2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第48讲椭圆及其性质（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第48讲椭圆及其性质（学生版），共4页。试卷主要包含了椭圆的定义，椭圆的标准方程，椭圆的几何性质等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
3．椭圆的几何性质
题型归纳
题型1 椭圆的定义及其应用
【例1-1】已知F1（﹣3，0），F2（3，0）动点M满足|MF1|+|MF2|＝10，则动点M的轨迹方程 ．
【例1-2】设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 ．
【跟踪训练1-1】已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A．（x≠0）B．（x≠0）
C．（x≠0）D．（x≠0）
【跟踪训练1-2】已知椭圆+＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为 ．
【名师指导】
椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
题型2 椭圆的标准方程
【例2-1】如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为 ．
【例2-2】过点（，﹣），且与椭圆+＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程 ．
【例2-3】椭圆以坐标轴为对称轴，经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【跟踪训练2-1】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【跟踪训练2-2】若直线x﹣2y+2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．+y2＝1B．+＝1
C．+y2＝1或+＝1D．以上答案都不对
【跟踪训练2-3】经过两点A（0，2）、B（，）的椭圆的标准方程为 ．
【名师指导】
根据条件求椭圆方程的2种方法
题型3 椭圆的几何性质
【例3-1】已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于△PF1F2，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】已知F1，F2椭圆的左右焦点，|F1F2|＝4，点在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．5D．
【跟踪训练3-1】已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，点M在C外，＝3，经过M的直线l与C的一个交点为N，△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形，则C的离心率为（ ）
A．B．C．﹣1D．
【跟踪训练3-2】设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，则椭圆C离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【跟踪训练3-3】已知P是椭圆上一动点，A（﹣2，1），B（2，1），则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【名师指导】
一、求椭圆离心率的三种方法
1．直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
2．构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
3．通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
二、与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
1．利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
2．利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
3．利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
4．利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围．标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
对称性
关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标
(a,0)，(－a,0)，
(0，b)，(0，－b)
(b,0)，(－b,0)，
(0，a)，(0，－a)
焦点坐标
(c,0)，(－c,0)
(0，c)，(0，－c)
半轴长
长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b
离心率
e＝eq \f(c,a)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程
待定系数法
待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可