莆田第一中学2023-2024学年高二下学期期初考试数学试卷(含答案)

这是一份莆田第一中学2023-2024学年高二下学期期初考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若直线l的一个方向向量为,则它的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．“”是“,成立”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知等差数列的前n项和为,若,,则当取最大值时,n的值为( )
A.6B.7C.6或7D.7或8
4．若函数在区间上存在最小值,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．已知经过点的平面的法向量为,则点到平面的距离为( )
A.B.2C.D.
6．已知圆锥的母线为6,底面半径为1,把该圆锥截成圆台,使圆台的下底面与该圆锥的底面重合,圆台的上底面半径为,则圆台的侧面积为( )
A.B.C.D.
7．已知抛物线的焦点为F,过点的直线交抛物线于A,B两点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知a,b,,且,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知为函数的导函数,当时,有恒成立,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
10．已知数列满足.若对,都有成立,则整数的值可能是( )
A.B.C.0D.1
11．双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知,分别为双曲线的左,右焦点,过C右支上一点作直线AM与双曲线相切,且交x轴于点,交y轴于点N.则( )
A.C的渐近线方程为
B.过点作,垂足为H,则
C.点N的坐标为
D.四边形面积的最小值为4
三、填空题
12．若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍,则该椭圆的离心率为__________.
13．在边长为6cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底铁皮箱.当箱底边长为__________cm时,箱子容积最大.
14．已知函数,,若总存在两条不同的直线与函数,图象均相切,则实数a的取值范围为__________.
四、解答题
15．设函数.
（1）求函数的极值;
（2）若时,求a的取值范围.
16．已知数列满足,.
（1）设,求证:数列是等比数列;
（2）求数列的前n项和.
17．如图,在三棱柱中,所有棱长均为2,,.
（1）证明:平面平面ABC.
（2）求平面与平面的夹角的正弦值.
18．设椭圆的左右焦点分别为是该椭圆的右顶点和上顶点,且,若该椭圆的离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）直线l与椭圆C交于P,Q两点,且与x轴交于点.若直线与直线的倾斜角互补,求的面积的最大值.
19．已知函数,
（1）若函数的最小值为0,求a的值;
（2）证明:
参考答案
1．答案：C
解析：由题意知,直线l的斜率为,
由知,倾斜角.
故选:C.
2．答案：A
解析：因为,成立,则,
即,
所以"”是“,成立”的充分不必要条件.
故选:A.
3．答案：C
解析：等差数列的前n项和为,,,
,
解得,,
,
当或时,取最大值42.
故选:C.
4．答案：C
解析：由题意,,
故在,上是增函数,
在上是减函数,
作其图象如图,
令得或,
则结合图象可知,
解得.
5．答案：D
解析：依题意,,
所以点P到平面的距离为,
故选:D.
6．答案：C
解析：假设圆锥半径R,母线为l,则.设圆台上底面为r,母线为,则由已知可得,,所以.
如图,作出圆锥,圆台的轴截面则有,所以.
所以圆台的侧面积为,
故选:C.
7．答案：B
解析：当直线斜率存在时,
设直线方程为,,,
联立,化简整理可得,
则,,,,
,
,
,,
当直线斜率不存在时,直线方程为,则,,
,
综上所述,.
故选:B.
8．答案：D
解析：由,,,
得,,,
由得,当时,,
当时函数单调递增,
,
当时函数单调递增,
对函数求导得,当时,,
当时函数单调递减,
又,
,
故选:D.
9．答案：BD
解析：令,
所以,
因为当时,有恒成立,
所以当时,,单调递减,所以,,
所以,,所以,,
故选:BD.
10．答案：BC
解析：即,
若对,都有成立,
即,
,即对都成立;
当n为奇数时,恒成立,则,即;
当n为偶数时,恒成立,则,即;
故整数的取值范围是,则整数的值可能是,0,
故选:BC.
11．答案：ABD
解析：
12．答案：
解析：依题意,由椭圆的性质可知,
点到焦点距离的最大值为,最小值为,
所以,化简得,即离心率.
故答案为:.
13．答案：4
解析：
14．答案：
解析：由,得,设切点坐标为,则过切点的切线方程为,联立,得,
即.
,则,得;由,得,
令,得,
可得当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
,
,解得,
又,实数a的取值范围为.
故答案为:.
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）,
当时,,在R上单调递增,无极值
当时,由得,由得
则在上单调递减,在上单调递增,
则当时,取得极小值,无极大值.
（2）由（1）知当时,在R上单调递增,符合题意
当时,在上单调递增,符合题意
当时,在上单调递减,在上单调递增,
等价于,得.
综上a的取值范围是
16．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:依题意,由,可得
,即,
,
数列是以1为首项,3为公比的等比数列,
（2）由（1）,可得,即,
,,
,
,
两式相减,可得
,
.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:取AC的中点D,连接,BD,,
因为,,,
所以为等边三角形,,,
同理可证,.
因为,所以,则.
因为,BD,平面ABC,
所以平面ABC,
又平面,所以平面平面ABC.
（2）由（1）知AC,BD,两两垂直,
故以D为坐标原点,以射线DB,DC,分别为x轴､y轴､z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,
则,,
设平面的法向量为,
由于,即
令,可得,
又由（1）易知平面的法向量为,
设二面角为,则,
则.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可得,,所以,
因为椭圆的离心率为.所以,
结合椭圆中可知,.
所以椭圆C的标准方程为.
（2）,设.
因为直线与直线的倾斜角互补,所以可知,
即,化简得.
设直线,将代入上式,
整理可得.
且由消元化简可得,
所以,,
代入上式,由,解得.
所以.
因为点到直线PQ的距离,
且,
所以.
由于,所以,
令,则,所以,
当且仅当,时取等号.
所以面积的最大值为.
19．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）定义域为,且.
若,则,于是在上单调递增,
故无最小值,不合题意
若,则当时,当时,
则在上单调递减,在上单调递增,
于是当时,取得最小值
由已知得,解得.
综上所述,.
（2）①先证明当时,
设,则
则当时,,所以在上单调递减,
当时,,即.
当时,
所以
设,则
则当时,,所以在上单调递增,
当时,.
设,则
当时,;当时,;
则在上递减,在上递增.
则当时取得最小值.故
于是
②当时,,
因为,所以
所以
设,则,
所以在上单调递增,所以当时,,.
即.所以.
综上,不等式恒成立.