2024年山东省济南市莱芜实验中学中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2024年山东省济南市莱芜实验中学中考数学模拟试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−8的立方根是( )
A. −2B. ±2C. 2D. −12
2.下列几何体中，同一个几何体的主视图与左视图不同的是( )
A. 圆柱B. 正方体C. 圆锥D. 球
3.如图，已知EF//CD，BC=DC，∠ABF=30°，则∠D的度数为( )
A. 50°
B. 75°
C. 100°
D. 65°
4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.已知a2=3，则2a3a−1+a2(1−a)⋅4a的值为( )
A. 6B. −6C. 3D. 9
6.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. a+b<0B. ab>0C. −a>bD. |a|<|b|
7.每周四下午的活动课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程.小明和小丽从“二胡课”“轮滑课”“围棋课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是( )
A. 13B. 19C. 23D. 29
8.已知点A(−4,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)都在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y19.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，将正方形沿直线AN折叠，点B落在对角线上的点M处，折痕AN交BD于点E，则BE的长为( )
A. 2− 2
B. 2 2−2
C. 2+ 2
D. 2+2 2
10.在平面直角坐标系中，已知点A(−3,1)，B(1,5)，若二次函数y=mx2+3x−2(m≠0)与线段AB无交点，则m的取值范围是( )
A. 124或m<43
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.因式分解：9x2−9= ______．
12.一个玻璃球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上.已知每块地砖的大小、质地完全相同，则该玻璃球停留在白色区域的概率是______．
13.已知m是 2到 5之间的一个整数，n的相反数是它本身，则1m+mn的值为______．
14.已知x=1是关于x的一元二次方程(m−1)x2−3x+1=0的一个根，则该方程的另一个根为______．
15.如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E.已知CD=4 3,AE=6，则阴影部分的面积为______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB其中正确的结论是______(填写所有正确结论的序号)．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：|−3|−2(π−1)0+ 16+(13)−1．
18.(本小题6分)
解不等式组2(x−1)19.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，EF交AC于点O，且BE=DF，求证：点O是线段AC的中点．
20.(本小题8分)
为迎接新学期的到来，老师对全校2000名学生的寒假学习情况进行了调查，采取随机抽样的方式抽取本校部分学生进行测试，并将测试成绩分为A，B，C，D，E五级进行整理，以下是部分数据和不完整的统计图表．
成绩为B的人的成绩：81，89，82，83，81，82，85，82，86，80．

请根据上述信息解答下列问题；
(1)a= ______，c= ______；
(2)B等级成绩的众数为______；
(3)请补全条形统计图；
(4)根据调查结果，估计该校学生成绩为C等级及以上的人数．
21.(本小题8分)
如图，在一个坡度(或坡比)i为3：4的斜坡CE上有一橦建筑物AC，其中CE=5m，建筑物的顶端A距离水平面23m.在该建筑物A处测得B处的俯角为31°、D处的俯角为52°．
(1)求建筑物AC的高度；
(2)求BD的长度.(结果精确到1m，其中sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60；sin52°≈0.79，cs52°≈0.62，tan52°≈1.28)
22.(本小题8分)
已知：如图，Rt△AOB中，∠O=90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O于点C，连接AC交OB于点P．
(1)求证：BP=BC；
(2)若sin∠PAO=13，且PC=7，求⊙O的半径．
23.(本小题10分)
某玩具商场内有形形色色的玩具，其中A，B两种玩具最受孩子们欢迎.已知1个A种玩具和2个B种玩具共卖360元，2个A种玩具和3个B种玩具共卖640元．
(1)A，B两种玩具的单价各是多少元？
(2)某机构计划团购A，B两种玩具共15个，其中B种玩具的数量不超过A种玩具数量的12，则该机构购买多少个A种玩具花费最低？最低花费为多少元？
24.(本小题10分)
小明在课余时间找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小.此时他测量了镜片到光斑的距离，得到的数据如下表：
(x表示镜片到光斑的距离，y表示镜片的度数)
为了进一步研究镜片度数y与镜片到光斑的距离x间的关系，小明借助计算机绘制了表示变量间关系的图象(如图)．
(1)求y与x之间的函数关系式及m的值；
(2)假设小亮的近视镜是200度，用小亮的眼镜做实验的话，请写出镜片到光斑的距离，并解释你是怎样得出这一结论的；
(3)根据图表中的信息，发现随着x逐渐变大，y的变化趋势是______．
(4)如果是一副平光镜(近视度数为0)，会不会有光斑存在？(直接写结论，无需解释)
25.(本小题12分)
在△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB.若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．

(1)如图1，若∠ABE=75°，BD=4，求AC的长；
(2)如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H.若∠ABD=30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；
(3)如图3，若AB=4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′D+ 22A′C最小时，求S△A′BC．
26.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=43x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,−4)，点P是抛物线上的动点(不与点A，B，C重合).设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D．
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)若点P在第三象限，且tan∠CPD=2，求m的值；
(3)连接PC，直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求m的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵−2的立方等于−8，
∴−8的立方根等于−2．
故选：A．
如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的符号相同．
2.【答案】A
【解析】解：圆柱体的主视图是长方体．左视图是圆形．
故选：A．
根据主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形即可得到结论．
本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠ABF=30°，
∴∠EBC=∠ABF=30°，
∵EF/​/CD，
∴∠C=∠EBC=30°，
∵CB=CD，
∴∠D=∠CBD=12×(180°−30°)=75°；
故选：B．
先求解∠EBC=∠ABF=30°，再证明∠C=∠EBC=30°，再结合等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理可得答案．
本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，等腰三角形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵a2=3，
∴原式=2a3a−1−2a2a−1
=2a2(a−1)a−1
=2a2
=2×3
=6，
故选：A．
依据题意，直接利用异分母分式的加减运算法则转化为同分母分式提取分子公因式，化简分式，代入已知a2=3，即可求解．
本题主要考查异分母分式的运算，掌握分式加法和乘法法则是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由数轴可得，a<0∴a+b>0，ab<0，
∴b>−a，
∴A、B、C错误，D正确，
故选：D．
由数轴先判断出a、b的符号和绝对值大小，再逐项判断即可求解．
本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，掌握实数的运算法则是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：画树状图为：(用A、B、C分别表示“二胡课”“轮滑课”“围棋课”三种课程)
∵共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一课程的结果数为3，
∴两人恰好选择同一课程的概率=39=13．
故选：A．
画树状图(用A、B、C分别表示“二胡课”“轮滑课”“围棋课”三种课程)展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一课程的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法，解答本题的关键要明确：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
8.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k<0)
∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，
又∵点A(−4,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)
∴点A在第二象限内，点B、点C在第四象限内，
∴y1>0，y2<0，y3<0，
又∵2<4，
∴y2∴y2故选：C．
先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图所示，连接MN，
∵边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，
∴AD=AB=BC=2，
∴BD=AC= AB2+BC2=2 2，
∵将正方形沿直线AN折叠，点B落在对角线上的点M处，折痕AN交BD于点E，
∴∠AMN=∠ABN=90°，MN=BN，AM=AB=2，
∴CM=AC−AM=2 2−2，
∵∠ACB=45°，
∴∠MNC=45°，
∴MN=CM=2 2−2，
∴BN=MN=2 2−2，
∵AD//BN，
∴△ADE∽△NBE，
∴ADBN=DEBE，即22 2−2=2 2−BEBE，
解得BE=2 2−2．
故选：B．
连接MN，首先根据正方形的性质和勾股定理求出BD=AC=2 2，然后根据折叠的性质得到∠AMN=∠ABN=90°，MN=BN，AM=AB=2，求出CM=2 2−2，然后求出BN=MN=2 2−2，然后证明出△ADE∽△NBE，得到ADBN=DEBE，代数求解即可．
本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定及其性质，解题的关键是正确作出辅助线．
10.【答案】D
【解析】解：当m>0，
把A(−3,1)代入y=mx2+3x−2(m≠0)得到，1=9m−9−2，
解得m=43，
由图象可知，0把B(1,5)代入y=mx2+3x−2(m≠0)得到，5=m+3−2，
解得m=4，
由图象可知，当m>4时，图象与线段AB无交点，
当m<0时，二次函数y=mx2+3x−2(m≠0)图象开口向下，且必过点(0,−2)，
则图象与线段AB一定无交点，
综上可知，若二次函数y=mx2+3x−2(m≠0)与线段AB无交点，则m的取值范围是m>4或m<43，
故选：D．
分m>0和m<0两种情况，找到临界值，分别画出图象，根据图象分析后即可得到答案．
此题考查了二次函数的图象和性质，掌握其性质是解决此题的关键．
11.【答案】9(x+1)(x−1)
【解析】解：9x2−9，
=9(x2−1)，
=9(x+1)(x−1)．
故答案为：9(x+1)(x−1)．
先提取公因式9，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12.【答案】34
【解析】解：设每个小正方形的边长为1，
整个图形的面积=4×3=12，
白色区域的面积=6+12×6=9，
∴玻璃球停留在白色区域的概率为912=34，
故答案为：34．
用白色区域的面积÷整个图形的面积即可求解．
本题考查了几何概率，解答本题的关键是熟练掌握概率公式：几何概率=相应的面积与总面积之比．
13.【答案】32
【解析】解：∵2<4<5，
∴ 2<2< 5，
∵m是 2到 5之间的一个整数，
∴m=2，
∵n的相反数是它本身，
∴n=0，
∴1m+mn=12+20=12+1=32．
故答案为：32．
根据无理数的估算求出m=2，根据相反数的概念求出n=0，然后代入1m+mn求解即可．
本题考查了无理数的估算，掌握相反数的概念，代数式求值，零指数幂是解题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：∵x=1是关于x的一元二次方程(m−1)x2−3x+1=0的一个根，
∴12×(m−1)−3×1+1=0，
∴m=3，
∴关于x的一元二次方程为2x2−3x+1=0，
∴(2x−1)(x−1)=0，
∴2x−1=0或x−1=0，
∴x=12或x=1，
∴该方程的另一个根是12，
故答案为：12．
将x=1代入方程(m−1)x2−3x+1=0中，求出m=3，然后解方程即可．
本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，解题的关键是理解题意，学会利用未知数构建方程解决问题．
15.【答案】83π
【解析】解：如图：连接OD，
∵AO是⊙O的半径，CD⊥AB于点E，
∴CE=DE=12CD=12×4 3=2 3，
又∵OD和OC为⊙O的半径，即OD=OC，
∴△ODE≌△OCE(HL)，
∴S阴=S扇ODB．
设⊙O半径为r，在Rt△OED中，OD2=OE2+DE2，
∴r2=(6−r)2+(2 3)2，
解得r=4，
∴OE=2，
∴cs∠DOE=OEOD=24=12，
∴∠DOE=60°，
∴S阴=60°360∘×42×π=83π．
故答案为：83π．
连接OD，证S△OCE=S△ODE即可得S阴=S扇ODB，利用扇形面积公式即可求解．
本题考查了垂径定理，勾股定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出∠EOD=60°是解题关键．
16.【答案】①②③
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，
∴∠DEF=∠BFE，
∵将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合并相交于点O，
∴BF=DF，BE=DE，∠BFE=∠DFE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
∴BE=DE=DF=BF，
∴四边形BFDE是菱形，故①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，∠C=90°，
∴∠ADB=∠DBC，
∵将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合并相交于点O，
∴∠DOE=90°=∠C，
∴△EOD∽△DCB，故②正确；
∵∠ABE=30°，∠A=90°，
∴∠AEB=90°−30°=60°，
∵四边形BFDE是菱形，
∴BE/​/DF，DE=DF，
∴∠ADF=∠AEB=60°，
∵∠ADC=90°，
∴∠FDC=90°−∠ADF=30°，
∵∠C=90°，
∴DF=2CF，
∵DE=DF，
∴DE=2CF，故③正确；
∵S菱形=12BD⋅EF=DE⋅AB，S△ABE=12AB⋅AE，
若BD⋅EF=AE⋅AB，
∴S菱形=S△ABE，
∴DE⋅AB=12AB⋅AE，
∴2DE=AE，
而由题意的，2DE≠AE，故④错误．
综上所述，其中正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
首先根据矩形的性质得到AB/​/CD，进而得到∠DEF=∠BFE，然后根据折叠的性质得到BF=DF，BE=DE，∠BFE=∠DFE，等量代换得到∠DEF=∠DFE，进而得到BE=DE=DF=BF，证明出四边形BFDE是菱形，即可判断①；根据矩形的性质和折叠的性质得到∠ADB=∠DBC，∠DOE=90°=∠C，即可证明出△EOD∽△DCB，进而判断②；根据三角形内角和定理得到∠AEB=90°−30°=60°，然后由菱形的性质得到BE/​/DF，DE=DF，进而求出∠FDC=90°−∠ADF=30°，然后利用含30°角直角三角形的性质和等量代换得到DE=2CF，即可判断③；首先根据题意得到S菱形=12BD⋅EF=DE⋅AB，S△ABE=12AB⋅AE，然后假设BD⋅EF=AE⋅AB，得到2DE=AE，然后由题意得到2DE≠AE，进而判断④．
此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，菱形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
17.【答案】解：|−3|−2(π−1)0+ 16+(13)−1
=3−2×1+4+3
=3−2+4+3
=8．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：解不等式2(x−1)≤x+1，得x<3，
解不等式1−2x+53≤x，得x≥−25，
∴不等式组的解集是−25≤x<3，
∴不等式组的正整数解是1，2．
【解析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的正整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
19.【答案】证明：连接AF，CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DC，AB=CD，
又根据已知可得：BE=DF，
∴AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴根据平行四边形的对角线互相平分可得：OA=OC，
∴点O为线段AC的中点．
【解析】连接AF，CE.根据AE=CF，AE/​/CF可知四边形AECF是平行四边形，据此可得出结论．
本题考查的是平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的性质是解答此题的关键．
20.【答案】10 20 82
【解析】解：(1)∵成绩为B的人的成绩：81，89，82，83，81，82，85，82，86，80，共10人，
∴频数a=10
5÷36°360∘=50(人)
10÷50×100%=20%
∴c=20；
(2)∵成绩为B的人的成绩：81，89，82，83，81，82，85，82，86，80，
82出现的次数最多，
∴B等级成绩的众数为82；
(3)b=50−8−10−7−5=20，
补全统计图如下：
(4)2000×8+10+2050×100%=1520(人)
∴估计该校学生成绩为C等级及以上的人数为1520人．
(1)根据成绩为B的人的成绩的人数即可求出a=10，首先根据E组的人数和在扇形图中的度数求出总人数，然后根据B组的人数求出所占的百分比；
(2)根据众数的概念求解即可；
(3)用总人数减去其他四组的人数即可求出b的值，进而补全条形统计图即可；
(4)根据样本估计总体的方法求解即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
21.【答案】解：(1)过点C作CG⊥EF，交FE的延长线于点G，

∵斜坡CE的坡度i=34，
∴CGCE=35，
∵CE=5m，
∴CG=3m，
∵AG=23m，
∴AC=AG−CG=20m，
∴该建筑物的高度为20m．
(2)在Rt△ACB中，∠ABC=31°，
∴BC=20tan31∘≈33.3m
同理，CD=20tan52∘≈15.6m．
∴BD=BC−CD=17.7m≈18m，
∴BD的长度为18m．
【解析】(1)过点C作CG⊥EF，交FE的延长线于点G，根据斜坡CE的坡度i=34代数求出CG=3m，进而求解即可；
(2)在Rt△ACB中，利用31°角的三角函数值求出BC=20tan31∘≈33.3m，CD=20tan52∘≈15.6m，进而求解即可．
本题考查锐角三角函数的实际应用−仰俯角问题．解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，利用数形结合的思想解答问题．
22.【答案】(1)证明：连接OC，
∵BC是⊙O切线，
∴∠OCB=90°，
∴∠OCA+∠BCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∠BOA=90°，
∴∠OAC+∠APO=90°，
∵∠APO=∠BPC，
∴∠OAC+∠BPC=90°，
∴∠BPC=∠BCA，
∴BC=BP．
(2)解：延长AO交⊙O于点E，连接CE，
在Rt△AOP中，∵sin∠PAO=13，
设OP=x，AP=3x，则AO=2 2x，
∵AO=OE，
∴OE=2 2x，
∴AE=4 2x，
∵sin∠PAO=13，
∴CEAE=13，
∴ACAE=2 23，
∴3x+74 2x=2 23，
解得：x=3，
∴AO=6 2．
【解析】(1)连接OC，由切线的性质，可得∠OCB=90°，由OA=OC，得∠OCA=∠OAC，再由∠O=90°，根据等角的余角相等即可得出所要求证的结论；
(2)延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP和Rt△ACE中，根据三角形函数和勾股定理，列方程解答．
本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理等知识，解决问题的关键是根据三角函数的定义结合勾股定理列出方程．
23.【答案】解：(1)设A种玩具的单价为x元、B种玩具的单价为y元．
由题意得x+2y=360,2x+3y=640.
解得x=200,y=80.
答：A种玩具的单价为200元、B种玩具的单价为80元．
(2)设购买A种玩具m个，则购买B种玩具(15−m)个．
由题意得15−m≤12m，
解得m≥10．
设总价为W元，
则W=200m+80(15−m)=120m+1200．
∵k=120>0，
∴W随m的增加而增加，
∴当m=10时，W最小=120×10+1200=2400(元)．
答：当购买A种玩具10个时花费最低，最低花费为2400元．
【解析】(1)根据两种购买信息列出二元一次方程组，解之可得单价；
(2)由A，B两种玩具数量限制列不等式求得A玩具数量的范围，再由利润和A玩具数量的函数关系，确定A的具体数量求出函数值即可．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系式．
24.【答案】逐渐变小
【解析】解：(1)由题意得，设y=kx．
将(0.25,400)代入，得k=100，故y=100x．
将(0.10,m)代入y=100x，得m=1000.10=1000，
∴y与x之间的函数关系式为y=100x；m=1000；
(2)镜片到光斑的距离为0.5m，理由如下：
当y=200时，200=100x，
解得x=0.5，
∴镜片到光斑的距离为0.5m；
(3)根据图表中的信息，发现随着x逐渐变大，y的变化趋势是逐渐变小，
故答案为：逐渐变小；
(4)光斑不会存在，理由如下：
由函数图象可知，当x趋近于无穷大时，y趋近于0，但不会等于0，
∴当y=0时，光斑不会存在．
(1)先根据表格数据求出反比例函数解析式，再将点(0.10,m)代入反比例函数解析式中求解即可；
(2)将y=200代入反比例函数解析式求出与之对应的x的值即可得到结论；
(3)观察图表中的信息即可得到答案；
(4)根据所给图象分析即可得到结论．
本题主要考查反比例函数的应用，解题关键是正确的认识图象，运用好数形结合的思想解决问题．
25.【答案】解：(1)过D作DG⊥BC，垂足是G，如图1：
∵将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，
∴∠EBD=90°，
∵∠ABE=75°，
∴∠ABD=15°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DBC=30°，
∴在直角△BDG中有DG=12BD=2，BG= 3DG=2 3，
∵∠ACB=45°，
∴在直角△DCG中，CG=DG=2，
∴BC=BG+CG=2+2 3，
∴AC= 22BC= 2+ 6；
(2)线段DC与线段HG的数量关系为：HG= 34CD，
证明：延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G作GM⊥AB于M，如图：
∴∠END=90°，
由旋转可知∠EBD=90°，
∴∠EDB=45°
∴∠END=∠EBD=90°，
∴E，B，D，N四点共圆，
∴∠BNE=∠EDB=45°，∠NEB+∠BDN=180°
∵∠BDC+∠BDN=180°，∠BCD=45°，
∴∠BEN=∠BDC，
∴∠BNE=45°=∠BCD，
在△BEN和△BDC中，
∠BNE=∠BCD∠BEN=∠BDCBE=BA，
∴△BEN≌△BDC(AAS)，
∴BN=BC，
∵∠BAC=90°，
在等腰△BNC中，由三线合一可知BA是CN的中线，
∵∠BAC=∠END=90°，
∴EN//AB，
∵A是CN的中点，
∴F是EC的中点，
∵G是BC的中点，
∴FG是△BEC的中位线，
∴FG/​/BE，FG=12BE，
∵BE⊥BD，
∴FG⊥BD，
∵∠ABD=30°，
∴∠BFG=60°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGF=75°，
设AC=a，则AB=a，
在Rt△ABD中，AD= 33a，BD=BE=2 33a，
∴FG=12BE，
∴FG= 33a，
∵GM⊥AB，
∴△BGM是等腰三角形，
∴MG=MB= 22BG= 22×12BC= 22×12× 2AC=12a，
在Rt△MFG中，∠MFG=60°，
∴ 3MF=MG，
∴MF= 36a，
∴BF=BM+MF=3+ 36a，
在Rt△BFH中，∠BFG=60°，
∴FH=12BF=3+ 312a，
∴HG=FG−FH= 33a−3+ 312a=14( 3−1)a，
又∵CD=a− 33a= 33( 3−1)a，
∴CDHG=4 3，
∴HG= 34CD；
(3)设AB=a，则BC= 2a，取BC的中点N，连接A′D，A′C，A′N，连接DN，如图3，
由旋转可知A′B=AB=a，
∵A′BBN=a 22a= 2，BCA′B= 2aa= 2，
∴A′BBN=BCA′B= 2，
又∠A′BN=∠CBA′，
∴△A′BN∽△CBA′，
∴A′NA′C=A′BBC= 22，
∴A′N= 22A′C，
根据旋转和两点之间线段最短可知，A′D+ 22A′C最小，即是A′D+A′N最小，此时D、A′、N共线，即A′在线段DN上，
设此时A′落在A′′处，过A′′作A′′F⊥AB于F，连接AA′′，如图4，
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴DN是△ABC的中位线，
∴DN/​/AB，
∵AB⊥AC，
∴DN⊥AC，
∵∠A=∠A′′FA=∠A′′DA=90°，
∴四边形A′′FAD是矩形，
∴AF=A′′D，A′′F=AD=2，
∵又A′′B=AB=4，
设AF=x，
在直角三角形A′′FB中，A′′B2=A′′F2+BF2，
∴42=22+(4−x)2，
解得x=4−2 3．
∴此时S△A′′BC=S△ABC−S△AA′′B−S△A′′AC=12AB⋅AC−12AB⋅A′′F−12AC⋅A′′D=12×4×4−12×4×2−12×4×(4−2 3)=4 3−4．
【解析】(1)通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；
(2)通过作辅助线，构造全等三角形，设AC=a，利用中位线定理，解直角三角形，用a的代数式表示CD和HG，即可得CD与HG的数量关系；
(3)构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定A′(4)的位置，继而求得相关三角形的面积．
此题主要考查全等三角形判定，等腰三角形的三线合一，解直角三角形，四点共圆，几何最值的阿氏圆模型等知识，综合性强，难度较大，属于压轴题，解得关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．
26.【答案】解：(1)已知抛物线y=43x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,−4)，
把点C(0,−4)代入y=43x2+bx+c，得c=−4．
把点A(1,0)代入y=43x2+bx−4，得b=83．
∴抛物线的函数解析式为y=43x2+83x−4．
(2)点P是抛物线上的动点(不与点A，B，C重合).设点P的横坐标为m，则P(m,43m2+83m−4)，
如图1，过点C作CG⊥PD于点G，

则∠PGC=∠CGD=90°．
∵C(0,−4)，
∴OC=4．
过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，
∴∠PDO=90°．
又∵∠DOC=90°，
∴四边形DOCG是矩形，
∴DG=OC=4，DO=CG=−m，
∴PG=yG−yP=−4−(43m2+83m−4)
=−43m2−83m．
∵点P在第三象限，且tan∠CPD=2，
∴tan∠CPD=CGPG=2，
∴−m−43m2−83m=2，
解得m1=−138,m2=0(不合题意，舍去)，
∴m的值是−138．
(3)设P(m,43m2+83m−4)．
对于y=43x2+83x−4，
当y=0时，43x2+83x−4=0，
解得x1=1，x2=−3，
∴B(−3,0)．
∵OC=4，
∴由勾股定理得BC= OB2+OC2=5．
当点P在第三象限时，如图2，过点E作EF⊥y轴于点F，

则四边形DEFO是矩形，
∴EF=DO=−m．
∵点E与点E′关于PC对称，
∴∠ECP=∠E′CP，CE=CE′．
∵PE/​/y轴，
∴∠EPC=∠E′CP，
∴∠EPC=∠ECP，
∴PE=CE，
∴PE=CE′，∴四边形PECE′是平行四边形，
∴四边形PECE′是菱形．
∵EF//OA，
∴△CEF∽△CBO，
∴CEBC=EFBO，
即CE5=−m3，
∴CE=−53m．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B(−3,0)，C(0,−4)代入，
得−3k+b=0b=−4，
解得k=−43b=−4，
∴直线BC的解析式为y=−43x−4．
∴E(m,−43m−4)，
∴PE=−(43m2+83m−4)+(−43m−4)=−43m2−123m．
又CE=−53m，且PE=CE，
∴−43m2−123m=−53m．
解得m1=−74,m2=0(不合题意，舍去)．
当点P在第二象限时，如图3，

同理可得43m2+123m=−53m．
解得m1=−174,m2=0(不合题意，舍去)．
综上，m的值是−74或−174．
【解析】(1)利用待定系数解答即可；
(2)设P(m,43m2+83m−4)，过点C作CG⊥PD于点G，得PG=−43m2−83m.利用tan∠CPD=CGPG=2，求出m的值；
(3)分两种情况画出图形，分别进行解答即可．
此题考查了二次函数综合题，数形结合和分类讨论是解题的关键．成绩等级
分数段
频数
A
90≤x≤100
8
B
80≤x<90
a
C
70≤x<80
b
D
60≤x<70
7
E
x<60
5
镜片度数y/度
⋯
400
625
800
m
⋯
镜片到光斑的距离x/m
⋯
0.25
0.16
0.125
0.10
⋯