2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练55二项分布与超几何分布正态分布

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1.袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
A.B.C.D.
2.某高三学生进行考试心理素质测试,场景相同的条件下每次通过测试的概率为,则连续测试4次,至少有3次通过的概率为( )
A.B.C.D.
3.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P(ξ≤1)等于( )
A.B.C.D.
4.某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成绩X近似服从正态分布N(80,σ2),且P(75≤X≤80)=0.1.该市某校有350人参加此次统测,估计该校数学成绩不低于85分的人数为( )
A.140B.105C.70D.35
5.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,则质点P移动六次后位于点(2,4)的概率是( )
A.6B.4C.6D.6
6.一个袋中有4个红球,3个黑球,小明从袋中随机取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球,则小明得分大于6分的概率是( )
A.B.C.D.
7.(多选) “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布,其密度曲线函数为f(x)=,x∈(-∞,+∞),则下列说法正确的是( )
A.该地水稻的平均株高为100 cm
B.该地水稻株高的方差为10
C.随机测量一株水稻,其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大
D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:cm)的概率一样大
8.设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为( )
A.B.C.D.
9.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为[490,495),[495,500),[500,505),[505,510),[510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求质量超过500克的产品数量;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.
10. 11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分.当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
综合提升组
11.(多选)掷一个质地不均匀的硬币6次,每次掷出正面的概率均为,恰好出现k次正面的概率记为Pk,则下列说法正确的是( )
A.P1=P5
B.P1C.Pk=1
D.P0,P1,P2,…,P6中最大值为P4
12.某个游戏中,一个珠子按如图所示的通道,由上至下地滑下,从最下面的六个出口出来,规定猜中者为胜.如果你在该游戏中,猜得珠子从口4出来,那么你取胜的概率为( )
A.B.C.D.以上都不对
13.在一次篮球投篮测试中,记分规则如下(满分为10分):①每人可投篮7次,每投中一次记1分;②若连续两次投中加0.5分,连续三次投中加1分,连续四次投中加1.5分,以此类推,…,七次都投中加3分.假设某同学每次投中的概率为,各次投篮相互独立,则:
(1)该同学在测试中得2分的概率为 ;
(2)该同学在测试中得8分的概率为 .
14.
“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如图所示:
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在[14.55,38.45]内的概率;
②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列.
附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ=≈11.95;
若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954.
15.为了引导居民合理用电,国家决定实行合理的阶梯电价,居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).
某市随机抽取10户同一个月的用电情况,得到统计表如下:
(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元,第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元,第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元,试计算用电410度时应交电费多少元?
(2)现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯电量的用户数的分布列与数学期望;
(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电,现从全市中依次抽取10户,若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大,求k的值.
16.
某公司采购了一批零件,为了检测这批零件是否合格,从中随机抽测120个零件的长度(单位:分米),按数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],(1.4,1.5],(1.5,1.6],(1.6,1.7],(1.7,1.8]这6组,得到如图所示的频率分布直方图,其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个,其长度分别为1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69,1.71,1.72,1.74,以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率.
(1)求这批零件的长度大于1.60分米的频率,并求频率分布直方图中m,n,t的值;
(2)若从这批零件中随机选取3个,记X为抽取的零件长度在(1.4,1.6]的个数,求X的分布列和数学期望;
(3)若变量S满足|P(μ-σ≤S≤μ+σ)-0.683|≤0.05且|P(μ-2σ≤S≤μ+2σ)-0.954|≤0.05,则称变量S满足近似于正态分布N(μ,σ2)的概率分布.如果这批零件的长度Y(单位:分米)满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率分布,则认为这批零件是合格的,将顺利被签收;否则,公司将拒绝签收.试问,该批零件能否被签收?
参考答案
课时规范练55 二项分布与超
几何分布、正态分布
1.D ∵每次取到黄球的概率为,
∴3次中恰有2次抽到黄球的概率为
2.A 4次独立重复实验,故概率为34=
3.D P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-
4.A 因为X近似服从正态分布N(80,σ2),所以P(80≤X≤85)=P(75≤X≤80)=0.1,即有P(X≥85)=0.5-0.1=0.4,故该校数学成绩不低于85分的人数为350×0.4=140.
5.C 根据题意,易得位于坐标原点的质点P移动六次后位于点(2,4),在移动过程中向上移动4次向右移动2次,则其概率为P=42=6.
6.A 记得分为X,则X的可能取值为5,6,7,8,P(X=7)=;P(X=8)=,所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=
7.AC f(x)=,故μ=100,σ2=100,故A正确,B错误;P(X>120)=P(X<80)>P(X<70),故C正确;根据正态分布的对称性知P(100P(808.C 假设事件A在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p,由题意得事件A发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=,得p=,故事件A恰好发生一次的概率为1-2=
9.解 (1)质量超过500克的产品数量是40×(0.07×5+0.05×5+0.01×5)=26(件);
(2)由题意知Y的所有可能取值为0,1,2.质量超过505克的产品数量是40×(0.05×5+0.01×5)=12(件),质量未超过505克的产品数量是28件.P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,∴Y的分布列为
10.解 (1)X=2就是10∶10平后,两人又打了两个球该局比赛结束,则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
11.BD P1=,P5=5,
P1由二项分布概率公式可得P0=,P1=,P2=,P3=,P4=,P5=,P6=,
最大值为P4,D正确.
12.C 从入口到出口4共有=10(种)走法,其中每一岔口的概率都是,
所以珠子从口4出来的概率为P=
13 只得2分,只能投中2次,且不相邻,概率为P1=;
得8分,前3次和后3次均投中,中间一次不中;开始连中5次,第6次不中,第7次中或第1次中,第2次不中,然后连中5次,或分别连中4次和连中2次,中间有1次不中,概率为P2=+2+2
14.解(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5.
(2)①∵Z服从正态分布N(μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95,
∴P(14.55≤Z≤38.45)=P(26.5-11.95≤Z≤26.5+11.95)≈0.683,
∴Z落在[14.55,38.45]内的概率是0.683.
②根据题意得X~B,
P(X=0)=;P(X=1)=;
P(X=2)=;P(X=3)=;P(X=4)=
∴X的分布列为
15.解 (1)210×0.5+(400-210)×0.6+(410-400)×0.8=227(元).
(2)设取到第二阶梯电量的用户数为ξ,可知第二阶梯电量的用户有3户,则ξ可取0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=
故ξ的分布列是
所以E(ξ)=0+1+2+3
(3)可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯,满足X~B10,,
可知P(X=k)=k10-k(k=0,1,2,3,…,10)
由
解得k,k∈N*,
所以当k=6时,用电量为第一阶梯的可能性最大,所以k=6.
16.解(1)由题意可知120件样本零件中长度大于1.60分米的共有18件,
则这批零件的长度大于1.60分米的频率为=0.15,
记Y为零件的长度,则P(1.2≤Y≤1.3)=P(1.7P(1.3P(1.4故m==0.25,n==1.25,t==3.5.
(2)由(1)可知从这批零件中随机选取1件,长度在(1.4,1.6]的概率P=2×0.35=0.7,
且随机变量X服从二项分布X~B(3,0.7),
则P(X=0)=(1-0.7)3=0.027,P(X=1)=(1-0.7)2×0.7=0.189,P(X=2)=(1-0.7)×0.72,P(X=3)=0.73=0.343,
故随机变量X的分布列为
E(X)=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1(或E(X)=3×0.7=2.1).
(3)由题意可知μ=1.5,σ=0.1,
则P(μ-σ≤Y≤μ+σ)=P(1.4≤Y≤1.6)=0.7;
P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)=P(1.3≤Y≤1.7)=0.125+0.35+0.35+0.125=0.95,因为|0.7-0.683|≈0.017≤0.05,|0.95-0.954|≈0.004≤0.05,
所以这批零件的长度满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率分布.
应认为这批零件是合格的,将顺利被该公司签收.阶梯级别
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯
月用电范围/度
(0,210]
(210,400]
(400,+∞)
居民用电
户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用电量/度
53
86
90
124
132
200
215
225
300
410
Y
0
1
2
P
X
0
1
2
3
4
P
ξ
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343