云南省昆明市云南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题

2023-2024学年度第一学期入学考试

高一数学

注意事项：

1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在  答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若（x、y是实数），则M的值是（  ）

A．正数 B．负数

C．零 D．以上皆有可能

2．方程的解有（    ）个．

A．0 B．1

C．2 D．多于2个

3．如果关于x的不等式组恰有三个整数解，整数k的最大值是（    ）

A．8 B．9 C．35 D．36

4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图像可能是（　  　）

A．B．

C．D．

5．直线与x轴、y轴分别交于点A与点B，点C、D分别为、的中点，点P为y轴上一动点，当的值取到最小值时，点P的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

6．在二次根式中，m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．关于x的不等式组无解，那么m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知均为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若则.

B．若则.

C．若，则

D．若，则

10．已知函数的图象经过点则（    ）

A．的图象经过点 B．的图象关于y轴对称

C．在上单调递减 D．在内的值域为

11．下列结论正确的是（    ）

A．当时，

B．当时，的最小值是

C．当时，的最小值是

D．若，，且，则的最小值是

12．下表表示y是x的函数，则（    ）

A．函数的定义域是 B．函数的值域是

C．函数的值域是 D．函数是增函数

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知是一次函数，，，则的解析式为

14．从1，2，3，4，5这五个数中去掉（）个数后，剩下的个数的平均数是3的概率是：      

15．设a、b、c是中角A、B、C所对的边的长.二次函数在时，取得最小值，则这个三角形三个内角的度数分别为：A=       ；B=         ；C=      .

16．如图，直线与抛物线的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A，B两点，其对称轴为直线，且.直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧）.则下列判断：①；②；③；④；⑤中，正确的是         .

四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．如图，抛物线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，过点作轴，垂足为点.

（1）求直线的函数关系式；

（2）动点在线段上从原点出发以每秒一个单位的速度向移动，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点.设点移动的时间为秒，的长度为个单位，求与的函数关系式，并写出的取值范围；

（3）设在（2）的条件下（不考虑点与点，点重合的情况），连接，，当为何值时，四边形为平行四边形？问对于所求的值，平行四边形能否为菱形？请说明理由.

18．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．

(1)足球和篮球的单价各是多少元？

(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？

19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)请直接写出时，x的取值范围；

(3)过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标．

20．如图，在中，，cm，cm，D是BC边上一点，cm，点P为边AC上一动点（点P与A、C不重合），过点P作，交AD于点E．点P以1cm/s的速度从A到C匀速运动.

(1)设点P的运动时间为t（s），DE的长为y（cm），求y关于t的函数关系式，并写出的取值范围；

(2)当t为何值时，以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D外切？并求此时的正切值.

21．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．

(1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；

(2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足．求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．（参考数据：）

22．已知函数

（1）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围；

（2）当a <0时，解关于x的不等式．

数学参考答案

1．A

因为

，

若，该方程组无解，即不同时成立，

所以.

故选：A.

2．B

根据给定条件，利用绝对值的几何意义确定方程解的范围，再去绝对值符号作答.

依题意，方程表示数轴上的点到数5与7对应点的距离和等于到数2011与2013对应点的距离和，

因此这个点对应的数在7到2011之间，则方程化为，解得，

所以原方程的解为1009，有1个.

故选：B

3．C

求出不等式组的解集，由已知求出k的范围作答.

依题意，，解不等式组得：，而不等式组恰有三个整数解，则这3个整数为，

因此，解得，而k为整数，

所以k的最大值是35.

故选：C

4．B

二次函数与轴有两个交点等价于二次方程有两个根，等价于判别式恒大于0，再利用一次函数图像的性质特点即可得出答案.

有两个不相等的实数根，

，

解得，

A.，，即，故A不正确；

B.，，即，故B正确；

C.，，即，故C不正确；

D.，，即，故D不正确；

故选：B.

5．B

求出点的坐标，求出点关于x轴的对称点，再利用对称性推理判断最小时的点位置作答.

直线与x轴、y轴分别交于点，则，

令点关于y轴的对称点为E，则，连接交y轴于点，连，有，

，当且仅当点与重合时取等号，

设直线的方程为，则，解得，而直线交y轴于点，

所以当的值取到最小值时，点P的坐标为.

故选：B

6．A

根据二次根式有意义的条件即可求出答案.

由题意可知: ,

故选: A.

7．D

分别求出每个不等式的解集, 根据不等式组无解, 可以得到答案.

由，解得:，

由，解得：，

因为关于的不等式组无解，

.

故选：D.

8．A

根据 计算即可.

将线段绕点顺时针旋转 后, 点恰好落在上的点处,

,

,

,

故选:A.

9．AD

由不等式的性质，逐个判断选项.

若，则，又，则，A选项正确；

若，满足，但，不成立，B选项错误；

若，，满足，但，不成立，C选项错误；

，则，又，∴，即，D选项正确.

故选：AD

10．CD

根据函数解析式和图象经过的点求出，结合选项可得答案.

将点的坐标代入，可得，则的图象不经过点，A错误；在上单调递减，C正确；根据反比例函数的图象与性质可得B错误，D正确．

故选：CD.

11．AD

根据基本不等式逐项计算即可判断求解，注意等号成立的条件．

解：对于选项，当时，，可得，

当且仅当时取等号，结论成立，故正确；

对于选项，当时，，，

可得，

当且仅当时即取等号，

但，等号取不到，因此的最小值不是2，故错误；

对于选项，因为，所以，

则，

当且仅当时取等号，故没有最小值，故错误；

对于选项，因为，，且，

则，

当且仅当，即时，等号成立，故正确．

故选：．

12．AC

观察表格可知定义域以及值域，此函数为分段函数，在各自的区间内都是常函数，即可判断.

由表格可知：函数的定义域是，值域是，

此函数为分段函数，在各自的区间内都是常函数，

故函数不是增函数；

故选：AC.

13．

设f（x）=kx+b，k≠0，由已知得(4k+2b)-(3k+3b)=52b-(-k+b)=1，由此能求出f（x）=3x-2．

∵f(x)是一次函数,2f(2)−3f(1)=5,2f(0)−f(−1)=1，

∴设f(x)=kx+b，k≠0，

则f(2)=2k+b,f(1)=k+b,f(0)=b,f(−1)=−k+b，

因为，，

，

解得k=3，b=−2，

∴f(x)=3x−2.

故答案为：3x−2.

本题主要考查利用待定系数法求一次函数的解析式，意在考查运用所学知识解答问题的能力，属于基础题.

14．/

利用古典概率模型求解.

时，剩下的4个数有：，共5种情况；

时，剩下的3个数有：，

共10种情况；

时，剩下的2个数有：，共10种情况；

时，剩下的1个数有：，共5种情况；

所以共有30种可能结果，

其中满足剩下的个数的平均数是3的有：共6种，

所以剩下的个数的平均数是3的概率为，

故答案为: .

15．              

根据已知条件，结合二次函数的性质列出方程组，整理即可得出为等边三角形，进而得出答案.

由已知可得，二次函数对称轴为，最小值为，

即，整理可得，

所以，为等边三角形，

所以，.

故答案为：；；.

16．③④⑤

根据给定条件，结合一次函数、二次函数的图象特征逐一判断各个命题作答.

抛物线的开口向上，则，由对称轴为直线，得，即，

点，，由，知，则，点，

对于①，由，，，得，①错误；

对于②，由，，得，②错误；

对于③，由点在右侧，，得，即，则，③正确；

对于④，抛物线与直线交于两点，则由解得，

显然，而，因此，④正确；

对于⑤，观察图象，由点C在点B的右侧，得，即，

因此，即，⑤正确，

所以正确命题的序号为③④⑤.

故答案为：③④⑤

17．（1）；（2）；（3）或2；不是菱形；答案见解析.

（1）由条件可得，，可求得直线的解析式.

（2）由秒时，点，所以 ，，再根据得出答案.

(3) 若四边形为平行四边形，则有，此时，有，解得，,再分别计算能否为菱形.

解：（1）抛物线与轴交于点，则.

轴，垂足为点,,所以

设直线的解析式为

则 ，解得

可得直线的解析式为

（2）点从点移动到点共要3秒,所以

秒时，点，所以

（3）若四边形为平行四边形，则有，此时，有，解得，

所以当或2时，四边形为平行四边形.

①当时，，，故，又在中，，故，此时四边形为菱形

②当时，，，故，又在中，，故，此时四边形不是菱形.

本题主要考查求函数解析式，二次函数的应用以及特殊四边形的性质和判定，考查数形结合思想，属于中档题.

18．(1)足球单价为 60 元, 篮球单价为 90 元.

(2)学校最多可以购买116个篮球.

（1）设足球单价为元, 则篮球单价为元,建立方程关系解之即可得出结论；

（2）设学校可以购买个篮球,，建立不等式关系解之即可得出结论；

（1）设足球单价为 元, 则篮球单价为 元,

由题意得: ,

解得: ,

经检验 是原方程的解, 符合题意,

.

故足球单价为 60 元, 篮球单价为 90 元.

（2）设学校可以购买 个篮球,

由题意得:

，

即，

解得；

为整数,

最大为 116 .

故学校最多可以购买 116 个篮球.

19．(1)，；

(2)或；

(3)或.

（1）由点在反比例函数的图象上，求得反比例函数的解析式，由点坐标求出一次函数解析式作答.

（2）由函数图象，即可得到时，x的取值范围.

（3）根据给定条件，可得，再求得点C的坐标作答.

（1）由点在反比例函数的图象上，得，所以反比例函数的解析式为，

由点在反比例函数的图象上，得，则点B的坐标为，

依题意，，解得，所以一次函数解析式为.

（2）由函数图象知，当或时，函数的图象在的图象上方，

所以当时，x的取值范围是或.

（3）因为轴，，则，有，因此，

当点C在点D的左侧时，点C的坐标为，

当点C在点D的右侧时，点C的坐标为

所以当点C的坐标为或时，.

20．(1)，（）

(2)

（1）根据、可得，求出可得答案；              

（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有可求出，得， 由可得答案.

（1）∵在中，AC=4，CD=3，∴AD=5，

∵，，∴，∴，

∴，∴，

即，（）；

（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有

DE=PE+BD，即，         

解之得，∴，  ∵，∴，

在中，

；∴=.

21．(1)（1）车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，；

(2)（2）隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米．

（1）由（辆千米）时，（千米小时）求得，可得关于 的关系式，再由求解的范围得结论；

（2）结合（1）写出隧道内的车流量关于的函数，再由函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最值，则答案可求．

（1）解：由题意，当（辆千米）时，（千米小时），

代入，得，解得．

，

当时，，符合题意；

当时，令，解得，

．

综上，．

故车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，；

（2）由题意得，，

当时，为增函数，

，等号当且仅当时成立；

当时，

．

当且仅当，即，时成立，

综上，的最大值约为3250，此时约为87．

故隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米．

22．（1）；（2）当时，；当时，；当时，；

（1）将不等式转化为对任意的恒成立，再对进行分类讨论；

（2），求出方程的两根为，再比较两根的大小，进行不等式求解.

（1）对任意的恒成立，

当时，对任意的恒成立，所以成立；

当；

综上所述：.

（2）不等式，

方程的两根为，

当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为；

本题考查一元二次不等式恒成立问题及一元二次含参不等式的求解，考查分类讨论和数形结合思想，求解过程中注意分类讨论的标准为比较两根的大小.