广东省龙涛教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

这是一份广东省龙涛教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．1，，C．4，6，8D．5，12，15
3．（3分）如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
4．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲2＝1.5，S乙2＝2.6，S丙2＝3.5，S丁2＝3.68，你认为派谁去参赛更合适（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．平行四边形的对角线互相垂直平分
B．矩形的对角线相等
C．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
D．对角线相等的菱形是正方形
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2+4＝6B．﹣＝C．÷＝9D．﹣（）2＝﹣2
7．（3分）下列有关一次函数y＝﹣2x+1的说法中，错误的是（ ）
A．y的值随着x增大而减小
B．当x＞0时，y＞1
C．函数图象与y轴的交点坐标为（0，1）
D．函数图象经过第一、二、四象限
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝6，∠A＝60°，连接四边中点得到四边形EFGH，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．9B．6C．18D．9
9．（3分）如图，折线表示一骑车人离家的距离y与时间x的关系，骑车人9：00离开家，15：00回到家，则下列说法错误的是（ ）
A．骑车人离家最远距离是45km
B．骑车人中途休息的总时间长是1.5h
C．从9：00到10：30骑车人离家的速度越来越大
D．骑车人返家的平均速度是30km/h
10．（3分）对于函数y1＝k1x+b1（k1≠0，k1，b1为常数与函数y2＝k2x+b2（k2≠0，k2，b2为常数）．若k1+k2＝0，b1＝b2，则称函数y1与y2互为“对称函数”，下列结论：
①若函数y1与y2互为“对称函数”，则y1与y2的图象关于y轴对称；
②若点（m1，n1）（m2，n2）分别在“对称函数”y1与y2的图象上，当n1＝n2时，则m1+m2＝0；
③若函数y＝（m+3）x+n﹣5与函数y＝（1﹣2n）x+m﹣2互为“对称函数”，则（m+n）2023的值为1；
④若函数y1与y2互为“对称函数”，将函数y1向右平移|b2|个单位得到函数y3，当y3＞y2，则．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题3分，共18分．）
11．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）一组数据2，3，k，4，5的平均数是4，则k＝ ．
13．（3分）当m＝ 时，函数y＝（m﹣2）是正比例函数．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S3．如果S1+S2﹣S3＝24，则阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为 ．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．下列结论：①BM2+DN2＝MN2；②AE＝AF；③EA平分∠BEF；④△CEF的周长等于2AB，其中正确结论的序号是 ．（把你认为所有正确的都填上）
三、解答题（共72分）
17．（4分）计算：．
18．（4分）如图，在▱ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且BF＝DE，求证：四边形AFCE是平行四边形．
19．（6分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一点，且CD＝12，BD＝8．求BC的长．
20．（6分）在抗击新型冠状病毒疫情期间，某校学生主动发起为武汉加油捐款活动，为了了解学生捐款金额（单位：元），随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制出统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
①本次接受调查的学生人数为 ，图①中m的值为 ；
②统计的这组学生捐款数据的众数是 ，中位数是 ；
③根据统计的这组学生捐款数据的样本数据，若该校共有1800名学生，估计该校此次捐款总金额为多少元？
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，∠FEC＝∠B．
（1）求证：DE＝CF；
（2）若AC＝6cm，AB＝10cm，求四边形DCFE的面积．
22．（10分）冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
（1）第一次小李以1650元购进了A，B两款玩偶共100个，求两款玩偶各购进多少个？
（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共100个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
23．（10分）在矩形纸片ABCD中，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于E点，交BC于F点．
（1）尺规作图：求作折痕EF；
（2）若，求的值．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点．
（1）如图①，过点P作PE⊥PB交边DC于点E．当点E在边CD上时，求证：PB＝PE；
（2）如图②，在（1）的条件下，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．
（3）如图③，若点Q是射线CD上的一个动点，且始终满足AP＝CQ，设BP+BQ＝t，请直接写出t2的最小值．
25．（12分）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D．（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；
（2）如图2，在直线上存在点E，使得∠ABE＝45°，求点E的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，过点E作CD的垂线交y轴于点F，点P在直线EF上，在平面中存在一点，使得O，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，请求出点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意；
C．＝3，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．1，，C．4，6，8D．5，12，15
【解答】解：A、∵22+32＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵12+（）2＝3，（）2＝3，
∴12+（）2＝（）2，
∴能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵42+62＝52，82＝64，
∴42+62≠82，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵122+52＝169，152＝225，
∴122+52≠152，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
3．（3分）如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD＝135°，
∴∠MCD＝180°﹣∠DCB＝180°﹣135°＝45°．
故选：A．
4．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲2＝1.5，S乙2＝2.6，S丙2＝3.5，S丁2＝3.68，你认为派谁去参赛更合适（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，
∴甲的成绩最稳定，
∴派甲去参赛更好，
故选：A．
5．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．平行四边形的对角线互相垂直平分
B．矩形的对角线相等
C．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
D．对角线相等的菱形是正方形
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，故错误，是假命题；
B、矩形的对角线相等，正确，是真命题；
C、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，正确，是真命题；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，
故选：A．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2+4＝6B．﹣＝C．÷＝9D．﹣（）2＝﹣2
【解答】解：A、2与4不能合并，所以A选项不符合题意；
B、与不能合并，所以B选项不符合题意；
C、原式＝＝3，所以C选项不符合题意；
D、原式＝2，所以D选项符合题意．
故选：D．
7．（3分）下列有关一次函数y＝﹣2x+1的说法中，错误的是（ ）
A．y的值随着x增大而减小
B．当x＞0时，y＞1
C．函数图象与y轴的交点坐标为（0，1）
D．函数图象经过第一、二、四象限
【解答】解：A、∵k＝﹣2＜0，∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意；
B、∵k＝﹣2＜0，∴y的值随着x增大而减小，∴当x＞0时，y＜1，错误，符合题意；
C、∵当x＝0时，y＝1，∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，1），正确，不符合题意；
D、∵k＝﹣2＜0，b＝1＞0，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意，
故选：B．
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝6，∠A＝60°，连接四边中点得到四边形EFGH，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．9B．6C．18D．9
【解答】解：连接AC、BD交于点O，
∵E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD的中点，
∴EF＝BD，GH＝BD，EF∥BD∥HG，EH＝AC，FG＝AC，EH∥AC∥FG，
∴EF＝GH，EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAC＝60°，
∴AC⊥BD，∠BAC＝30°，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴EF⊥EH，即∠FEH＝90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∴S四边形EFGH＝EH•EF＝BD•AC，
∵AC⊥BD，∠BAC＝30°，AB＝6，
∴BO＝AB＝3，AO＝3，
∴BD＝6，AC＝，
∴S四边形EFGH＝×6××＝．
故选：D．
9．（3分）如图，折线表示一骑车人离家的距离y与时间x的关系，骑车人9：00离开家，15：00回到家，则下列说法错误的是（ ）
A．骑车人离家最远距离是45km
B．骑车人中途休息的总时间长是1.5h
C．从9：00到10：30骑车人离家的速度越来越大
D．骑车人返家的平均速度是30km/h
【解答】解：A．由图可知，骑车人离家最远距离是45km，故本选项不合题意；
B．骑车人中途休息的总时间长是：0.5+1＝1.5（h），故本选项不合题意；
C．由图可知，从9：00到10：30骑车人离家的速度不变，故本选项符合题意；
D．骑车人返家的平均速度是45÷1.5＝30（km/h），故本选项不合题意；
故选：C．
10．（3分）对于函数y1＝k1x+b1（k1≠0，k1，b1为常数与函数y2＝k2x+b2（k2≠0，k2，b2为常数）．若k1+k2＝0，b1＝b2，则称函数y1与y2互为“对称函数”，下列结论：
①若函数y1与y2互为“对称函数”，则y1与y2的图象关于y轴对称；
②若点（m1，n1）（m2，n2）分别在“对称函数”y1与y2的图象上，当n1＝n2时，则m1+m2＝0；
③若函数y＝（m+3）x+n﹣5与函数y＝（1﹣2n）x+m﹣2互为“对称函数”，则（m+n）2023的值为1；
④若函数y1与y2互为“对称函数”，将函数y1向右平移|b2|个单位得到函数y3，当y3＞y2，则．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①∵函数y1与y2互为“对称函数”，
∴k1+k2＝0，b1＝b2，
∴k1，k2互为相反数，
∴y1与y2的图象关于y轴对称，
符合题意；
②∵y1与y2是“对称函数”，
n1＝n2，
∴m1与m2互为相反数
∴m1+m2＝0，
符合题意；
③∵函数y＝（m+3）x+n﹣5与函数y＝（1﹣2n）x+m﹣2互为“对称函数”，
∴m+3+1﹣2n＝0，n﹣5＝m﹣2，
即，
求得：，
∴（m+n）2023＝（﹣2+1）2023＝﹣1，
不符合题意；
④∵函数y1向右平移|b2|个单位得到函数y3，
∴y3＝k1（x﹣|b2|）+b2
∴y3＞y2，
即k1（x﹣|b2|）+b2＞k2x+b2
解得：x＞或x＜，
不符合题意．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分．）
11．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥8 ．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x﹣8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
12．（3分）一组数据2，3，k，4，5的平均数是4，则k＝ 6 ．
【解答】解：∵数据2，3，k，4，5的平均数是4，
∴（2+3+k+4+5）÷5＝4，
解得k＝6；
故答案为：6．
13．（3分）当m＝ ﹣2 时，函数y＝（m﹣2）是正比例函数．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣2） 是正比例函数，
∴，解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S3．如果S1+S2﹣S3＝24，则阴影部分的面积为 6 ．
【解答】解：由题意得，，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+AC2＝BC2，
∵S1+S2﹣S3＝24，
∴AB2+BC2﹣AC2＝24，
∴AB2+AB2+AC2﹣AC2＝24，
∴AB2＝12，
∴，
故答案为：6．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为 75° ．
【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形中OA＝OB，
∴△ABO是等边三角形，
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°
故答案为：75°．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．下列结论：①BM2+DN2＝MN2；②AE＝AF；③EA平分∠BEF；④△CEF的周长等于2AB，其中正确结论的序号是 ①③④ ．（把你认为所有正确的都填上）
【解答】解：①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠HAF＝45°，
∵△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，
∴AH＝AM，BM＝DH，∠ABM＝∠ADH＝45°，
又AN＝AN，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴MN＝HN，
而∠NDH＝∠ABM+∠ADH＝45°+45°＝90°，
Rt△HDN中，HN2＝DH2+DN2，
∴MN2＝BM2+DN2，故①正确；
②对于AE＝AF，只需举出反例即可，
当E与C重合时，
∵∠EAF＝45°，
∴F与D重合，
此时AE＝AC，AF＝AD，而AC≠AD，故②错误；
过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠EAD＝∠DAG，∠ABE＝∠ADG＝90°，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（ASA），
∴BE＝DG，AG＝AE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，∠AEB＝∠G＝∠AEF，故③正确；
∴△CEF的周长＝EF+EC+CF＝GF+EC+CF
＝（DG+DF）+EC+CF
＝BE+CD+CE
＝CD+BC
＝2AB，故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（共72分）
17．（4分）计算：．
【解答】解：
＝﹣+3
＝﹣+3
＝4﹣+3
＝4+2．
18．（4分）如图，在▱ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且BF＝DE，求证：四边形AFCE是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BF＝DE，
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
19．（6分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一点，且CD＝12，BD＝8．求BC的长．
【解答】解：∵AB＝13，BD＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝5，
∴AC＝13，CD＝12，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝＝4，即BC的长是4．
20．（6分）在抗击新型冠状病毒疫情期间，某校学生主动发起为武汉加油捐款活动，为了了解学生捐款金额（单位：元），随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制出统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
①本次接受调查的学生人数为 50 ，图①中m的值为 30 ；
②统计的这组学生捐款数据的众数是 30 ，中位数是 30 ；
③根据统计的这组学生捐款数据的样本数据，若该校共有1800名学生，估计该校此次捐款总金额为多少元？
【解答】解：①8+12+15+10+5＝50（人），
m%＝15÷50×100%＝30%，即m＝30，
故答案为：50，30；
②观察条形统计图，∵在这组数据中，30出现了15次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为30．
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是30，，
∴这组数据的中位数为30．
故答案为：30，30；
③∵在所抽取的样本中，平均数为（20×8+25×12+30×15+35×10+40×5）＝29.2（元），
∴估计这1800名学生捐款总金额约为1800×29.2＝52560（元）．
答：该校此次捐款总金额约为52560元．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，∠FEC＝∠B．
（1）求证：DE＝CF；
（2）若AC＝6cm，AB＝10cm，求四边形DCFE的面积．
【解答】证明：（1）在△CDE和△ECF中，
∵∠ACB＝∠ECF＝90°，点D、E是分别是AB、BC的中点．
∴CD＝BD＝AD，
∴∠B＝∠DCE，∠CED＝∠ECF＝90°，
又∵∠FEC＝∠B．
∴∠FEC＝∠DCE，
又∵CE＝EC
∴△CDE≌△ECF（ASA），
∴DE＝CF；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴，
∵点D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥CF，又DE＝CF，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴，
∴．
22．（10分）冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
（1）第一次小李以1650元购进了A，B两款玩偶共100个，求两款玩偶各购进多少个？
（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共100个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设小李购进A款冰墩墩a个，则购进B款冰墩墩（100﹣a）个，
由题意可得：20a+15（100﹣a）＝1650，
解得a＝30，
∴100﹣a＝70，
答：小李购进A款冰墩墩30个，购进B款冰墩墩70个；
（2）设小李购进A款冰墩墩x个，则购进B款冰墩墩（100﹣x）个，利润为w元，
由题意可得w＝（25﹣20）x+（18﹣15）（100﹣x）＝2x+300，
∴w随x的增大而增大，
∵网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．
∴x≤（100﹣x），
解得x≤33，
∵x为整数，
∴当x＝33时，w取得最大值，此时w＝366，100﹣x＝67，
答：小李购进A款冰墩墩33个，购进B款冰墩墩67个时，才能获得最大利润，最大利润是366元．
23．（10分）在矩形纸片ABCD中，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于E点，交BC于F点．
（1）尺规作图：求作折痕EF；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）如图，EF即为所求．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE，∠EAC＝∠FCA．
设AC与EF交于点O，
由题意可得，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
由折叠可知，AE＝CE，
∴四边形AFCE是菱形．
∴AC⊥EF，OE＝OF＝，
∵，
∴设AB＝3x，AD＝4x，
∴AC＝＝5x，
∴AO＝x，
∵∠AOE＝∠D＝90°，∠EAO＝∠DAC，
∴△AOE∽△ADC，
∴，
∴，
∴OE＝x，
∴EF＝2OE＝x，
∴AF＝AE＝＝x，
∴＝＝．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点．
（1）如图①，过点P作PE⊥PB交边DC于点E．当点E在边CD上时，求证：PB＝PE；
（2）如图②，在（1）的条件下，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．
（3）如图③，若点Q是射线CD上的一个动点，且始终满足AP＝CQ，设BP+BQ＝t，请直接写出t2的最小值．
【解答】（1）证明：连接PD，如图①所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠PCB＝∠PCD＝45°，
在△PCB和△PCD中，
，
∴△PCB≌△PCD（SAS），
∴PB＝PD，∠CBP＝∠CDP，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE＝∠BCE＝90°，
∴∠CBP+∠CEP＝180°，
∵∠CEP+∠PED＝180°，
∴∠PED＝∠CBP，
∴∠PED＝∠CDP，
∴PE＝PD，
∴PB＝PE；
（2）解：PF的长度不变．理由如下：
连接BD，与AC相交于点O，如图2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOP＝90°，
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，
∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，
∴∠BOP＝∠PFE，
在△BOP和△PFE中，
，
∴△BOP≌△PFE（AAS），
∴BO＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴BC＝OB．
∵BC＝3，
∴OB＝，
∴PF＝OB＝．
∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为；
（3）解：过点C作CR⊥AC，使CR＝AB＝3，连接QR、BR，过点R作RT⊥BC，交BC延长线于T，如图③所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝∠BAP＝45°，
∵CR⊥AC，
∴∠RCQ＝90°﹣45°＝45°，∠RCT＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴△CTR是等腰直角三角形，∠BAP＝∠RCQ，
∴CT＝RT＝CR＝，
∴BT＝BC+CT＝3+，
在△BAP和△RCQ中，
，
∴△BAP≌△RCQ（SAS），
∴BP＝QR，
∴B、Q、R三点共线时，QR+BQ最短，即BP+BQ最短，
此时，t＝BR，
在Rt△BTR中，由勾股定理得：BR2＝BT2+RT2＝（3+）2+（）2＝18+9，
∴t2的最小值为18+9．
25．（12分）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D．（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；
（2）如图2，在直线上存在点E，使得∠ABE＝45°，求点E的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，过点E作CD的垂线交y轴于点F，点P在直线EF上，在平面中存在一点，使得O，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，请求出点P的坐标．
【解答】解：（1）直线y＝﹣3x﹣，令x＝0，则y＝﹣，
故点B（0，﹣）；
y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，即﹣x+3＝0，
解得：x＝4，
故点D（0，3）、C（4，0），
则BD＝3+＝，OC＝4，
∴△BCD的面积＝×BD×OC＝×4＝11；
（2）由题意，∠ABE＝45°，观察图象可知，点E只能直线在AB的右侧，过点E作BE的垂线交AB于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，
设点E（m，﹣m+3），点R（n，﹣3n﹣），
∵∠ABE＝45°，故ER＝EB，
∵∠REG+∠BEH＝90°，∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠REG＝∠EBH，
∵∠EHB＝∠RGE＝90°，EB＝ER，
∴△EHB≌△RGE（AAS），
∴RG＝EH，BH＝GE，
即m＝﹣3n﹣+m﹣3，﹣m+3+＝m﹣n，
解得，
故点E（2，）；
（3）设F的坐标为（0，a），
∵D（0，3），E（2，），
∴DE＝＝，EF＝，
设F的坐标为（0，a），则：
S△DEF＝××＝×（3﹣a）×2，
化简得：（3a+）2＝0，
解得：a＝﹣，
∴点F的坐标为（0，﹣），
设直线EF的表达式为y＝kx﹣，
将点E的坐标代入得：＝2k﹣，
解得：k＝，
故直线EF的表达式为y＝x﹣，
当P在Q上方时，点O向右平移2个单位向上平移个单位得到E，
∴右平移2个单位向上平移个单位得到P（，﹣），
∵P（，﹣）在直线EFy＝x﹣上，故满足条件，
当P在Q点下方时，P不在直线EF上，不满足条件，
综上，点P的坐标为（，﹣）．A款玩偶
B款玩偶
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20
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销售价（元/个）
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