机事件的判断，关键是掌握随机事件，确定性事件的定义．
题型02 判断事件发生可能性的大小
5．（2023·贵州铜仁·统考一模）在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸中哪种球的概率最大（ ）
A．红球B．黄球C．白球D．蓝球
【答案】A
【分析】根据概率的求法，因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大．
【详解】在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，
因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大，
摸到红球的概率是：513
故选：A
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P (A) =mn ．
6．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）下列事件中，是确定事件的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上B．三角形的内角和是180°
C．明天会下雨D．明天的数学测验，小明会得满分
【答案】B
【分析】根据确定事件和随机事件的定义对各选项逐一分析即可．
【详解】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故不符合题意；
B、三角形的内角和是180°，是必然事件，属于确定事件，故符合题意；
C、明天会下雨为随机事件，故不符合题意；
D、明天的数学测验，小明会得满分为随机事件，故不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，解决本题的关键是要明确事件分为确定事件和不确定事件(随机事件)，确定事件又分为必然事件和不可能事件．
7．（2023·江苏淮安·统考一模）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子1次，下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．朝上的点数之和为12B．朝上的点数之和为13
C．朝上的点数之和为2D．朝上的点数之和小于9
【答案】B
【分析】依据题意同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子1次，每个骰子上的数字最大是6，得出朝上的点数之和最大为12，进而判断即可．
【详解】解：根据同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子1次，每个骰子上的数字最大是6，
故朝上的点数之和最大为12，
所以朝上的点数之和为13是不可能事件，
故选：B ．
【点睛】本题考查了不可能事件概率，根据已知得出朝上的点数之和最大为12是解题关键．
8．（2022·贵州遵义·统考三模）袋中有白球3个，红球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机取出一个球，如果取到白球的可能性更大，那么袋中红球的个数是（ ）
A．2个B．不足3个C．4个D．4个或4个以上
【答案】B
【分析】根据取到白球的可能性较大可以判断出白球的数量大于红球的数量，从而得解．
【详解】解：∵袋中有白球3个，取到白球的可能性较大，
∴袋中的白球数量大于红球数量，
即袋中红球的个数可能不足3个．
故选：B．
【点睛】本题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
题型03 理解概率的意义
9．（2019·江苏盐城·校联考二模）气象台预报“本市明天降水概率是90%”对此信息，下列说法正确的是（ ）
A．本市明天将有90%的时间降水B．本市明天降水的可能性比较大
C．本市明天肯定下雨D．本市明天将有90%的地区降水
【答案】B
【分析】根据概率的意义判断即可．
【详解】解：气象台预报“本市明天降水概率是90%”，对此信息，意味着本市明天降水的可能性比较大，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
10．（2023·江苏扬州·校联考一模）如图，某天气预报软件显示“扬州市邗江区明天的降水概率为85%”，对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
A．邗江区明天将有85%的时间下雨B．邗江区明天将有85%的地区下雨
C．邗江区明天下雨的可能性较大D．邗江区明天下雨的可能性较小
【答案】C
【分析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答．
【详解】解：“扬州市邗江区明天的降水概率为85%”表示“邗江区明天下雨的可能性较大”，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率反映随机事件出现的可能性大小，掌握相关概念是解题的关键．
11．（2019·江苏淮安·统考一模）小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（ ）
A．小亮明天的进球率为10%
B．小亮明天每射球10次必进球1次
C．小亮明天有可能进球
D．小亮明天肯定进球
【答案】C
【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．
【详解】解：根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，
他明天将参加一场比赛小亮明天有可能进球．
故选C．
【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
题型04 判断几个事件概率的大小关系
12．（2023·山东东营·统考二模）下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性最大的是（ ）
A．朝上的点数为2B．朝上的点数为7
C．朝上的点数为2的倍数D．朝上的点数不大于2
【答案】C
【分析】抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，点数1~6朝上的概率相等，都是16，据此计算各个选项所代表事件的概率．
【详解】解：A、朝上点数为2的可能性为16；
B、朝上点数为7的可能性为0；
C、朝上点数为2的倍数的可能性为36=12；
D、朝上点数不大于2的可能性为26=13．
故选C．
【点睛】本题主要考查事件可能性的大小，掌握等可能事件发生的概率公式是解题的关键．
13．（2023·福建泉州·统考一模）一个不透明的盒子中装有1个红球和2个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到黑球是不可能事件B．摸到白球是必然事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大
【答案】A
【分析】不可能事件是概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，人们通常用0来表示不可能事件发生的可能性；必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，必然事件发生的概率为1，但概率为1的事件不一定为必然事件，根据随机事件的分类及概率的计算即可求解．
【详解】解：A选项，装有1个红球和2个白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合题意；
B选项，装有1个红球和2个白球，可能摸到白球，也可能摸到红球，是随机事件，不符合题意；
C选项，装有1个红球和2个白球，摸到红球的概率是13，摸到白球的概率是23，概率不同，不符合题意；
D选项，装有1个红球和2个白球，摸到红球的概率小于摸到白球的概率，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查随机事件及概率，理解随机事件的分类，概率的计算方法是解题的关键．
14．（2023·江苏常州·统考一模）在4个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的10个球，任意摸出1个球，摸到红球可能性最大的是（ ）
A．1个红球，9个白球B．2个红球，8个白球
C．5个红球，5个白球D．6个红球，4个白球
【答案】D
【分析】根据概率的计算方法，比较概率的大小即可求解．
【详解】解：A选项，1个红球，9个白球，摸到红球的概率为11+9=110；
B选项，2个红球，8个白球，到红球的概率为22+8=210=15；
C选项，5个红球，5个白球，到红球的概率为55+5=510=12；
D选项，6个红球，4个白球，到红球的概率为66+4=610=35；
∵110<15<12<35，
∴摸到红球可能性最大的是“6个红球，4个白球”，
故选：D．
【点睛】本题主要考查概率的计算，掌握概率的计算方法，比较概率大小的方法是解题的关键．
题型05 根据概率公式计算概率
15．（2023·福建厦门·厦门市湖里中学校考模拟预测）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于 ．
【答案】25/0.4
【分析】根据题目中的数据，可以计算出从中随机抽取一张，编号是偶数的概率．
【详解】解：从编号分别是1，2，3，4，5的卡片中，随机抽取一张有5种可能性，其中编号是偶数的可能性有2种可能性，
∴从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
16．（2023·浙江台州·统考一模）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）掷一次，朝上一面点数是1的概率为 ．
【答案】16
【分析】使用简单事件概率求解公式即可：事件发生总数比总事件总数．
【详解】掷骰子一次共可能出现6种情况，分别是向上点数是：1、2、3、4、5、6，
点数1向上只有一种情况，则朝上一面点数是1的概率P=16．
故答案为：16
【点睛】本题考查了简单事件概率求解，熟练掌握简单事件概率求解的公式是解题的关键．
17．（2023·福建福州·校考一模）端午节到了，小红煮好了10个粽子，其中有6个红枣粽子，4个绿豆粽子．小红想从煮好的粽子中随机捞一个，若每个粽子形状完全相同，被捞到的机会相等，则她捞到红枣粽子的概率是 ．
【答案】35/0.6
【分析】利用概率公式即可求解．
【详解】6÷10=35，
即捞到红枣粽子的概率为35．
故答案为：35．
【点睛】本题考查了运用概率公式求解概率的知识，掌握概率公式是解答本题的关键．
18．（2023·河北衡水·校考二模）从2，−1，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 ．
【答案】25/0.4
【分析】先确定无理数的个数，再除以总个数．
【详解】解：2，π是无理数，
P（恰好是无理数）=25．
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键．
题型06 根据概率作判断
19．（2021·山东烟台·校联考模拟预测）在一个不透明的袋子中装有3个红球、3个白球和2个黑球，它们除颜色外其它均相同，现添加1个同种型号的球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是13，则添加的球是（ ）
A．红球B．白球C．黑球D．任意颜色
【答案】C
【分析】首先根据概率求法，即可判定出添加的球使所有小球个数相同，即可得出答案．
【详解】解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是13，
∴这三种颜色的球的个数相等，
∴添加的球是黑球，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，解答此类问题的关键是掌握概率求法．
20．（2015·河北廊坊·统考二模）一只盒子中有红球m个，白球6个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A．m+n=6B．m+n=3C．m=n=3D．m=2，n=4
【答案】A
【详解】试题分析：∵从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，
∴m+n=6．
故选A．
考点：概率公式．
21．（2020·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于1999，则密码的位数至少需要（ ）位．
A．3位B．2位C．9位D．10位
【答案】A
【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据小于1999所在的范围解答即可．
【详解】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为110，取两位数时一次就拨对密码的概率为1100，取三位数时一次就拨对密码的概率为11000，故密码的位数至少需要3位．
故答案为：3．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．
22．（2020·福建厦门·校考模拟预测）不透明的袋子里装有红、黑、白三种颜色的小球，它们质地、形状完全相同，从袋子中随机抽取一个小球，记事件A为“抽到红球”，事件B为“抽到红球或黑球”，若PA=12，则PB的取值范围是 ．
【答案】12＜PB＜1
【分析】根据随机事件发生的概率解题．
【详解】事件B包含事件A，则PB>12，又因为袋子里还有黑球，则PB<1
故答案为：12＜PB＜1．
【点睛】本题考查随机事件的概率，是常见重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
题型07 已知概率求数量
23．（2018·吉林长春·校考一模）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20B．24C．28D．30
【答案】D
【分析】直接由概率公式求解即可.
【详解】根据题意得9n=30%，解得：n=30，
经检验：n=30符合题意，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
【点睛】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键.
24．（2023·山东济南·模拟预测）不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图来的概率是15，则n的值是 ．
【答案】10
【分析】根据概率的意义列方程求解即可．
【详解】解：由题意得，
n50=15，
解得n=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了概率的意义及计算方法，理解概率的意义是正确求解的关键．
25．（2023·云南昆明·一模）在不透明的袋子里装有2个红球和1个蓝球，红球和蓝球除颜色外其余都完全相同．
(1)从袋子中一次摸出两个球，请用画树状图或列表的方法，求摸出的两个球是一红一蓝的概率；
(2)若再向袋中放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为34，求后来放入袋中蓝球的个数．
【答案】(1)23
(2)放入袋中的蓝球个数为5个
【分析】（1）根据题意画出树状图或列出表格，即得出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后根据概率公式计算即可；
（2）设后来放入袋中的蓝球个数为x个，则此时袋子里有(x+1)个蓝球，共有 (x+3)个球．根据概率公式可列出关于x的分式方程，解出x的值即可．
【详解】（1）解：根据题意可画树状图如图，

由树状图可知共有6种等可能的结果，其中两次摸到一红一蓝的结果有4种，
∴两次摸到一红一蓝的概率P一红一蓝=46=23；
（2）解：设后来放入袋中的蓝球个数为x个，则此时袋子里有(x+1)个蓝球，共有 (x+3)个球．
∵从袋中摸出一个蓝球的概率为34，
∴x+1x+3=34，
解得：x=5，
经检验x=5是原方程的解．
∴放入袋中的蓝球个数为5个．
【点睛】本题考查列表或画树状图法求概率，已知概率求数量，分式方程的应用．熟练掌握概率公式、列表或画树状图求概率及方程的思想方法是解题关键．
26．（2023·江苏苏州·统考二模）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是13．
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(2)能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率14若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．
【答案】(1)715；
(2)能，可以将盒子中的白球拿出3个．
【分析】（1）根据概率公式可直接进行求解；
（2）由题意可直接进行求解．
【详解】（1）解：∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是13，
∴盒子中球的总数为：5÷13=15（个），
∴盒子中黑球的个数为：15−3−5=7（个）；
∴任意摸出一个球是黑球的概率为：715；
（2）解：∵任意摸出一个球是红球的概率为14
∴盒子中球的总量为：3÷14=12，
∴可以将盒子中的白球拿出3个．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键．
题型08 几何概率
27．（2023·广东广州·广州市真光中学校考二模）如图，正方形ABCD及其内切圆O，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（ ）
A．π4B．1−π4C．π8D．1−π8
【答案】B
【分析】设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积比求出概率，即可．
【详解】解：设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，
∴其内切圆的半径为a2，正方形的面积为a2，
∴阴影部分的面积为a2−π×a22=1−π4a2，
∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是1−π4a2a2=1−π4．
故选：B
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
28．（2019·河南·统考一模）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )
A．16B．14C．13D．712
【答案】B
【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
【详解】∵黄扇形区域的圆心角为90°，
所以黄区域所占的面积比例为90360=14，
即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是14，
故选B．
【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
29．（2021·河南·统考模拟预测）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．
【答案】38
【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=616=38，
∴小球停在黑色区域的概率是38；
故答案为：38
【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．
30．（2022·四川成都·统考二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结BD交AF、CH于点M、N．若DE平分∠ADB，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【答案】24/142/0.252
【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率．
【详解】解：如图，连接EG交BD于点P，
∵DE平分∠ADB，
∴ ∠ADE＝∠MDE
∵四边形EFGH是正方形
∴∠MED＝90°，
∴∠AED＝180°－∠MED＝90°
∴∠MED＝∠AED
∵DE＝DE
∴△ADE≌△MDE（ASA）
∴AE＝ME
同理可证△BGC≌△BGN（ASA），
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADM＝45°
∴∠ADE＝∠MDE＝22.5°
∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5°
∵∠MEG＝45°
∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5°
∴∠EMD＝∠MPE
∴EM＝EP
设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x
在Rt△EFG中，∠EFG＝45°，
∴FG＝EG×sin45°＝2x
∵△BFA≌△AED≌△CGB
∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝(2+1)x，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED，
在Rt△BCG中，
BC2=CG2+BG2=4+22x2
∴S阴影=S△DEM+S△BGN=2S△BGN=2×12x× (2+1)x＝(2+1)x2
S正方形ABCD=BC2= (4+22)x2
∴S阴影S正方形ABCD=(2+1)x2(4+22)x2=24
∴针尖落在阴影区域的概率为24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形的面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键．
31．（2022·四川达州·统考二模）正方形ABCD的边长为2，分别以AB、BC、CD、DA的中点为圆心，1为半径画弧，得到如图所示的阴影部分，若随机向正方形内投小石子，则小石子落在阴影部分的概率为 .
【答案】π−22
【分析】求出4个半圆的面积减去正方形的面积，即为阴影部分面积，用阴影面积除以正方形面积即得．
【详解】∵S阴影=4S半圆-S正方形ABCD
=4×12π×12−22
=2π−4，
∴小石子落在阴影部分的概率为，
P小石子落在阴影=S阴影S正方形ABCD
=2π−44
=π−22．
故答案为π−22．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的定义和基本图形面积公式是解决此类问题的关键．
32．（2022·湖北随州·统考二模）如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．
【答案】116
【分析】根据三角形的中位线定理建立面积之间的关系,按规律求解，再根据概率公式进行求解即可．
【详解】根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半,并且这两个三角形相似,
那么第二个△DEF的面积=14△ABC的面积
那么第三个△MPN的面积=14△DEF的面积=116△ABC的面积
∴若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为: 116
故答案为：116
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，概率公式,解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第三个三角形的面积与第一个三角形的面积的关系，以及概率公式．
题型09 列举法求概率
33．（2022·北京朝阳·统考二模）从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是（ ）
A．14B．13C．12D．23
【答案】B
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加,和有三种情况，
分别是3，4，5三种情况.
所以和为偶数的概率为13，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的计算，解题的关键是掌握求等可能事件的的概率公式.
34．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片4张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，一次性从中随机抽取两张，则抽中卡片上正面的图形都是中心对称图形的概率为 ．
【答案】12/0.5
【分析】利用列举法求概率即可．
【详解】解：在等腰三角形，矩形，菱形，正方形四张卡片中，矩形，菱形，正方形为中心对称图形，分别用A,B,C,D表示等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片，一次性随机抽取两张卡片共有AB,AC,AD,BC,BD,CD，共6种情况，其中抽中卡片上正面的图形都是中心对称图形的有BC,BD,CD，共3种情况，
∴P=36=12；
故答案为：12．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，列举法求概率．熟练掌握矩形，菱形，正方形为中心对称图形，以及列举法求概率，是解题的关键．
35．（2022·北京·一模）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为 ．
【答案】16
【分析】利用列举法求概率，列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：齐王的三匹马出场顺序为10，8，6；
而田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；共6种，田忌能赢得比赛的有5，9，7；一种
∴田忌能赢得比赛的概率为16
故答案为：16
【点睛】本题考查概率的求法，解题的关键是要注意列举法需要做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
36．（2019·河南濮阳·统考二模）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ．
【答案】23
【分析】本题考查了列举法求概率，本题随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为23．
【详解】解：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，可以闭合S1、S2；S1、 S3；S2、S3三种情况，其中闭合S1、 S3或S2，S3时，灯泡可以发光，
∴P灯泡发光=23．
故答案为：23．
题型10 画树状图法/列表法求概率
37．（2023·安徽芜湖·统考一模）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A．19B．16C．13D．23
【答案】C
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为39=13．
故选：C．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
38．（2022·河南南阳·模拟预测）在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（ ）
A．12B．13C．23D．14
【答案】D
【分析】设“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容分别为A、B、C、D，画出树状图进行求解即可．
【详解】解：设“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容分别为A、B、C、D，画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，
则两人恰好选中同一主题的概率为416=14．
故选：D．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，读懂题意，画出树状图是解题的关键．
39．（2023·安徽滁州·统考三模）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（ ）
A．14B．13C．12D．23
【答案】C
【分析】采用树状图法，确定所有可能情况数和满足题意的情况数，最后运用概率公式解答即可.
【详解】解：根据题意列树状图如下：
由上表可知共有12中可能，满足题意的情况数为6种
则A，B两位同学座位相邻的概率是612=12 .
故选C.
【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图成为解答本题的关键.
40．（2023·陕西·模拟预测）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于_________；
(2)搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
【答案】(1)13
(2)19
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）画树状图求概率即可求解．
【详解】（1）解：共有3个球，其中红球1个，
∴摸到红球的概率等于13；
（2）画树状图如下：
∵有9种结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，
∴2次都摸到红球的概率=19．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
题型11 由频率估计概率
41．（2023·广西南宁·统考二模）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．6B．8C．12D．15
【答案】C
【分析】设红球的个数为x个，根据摸出红球的频率稳定在0.6左右列出关于x的方程，求解即可解答．
【详解】解：设红球的个数为x个，
根据题意，得：x20=0.6，
解得：x=12，
即袋子中红球的个数最有可能是12，
故选：C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率、简单的概率计算，熟知经过多次实验所得的频率可以近似认为是事件发生的概率是解题关键．
42．（2023·北京东城·统考二模）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数） ．
【答案】0.9
【分析】根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格概率．
【详解】解：根据题意得：该产品的合格率大约为0.9，
∴恰好是合格产品的概率约是0.9．
故答案为：0.9
【点睛】本题考查利用频率估计概率的知识，训练了从统计表中获取信息的能力及统计中用样本估计总体的思想．
44．（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 （填“黑球”或“白球”）．
【答案】白球
【分析】利用频率估计概率的知识，确定摸出黑球的概率，由此得到答案．
【详解】解：由图可知：摸出黑球的频率是0.2，
根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为0.2，
∴可以推断盒子里个数比较多的是白球，
故答案为：白球．
【点睛】此题考查利用频率估计概率，正确理解图象的意义是解题的关键．
题型12 用频率估计概率的综合应用
44．（2022·山东威海·统考一模）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【答案】（1）1个；（2）38
【分析】（1）先利用频率估计概率，得到摸到红球的概率为0.75，再利用概率公式列方程，解方程可得答案；
（2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．
【详解】解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有x个，依题意得33+x=0.75
解得，x=1．
经检验：x=1是原方程的解，且符合题意，
所以箱子里可能有1个白球；
（2）列表如下：
或画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有：
（红1，白）、（红2，白）、（红3，白）、（白，红1）、（白，红2）、（白，红3）共6种．
∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率616=38．
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率，掌握实验次数足够多的情况下，频率会稳定在某个数值附近，这个常数视为概率，以及掌握列表与画树状图的方法是解题的关键．
45．（2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4附近．
(1)估计摸到红球的概率是__________________________；
(2)如果袋中有黑球12个，求袋中有几个球；
(3)在（2）的条件下，又放入n个黑球，再经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.7附近，求n的值．
【答案】(1)35
(2)30
(3)30
【分析】（1）利用频率估计概率即可得出答案；
（2）设袋子中原有m个球，根据题意得12m=0.4，解之即可得出答案；
（3）根据题意得12+n30+n=710，解之即可得出答案．
【详解】（1）解：∵经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4附近，
∴估计摸到红球的频率在0.6，
∴估计摸到红球的概率是610=35，
故答案为：35；
（2）设袋子中有m个球，
根据题意，得12m=410，
解得m=30，
经检验m=30是分式方程的解，
答：袋中有30个球；
（3）根据题意得：12+n30+n=710，
解得：n=30，
经检验n=30是分式方程的解，
所以n=30．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
46．（2022·浙江温州·校考一模）根据你所学的概率知识， 回答下列问题：
(1)我们知道： 抛掷一枚均匀的硬币， 硬币正面朝上的概率是________． 若抛两枚均匀硬币， 硬币落地后， 求两枚硬币都是正面朝上的概率． (用树状图或列表来说明)
(2)小刘同学想估计一枚纪念币正面朝上的概率， 通过试验得到的结果如下表所示：
根据上表， 下面有三个推断：
①当抛掷次数是1000时， “正面朝上”的频率是0.512， 所以“正面朝上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加， “正面朝上”的频率总是在0.520附近摆动， 显示出一定稳定性， 可以估计“正面朝上”的概率是0.520；
③若再做随机抛郑该纪念币的试验， 则当抛掷次数为3000时， 出现“正面朝上”的次数不一定是1558次；
其中推断合理的序号是________．
【答案】(1)12，14
(2)②③
【分析】（1）根据概率公式求解抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率；根据树状图求两枚均匀硬币时，硬币正面朝上的概率；
（2）根据试验次数越大，频率稳定，可用频率估算概率，据此判断即可．
【详解】（1）抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率是12；
若抛两枚均匀硬币时，画树状图如下：
共有4种等可能的情况数，其中两枚硬币都是正面朝上有1种，
则两枚硬币都是正面朝上的概率是14；
故答案为：12，14；
（2）①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，故本选项错误，不符合题意；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，故本选项正确，符合题意；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，故本选项正确，符合题意；
其中推断合理的序号是②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，利用画树状图求概率，根据频率求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
47．（2022·福建厦门·统考模拟预测）某水果公司以2元/kg的成本价新进10000kg柑橘．销售人员先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在表中．
(1)根据表中的数据，估计这10000kg柑橘中损坏的概率是______；（结果保留小数点后一位）
(2)在（1）的条件下，如果公司希望这些柑橘的销售利润能超过5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克至少定价多少元？（结果保留小数点后一位）
【答案】(1)0.1
(2)每千克至少定价2.8元
【分析】（1）根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，柑橘中损坏的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘的损坏概率为0.1；
（2）根据概率计算出完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克，设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价＝进价＋利润”列不等式解答即可．
【详解】（1）解：根据表中柑橘损坏的频率，当实验次数增多时，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右，所以柑橘的损坏概率为0.1，
故答案为：0.1；
（2）解：根据估计的概率可知，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克，
设每千克柑橘的售价为x元，则根据希望这些柑橘的销售利润能超过5000元可得9000x−2×10000>5000，
解得x>259=2.7≈2.8，
答：出售柑橘时每千克至少定价为2.8元获利润能超过5000元．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，当实验次数逐渐增大，频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是概率，根据题意列出一元一次不等式求解是解决第二个问题的关键．
48．（2023·福建福州·福建省福州华侨中学校考模拟预测）某果园为了实现自动化管理，计划安装不少于2台大型自动喷水机，当降雨量少时喷水机可以对果树自动灌溉．统计了过去50年的年均降雨量资料，得到如下的频数分布直方图，假设各年的年均降雨量互不影响，以过去50年的年均降雨量为样本．
(1)估计未来1年中，年均降雨量低于1700的概率．
(2)每年自动喷水机需要运行台数受年均降雨量X限制．并有如下关系：
若一台喷水机运行，一年为果园带来80万元的利润；著某台喷水机未运行，一年也得要投入40万元的费用；如果由于缺水，少开一台喷水机将使果园损失50万元．欲使果园在喷水机项目上实现年利润的平均值达到最大，需安装几台喷水机？
【答案】(1)910
(2)2台
【分析】（1）根据过去50年的年均降雨量的统计情况，利用概率公式即可求解；
（2）由题意可知只能安装2台或者3台喷水机，计算出不同年均降雨量的概率，再分别计算两种方案下各年均降雨量概率下的平均获利，比较即可．
【详解】（1）解：由题意可得，年均降雨量低于1700的概率为：10+3510+35+5=4550=910；
（2）由题意可知：
年均降雨量900≤X≤1300的概率为：1010+35+5=0.2，
年均降雨量1300≤X≤1700的概率为：3510+35+5=0.7，
年均降雨量1700≤X≤2100的概率为：510+35+5=0.1，
又∵计划安装不少于2台大型自动喷水机，并且最缺水时也只用3台喷水机，
∴只能安装2台或者3台喷水机，
设年利润为Y，
当安装2台喷水机时：
900≤X≤1300时，Y=80×2−50=110，
1300≤X≤1700时，Y=80×2=160，
1700≤X≤2100时，Y=80−40=40，
则平均年利润为：110×0.2+160×0.7+40×0.1=138万元；
当安装3台喷水机时：
900≤X≤1300时，Y=80×3=240，
1300≤X≤1700时，Y=80×2−40=120，
1700≤X≤2100时，Y=80−40×2=0，
则平均年利润为：240×0.2+120×0.7+0×0.1=132万元；
∵138>132，
∴安装2台喷水机年利润的平均值达到最大．
【点睛】本题主要考查概率的应用，要能从统计表中找到我们需要的数据，并用统计数据处理，熟练掌握概率相关知识灵活运用是解题关键．
题型13 放回实验概率计算方法
49．（2021·内蒙古包头·统考二模）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常数（精确到0.01），由此估出红球有几个？
（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．
【答案】（1）这个常数是0.33，由此估出红球有2个；（2）49
【分析】（1）计算频率的平均数，后按照精确度求得近似数即可；根据概率公式建立方程求解即可；
（2）画树状图求解即可．
【详解】（1）根据题意，得
0.3600+0.3100+0.3250+0.3340+0.3325+0.33356
＝0.3325
≈0.33，
设有x个红球，根据题意，得11+x=0.33，
解得x≈2
经检验，符合题意．
故这个常数是0.33，由此估出红球有2个．
（2）画树状图如下：
据图知，所有等可能的情况有9种，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，
则P（恰好摸到1个白球，1个红球）=49．
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为49．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，画树状图计算概率，准确理解频率估计概率的意义，熟练画树状图是解题的关键．
50．（2023·山西晋城·模拟预测）在一个不透明的盒子里，装有三个分别标有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．
(1)用列表法或画树状图表示出x,y的所有可能出现的结果；
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点x,y落在反比例函数y=3x的图象上的概率．
【答案】(1)见解析
(2)29
【分析】（1）采用列表法即可写出x，y的所有可能出现的结果；
（2）找出表中落在反比例函数y=3x的图象上的点的个数再除以总的个数，即可求出答案．
【详解】（1）解：列表如下
一共有9种等可能性结果；
（2）解：∵点x，y落在反比例函数y=3x的图象上有2种：1，2或2，1，
∴点x，y落在反比例函数y=3x的图象上的概率是29．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，解答本题得的关键是明确题意，列出表或画出树状图，求出相应的概率．
51．（2022·陕西西安·校考模拟预测）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下：
(1)上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是 ；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是 ；
(2)若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率．
【答案】(1)730，14
(2)13
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能结果，满足条件的有4种，由概率公式求解．
【详解】（1）解：由图表中数据可知，小明摸取到“2”号小球的频率是：1460=730，
小明下一次在袋中摸取小球，由于袋中共有4个球，因此摸到“2”号小球的概率是：14；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能结果，小明摸出两个小球标号的和为5的结果有4种，
因此小明摸出两个小球标号的和为5的概率为：412=13．
【点睛】本题考查求概率，掌握用列表法或树状图求概率是关键，一般两步完成的事件列表法、树状图都可以用，三步或三步以上完成的事件适合用树状图．
52．（2023·江苏盐城·校考二模）有4张扑克牌，牌面数字分别为2、3、4、4，其余都相同．小明随机从中摸出一张牌，记录牌面数字后放回；洗匀后再从中摸出一张牌，记录牌面数字后又放回．小明摸了100次，结果统计如下：
(1)上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是 ；小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是 ；
(2)若小明一次摸出两张牌，求小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率．
【答案】(1)625，14
(2)13
【分析】（1）直接由频率定义和概率公式分别求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是24100=625；
小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是14；
故答案为：625，14；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的结果有4种，
∴小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率为412=13．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
53．（2023·陕西宝鸡·校考一模）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同．
(1)从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ；
(2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【答案】(1)12
(2)716
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【详解】（1）由题意可得，数字1，1，2，3中，数字1有2个，
所以，从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为24=12，
故答案为：12；
（2）树状图如下：

由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率716．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
54．（2022·安徽·模拟预测）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外，其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表．
(1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于______（精确到0.01）左右，从箱子中摸一次球，估计摸到蓝球的概率是______．
(2)从该箱子里随机摸出1个球，不放回，再摸出1个球．用列举法求摸到1个蓝球、1个白球的概率．
【答案】(1)0.75；0.25（或14）
(2)摸到1个蓝球、1个白球的概率为12
【分析】（1）运用频率估算概率的方法即可求解；根据概率和为1即可求解；
（2）运用列表或画树状图求随机事件的概率的方法即可求解．
【详解】（1）解：根据表格信息可得，摸到白球的频率将会稳定于0.75，摸到蓝球的概率是0.25，
故答案为：0.75；0.25（或14）
（2）解：由（1）知，袋中白球的个数约为4×0.75=3，蓝球的个数约为4−3=1，
列表如下：
由表知，共有12种等可能的结果，其中摸到1个蓝球、1个白球的结果有6种，
∴摸到1个蓝球、1个白球的概率为612=12．
题型14 不放回实验概率计算方法
55．（2023·广东清远·统考三模）中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应用，基础设施的功能日益增加，承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活条件改善了，如5G基础进设、新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．根据巾商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的数量及市场份额的统计图如图所示：
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整；
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是 万台．
(2)小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率．
【答案】(1)①见解析；②2
(2)16
【分析】本题考查的是从统计图中获取信息，求解中位数，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键；
（1）①由星星充电10万台充电桩占比20%求解总的充电桩的数量，再求解国家电网的充电桩的数量与占比即可；②根据11家企业的充电桩是数量按照从大到小顺序排列后，排在第6的数据是中位数，从而可得答案；
（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，结合概率公式可得答案．
【详解】（1）解：①公共充电桩的总数为10÷20%=50（万台），
∴“国家电网”的公共充电桩数量为50−15−10−5−2−2−2−1.5−1−0.5−3=8（万台），
“国家电网”的公共充电桩的市场份额为850×100%=16%；
如图，
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是2万台．
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的结果数为2，
所以抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率=212=16．
56．（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）随着全民健身与全民健康深度融合，户外运动逐渐成为人民群众喜闻乐见的运动方式．为让青少年以享受运动为前提，获取参与户外运动的知识与技能，某校开展了户外运动知识竞赛活动，并随机在八、九年级各抽取了20名学生的成绩（百分制），部分过程如下：
收集数据：八年级20名学生的成绩如下：
80，95，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70，95，80，75，85
整理数据：八年级20名学生成绩频数分布表：
分析数据：八、九年级20名学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下表：
请根据上述信息，回答下列问题：
(1)填空：a=___________，b=___________；
(2)估计该校九年级参加竞赛的500人中，成绩在90分以上的人数；
(3)在收集九年级20我学生成绩的过程中，误将一个数据“80”写成了“85”，小宇认为从中位数角度看，不会影响该校学生户外运动知识一般水平的反映情况，请你判断小宇的结论是否正确？并说明理由；
(4)随着年轻一代消费者逐渐成为消费主力，他们对“走出去”的渴望日益增长，露营、钓鱼、骑行、爬山等户外运动项目逐渐成为当代年轻人的热门娱乐方式之一、为近一步了解户外运动的参与群体，小宇和小强收集了印有这四种户外运动项目的图案的卡片（依次记为L，D，Q，P，除正面编号和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是Q（骑行）和P（爬山）的概率．
【答案】(1)4，77.5
(2)125人
(3)不正确，见解析
(4)16
【分析】（1）找到成绩为80（2）由表知八年级20名学生成绩的优秀率为10%，八年级20名学生中，成绩在90分以上的人数为2人，可知成绩在90分以上为优秀，即可估计该校九年级参加竞赛的500人中，成绩在90分以上的人数；
（3）根据数据变化对中位数可能产生的影响进行分析即可；
（4）画出树状图，根据概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：八年级20名学生的成绩种等级为B，即成绩为80八年级学生成绩从小到大排列如下：65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85，85，85，90，95，95，处在中间位置的是75，80，
∴中位数b=75+802=77.5，
故答案为：4，77.5
（2）由表知八年级20名学生成绩的优秀率为10%，
∵八年级20名学生中，成绩在90分以上的人数为2人，所占百分比为220×100%=10%，
∴可知成绩在90分以上为优秀，
∴500×25%=125（人）．
答：九年级参加竞赛的500人中，成绩在90分以上的人数约为125人；
（3）小宇的结论不正确．
理由：由表知九年级20名学生成绩的中位数为82.5，将数据“80”识破写成了“85”，中位数有可能变大，即反映该校学生户外运动知识一般水平的情况发生变化，故小宇的结论不正确；
（4）画树状图如下；

由画树状图知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是Q（骑行）和P（爬山）的结果有2种，
∴P（抽到的两张卡片恰好是Q（骑行）和P（爬山））=212=16．
【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率、中位数等统计量知识，读懂题意，进行正确的求解和分析是解题的关键．
57．（2023·河北沧州·校考模拟预测）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“魅”“力”“石”“门”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
(1)从中任取一个球，球上的汉字刚好是“石”的概率为________；
(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“魅力”或“石门”的概率P1；
(3)乙从中任取一球，记下汉字后放回，然后再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰好能组成“魅力”或“石门”的概率为P2，则P1________P2（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】(1)14
(2)13
(3)>
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）根据题意画树状图，利用概率公式即可求得P1；
（3）根据题意画树状图，利用概率公式即可求得P2，比较大小即可得到答案．
【详解】（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“石”的概率为14；
故答案为：14．
（2）树状图如图，共有12种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“魅力”或“石门”的结果有4种，

∴甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“魅力”或“石门”的概率P1=412=13．
（3）树状图如图，共有16种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“魅力”或“石门”的结果有4种，

∴甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“魅力”或“石门”的概率P2=416=14，
∴P1>P2．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了用概率公式求概率，列表法或树状图法求概率，解题的关键是注意是放回实验还是不放回实验．
58．（2023·吉林长春·统考二模）如图，有四张不透明且背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有净月潭、长春世界雕塑公园、长影世纪城、伪满皇宫博物院（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，任意抽出一张不放回，然后再从余下的卡片中任意抽出一张．请用树状图或列表法，求抽出两张卡片的图案恰好是“净月潭”和“长影世纪城”的概率．
【答案】16
【分析】运用列举法求两步概率问题，采用画出树状图法，再由概率公式列式计算即可得解．
【详解】根据题意画出树状图如下：
一共有12种等可能的情况，抽出两张卡片的图案恰好是A“净月潭”和C“长影世纪城”的卡片共有2种情况，
∴ P（抽出的两张卡片的图形是中心对称图形）=212=16．
【点睛】本题考查了列表法和树状图法求两步概率问题，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，根据题意准确画出树状图是解决问题的关键．
题型15 游戏公平性
59．（2022·湖北黄冈·校联考模拟预测）两个可以自由转动的转盘A、B都被分成3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，将指针所指两个区域内的数字相乘（若指针落在分割线上，则需重新转动转盘）．
(1)试用列表或画树状图的方法，求数字之积为3的倍数的概率；
(2)小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请修改得分规定，使游戏对双方公平．
【答案】(1)59
(2)不公平，见解析
【分析】（1）选择列表或画树状图法，计算概率即可；
（2）先计算规则下的各自得分概率，比较概率大小，相等，则判定游戏公平．
【详解】（1）利用表格或树状图列出所有可能出现的结果：
总共有9种等可能的结果，数字之积为3的倍数的有5种，其概率为59．
（2）这个游戏对双方不公平．理由如下：
∵数字之积为5的倍数的有3种，其概率为39=13，
数字之积为3的倍数的有5种，其概率为59．
∵59×2≠39×3，
∴游戏对双方不公平．
修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分，若数字之积为5的倍数时，小芸得5分．
【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表或画树状图法求概率是解题的关键．
60．（2022·广东佛山·统考一模）为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公厅、国务院办公厅颁布了“双减”政策．为了调查学生对“双减”政策的了解程度，某学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题：
(1)若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为多少？
(2)根据调查结果，学校准备开展关于“双减”政策宣传工作，要从某班“非常了解”的小明和小刚中选一个人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其他差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】(1)约为400人
(2)不公平，理由见解析
【分析】（1）用总人数乘以“比较了解”所占的百分比即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出两个球颜色相同与不同的情况，再利用概率公式求解，比较概率大小，即可判断游戏规则是否公平．
【详解】（1）解：本次抽样调查的总人数是：10+20+40+30=100（人），
这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为：2000×20100=400（人），
答：这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为400人．
（2）解：画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，两个球颜色相同的有4种情况，两个球颜色不同的有8种情况，
∴两个球颜色相同的概率为P=412=13，
∴两个球颜色不相同的概率为P=812=23，
∵13≠23，
∴游戏规则不公平．
【点睛】本题考查 列表法或树状图法求概率，条形统计图，解题的关键是利用树状图法求出概率，比较概率，判断是否公平．
61．（2022·江苏盐城·统考一模）北京冬奥会将在2022年2月4日至20日举行，北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市，小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是______；
(2)小明发明了一种“邮票棋”比胜负的游戏，用小亮的三种邮票当作5颗棋子，其中冬奥会会徽邮票记作A棋，吉祥物冰敦敦邮票记作B棋，吉祥物雪容融邮票记作C棋．
游戏规则：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出1颗棋子，不放回，再摸出第2颗棋子，若摸到A棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜；其余情况视为平局，游戏重新进行，请你用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)25
(2)游戏不公平，理由见详解
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，求出两人获胜的概率，比较大小即可得出答案．
【详解】（1）解：小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是25，
故答案为：25．
（2）解：列表如下
所以，该游戏等可能的结果为20种，摸到A棋子的结果有8种，摸到相同两颗棋子的结果有4种．
P（小明胜）=820=25
P（小亮胜）=420=15
∵25≠15
∴游戏不公平．
【点睛】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
62．（2023·云南·一模）现有A，B两个不透明的袋子，A袋的4个小球分别标有数字1，2，3，4；B袋的3个小球分别标有数字1，2，3．（每个袋中的小球除数字外，其它完全相同．）
（1）从A，B两个袋中各随机摸出一个小球，则两个小球上数字相同的概率是 ；
（2）甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球，若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜；否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平．
【答案】（1）14；（2）这个规则对甲、乙两人是公平的，理由见解析
【分析】（1）画树状图得出所有等可能结果，从中找到两个数字相同的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到两人摸到小球的数字之和为奇数和偶数的结果数，根据概率公式计算出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
【详解】解：（1）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中两个数字相同的结果有3个，
∴两个小球上数字相同的概率是312＝14，
故答案为：14；
（2）这个规则对甲、乙两人是公平的．
画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中两人摸到小球的数字之和为奇数有6种，两人摸到小球的数字之和为偶数的也有6种，
∴P甲获胜＝P乙获胜＝12，
∴此游戏对双方是公平的．
【点睛】本题考查的是游戏公平性以及列表法与树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
题型16 概率的应用
63．（2023·福建三明·统考一模）某商场举办“乐享国庆”购物活动时，为了疫情防控，只开通A，B，C三个人口，参加人员领取入场券后，由电脑随机安排其有某个入口进场.
(1)小明领取入场券后，从A入口进场的概率是多少？
(2)某品牌手机商家开展了“头手机砸金蛋”活动，购买该品牌手机的顾客都有一次砸金蛋机会.小明和小亮同时购买了该品牌手机，商家提供了4个金蛋，只有1个是一等奖，其余都是二等奖.商家让小明执锤先砸，小亮认为商家这种做法对他不公平.请从两人获得一等奖概率的角度说明小亮的质疑是否合理.
【答案】(1)13
(2)小亮的质疑不合理
【分析】共有3种情况，从A号入口进场只占三分之一；
列出树状图或表格，分别求出两个人获得一等奖的概率，根据是否相等判断合理与否.
【详解】（1）小明领取入场券后，从A号入口进场的概率是13；
（2）小亮的质疑不合理，理由如下：
解法一：
设一等奖为1，二等奖为2，可画树状图如下：
对于小亮共有12种等可能的结果，小亮获得一等奖的结果有3种，
∴P（小明获得一等奖）=14，
P（小亮明获得一等奖）=312=14，
∴P（小明获得一等奖）=P（小亮获得一等奖），
∴小亮的质疑不合理.
解法二：
设一等奖为1，二等奖为2，可列表如下：
共有12种等可能的结果，其中小明获得一等奖的结果有3种，小亮获得一等奖的结果有3种，
∴P（小明获得一等奖）=312=14，
P（小亮获得一等奖）=312=14，
∴P（小明获得一等奖）=P（小亮获得一等奖），
∴小亮的质疑不合理.
【点睛】本题考查概率的求法，列出树状图或表格是解题的关键.
64．（2021·福建厦门·大同中学校考二模）为响应党中央关于打好精准扶贫攻坚战的号召，东部帮助西部进行扶贫产业开发，“食良品”是某市农产品商贸集团有限公司旗下的“消费扶贫”的电商平台，依托地理、集团专业等渠道的优势，基地直采，降低采购成本，全心全意为全市广大客户提供优质的食材，也解决了西部各地农副产品销售难的问题．目前，该平台为广大客户仅提供300元、500元、800元、1000元四种不同面额的提货券．随机抽查了其中100天的销售情况，整理统计后得到如下表一和表二：
表一
表二
(1)随机抽取一张提货券，面额不少于800元的概率是多少？
(2)哪种面额的提货券应多提供些？估计日均销售该面额的提货券多少张？
(3)估计月销售总额是多少元？（月以30天计算）
【答案】(1)面额不少于800元的概率为30%
(2)该面额的提货券约为180张
(3)月销售总额为7479000元
【分析】(1)从表一中读取数据即可得到答案．
(2)由销售量的百分比总和为1，可得m的值，对比各百分比大小可得答案；求出日均销售提货券的数量，按照该提货券占的百分比，可得答案．
(3)根据加权平均数可得平均每张提货券的销售金额，根据销售总额=平均每张提货券的销售金额×日均销售提货券的数量×时间，可得答案．
【详解】（1）解：面额不少于800元的概率为：18%+12%＝30%．
（2）解： m＝100﹣30﹣18﹣12＝40，
故500的提货券应多提供些．
平均每天销售提货券的数量为：300×25+450×30+500×35+650×1025+30+35+10=450 （张）．
其中该面额的提货券约为：450×40%＝180（张）．
（3）解：平均每张提货券的销售金额为：300×30%+500×40%+800×18%+1000×12%＝554（元）．
故月销售总额为：30×450×554＝7479000（元）．
【点睛】本题考查统计概率方面知识的综合运用，正确读取并理解图表信息是解题的关键．
65．（2023·河北唐山·统考二模）有四个完全相同的小球，分别标注−2，−1，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作Pk（如：P3是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）
(1)用列表法求P1；
(2)张亮认为：Pk的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；
(3)能否找到概率Pi，Pj，Pm（i【答案】(1)13
(2)张亮的想法是错的，见解析
(3)P2+P3+P4=0.5
【分析】（1）用列表法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可；
（2）求出Pk的所有取值的众数和平均数，比较得出答案；
（3）根据Pk的所有取值，是否存在三个Pk值的和为0.5即可．
【详解】（1）由题得，列表为：
所以，共有12种等可能结果，其中和的绝对值为1的有4种，P1=412=13；
（2）由（1）得：P0=16，P1=13，P2=16，P3=16，P4=16，
∴Pk的所有取值的众数为16，而Pk的所有取值的平均数为：15，
∵16<15，所以张亮的想法是错的．
（3）∵P2+P3+P4=16+16+16=36=0.5，
∴P2+P3+P4=0.5（答案不唯一）
【点睛】本题考查列表法或树状图法，众数、平均数，列举出所有等可能出现的结果是计算概率的前提，掌握众数、平均数的计算方法是解决问题的关键．
66．（2022·福建三明·二模）某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案：
方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球；
方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．
(1)求方案一中，两次都摸到红球的的概率；
(2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利?
【答案】(1)110
(2)从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利
【分析】（1）通过列表的形式表示出所有等可能的结果，再用概率公式求解即可．
（2）分别计算方案一和方案二的平均收益，再进行比较后选择即可．
【详解】（1）解：对于方案一，列表如下．
由上表可知，共有20种等可能的结果，两次都摸到红球的结果数是2．
故采用方案一摸球，两次都摸到红球的概率为220=110．
（2）解：由（1）中表可知，采用方案一，两次都摸到红球的概率为110，摸到一次红球的概率为1220=35，没有摸到红球的概率为620=310．
平均收益为310×5+35×10+110×20=9.5元．
对于方案二，列表如下．
由上表可知，共有25种等可能的结果，两次摸到红球的结果数是4，摸到一次红球的结果数是12，没有摸到红球的结果数是9．
所以两次都摸到红球的概率为425，摸到一次红球的概率为1225，没有摸到红球的概率为925．
平均收益为925×5+1225×10+425×20=9.8元．
∵9.8>9.5，
∴从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利．
【点睛】本题考查列表法求概率，概率的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键．
67．（2021·江苏盐城·校考二模）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．现在学校需在东门、南门和西门分别增加一人测温，甲、乙、丙三人被随机增派到三个校门测温．小明每天走东门进校，小丽每天走西门进校．请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出甲、乙、丙被分配到三个校门测温的所有可能结果；
（2）小明、小丽两人中，进校时谁遇到甲的可能性大？请说明理由．
【答案】（1）有6种，见解析；（2）一样大，见解析．
【分析】（1）画树状图，计算判断；（2）计算各自的概率，比较大小判断即可．
【详解】解：（1）画树状图如图：
共有6个等可能的结果；
（2）小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大，理由如下：
由（1）可知，共有6个等可能的结果，其中甲分配在东门的结果有2个，甲分配在西门的结果有2个，
∴小明进校时谁遇到甲的概率为26=13，
小丽进校时谁遇到甲的概率为26=13，
∴小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大．
【点睛】本题考查了画树状图确定等可能性，判断游戏的公平性，准确画树状图，并用概率公式计算事件的概率是解题的关键．
题型17 概率与统计综合
68．（2022·安徽·模拟预测）为加强学生的疫情防范意识，某校举行了“预防新冠，从我做起”疫情防控知识竞赛，竞赛试卷共20道单选题，每题5分，满分100分．为了解竞赛成绩，从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
①七年级20名学生的测试成绩为：
50，60，75，70，75，80，90，95，95，80，
80，85，80，85，90，75，70，85，95，80．
②八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示．
③两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：
请你根据上面提供的信息，解答下列问题：
(1)上表中a=______，b=______，c=______．
(2)根据样本统计数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握疫情防控知识较好？并说明理由．（写出两条理由即可）
(3)从样本中测试成绩为95分的七、八年级的学生中，随机抽取两名学生参加区里组织的疫情防控知识竞赛，求两人同为七年级学生的概率．
【答案】(1)79；80；77.5
(2)见解析
(3)12
【分析】题考查的是用树状图法求概率、众数、平均数以及频数分布表等知识．
（1）由八年级学生的分数得出a、c的值，再由众数的定义得出b的值即可；
（2）根据两个年级学生分数的平均数和中位数进行比较可得结论；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选中的两名学生恰好两人同为七年级学生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：七年级20名学生的测试成绩中，80分出现次数最多，共5次，
所以，众数是80分，
故b的值为80；
八年级20名学生的测试成绩的平均数为60×2+70×3+75×5+80×3+85×2+90×4+95×12+3+5+3+2+4+1=79（分），
∴a=79；
八年级20名学生的测试成绩的中位数是第10，11个数据的平均数，即75+802=77.5（分），
∴c=77.5；
故答案为：79；80，77.5；
（2）解：七年级学生掌握疫情防控知识较好．
理由：从平均数看，七年级样本平均分高于八年级，说明七年级总体成绩优于八年级；
从中位数看，七年级样本中位数高于八年级，说明七年级得高分的人数更多．
（3）解：七年级成绩为95分的有3人，记为A，B，C，八年级成绩为95分的有1人，记为D．根据题意，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人同在七年级的结果有6种，
∴两人同为七年级学生的概率为612=12．
69．（2022·安徽宿州·校考模拟预测）某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．

(1)这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是多少？
(2)分别计算这次预赛中一班成绩的平均数；
(3)已知一班成绩A等的4人中有2个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．
【答案】(1)这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是9人
(2)这次预赛中一班成绩的平均数为87.5分
(3)35
【分析】（1）根据一班预赛成绩统计图可得一班参加比赛的总人数，将总人数乘以二班成绩在B等及以上的百分比即可得；
（2）利用加权平均数的公式计算即可得；
（3）将一班成绩A等的2个男生记为A,B，2个女生记为C,D，二班成绩A等的2个女生记为E,F，画出树状图，从而可得从这两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛的所有等可能的结果，再找出抽取的2人中至少有1个男生的结果，然后利用概率公式求解即可得．
【详解】（1）解：一班参加比赛的总人数为4+9+5+2=20（人），
因为一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，
所以二班成绩在B等及以上的人数为20×35%+10%=9（人），
答：这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是9人．
（2）解：100×4+90×9+80×5+70×220=87.5（分），
答：这次预赛中一班成绩的平均数为87.5分．
（3）解：二班成绩A等的人数为20×10%=2（人），
则二班成绩A等的女生人数为2人，
将一班成绩A等的2个男生记为A,B，2个女生记为C,D，二班成绩A等的2个女生记为E,F，画出树状图如下：

由图可知，从这两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛共有30种等可能的结果，其中，抽取的2人中至少有1个男生的结果有18种，
则抽取的2人中至少有1个男生的概率为P=1830=35，
答：抽取的2人中至少有1个男生的概率为35．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图、平均数、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键．
70．（2022·河北沧州·校考二模）某校七、八年级共有600名学生，为了解该校七、八年级学生对诗词知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行诗词知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；八年级抽取学生的测试成绩条形统计图

七八年级抽取学生的测试成绩统计表
(1)填空：a=______，b=______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生诗词知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)请估计七、八年级学生对诗词知识掌握能够达到优秀的总人数；
(4)现从七、八年级获得10分的3名学生中随机抽取2人参加市诗词知识竞赛，请用列表或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【答案】(1)7，8；
(2)七年级学生的诗词知识掌握得较好，理由见解析
(3)420人
(4)23
【分析】（1）找到八年级出现次数最多的数据即为a，七年级的数据排序后，第8个数据即为b；
（2）从优秀率的大小上进行判断即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（4）把七年级的学生记做A，八年级的两名学生记为B、C，利用列表法求概率即可．
【详解】（1）由题意，得：a=7，b=8；
故答案为：7,8；
（2）七年级学生的诗词知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级和八年级的平均数相同，但是七年级的优秀率大于八年级的优秀率
∴七年级学生的诗词知识掌握得较好；
（3）600×15×80%+15×60%30=420
所以两个年级能达优秀的总人数可能会有420人；
（4）把七年级的学生记做A，八年级的两名学生记为B、C，列表如下：
由表知，一共有6种等可能性的结果，恰好每个年级都有一个的结果数是4，
两人恰好是七、八年级各1人的概率是23．
【点睛】本题考查数据得整理和分析．从收集的数据和条形统计图中，有效的获取信息，是解题的关键．
71．（2023·海南三亚·统考二模）某市初中开放性科学实践活动是通过网络平台进行活动选课，活动项目包括六个领域，A：自然与环境，B：健康与安全，C：结构与机械，D：电子与控制，E：数据与信息，F：能源与材料．为了了解某区学生自主选课情况，随机抽取了一部分初三学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)本次调查活动采取的调查方式是 （填写“普查”或“抽样调查”）；
(2)本次调查抽取的学生有 人，扇形统计图中m的值是 ；
(3)已知选择“A：自然与环境”的20名学生中有12名男生和8名女生，若从这20名学生中随机抽取一名，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是 ；
(4)若该区初三共有学生3000人，则该区初三学生中选择D：电子与控制的约有 人．
【答案】(1)抽样调查
(2)200，30
(3)25
(4)900
【分析】（1）由“随机抽取了一部分初三学生进行调查”可知是抽样调查；
（2）由A所对应的人数和所占百分比求出总人数，用1减去其他5个领域所占百分比即可得到m的值；
（3）由概率公式即可计算；
（4）用总人数乘D领域所占百分比即可求解．
【详解】（1）本次调查活动采取的调查方式是抽样调查．
故答案为：抽样调查；
（2）20÷10%=200（人），
1−10%−15%−10%−15%−20%=30%，
∴本次调查抽取的学生有200人，扇形统计图中m的值是30．
故答案为：200，30；
（3）∵20名学生中有12名男生和8名女生，
∴恰好抽到女生的概率是820=25．
故答案为：25；
（4）3000×30%=900（人），
该区初三学生中选择D：电子与控制的约有900人．
故答案为：900．
【点睛】本题考查调查方式、扇形统计图和条形统计图的信息关联、简单的概率计算已经样本估计总体，从统计图中找到有用信息是解题的关键．
一、单选题
1．（2023·广东·统考中考真题）某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A．18B．16C．14D．12
【答案】C
【分析】根据概率公式可直接进行求解．
【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为14；
故选C．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
2．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ）

A．14B．13C．12D．34
【答案】C
【分析】根据灰色区域与整个面积的比即可求解．
【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，设整个圆的面积为1，
∴灰色区域的面积为12,
∴当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是12，
故选：C．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
3．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为（ ）

A．58B．1350C．1332D．516
【答案】B
【分析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为32，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解．
【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为32，
∴总面积为16×12+4×322=16+9=25，
阴影部分的面积为2×12+2×322=2+92=132，
∴点P落在阴影部分的概率为13225=1350，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．
4．（2023·河北·统考中考真题）1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据概率计算公式分别求出四种花色的概率即可得到答案．
【详解】解：∵一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，其中黑桃牌有1张，红桃牌有3张，梅花牌有1张，方片牌有2张，
∴抽到的花色是黑桃的概率为17，抽到的花色是红桃的概率为37，抽到的花色是梅花的概率为17，抽到的花色是方片的概率为27，
∴抽到的花色可能性最大的是红桃，
故选B．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，正确求出每种花色的概率是解题的关键．
5．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1与P2的大小关系为（ ）

A．P1P2D．无法判断
【答案】B
【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AE，BD交于O，
由题意得，A，B，C，D分别是正方形四条边的中点，
∴点O为正方形的中心，
∴S四边形AOBF=S四边形AODC，

根据题意，可得扇形OAB的面积等于扇形CAD的面积，
∴S四边形AOBF−S扇形OAB=S四边形AODC−S扇形AOC，
∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半
∴P1=P2，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面积的一半是解题的关键．
6．（2023·浙江杭州·统考中考真题）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A．中位数是3，众数是2B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2D．平均数是3，众数是2
【答案】C
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
【详解】解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；
当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；
当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，3，3，此时方差s=15×1−32+2−32+3−32+3−32+6−32=2.8>2，
因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出现的5个数字．
7．（2023·湖北恩施·统考中考真题）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（ ）
A．0.905B．0.90C．0.9D．0.8
【答案】C
【分析】利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案．
【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.905，
∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9，
故选：C．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．
8．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是75%，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是（ ）
A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．确定性事件
【答案】C
【分析】随机事件（不确定事件）：无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件，称它们为不确定事件或随机事件；不可能事件：称那些在每一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件．
【详解】解：明天襄阳某地下雨这一事件是随机事件，
故选：C．
【点睛】本题主要考查随机事件，熟记必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题的关键．
9．（2023·内蒙古·统考中考真题）从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作m和n．若点A的坐标记作m,n，则点A在双曲线y=6x上的概率是（ ）
A．13B．12C．23D．56
【答案】A
【分析】先求出点A的坐标的所有情况的个数，然后求出其中在双曲线y=6x上的坐标的个数，根据随机事件概率的计算方法，即可得到答案．
【详解】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点A的坐标共有6种情况：1,2，2,1，1,3，3,1，2,3，3,2，并且它们出现的可能性相等．
点A坐标在双曲线y=6x上有2种情况: 2,3，3,2．
所以，这个事件的概率为P=26=13．
故选：A．
【点睛】本题主要考查随机事件的概率，关键是掌握随机事件概率的计算方法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率PA=mn．
10．（2023·四川自贡·统考中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是S甲2=4,S乙2=14，则乙的成绩更稳定
B．某奖券的中奖率为1100，买100张奖券，一定会中奖1次
C．要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D．x=3是不等式2(x−1)>3的解，这是一个必然事件
【答案】D
【分析】根据方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义逐项分析判断
【详解】解：A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是S甲2=4,S乙2=14，则甲的成绩更稳定，故该选项不正确，不符合题意；
B. 某奖券的中奖率为1100，买100张奖券，可能会中奖1次，故该选项不正确，不符合题意；
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查
D.解：2(x−1)>3，
2x>5，
解得：x>52，
∴x=3是不等式2(x−1)>3的解，这是一个必然事件，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．（2023·湖南娄底·统考中考真题）从367，3.1415926，3.3，4，5，−38，39中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A．27B．37C．47D．57
【答案】A
【分析】先判断出5，39是无理数，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：∵4=2，−38=−2，
∴367，3.1415926，3.3，4，5，−38，39中无理数有：5，39，
∴从367，3.1415926，3.3，4，5，−38，39中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是27；
故选A
【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根，无理数的含义，利用概率公式求解简单随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键．
二、填空题
12．（2023·浙江杭州·统考中考真题）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为25，则n= ．
【答案】9
【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．
【详解】解：∵从中任意摸出一个球是红球的概率为25，
∴ 66+n=25，
去分母，得6×5=26+n，
解得n=9，
经检验n=9是所列分式方程的根，
∴ n=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．
13．（2023·山东济南·统考中考真题）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是14，则盒子中棋子的总个数是 ．
【答案】12
【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数．
【详解】解：3÷14=12，
∴盒子中棋子的总个数是12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了简单随机事件概率的相关计算，事件出现的概率等于出现的情况数与总情况数之比．
14．（2023·江苏扬州·统考中考真题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）．
【答案】0.93
【分析】根据题意，用频率估计概率即可．
【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，
故答案为：0.93．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
15．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①③
【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．
【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；
②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．
故答案为：①③．
【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．
16．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
【答案】3
【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为14，根据概率公式即可求出答案．
【详解】解：设红球有x个，
则x12=50200，
x=3
答：红球的个数约为3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数．
三、解答题
17．（2023·福建·统考中考真题）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
【答案】(1)14
(2)应往袋中加入黄球，见解析
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解．
【详解】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种，
所以PA=14，所以顾客首次摸球中奖的概率为14．
（2）他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
共有20种等可能结果．
（ⅰ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率P1=820=25；
（ⅱ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率P2=1220=35；
因为25<35，所以P1【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键．
18．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的m=______；
(2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；
(3)该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；
(4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
【答案】(1)50，7
(2)条形统计图见解析，108°
(3)该校学生答题成绩为A等和B等共有672人
(4)16
【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值；
（2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解；
（4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：16÷32%=50（人），
m=50×14%=7，
故答案为：50，7；
（2）解：成绩为C等级人数所占百分比：1−24%−32%−14%=30%，
∴C等级所在扇形圆心角的度数：360°×30%=108°，
成绩为A等级的人数：50×24%=12（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：1200×24%+32%=672（人），
答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人；
（4）解：根据题意，列出表格如下：
由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率=212=16．
【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．
19．（2023·辽宁·统考中考真题）6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A（优秀）；B（良好）；C（中）；D（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．

(1)本次抽样调查的学生共有___________名；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
(4)在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)60
(2)见解析
(3)估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
(4)所选2人恰好是一男一女的概率为23．
【分析】（1）根据A组人数以及百分比计算即可解决问题；
（2）求出C组人数，画出条形图即可解决问题；
（3）利用样本估计总体即可；
（4）先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率．
【详解】（1）解：18÷30%=60（名）
答：本次抽样调查的学生共有60名；
故答案为：60；
（2）解：C组人数为：60−18−24−3=15（名），
补全条形图如图所示：
；
（3）解：估计本次竞赛获得B等级的学生有：1200×2460=480（名），
答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
（4）解：画树状图如下：

机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种，
故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：P=812=23
【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图相关联，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
20．（2023·山东枣庄·统考中考真题）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．

请根据统计图解答下列问题：
(1)本次调查中，一共调查了___________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有___________名，“D烹饪与营养”的男生有___________名．
(2)补全上面的条形统计图和扇形统计图；
(3)学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)20,2,1
(2)图见解析
(3)35
【分析】（1）利用A组人数除以所占的百分比求出总数，总数乘以C组的百分比，求出C组人数，进而求出C组女生人数，总数乘以D组的百分比，求出D组的人数，进而求出D组男生人数；
（2）根据（1）中所求数据，补全图形即可；
（3）利用列表法求出概率即可．
【详解】（1）解：1+2÷15%=20（人），
∴一共调查了20人；
∴C组人数为：20×25%=5（人），
∴C组女生有：5−3=2（人）；
由扇形统计图可知：D组的百分比为1−15%−25%−50%=10%，
∴D组人数为：20×10%=2（人），
∴D组男生有：2−1=1（人）；
故答案为：20,2,1
（2）补全图形如下：

（3）用A,B,C表示3名男生，用D,E表示两名女生，列表如下：
共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种，
∴P=1220=35．
【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
21．（2023·山东·统考中考真题）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)统计表中m=_________，C等级对应扇形的圆心角的度数为_________；
(2)学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
(3)A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
【答案】(1)15，144°
(2)该学校“劳动之星”大约有760人
(3)23
【分析】（1）根据统计图可得抽取学生的总人数为50人，然后可得m的值，进而问题可求解；
（2）根据题意易知大于等于80的学生所占比，然后问题可求解；
（3）根据列表法可进行求解概率．
【详解】（1）解：由统计图可知：D等级的人数有8人，所占比为16％，
∴抽取学生的总人数为8÷16％=50（人），
∴m=50−4−20−8−3=15，C等级对应扇形的圆心角的度数为360°×2050=144°；
故答案为15，144°；
（2）解：由题意得：
2000×4+1550=760（人），
答：该学校“劳动之星”大约有760人
（3）解：由题意可列表如下：
从A等级两名男同学和两名女同学中随机选取2人进行经验分享，共有12种情况，恰好抽取一名男同学和一名女同学共有8种情况，所以抽取一名男同学和一名女同学的概率为P=812=23．
【点睛】本题主要考查扇形统计图与统计表、概率，熟练掌握扇形统计图及利用列表法求解概率是解题的关键．
22．（2023·吉林长春·统考中考真题）班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．

【答案】49
【分析】依题意画出树状图，运用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有9种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有4种，
则某同学获一等奖的概率为：49，
答：某同学获一等奖的概率为49．
【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键．
23．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类（分别用A，B，C依次表示这三类比赛内容）．现将正面写有A，B，C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容．选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母．请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率．
【答案】图见解析，13
【分析】用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可；
【详解】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：

共有9种等可能出现的结果，其中小明和小梅抽到同一类比赛内容的有3种，
所以小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率为39=13．
【点睛】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键
24．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是−6，−1，5，转盘B上的数字分别是6，−7，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动A，B两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
(1)转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是________；
(2)若同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数字记为a，转盘B指针所指的数字记为b，若a+b>0，则小聪获胜；若a+b<0，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
【答案】(1)13
(2)这个游戏公平，理由见解析
【分析】（1）转盘A指针指向正数的概率=正数的个数3，据此即可求解；
（2）通过列表找出事件的所有等可能结果，分别计算小明获胜的概率、小聪获胜的概率即可进行判断．
【详解】（1）解：∵5为正数
∴转盘A指针指向正数的概率为：13
（2）解：列表得：
一共有9种等可能的结果
其中a+b>0的有4种−1,6、−1,4、5,6、5,4；
其中a+b<0的有4种−6,−7、−6,4、−1,−7、5,−7
∴P（小聪获胜）=49；P（小明获胜）=49
P（小聪获胜）=P（小明获胜）
∴这个游戏公平
【点睛】本题考查了概率的应用．熟记概率的计算公式以及列表法（或树状图）是解题关键．扬州市邗江区天气
12－16℃
日出06：43 日落17：18
体感温度 降水概率 降水量 空气质量
14℃ 85% 1.0mm 优
马匹
姓名
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9
抽检产品数n
100
150
200
250
300
500
1000
合格产品数m
89
134
179
226
271
451
904
合格率mn
0.890
0.893
0.895
0.904
0.903
0.902
0.904
红1
红2
红3
白
红1
（红1，红1）
（红1，红2）
（红1，红）
（红1，白）
红2
（红2，红1）
（红2，红2）
（红2，红）
（红2，白）
红3
（红3，红1）
（红3，红2）
（红3，红3）
（红3，白）
白
（白，红1）
（白，红2）
（白，红）
（白，白）
抛掷次数 m
500
1000
1500
2500
3000
4000
5000
10000
“正面朝上”的次数 n
265
512
793
1306
1558
2083
2598
5204
“正面朝上”的频率 nm
0.530
0.512
0.529
0.522
0.519
0.521
0.520
0.520
柑橘总质量n/kg
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
损坏柑橘质量m/kg
5.50
10.50
15.15
19.42
24.25
30.93
35.32
39.24
44.57
51.54
柑橘损坏的频率mn
0.110
0.105
0.101
0.097
0.097
0.103
0.101
0.098
0.099
0.103
年均降雨量X
900≤X≤1300
1300≤X≤1700
1700≤X≤2100
喷水机需要运行台数
3
2
1
摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数
72
93
130
334
532
667
摸到白球的频率
0.3600
0.3100
0.3250
0.3340
0.3325
0.3335
x
1
2
3
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
标号
1
2
3
4
次数
16
14
20
10
牌面数字
2
3
4
4
次数
26
24
30
20
摸球次数
100
400
600
700
1000
1300
1500
白球频率
0.702
0.724
0.731
0.746
0.749
0.751
0.750
白1
白2
白3
蓝
白1
白2,白1
白3,白1
蓝,白1
白2
白1,白2
白3,白2
蓝,白2
白3
白1,白3
白2,白3
蓝,白3
蓝
白1,蓝
白2,蓝
白3,蓝
等级
D
C
B
A
成绩x（分）
60708090人数（人）
5
9
a
2
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八年级
78.25
b
75
10%
九年级
82.75
82.5
80
25%
A
B
4
5
6
1
1,4
1,5
1,6
2
2,4
2,5
2,6
3
3,4
3,5
3,6
A
B1
B2
C1
C2
A
\
AB1
AB2
AC1
AC2
B1
B1A
\
B1B2
B1C1
B1C2
B2
B2A
B2B1
\
B2C1
B2C2
C1
C1A
C1B1
C1B2
\
C1C2
C2
C2A
C2B1
C2B2
C2C1
\
小亮
小明
1
2
2
2
1
1,2
1,2
1,2
2
2,1
2,2
2,2
2
2,1
2,2
2,2
2
2,1
2,2
2,2
提货券每张面额（元）
300
500
800
1000
销售量（张）的百分比
30%
m%
18%
12%
日均销售量（张）
300
450
500
650
天数
25
30
35
10
第1个
第2个
−2
−1
1
3
−2
3
1
1
−1
3
0
2
1
1
0
4
3
1
2
4
摸到的红球数
0
1
2
奖励（单位：元）
5
10
20
年级
平均数
众数
中位数
七年级
79.75
b
80
八年级
a
75
c
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
8
a
中位数
b
8
优秀率
80%
60%
A
B
C
A
×
A,B
A,C
B
B,A
×
B,C
C
C,A
C,B
×
移植的棵数a
100
300
600
1000
7000
15000
成活的棵数b
84
279
505
847
6337
13581
成活的频率ba
0.84
0.93
0.842
0.847
0.905
0.905
每批粒数n
2
5
10
50
100
500
1000
1500
2000
3000
发芽的频数m
2
4
9
44
92
463
928
1396
1866
2794
发芽的频率mn（精确到0.001）
1.000
0.800
0.900
0.880
0.920
0.926
0.928
0.931
0.933
0.931
累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2850
盖面朝上频率
0.5600
0.5400
0.5300
0.5267
0.5280
0.5270
0.5280
0.5290
0.5300
第二球
第一球
红
黄①
黄②
黄③
新
红
红，黄①
红，黄②
红，黄③
红，新
黄①
黄①，红
黄①，黄②
黄①，黄③
黄①，新
黄②
黄②，红
黄②，黄①
黄②，黄③
黄②，新
黄③
黄③，红
黄③，黄①
黄③，黄②
黄③，新
新
新，红
新，黄①
新，黄②
新，黄③
第一名第二名
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙
A
B
C
D
E
A
A,B
A,C
A,D
A,E
B
B,A
B,C
B,D
B,E
C
C,A
C,B
C,D
C,E
D
D,A
D,B
D,C
D,E
E
E,A
E,B
E,C
E,D
等级
劳动积分
人数
A
x≥90
4
B
80≤x<90
m
C
70≤x<80
20
D
60≤x<70
8
E
x<60
3
男1
男2
女1
女2
男1
/
男1男2
男1女1
男1女2
男2
男1男2
/
男2女1
男2女2
女1
男1女1
男2女1
/
女1女2
女2
男1女2
男2女2
女1女2
/
a b
−6
−1
5
6
−6,6
−1,6
5,6
−7
−6,−7
−1,−7
5,−7
4
−6,4
−1,4
5,4