云南省昆明市云南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份云南省昆明市云南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了 “”是“直线与圆相交”的， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解即得.
【详解】由不等式，得，解得，
因此，而，
所以.
故选：C
2. 复数的虚部是实部的2倍，则实数（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法化简复数，再根据虚部与实部的关系得到方程，解得即可.
【详解】因为，
又的虚部是实部的倍，，解得.
故选：D.
3. 已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的焦点在轴上，焦距为4，结合a,b,c之间的关系以及离心率公式可得答案.
【详解】由题得，即，
由焦距为4得，解得，
可得椭圆方程为，所以，，
所以离心率为.
故选：B.
4. 经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）条.
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】讨论直线在两坐标轴上的截距是否为0，结合直线的截距式方程求解，即可得答案.
【详解】若直线经过原点，则，在坐标轴上的截距均为0，符合题意，
若截距均不为0，则设直线方程为，将代入得，
此时直线方程为，符合题意；
即经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有2条
故选：C.
:
5. “”是“直线与圆相交”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先求出直线与圆相交的充要条件，结合四种条件的定义可得答案.
【详解】直线与圆相交，
显然，推不出，而可推出，故是必要不充分条件.
故选：B.
6. 已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】设点坐标，由可解出坐标，再用空间向量模长公式即可.
【详解】设，则，，
因为，所以，，，
所以，又，
解得或，所以或，
故选:C
7. 已知函数在时有最大值，且在区间上单调递增，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据最值可得，结合单调性可得答案.
【详解】在时取得最大值，即，可得，
所以，
因为要求的最大值，所以这里可只考虑的情况，
又因为在上单调递增，所以，解得，
当时，，所以的最大值为，
故选：C.
8. 如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知，且P在右顶点时，B恰好在点，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，，根据已知结合图形，得出，然后求出，即可得出答案.
【详解】由题意知与的长度不变，
已知，设，，则，
当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长；
又由已知可得，当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长.
所以，
故离心率为.
故选：D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 某机床生产一种零件，在8天中每天生产的次品数分别为，关于该组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 中位数为3B. 极差为6
C. 第40百分位数为4D. 方差为4.75
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据中位数、极差、百分位数、方差的概念及求解方法可得答案.
【详解】将这组数据从小到大排列为，所以中位数为，故A错误；
极差为，故B正确；
因为数据共有8个，所以，所以第40百分位数是4，故C正确；
设平均数为，方差为，则，
，故D正确，
故选：BCD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. 点关于直线的对称点为
C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D. 直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系、关于直线对称的性质、方向向量的定义逐一判断即可.
【详解】对A：直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故A正确；
对B：点和的中点在直线上，且连线的斜率为，
可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确；
对C：设直线与轴交点为，则与轴交点为，
当时，直线过原点，斜率为，故方程为；
当时，直线的斜率，故直线方程为，
即，故C错误；
对D：设直线的倾斜角为，则，
又因，故，故D正确，
故选：ABD.
11. 已知，两直线且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. 的最小值为D. 的最小值为9
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得．
【详解】解：，，两直线，，且，
，即，所以，当且仅当即时取等号，
故选：AC．
12. 已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在上，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 周长的最小值为14
B. 四边形可能是矩形
C. 直线，的斜率之积为定值
D. 的面积最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对四个选项一一判断：对于A：利用椭圆的对称性，判断出PQ为椭圆的短轴时， 周长最小.即可判断；对于B：判断出，从而四边形不可能是矩形.即可判断；对于C：设，直接计算出.即可判断；对于D.由的面积为.即可判断.
【详解】由，可知P，Q关于原点对称.
对于A.根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值6，所以周长的最小值为14.故A正确；
对于B.因为，所以，
则，故椭圆上不存在点，使得，
又四边形是平行四边形，所以四边形不可能是矩形.故B不正确.
对于C.由题意得，设，则，
所以.故C正确；
对于D.设的面积为，所以当PQ为椭圆的短轴时，最大，所以.故D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数是奇函数，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用奇函数的定义可求答案.
【详解】因为，故，
因为为奇函数，故，，整理得到，解得.
故答案为：1
14. 若直线过点且与平行，则直线的一般方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】依题知斜率和点，写出点斜式方程，最后化为一般方程.
【详解】因为直线的斜率是：，且直线与平行，直线的斜率也为，故直线的方程是：，整理得.
故答案为：
15. 已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直
线AB的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】已知相交弦的中点，用点差法求出斜率，即可求解.
【详解】在椭圆内，过点的直线与椭圆必
相交于A，B两点，设，
且弦AB被点P平分，故直线AB的斜率存在，
两式相减得，
，
直线AB的方程为.
故答案为:
【点睛】本题考查相交弦的中点问题，利用点差法得到中点坐标与相交弦的斜率关系，属于基础题.
16. 点在曲线上，则取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，问题转化为半圆上的点到定直线的距离的5倍，进而求出结果.
【详解】如图，曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，,
表示点到直线距离的5倍．
由点到直线的距离公式得，，
所以直线与圆相离，
最大值为
最小值为
则的取值范围为．
故答案为：.
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在中，设所对的边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理化简已知式即可得出答案；
（2）由余弦定理求出的值，再由三角形的面积公式即可得出答案.
【小问1详解】
因为，
由余弦定理得，
即
所以.又，
所以.
【小问2详解】
由余弦定理得：，则，
，解得，
所以
18. 某市在创建国家级卫生城（简称“创卫”）的过程中，相关部门需了解市民对“创卫”工作的满意程度，若市民满意指数（满意指数）不低于0.8，“创卫”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了100名市民，根据这100名市民对“创卫”工作满意程度给出的评分，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中的值；
（2）为了解部分市民给“创卫”工作评分较低的原因，该部门从评分低于70分的市民中用分层抽样的方法随机选取8人进行座谈，求应选取评分在的市民人数；
（3）假设同组中的每个数据用该组的中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该市“创卫”工作是否需要进一步整改，并说明理由.
【答案】（1）
（2）3人 （3）需要进一步整改，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1可求得答案；
（2）由频率分布直方图求出评分在、、的市民人数可得答案；
（3）由频率分布直方图求出平均分后比较可得答案．
【小问1详解】
依题意得：，得；
【小问2详解】
由频率分布直方图知，评分在的市民人数为；
评分在的市民人数为；
评分在的市民人数，
故应选取评分在的市民人数为；
小问3详解】
由频率分布直方图可得满意程度平均分为
，
则满意指数，故该市“创卫”工作需要进一步整改.
19. 已知圆C过点，圆心C在直线上，且圆C与x轴相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点的直线l与圆C相交于A、B两点，若为直角三角形，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】(1)待定系数法求圆的方程即可；
(2) 设，根据题意得到弦长，再结合垂径定理和点线距离公式可求的值，从而得到直线l的方程．
【小问1详解】
由题意，设圆心，由于圆C与x轴相切．半径，
所以设圆C方程为
又圆C过点，
解得
圆C方程为．
【小问2详解】
由圆C方程易知直线l的斜率存在，故设，即
，设C到l的距离为d，
则，
为直角三角形，，，
或，
故直线l得方程为或．
20. 与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率：
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可；
（2）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.
【小问1详解】
记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，，
所以，，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，．
【小问2详解】
有3个家庭回答正确的概率为
，
有2个家庭回答正确的概率为
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
21. 如图甲，在直角梯形中，是的中点，是与的交点.将沿折起到.的位置，如图乙.

（1）证明：平面.；
（2）若二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，由线面角的向量公式求解即可得出答案.
【小问1详解】
证明：在图甲中，因为是的中点，，
故四边形为正方形，所以，
即在图乙中，，
又平面，
所以平面.
又，所以四边形是平行四边形，
所以，所以平面
【小问2详解】
解：由已知，平面平面，
又由（1）知，，
所以为二面角的平面角，
所以，
如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，

，
设平面的一个法向量为，
因为，
令，
故平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角的平面角为，
从而，
故直线与平面所成角的正弦值为.
22. 已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件和椭圆定义求出，再由离心率求出，根据求出，即可求得椭圆的标准方程；
（2）使用点差法进行求解即可.
【小问1详解】
由椭圆的定义知，，∴，
又∵椭圆的离心率，∴，
∴，
∴椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
∵为椭圆内一点，∴直线与椭圆必交于，两点，
设，，当时，不合题意，故，
∵为线段的中点，∴，∴，
又∵，均在椭圆上，∴，
两式相减，得，即，
∴，∴，即，
∴直线的方程为，即．