数学必修 第一册8.1 二分法与求方程近似解课前预习课件ppt

8.1　二分法与求方程近似解

8.1.1　函数的零点

解方程的历史

方程解法时间图·东方

方程解法时间图·西方

知识点1　函数的零点的定义

一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．

1.函数的零点是点吗？

[提示]　不是，函数的零点是实数．

知识点2　方程、函数、图象之间的关系

(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解．

(2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．

2.函数的零点是函数与x轴的交点吗？

[提示]　不是，函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．

1.函数f(x)＝2x－4的零点是________．

2　[由2x－4＝0得x＝2，所以2是函数f(x)的零点．]

知识点3　零点存在定理

若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．

2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任何函数都有零点．(　　)

(2)任意两个零点之间函数值保持同号．(　　)

(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(　　)

[提示]　(1)可举反例f(x)＝x2＋1无零点．

(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点，即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间函数值有正有负或零．

(3)举例f(x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f(x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f(2)·f(－2)>0.

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

类型1　求函数的零点

【例1】　求下列函数的零点．

(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－log4x；

(4)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．

[解]　(1)∵f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令f(x)＝0，得x＝0,1，－1，故f(x)的零点为x＝－1，0,1.

(2)令f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3，

故f(x)的零点为x＝3.

(3)令f(x)＝1－log4 x＝0，∴log4 x＝1，∴x＝4.

故f(x)的零点为x＝4.

(4)当a＝0时，函数为f(x)＝－x＋2，

令f(x)＝0，得x＝2.

∴f(x)的零点为2.

当a＝时，f(x)＝(x－2)＝(x－2)2，

令f(x)＝0，得x1＝x2＝2.

∴f(x)有零点2.

当a≠0且a≠时，令f(x)＝0，得x1＝，x2＝2.

∴f(x)的零点为，2.

综上，当a＝0时，f(x)的零点为2；当a＝时，函数的零点为2；当a≠0且a≠时，f(x)的零点为，2.

怎样求函数的零点？

[提示]　求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．

[跟进训练]

1．(1)求函数f(x)＝的零点；

(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．

[解]　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；

当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.

所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.

(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a.

故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．

令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，

解得x＝0或x＝－.

所以函数g(x)的零点为0和－.

类型2　函数零点的证明

【例2】　证明函数f(x)＝ln(x＋1)－在(1,2)上存在零点．

[证明]　因为f(1)＝ln 2－2<0，

f(2)＝ln 3－1>0，

且函数f(x)在区间(1,2)上的图象是不间断的，

所以函数f(x)＝ln(x＋1)－在(1,2)上存在零点．

若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．

[跟进训练]

2．证明f(x)＝x3＋3x－1在区间(0,1)上有零点．

[证明]　因为f(0)＝03＋3×0－1＝－1<0，

f(1)＝13＋3－1＝3>0，

且函数f(x)在区间(0,1)上的图象是不间断的，所以函数f(x)＝x3＋3x－1在(0,1)上有零点．

类型3　判断零点所在的区间

【例3】　(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：

不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是(　　)

A．(－3，－1)和(2,4)　　　 B．(－3，－1)和(－1,1)

C．(－1,1)和(1,2)   D．(－∞，－3)和(4，＋∞)

(2)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　)

A．(－2，－1)   B．(－1,0)

C．(0,1)   D．(1,2)

(1)A　(2)C　[(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2,4)内有根．故选A.

(2)法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，

∴f(x)在(0,1)内有零点．

法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)．

]

确定函数f(x)零点所在区间的常用方法

[跟进训练]

3．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋3)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________．(填序号)

①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．

③　[设f(x)＝ex－(x＋3)，由上表可知，f(－1)＝0.37－2<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2.72－4<0，f(2)＝7.40－5>0，f(3)＝20.12－6>0，∴f(1)·f(2)<0，

因此方程ex－(x＋3)＝0的根在(1,2)内．]

类型4　函数零点(方程不等实根)个数的判断

【例4】　(1)函数f(x)＝ex－3的零点个数为________．

(2)函数f(x)＝ln x－的零点个数是________．

(3)已知关于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，试讨论方程实数根的个数．

(1)1　(2)2　[(1)令f(x)＝0，∴ex－3＝0，∴x＝ln 3，故f(x)只有1个零点．

(2)在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝的图象，如图所示，函数y＝ln x与y＝的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－的零点个数为2.

]

(3)[解]　法一：原方程化为－x2＋5x－3＝a.

令f(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a.

作函数f(x)＝－x2＋5x－3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为＝，画出如图所示的简图：

由图象可以看出：

①当a＞时，方程没有实数根；

②当a＝时，方程有两个相等的实数根；

③当a＜时，方程有两个不相等的实数根．

法二：原方程化为x2－5x＋3＋a＝0.

Δ＝25－4(3＋a)＝－4a＋13.

①当Δ＜0，即a＞时，方程没有实数根；

②当Δ＝0，即a＝时，方程有两个相等的实数根；

③当Δ＞0，即a＜时，方程有两个不相等的实数根．

把本例(1)函数改为“y＝2x|logax|－1(0<a<1)”再判断其零点个数．

[解]　由2x|logax|－1＝0得|logax|＝x，作出y＝x及y＝|logax|(0<a<1)的图象如图所示，由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y＝2x|logax|－1有两个零点．

判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．

[跟进训练]

4．函数f(x)＝lg x－sin x的零点有i(i∈N*)个，记为xi，xi∈，k∈N*，则k构成的集合为____________．

{1,4,5}　[由f(x)＝lg x－sin x得lg x＝sin x，在同一坐标系中作出y＝lg x和y＝sin x的图象，如下图，

由图象知，函数f(x)＝lg x－sin x有三个零点x1∈，x2∈，x3∈，

因为xi∈，k∈N*，所以k＝1,4,5，所以k构成的集合为{1,4,5}．]

1．(多选题)下列图象表示的函数中有零点的是(　　)

BCD　[B、C、D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．]

2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是(　　)

A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,2)

C．(2,3)   D．(3,4)

B　[∵f(1)＝2－3＝－1<0，

f(2)＝22－3＝1>0，

∴f(1)·f(2)<0，即函数f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]

3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)

A．1　　　　　 B．2　　　　　

C．3 　　　　　 D．4

C　[因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3.

分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．

又根据对称性知，当x＜0时函数f(x)也有一个零点．

综上所述，f(x)的零点个数为3.应选C.]

4．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：

由表可知函数f(x)存在零点的区间有________个．

4　[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，f(6)·f(7)＜0，∴共有4个区间．]

5．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，实数a的取值范围为________．

　[由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，

即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.

所以实数a的取值范围是.]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．你认为函数零点存在定理中要注意哪些问题？

[提示]　(1)函数是连续的．(2)定理不可逆．(3)至少存在一个零点．

2．f(a)·f(b)<0是连续函数在区间(a，b)上存在零点的什么条件？f(a)·f(b)>0时在区间上一定没有零点吗？

[提示]　充分不必要条件．不一定，f(a)·f(b)>0时函数在区间(a，b)上可能有零点．