2025届高考数学一轮复习专项练习单元质检卷二函数

这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习单元质检卷二函数，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|y=lg(x-3)},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B等于( )
A.⌀B.R
C.{x|x>3}D.{x|x>0}
2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=x3
B.y=-x2+1
C.y=lg2x
D.y=2|x|
3.已知a=lg20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )
A.aC.c4.如图,点O为坐标原点,点A(1,1),若函数y=ax(a>0,且a≠1)及y=lgbx(b>0,且b≠1)的图像与线段OA分别交于点M,N,且M,N恰好是线段OA的两个三等分点,则a,b满足( )
A.aC.b>a>1D.a>b>1
5.函数f(x)=的图像大致为( )
6.已知函数f(x)=,实数m,n满足不等式f(2m-n)+f(2-n)>0,则下列不等关系成立的是( )
A.m+n>1B.m+n<1
C.m-n>-1D.m-n<-1
7.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步过程.设小明跑步的时间为t(单位:s),他与教练间的距离为y(单位:m),表示y与t的函数关系的图像大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的( )
A.点MB.点NC.点PD.点Q
8.设奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0.则不等式<0的解集是( )
A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.在下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=ln(-3x)B.y=ex+e-x
C.y=x2+1D.y=cs x+3
10.某同学在研究函数f(x)=的性质时,受两点间距离公式的启发,将f(x)变形为f(x)=,则下列关于函数f(x)的描述正确的是( )
A.函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增
B.函数f(x)的图像是中心对称图形
C.函数f(x)的值域为[2,+∞)
D.方程f(f(x))=1+无实数解
11.已知函数f(x)对∀x∈R,满足f(x)=-f(6-x),f(x+1)=f(-x+1),若f(a)=-f(2 020),a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上具有单调性,则下列结论正确的是( )
A.f(3)=0
B.a=8
C.f(x)是周期为4的周期函数
D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称
12.已知函数f(x)=当x∈[t,+∞)时,f(x)的值域为(-∞,16],则实数t的可能取值为( )
A.-3B.-1C.1D.3
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数f(x)=则ff= .
14.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 千米处.
15.已知定义域为R的函数f(x)=μ+有最大值和最小值,且最大值和最小值的和为4,则λ-μ= .
16.已知函数f(x)=则当x∈[-1,e]时,f(x)的最小值为 ;设g(x)=[f(x)]2-f(x)+a,若函数g(x)有6个零点,则实数a的取值范围是 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)函数f(x)=m+lgax(a>0,且a≠1)的图像过点(8,2)和(1,-1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.
18.(12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.
19.(12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x(x∈N)千件,需另投入成本为C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(万元);当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450(万元).通过市场分析,若每件售价为500元时,该厂年内生产的商品能全部销售完.
(1)写出年利润L(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
20.(12分)某市明年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造.据调查,改造后预计该市在一个月内(以30天计)民族文化旅游人数f(x)(单位:万人)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足f(x)=41+,人均消费g(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足g(x)=104-|x-23|.
(1)求该市旅游日收益p(x)(单位:万元)与时间x(1≤x≤30,x∈N*)的函数关系式;
(2)若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.
21.(12分)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值-(t≠0),且f(1)=0.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)若函数y=f(x)在区间上的最小值为-5,求此时t的值.
22.(12分)已知函数f(x)=lg,其中x>0,a>0.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.
参考答案
单元质检卷二 函数
1.C ∵A={x|y=lg(x-3)}={x|x-3>0}={x|x>3},B={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},∴A∩B={x|x>3},故选C.
2.D 函数y=x3是奇函数,不符合;函数y=-x2+1是偶函数,但是在(0,+∞)上单调递减,不符合;函数y=lg2x不是偶函数,不符合;函数y=2|x|既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增,符合.故选D.
3.B lg20.220=1,0<0.20.3<0.20=1,则a<0,b>1,04.A 由题图,得,即a=3,lgb,即,b==3>3=a,且b=<0=1,即a5.A f(1)=>0,排除选项C,D;由f(x)=0,得函数没有零点,排除选项B.故选A.
6.C ∵f(x)的定义域为R,f(-x)==-f(x),
∴f(x)是R上的奇函数.
f(x)==-1+,则f(x)是R上的增函数.
∴由f(2m-n)+f(2-n)>0得,f(2m-n)>f(n-2),
∴2m-n>n-2,∴m-n>-1.
故选C.
7.D 由图知固定位置到点A距离大于到点C距离,所以舍去点N,M,排除选项A,B;若是点P,则从最高点到点C,y单调递减,与图2矛盾,排除选项C;因此取点Q,故选D.
8.B ∵函数f(x)是奇函数,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,0)上也单调递增.
∵f(-x)=-f(x),∴f(-1)=-f(1)=0,不等式<0可化为2xf(x)<0,即xf(x)<0.
当x<0时,可得f(x)>0=f(-1),
∴x>-1,∴-1当x>0时,可得f(x)<0=f(1),
∴x<1,∴0综上,不等式<0的解集为(-1,0)∪(0,1).故选B.
9.BC 由题,易知A,B,C,D四个选项中函数的定义域均为R.对于A,f(-x)+f(x)=ln(+3x)+ln(-3x)=0,则f(x)为奇函数,故A不符合题意;对于B,f(-x)=e-x+ex=f(x),即f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,设t=ex(t>1),则f(t)=t+,由对勾函数性质可得,f(t)在(1,+∞)上单调递增,又t=ex单调递增,所以f(x)=ex+e-x在(0,+∞)上单调递增,故B符合题意;对于C,易知f(x)=x2+1为偶函数,由其图像知f(x)在(0,+∞)上单调递增,故C符合题意;对于D,易知y=csx+3是偶函数,但在(0,+∞)不恒增,故D不符合题意.故选BC.
10.ACD 由题意,f(x)=,其几何意义表示点P(x,0)到点A(0,1),B(2,1)的距离之和,点B关于x轴的对称点为B',如图所示.
由对称性可知|PB|=|PB'|,所以f(x)=|PA|+|PB|=|PA|+|PB'|.
当点P的横坐标由x1增加到x2时,|PA|+|PB'|的值也在增加,即f(x2)>f(x1),故f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,故A正确;
同理可得,f(x)在(-∞,1)上单调递减,故函数f(x)的图像不是中心对称图形,故B错误;
由图可知,f(x)=|PA|+|PB'|≥|AB'|==2,即f(x)的值域为[2,+∞),故C正确;
设f(x)=t,方程f(f(x))=1+等价于f(t)=1+,即=1+,解得t=0或t=2,因为f(x)=t≥2,所以方程f(f(x))=1+无实数解,故D正确.故选ACD.
11.AB ∵f(x)对∀x∈R,满足f(x)=-f(6-x),f(x+1)=f(-x+1),
∴f(x)=-f(6-x)=-f(-(x-5)+1)=-f(x-5+1)=-f(x-4),
∴f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x-4-4)=-f(x-4)=f(x),故f(x)的周期为T=8,故C错误;
f(a)=-f(2020)=-f(252×8+4)=-f(4)=-f(3+1)=-f(-2)=-[-f(6-(-2))]=f(8),
又a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上具有单调性,易得a=8,故B正确;
∵f(x)=-f(6-x),则f(3)=-f(6-3)=-f(3),
∴f(3)=0,故A正确;
∵f(x+1)=f(-x+1),∴y=f(x)的图像关于直线x=1对称,故D错误.故选AB.
12.ABC 由题意,函数f(x)=
当x≥0时,函数f(x)=12x-x3,则f'(x)=12-3x2=-3(x+2)(x-2),
令f'(x)>0,即(x+2)(x-2)<0,解得-20,解得x<-2或x>2,
所以函数f(x)在[0,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,
所以当x=2时,函数取得最大值,最大值为f(2)=12×2-23=16,
即当x≥0时,函数f(x)的值域为(-∞,16];
当x<0时,函数f(x)=-4x在(-∞,0)上单调递减,令f(x)=16,即-4x=16,解得x=-4,
所以当x∈[-4,0)时,y∈(0,16];
当x∈(-∞,-4)时,y∈(16,+∞).
如图所示,若x∈[t,+∞)时,函数f(x)的值域为(-∞,16],可得t∈[-4,2].
结合选项,可得可能的值为-3,-1,1.故选ABC.
13.-1 ∵f=ln=-1,
∴ff=f(-1)=-1.故答案为-1.
14.5 设仓库到车站距离为x千米,由题意得,y1=,y2=k2x,其中x>0,当x=10时,代入两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,可得k1=20,k2=,y1+y2=x≥2=8,当且仅当x,即x=5时,等号成立,故答案为5.
15.-2 ∵f(x)=μ+=μ+λex+,
若λ<0,则函数y=f(x)无最小值,不符合题意;
若λ>0,则函数y=f(x)无最大值,不符合题意.
所以λ=0,则f(x)=μ+,
则f(x)+f(-x)=μ++μ+=2μ,
所以函数y=f(x)的图像关于点(0,μ)对称,则f(x)max+f(x)min=4=2μ,则μ=2,因此λ-μ=-2.故答案为-2.
16.-4 0, f(x)=lnx在[1,e]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=ln1=0.
当x∈[-1,1)时,f(x)=2x3-3x2+1,令f'(x)=6x2-6x=0,解得x=1(舍去)或x=0,则有f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
因为f(-1)=-2-3+1=-4令t=f(x),g(x)=0,即t2-t=-a,作出函数y=f(x)的图像,如图所示,
直线y=t与函数y=f(x)的图像最多只有三个交点,所以0因为y=t2-t=t-2-,根据y=t2-t的图像可知,-<-a<0,即017.解 (1)由
得解得m=-1,a=2,故函数解析式为f(x)=-1+lg2x(x>0).
(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+lg2x)-[-1+lg2(x-1)]=lg2-1(x>1).
=(x-1)++2≥2+2=4,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.
令t=,t≥4,因为函数y=lg2t在[4,+∞)上单调递增,则lg2-1≥lg24-1=1,故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.
18.解 (1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上单调递增,故解得
(2)由已知可得f(x)=x+-2,所以f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解可化为2x+-2≥k·2x在x∈[-1,1]上有解,
化为1+2-2k在x∈[-1,1]上有解,令t=,则k≤t2-2t+1在t∈,2上有解.
记h(t)=t2-2t+1,则h(t)max=h(2)=1.
故k的取值范围是(-∞,1].
19.解 (1)当0当x≥80,x∈N时,L(x)=-51x-+1450-250=1200-x+.
∴L(x)=
(2)当0当x≥80,x∈N时,L(x)=1200-x+≤1200-2=1200-200=1000,当且仅当x=,即x=100时,等号成立,
∴L(x)取得最大值L(100)=1000>950.
综上所述,当x=100时,L(x)取得最大值1000,
即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
20.解 (1)由题意知p(x)=f(x)g(x)=41+(104-|x-23|)(1≤x≤30,x∈N*).
(2)p(x)=
①当1≤x≤23时,
p(x)=41+(81+x)=482+x+≥482+2=400,
当且仅当x=,即x=9时,等号成立.
故p(x)取得最小值400.
②当23设h(x)=-x,则有h'(x)=--1<0,故h(x)在(23,30]上单调递减,则p(x)在(23,30]上也单调递减,
所以当x=30时,p(x)min=4×126+-30=400>400.
所以最低日收益为400万元.
则两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%=648>600,所以600万元的投资可以在两年内收回.
21.解 (1)设f(x)=a(a>0).因为f(1)=0,所以(a-1)=0.
又因为t≠0,所以a=1,
所以f(x)=(t≠0).
(2)因为f(x)=(t≠0),所以当<-1,即t<-4时,f(x)在上的最小值f(x)min=f(-1)==-5,所以t=-;
当-1,即-4≤t≤-1时,f(x)在上的最小值f(x)min=f=-=-5,
所以t=±2(舍去);
当,即t>-1时,f(x)在上的最小值f(x)min=f=-5,所以t=-(舍去).综上所述,t=-
22.解 (1)由x+-2>0,得>0.因为x>0,所以x2-2x+a>0.
当a>1时,x2-2x+a>0恒成立,
函数f(x)的定义域为(0,+∞);
当a=1时,函数f(x)的定义域为{x|x>0,且x≠1};
当01+}.
(2)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,
即x+-2>1对x∈[2,+∞)恒成立,故a>3x-x2对x∈[2,+∞)恒成立.
令h(x)=3x-x2,h(x)=3x-x2=-在[2,+∞)上单调递减,于是h(x)max=h(2)=2.故a>2,
即a的取值范围是{a|a>2}.