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高考数学一轮复习单元质检卷四三角函数解三角形含解析新人教A版
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这是一份高考数学一轮复习单元质检卷四三角函数解三角形含解析新人教A版，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元质检卷四 三角函数、解三角形
(时间:100分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2020北京延庆一模,5)下列函数中最小正周期为π的函数是( )
A.y=sin x B.y=cos12x
C.y=tan 2x D.y=|sin x|
2.若f(x)=3cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,则|φ|的最小值为( )
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
3.(2020湖南郴州二模,文6)某画家对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数据:AB=6 cm,BC=6 cm,AC=10.392 cm其中32≈0.866.根据测量得到的结果推算,将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于( )
A.π3 B.π4 C.π2 D.2π3
4.(2020天津和平一模,6)已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x+1,给出下列四个结论,其中正确的结论是( )
A.函数f(x)的最小正周期是2π
B.函数f(x)在区间π8,5π8上单调递减
C.函数f(x)的图象关于x=π16对称
D.函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x的图象向左平移π4个单位长度得到
5.(2019全国3,文5)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.(2020湖南郴州二模,文9)函数y=f(x)在区间-π2,π2上的大致图象如图所示,则f(x)可能是( )
A.f(x)=ln|sin x|
B.f(x)=ln(cos x)
C.f(x)=-sin|tan x|
D.f(x)=-tan|cos x|
7.(2020北京密云一模,8)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递增区间为( )
A.-54+kπ,-14+kπ,k∈Z
B.-54+2kπ,-14+2kπ,k∈Z
C.-54+k,-14+k,k∈Z
D.-54+2k,-14+2k,k∈Z
8.(2020河北5月模拟,理10)已知x0是函数f(x)=2sin xcos x+23sin2x-3,x∈-π4,π4的极小值点,则f(x0)+f(2x0)的值为( )
A.0 B.-3
C.-2-3 D.-2+3
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.(2020山东济宁5月模拟,11)已知函数f(x)=cos2x-π3-2sinx+π4cosx+π4(x∈R),现给出下列四个命题,其中正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)在-π4,π4上单调递增
D.将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=sin 2x
10.在△ABC中,下列命题正确的有( )
A.若A=30°,b=4,a=5,则△ABC有两解
B.若0
D.若a-b=c·cos B-c·cos A,则△ABC是等腰三角形或直角三角形
11.(2020山东潍坊二模,11)在单位圆O:x2+y2=1上任取一点P(x,y),圆O与x轴正向的交点是A,设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为θ,记x,y关于θ的表达式分别为x=f(θ),y=g(θ),则下列说法正确的是( )
A.x=f(θ)是偶函数,y=g(θ)是奇函数
B.x=f(θ)在-π2,π2上单调递增,y=g(θ)在-π2,π2上单调递减
C.f(θ)+g(θ)≥1对于θ∈0,π2恒成立
D.函数t=2f(θ)+g(2θ)的最大值为332
12.(2020山东济宁6月模拟,11)已知函数f(x)=sin[cos x]+cos[sin x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数,下列关于f(x)的结论正确的是( )
A.fπ2=cos 1
B.f(x)的一个周期是2π
C.f(x)在(0,π)内单调递减
D.f(x)的最大值大于2
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2020山东烟台一模,13)已知tan α=2,则cos2α+π2= .
14.(2020山东德州二模,15)已知函数f(x)=2cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移π3个单位长度后,与数学模型函数y=2sin 2x图象重合,则φ= ,若函数f(x)在区间[-a,a]上单调递减,则a的最大值是 .
15.(2021届河北衡水中学模拟一,理15)函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度得到函数y=g(x)的图象,且f(x)与g(x)的图象关于点π3,0对称,那么ω的最小值为 .
16.(2020新高考全国1,15)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=35,BH∥DG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知函数f(x)=cos2x+3sin(π-x)cos(π+x)-12.
(1)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递减区间;
(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=-1,a=2,bsin C=asin A,求△ABC的面积.
18.(12分)(2020山东济宁6月模拟,17)如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD, ,DC=2.
在下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答.
①3AB=4BC,sin∠ACB=23;
②tan∠BAC+π6=3;
③2BCcos∠ACB=2AC-3AB.
(1)求∠DAC的大小;
(2)求△ADC面积的最大值.
19.
(12分)(2020山东淄博4月模拟,18)已知点A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,∠MCN=2π3,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c依次成等差数列,且公差为2,求c的值;
(2)若c=3,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长,并求周长的最大值.
20.
(12分)(2020山东济南一模,18)如图,平面四边形ABCD,点B,C,D均在半径为533的圆上,且∠BCD=π3.
(1)求BD的长度;
(2)若AD=3,∠ADB=2∠ABD,求△ABD的面积.
21.(12分)
如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口H是AB的中点,EF分别落在线段BC,AD上,已知AB=20米,AD=103米,记∠BHE=θ.
(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;
(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.
22.(12分)(2020湖南师大附中一模,理17)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin(A+B-C)=csin(B+C).
(1)求角C的值;
(2)若2a+b=6,且△ABC的面积为3,求△ABC的周长.
参考答案
单元质检卷四 三角函数、解三角形
1.D A选项的最小正周期为T=2π1=2π;B选项的最小正周期为T=2π12=4π;C选项的最小正周期为T=π2;D选项,由其图象可知最小正周期为π.故选D.
2.A 由于函数f(x)=3cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,所以f4π3=0,即2×4π3+φ=kπ+π2,φ=kπ-13π6(k∈Z).所以|φ|min=π6.
3.A 依题意AB=BC=6,设∠ABC=2θ,则sinθ=5.1966=0.866≈32,则θ≈π3,2θ≈2π3.设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α,又A,C都是圆弧对应圆的切点,设圆的圆心为O,则OA⊥AB,OC⊥BC,∠AOC=α,所以α+2θ=π,则α≈π3,故选A.
4.B 函数f(x)=sin2x-2sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin2x+π4,T=2π2=π,故A不正确;由π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z,解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ,k∈Z,令k=0,则π8≤x≤5π8,故函数f(x)在区间π8,5π8上单调递减,故B正确;x=π16时,y=2sin2×π16+π4≠±2,故C不正确;由函数y=2sin2x的图象向左平移π4个单位长度得到函数f(x)=2sin2x+π2,所以D不正确.故选B.
5.B 由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)=0,得sinx=0或cosx=1.∵x∈[0,2π],∴x=0或x=π或x=2π.故f(x)在区间[0,2π]上的零点个数是3.故选B.
6.B 当x=0时,sin0=0,ln|sin0|无意义,故排除A;又cos0=1,则f(0)=-tan|cos0|=-tan1≠0,故排除D;对于C,当x∈0,π2时,|tanx|∈(0,+∞),所以f(x)=-sin|tanx|不单调,故排除C.故选B.
7.D 由图象知T2=54-14=1,所以T=2,ω=2π2=π,又图象过点34,-1,所以-1=sin3π4+φ,且|φ|<π,故φ=3π4,所以f(x)=sinπx+3π4,令2kπ-π2≤πx+3π4≤2kπ+π2,k∈Z,解得2k-54≤x≤2k-14,k∈Z,则f(x)的单调递增区间为-54+2k,-14+2k,k∈Z,故选D.
8.C f(x)=2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x-3cos2x=2sin2x-π3,∵x0为极小值点,∴f(x0)=-2,即sin2x0-π3=-1,∴2x0-π3=-π2+2kπ,k∈Z,即x0=-π12+kπ,k∈Z.∵x0∈-π4,π4,∴x0=-π12,f(2x0)=f-π6=2sin-π3-π3=-3,
∴f(x0)+f(2x0)=-2-3,故选C.
9.BD f(x)=cos2x-π3-sin2x+π2=32sin2x-12cos2x=sin2x-π6,所以函数f(x)的最小正周期为π,最大值为1,故A不正确,B正确;当x∈-π4,π4时,2x-π6∈-2π3,π3,函数y=sin2x-π6在此区间不单调,故C错误;当将函数f(x)的图象向左平移π12单位长度,得到的函数解析式为g(x)=fx+π12=sin2x,故D正确.故选BD.
10.BCD 因为A=30°,b=4,a=5,所以由正弦定理得sinB=bsinAa=25,b0,即cos(A+B)>0,所以A+B<π2.所以C=π-A-B>π2.则△ABC一定是钝角三角形,故B正确;因为cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,所以cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C=60°,故C正确;因为a-b=c·cosB-c·cosA,所以sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,所以sinA-sinCcosB=sinB-sinCcosA.又因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinBcosC=sinAcosC,所以sinA=sinB或cosC=0,所以A=B或C=π2,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形,故D正确.故选BCD.
11.ACD 由题意,得x=f(θ)=cosθ,y=g(θ)=sinθ,由正弦、余弦函数的奇偶性,知选项A正确;由正弦、余弦函数的单调性,知选项B错误;f(θ)+g(θ)≥1,即sinθ+cosθ≥1,由正弦、余弦函数在第一象限的三角函数值,知选项C正确;函数t=2f(θ)+g(2θ)=2cosθ+sin2θ,θ∈[0,2π],则t'=-2sinθ+2cos2θ=-2sinθ+2(1-2sin2θ)=-2(2sinθ-1)(sinθ+1),令t'>0,则-1
∵f(x+2π)=sin[cos(x+2π)]+cos[sin(x+2π)]=sin[cosx]+cos[sinx]=f(x),∴f(x)的一个周期是2π,故B正确;
当x∈0,π2时,0
∵f(0)=sin[cos0]+cos[sin0]=sin1+cos0=sin1+1>22+1>2,故D正确.
13.-45 cos2α+π2=-sin2α
=-2sinαcosα=-2sinαcosαsin2α+cos2α
=-2tanαtan2α+1=-44+1=-45.
14.π6 π12 函数f(x)=2cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移π3个单位后得到y=2cos2x-π3+φ,
由于-π≤φ≤π,所以当φ=π6时,与函数y=2sin2x图象重合,
所以f(x)=2cos2x+π6.
令2kπ≤2x+π6≤2kπ+π(k∈Z),
解得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,
由于函数f(x)在区间[-a,a]上单调递减,
所以kπ-π12≤-a≤x≤a≤kπ+5π12(k∈Z),当k=0时,a≤5π12,a≤π12,
所以a的最大值为π12.
15.6 由题意,得g(x)=sinωx-π3(ω>0),
由f(x)与g(x)的图象关于点π3,0对称,得g(x)=-f2π3-x,
即sinωx-ωπ3=sinωx-2ωπ3(ω>0)恒成立,所以ωx-ωπ3=2kπ+ωx-2ωπ3或ωx-ωπ3=2kπ+π-ωx+2ωπ3(ω>0)恒成立,即ωπ3=2kπ或2ωx=2kπ+π+ωπ(ω>0)恒成立,
因为2ωx=2kπ+π+ωπ不恒成立,
所以ωπ3=2kπ,k∈Z,所以正数ω的最小值为6.
16.52π+4 作OM⊥CG交CG于点M,AP⊥OH交OH于点P,AQ⊥CG交CG于点Q,图略.
设OM=3x,则DM=5x,∴OP=MQ=7-5x,∴AP=7-2-3x=5-3x,
∴tan∠AOP=APOP=5-3x7-5x.
又∵∠AOP=∠HAP,
∴tan∠HAP=QGAQ=12-77-2=1=tan∠AOP,∴5-3x7-5x=1,解得x=1.
∴∠AOP=π4,AP=2,∴OA=22,
∴S阴=S扇AOB+S△AOH-12×π×12=12×π-π4×(22)2+12×22×22-12π=3π+4-π2=52π+4.
17.解(1)f(x)=cos2x-3sinxcosx-12
=1+cos2x2-32sin2x-12
=-sin2x-π6,
令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z,
∵x∈[0,π],∴函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为0,π3和5π6,π.
(2)由(1)知f(x)=-sin2x-π6,∴f(A)=-sin2A-π6=-1,
∵△ABC为锐角三角形,∴0
∵bsinC=asinA,∴bc=a2=4,
∴S△ABC=12bcsinA=3.
18.解若选①:
(1)在△ABC中由正弦定理可得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,
又3AB=4BC,sin∠ACB=23,可得sin∠BAC=12,∴∠BAC=π6.
又AB⊥AD,∴∠BAD=π2,
∴∠DAC=π3.
(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,
故S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×32=3.
当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为3.
若选②:
(1)由tan∠BAC+π6=3,
可得∠BAC=π6,
又AB⊥AD,∴∠BAD=π2,
∴∠DAC=π3.
(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,
故S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×32=3.
当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为3.
若选③:
(1)2BCcos∠ACB=2AC-3AB,由正弦定理得
2sin∠BACcos∠ACB=2sin∠ABC-3sin∠ACB,
2sin∠BACcos∠ACB=2sin(∠ACB+∠BAC)-3sin∠ACB,
可得cos∠BAC=32,
∴∠BAC=π6.
又AB⊥AD,∴∠BAD=π2,
∴∠DAC=π3.
(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,
故S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×32=3.当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为3.
19.解(1)∵a,b,c依次成等差数列,且公差为2,∴a=c-4,b=c-2,
又∠MCN=2π3,即cosC=-12,
由余弦定理可得a2+b2-c22ab=-12,
将a=c-4,b=c-2代入,得c2-9c+14=0,解得c=7或c=2.
又c>4,∴c=7.
(2)在△ABC中,由正弦定理可得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC=ABsin∠ACB,
∴ACsinθ=BCsinπ3-θ=3sin2π3,
即AC=2sinθ,BC=2sinπ3-θ.
∴△ABC的周长f(θ)=|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sinπ3-θ+3
=212sinθ+32cosθ+3
=2sinθ+π3+3.
又θ∈0,π3,
∴π3<θ+π3<2π3,当θ+π3=π2,即θ=π6时,f(θ)取得最大值2+3.
20.解(1)由题意可知,△BCD的外接圆半径为533,由正弦定理BDsin∠BCD=2R=533×2,解得BD=5.
(2)(方法1)在△ABD中,设∠ABD=α,α为锐角,则∠ADB=2α,
因为ABsin2α=ADsinα,
所以AB2sinαcosα=3sinα,
所以AB=6cosα.
因为AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosα,即9=36cos2α+25-60cos2α,
所以cosα=63.
则AB=6cosα=26,sinα=33,
所以S△ABD=12AB·BD·sinα=52.
(方法2)在△ABD中,因为∠ADB=2∠ABD,
所以sin∠ADB=sin2∠ABD
=2sin∠ABDcos∠ABD,
所以AB=2AD·cos∠ABD=2AD·AB2+BD2-AD22AB·BD,
因为BD=5,AD=3,所以AB=26,
所以cos∠ABD=63,则sin∠ABD=33,所以S△ABD=12AB·BD·sin∠ABD=52.
21.解(1)由题意可得EH=10cosθ,FH=10sinθ,EF=EH2+FH2=10sinθcosθ,
由于BE=10tanθ≤103,AF=10tanθ≤103,
所以33≤tanθ≤3,故θ∈π6,π3,
所以L=10cosθ+10sinθ+10sinθcosθ=10×sinθ+cosθ+1sinθcosθ,θ∈π6,π3.
(2)设sinθ+cosθ=t,则sinθcosθ=t2-12,由于θ∈π6,π3,
所以t=2sinθ+π4∈3+12,2,L=10×sinθ+cosθ+1sinθcosθ=20(t+1)t2-1=20t-1.
由于L=20t-1在区间3+12,2上单调递减,
故当t=3+12,即θ=π6或θ=π3时,L取得最大值为20(3+1)米.
22.解(1)因为asin(A+B-C)=csin(B+C),由正弦定理得sinAsin(π-2C)=sinCsin(π-A)=sinCsinA,
因为sinA≠0,所以sin(π-2C)=sinC,
即sin2C=2sinCcosC=sinC.
因为sinC≠0,所以cosC=12.
因为0
因为2a+b=6,所以2a+4a=6,解得a=1或2.
当a=1时,b=4,c2=a2+b2-2abcosC=13,c=13,所以周长为5+13.
当a=2时,b=2,c2=a2+b2-2abcosC=4,c=2,所以周长为6.
综上,△ABC的周长为6或5+13.
单元质检卷四 三角函数、解三角形
(时间:100分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2020北京延庆一模,5)下列函数中最小正周期为π的函数是( )
A.y=sin x B.y=cos12x
C.y=tan 2x D.y=|sin x|
2.若f(x)=3cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,则|φ|的最小值为( )
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
3.(2020湖南郴州二模,文6)某画家对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数据:AB=6 cm,BC=6 cm,AC=10.392 cm其中32≈0.866.根据测量得到的结果推算,将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于( )
A.π3 B.π4 C.π2 D.2π3
4.(2020天津和平一模,6)已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x+1,给出下列四个结论,其中正确的结论是( )
A.函数f(x)的最小正周期是2π
B.函数f(x)在区间π8,5π8上单调递减
C.函数f(x)的图象关于x=π16对称
D.函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x的图象向左平移π4个单位长度得到
5.(2019全国3,文5)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.(2020湖南郴州二模,文9)函数y=f(x)在区间-π2,π2上的大致图象如图所示,则f(x)可能是( )
A.f(x)=ln|sin x|
B.f(x)=ln(cos x)
C.f(x)=-sin|tan x|
D.f(x)=-tan|cos x|
7.(2020北京密云一模,8)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递增区间为( )
A.-54+kπ,-14+kπ,k∈Z
B.-54+2kπ,-14+2kπ,k∈Z
C.-54+k,-14+k,k∈Z
D.-54+2k,-14+2k,k∈Z
8.(2020河北5月模拟,理10)已知x0是函数f(x)=2sin xcos x+23sin2x-3,x∈-π4,π4的极小值点,则f(x0)+f(2x0)的值为( )
A.0 B.-3
C.-2-3 D.-2+3
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.(2020山东济宁5月模拟,11)已知函数f(x)=cos2x-π3-2sinx+π4cosx+π4(x∈R),现给出下列四个命题,其中正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)在-π4,π4上单调递增
D.将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=sin 2x
10.在△ABC中,下列命题正确的有( )
A.若A=30°,b=4,a=5,则△ABC有两解
B.若0
D.若a-b=c·cos B-c·cos A,则△ABC是等腰三角形或直角三角形
11.(2020山东潍坊二模,11)在单位圆O:x2+y2=1上任取一点P(x,y),圆O与x轴正向的交点是A,设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为θ,记x,y关于θ的表达式分别为x=f(θ),y=g(θ),则下列说法正确的是( )
A.x=f(θ)是偶函数,y=g(θ)是奇函数
B.x=f(θ)在-π2,π2上单调递增,y=g(θ)在-π2,π2上单调递减
C.f(θ)+g(θ)≥1对于θ∈0,π2恒成立
D.函数t=2f(θ)+g(2θ)的最大值为332
12.(2020山东济宁6月模拟,11)已知函数f(x)=sin[cos x]+cos[sin x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数,下列关于f(x)的结论正确的是( )
A.fπ2=cos 1
B.f(x)的一个周期是2π
C.f(x)在(0,π)内单调递减
D.f(x)的最大值大于2
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2020山东烟台一模,13)已知tan α=2,则cos2α+π2= .
14.(2020山东德州二模,15)已知函数f(x)=2cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移π3个单位长度后,与数学模型函数y=2sin 2x图象重合,则φ= ,若函数f(x)在区间[-a,a]上单调递减,则a的最大值是 .
15.(2021届河北衡水中学模拟一,理15)函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度得到函数y=g(x)的图象,且f(x)与g(x)的图象关于点π3,0对称,那么ω的最小值为 .
16.(2020新高考全国1,15)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=35,BH∥DG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知函数f(x)=cos2x+3sin(π-x)cos(π+x)-12.
(1)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递减区间;
(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=-1,a=2,bsin C=asin A,求△ABC的面积.
18.(12分)(2020山东济宁6月模拟,17)如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD, ,DC=2.
在下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答.
①3AB=4BC,sin∠ACB=23;
②tan∠BAC+π6=3;
③2BCcos∠ACB=2AC-3AB.
(1)求∠DAC的大小;
(2)求△ADC面积的最大值.
19.
(12分)(2020山东淄博4月模拟,18)已知点A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,∠MCN=2π3,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c依次成等差数列,且公差为2,求c的值;
(2)若c=3,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长,并求周长的最大值.
20.
(12分)(2020山东济南一模,18)如图,平面四边形ABCD,点B,C,D均在半径为533的圆上,且∠BCD=π3.
(1)求BD的长度;
(2)若AD=3,∠ADB=2∠ABD,求△ABD的面积.
21.(12分)
如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口H是AB的中点,EF分别落在线段BC,AD上,已知AB=20米,AD=103米,记∠BHE=θ.
(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;
(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.
22.(12分)(2020湖南师大附中一模,理17)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin(A+B-C)=csin(B+C).
(1)求角C的值;
(2)若2a+b=6,且△ABC的面积为3,求△ABC的周长.
参考答案
单元质检卷四 三角函数、解三角形
1.D A选项的最小正周期为T=2π1=2π;B选项的最小正周期为T=2π12=4π;C选项的最小正周期为T=π2;D选项,由其图象可知最小正周期为π.故选D.
2.A 由于函数f(x)=3cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,所以f4π3=0,即2×4π3+φ=kπ+π2,φ=kπ-13π6(k∈Z).所以|φ|min=π6.
3.A 依题意AB=BC=6,设∠ABC=2θ,则sinθ=5.1966=0.866≈32,则θ≈π3,2θ≈2π3.设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α,又A,C都是圆弧对应圆的切点,设圆的圆心为O,则OA⊥AB,OC⊥BC,∠AOC=α,所以α+2θ=π,则α≈π3,故选A.
4.B 函数f(x)=sin2x-2sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin2x+π4,T=2π2=π,故A不正确;由π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z,解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ,k∈Z,令k=0,则π8≤x≤5π8,故函数f(x)在区间π8,5π8上单调递减,故B正确;x=π16时,y=2sin2×π16+π4≠±2,故C不正确;由函数y=2sin2x的图象向左平移π4个单位长度得到函数f(x)=2sin2x+π2,所以D不正确.故选B.
5.B 由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)=0,得sinx=0或cosx=1.∵x∈[0,2π],∴x=0或x=π或x=2π.故f(x)在区间[0,2π]上的零点个数是3.故选B.
6.B 当x=0时,sin0=0,ln|sin0|无意义,故排除A;又cos0=1,则f(0)=-tan|cos0|=-tan1≠0,故排除D;对于C,当x∈0,π2时,|tanx|∈(0,+∞),所以f(x)=-sin|tanx|不单调,故排除C.故选B.
7.D 由图象知T2=54-14=1,所以T=2,ω=2π2=π,又图象过点34,-1,所以-1=sin3π4+φ,且|φ|<π,故φ=3π4,所以f(x)=sinπx+3π4,令2kπ-π2≤πx+3π4≤2kπ+π2,k∈Z,解得2k-54≤x≤2k-14,k∈Z,则f(x)的单调递增区间为-54+2k,-14+2k,k∈Z,故选D.
8.C f(x)=2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x-3cos2x=2sin2x-π3,∵x0为极小值点,∴f(x0)=-2,即sin2x0-π3=-1,∴2x0-π3=-π2+2kπ,k∈Z,即x0=-π12+kπ,k∈Z.∵x0∈-π4,π4,∴x0=-π12,f(2x0)=f-π6=2sin-π3-π3=-3,
∴f(x0)+f(2x0)=-2-3,故选C.
9.BD f(x)=cos2x-π3-sin2x+π2=32sin2x-12cos2x=sin2x-π6,所以函数f(x)的最小正周期为π,最大值为1,故A不正确,B正确;当x∈-π4,π4时,2x-π6∈-2π3,π3,函数y=sin2x-π6在此区间不单调,故C错误;当将函数f(x)的图象向左平移π12单位长度,得到的函数解析式为g(x)=fx+π12=sin2x,故D正确.故选BD.
10.BCD 因为A=30°,b=4,a=5,所以由正弦定理得sinB=bsinAa=25,b
11.ACD 由题意,得x=f(θ)=cosθ,y=g(θ)=sinθ,由正弦、余弦函数的奇偶性,知选项A正确;由正弦、余弦函数的单调性,知选项B错误;f(θ)+g(θ)≥1,即sinθ+cosθ≥1,由正弦、余弦函数在第一象限的三角函数值,知选项C正确;函数t=2f(θ)+g(2θ)=2cosθ+sin2θ,θ∈[0,2π],则t'=-2sinθ+2cos2θ=-2sinθ+2(1-2sin2θ)=-2(2sinθ-1)(sinθ+1),令t'>0,则-1
∵f(x+2π)=sin[cos(x+2π)]+cos[sin(x+2π)]=sin[cosx]+cos[sinx]=f(x),∴f(x)的一个周期是2π,故B正确;
当x∈0,π2时,0
∵f(0)=sin[cos0]+cos[sin0]=sin1+cos0=sin1+1>22+1>2,故D正确.
13.-45 cos2α+π2=-sin2α
=-2sinαcosα=-2sinαcosαsin2α+cos2α
=-2tanαtan2α+1=-44+1=-45.
14.π6 π12 函数f(x)=2cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移π3个单位后得到y=2cos2x-π3+φ,
由于-π≤φ≤π,所以当φ=π6时,与函数y=2sin2x图象重合,
所以f(x)=2cos2x+π6.
令2kπ≤2x+π6≤2kπ+π(k∈Z),
解得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,
由于函数f(x)在区间[-a,a]上单调递减,
所以kπ-π12≤-a≤x≤a≤kπ+5π12(k∈Z),当k=0时,a≤5π12,a≤π12,
所以a的最大值为π12.
15.6 由题意,得g(x)=sinωx-π3(ω>0),
由f(x)与g(x)的图象关于点π3,0对称,得g(x)=-f2π3-x,
即sinωx-ωπ3=sinωx-2ωπ3(ω>0)恒成立,所以ωx-ωπ3=2kπ+ωx-2ωπ3或ωx-ωπ3=2kπ+π-ωx+2ωπ3(ω>0)恒成立,即ωπ3=2kπ或2ωx=2kπ+π+ωπ(ω>0)恒成立,
因为2ωx=2kπ+π+ωπ不恒成立,
所以ωπ3=2kπ,k∈Z,所以正数ω的最小值为6.
16.52π+4 作OM⊥CG交CG于点M,AP⊥OH交OH于点P,AQ⊥CG交CG于点Q,图略.
设OM=3x,则DM=5x,∴OP=MQ=7-5x,∴AP=7-2-3x=5-3x,
∴tan∠AOP=APOP=5-3x7-5x.
又∵∠AOP=∠HAP,
∴tan∠HAP=QGAQ=12-77-2=1=tan∠AOP,∴5-3x7-5x=1,解得x=1.
∴∠AOP=π4,AP=2,∴OA=22,
∴S阴=S扇AOB+S△AOH-12×π×12=12×π-π4×(22)2+12×22×22-12π=3π+4-π2=52π+4.
17.解(1)f(x)=cos2x-3sinxcosx-12
=1+cos2x2-32sin2x-12
=-sin2x-π6,
令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z,
∵x∈[0,π],∴函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为0,π3和5π6,π.
(2)由(1)知f(x)=-sin2x-π6,∴f(A)=-sin2A-π6=-1,
∵△ABC为锐角三角形,∴0
∵bsinC=asinA,∴bc=a2=4,
∴S△ABC=12bcsinA=3.
18.解若选①:
(1)在△ABC中由正弦定理可得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,
又3AB=4BC,sin∠ACB=23,可得sin∠BAC=12,∴∠BAC=π6.
又AB⊥AD,∴∠BAD=π2,
∴∠DAC=π3.
(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,
故S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×32=3.
当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为3.
若选②:
(1)由tan∠BAC+π6=3,
可得∠BAC=π6,
又AB⊥AD,∴∠BAD=π2,
∴∠DAC=π3.
(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,
故S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×32=3.
当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为3.
若选③:
(1)2BCcos∠ACB=2AC-3AB,由正弦定理得
2sin∠BACcos∠ACB=2sin∠ABC-3sin∠ACB,
2sin∠BACcos∠ACB=2sin(∠ACB+∠BAC)-3sin∠ACB,
可得cos∠BAC=32,
∴∠BAC=π6.
又AB⊥AD,∴∠BAD=π2,
∴∠DAC=π3.
(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,
故S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×32=3.当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为3.
19.解(1)∵a,b,c依次成等差数列,且公差为2,∴a=c-4,b=c-2,
又∠MCN=2π3,即cosC=-12,
由余弦定理可得a2+b2-c22ab=-12,
将a=c-4,b=c-2代入,得c2-9c+14=0,解得c=7或c=2.
又c>4,∴c=7.
(2)在△ABC中,由正弦定理可得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC=ABsin∠ACB,
∴ACsinθ=BCsinπ3-θ=3sin2π3,
即AC=2sinθ,BC=2sinπ3-θ.
∴△ABC的周长f(θ)=|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sinπ3-θ+3
=212sinθ+32cosθ+3
=2sinθ+π3+3.
又θ∈0,π3,
∴π3<θ+π3<2π3,当θ+π3=π2,即θ=π6时,f(θ)取得最大值2+3.
20.解(1)由题意可知,△BCD的外接圆半径为533,由正弦定理BDsin∠BCD=2R=533×2,解得BD=5.
(2)(方法1)在△ABD中,设∠ABD=α,α为锐角,则∠ADB=2α,
因为ABsin2α=ADsinα,
所以AB2sinαcosα=3sinα,
所以AB=6cosα.
因为AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosα,即9=36cos2α+25-60cos2α,
所以cosα=63.
则AB=6cosα=26,sinα=33,
所以S△ABD=12AB·BD·sinα=52.
(方法2)在△ABD中,因为∠ADB=2∠ABD,
所以sin∠ADB=sin2∠ABD
=2sin∠ABDcos∠ABD,
所以AB=2AD·cos∠ABD=2AD·AB2+BD2-AD22AB·BD,
因为BD=5,AD=3,所以AB=26,
所以cos∠ABD=63,则sin∠ABD=33,所以S△ABD=12AB·BD·sin∠ABD=52.
21.解(1)由题意可得EH=10cosθ,FH=10sinθ,EF=EH2+FH2=10sinθcosθ,
由于BE=10tanθ≤103,AF=10tanθ≤103,
所以33≤tanθ≤3,故θ∈π6,π3,
所以L=10cosθ+10sinθ+10sinθcosθ=10×sinθ+cosθ+1sinθcosθ,θ∈π6,π3.
(2)设sinθ+cosθ=t,则sinθcosθ=t2-12,由于θ∈π6,π3,
所以t=2sinθ+π4∈3+12,2,L=10×sinθ+cosθ+1sinθcosθ=20(t+1)t2-1=20t-1.
由于L=20t-1在区间3+12,2上单调递减,
故当t=3+12,即θ=π6或θ=π3时,L取得最大值为20(3+1)米.
22.解(1)因为asin(A+B-C)=csin(B+C),由正弦定理得sinAsin(π-2C)=sinCsin(π-A)=sinCsinA,
因为sinA≠0,所以sin(π-2C)=sinC,
即sin2C=2sinCcosC=sinC.
因为sinC≠0,所以cosC=12.
因为0
因为2a+b=6,所以2a+4a=6,解得a=1或2.
当a=1时,b=4,c2=a2+b2-2abcosC=13,c=13,所以周长为5+13.
当a=2时,b=2,c2=a2+b2-2abcosC=4,c=2,所以周长为6.
综上,△ABC的周长为6或5+13.
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