最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】第06讲函数最值的灵活运用

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这是一份最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】第06讲函数最值的灵活运用，文件包含第06讲函数最值的灵活运用原卷版docx、第06讲函数最值的灵活运用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页，欢迎下载使用。

1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第06讲函数最值的灵活运用
【典型例题】
例1．（2022秋•河北月考）已知，，且，若不等式恒成立，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：，
，
．
，，
（当且仅当，即时取等号），
．
故选：．
例2．（2022秋•怀宁县校级月考）若函数在内有且只有一个零点，则在，上的最大值与最小值的和为
A．B．C．2D．3
【解析】解：函数，，，
当时，，
函数在上单调递增，又，
在上没有零点，舍去；
当时，由，得，
在上递减，在，递增，
又只有一个零点，
，解得，
则，，，，
的解集为，
在上递增，在上递减，
，，（1），
，，
在，上的最大值与最小值的和为：
．
故选：．
例3．（2022•江西模拟）对任意，若不等式恒成立，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：，
设，则，（1），
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，当时，取得极小值也是最小值，
即，
令，则，
所以，
而，，且仅当，，
所以
故选：．
例4．（2022•海南）用，，表示，，三个数中的最小值，设，，，则的最大值为
A．7B．6C．5D．4
【解析】解：
解法一：
画出，，的图象，
观察图象可知，当时，，
当时，，
当时，，
的最大值在时取得为6，
故选．
解法二：
由，得．
时2^，，；
时，，，；
由得
时，时，．
综上，
（4）．
故选：．
例5．（2022春•渝中区校级期中）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：依题意，，即，即，
设，，则在上单调递增，
在上恒成立，即在上恒成立，
设，易知函数在单调递增，在单调递减，
，则．
故选：．
例6．（2022秋•江西月考）设函数，若无最大值，则实数的取值范围是
A．B．，C．，D．，
【解析】解：因为，
作出函数与直线的图象，
它们的交点时，，，
由，则令，可得或，
当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
由图象可知，当时，有最大值，
当时，有，此时无最大值，
故实数的取值范围为．
故选：．
例7．（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数为，其中，若对任意的恒成立，且函数存在零点，则的最小值为．
【解析】解：根据题意，函数满足对任意的恒成立，且函数存在零点，
必有△，则有，
则，
又由，则，当且仅当时等号成立，
即的最小值为；
故答案为：．
例8．（2022•太原一模）已知函数．
（Ⅰ）设，求在，上的最小值；
（Ⅱ）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：，
时，，，
则，，
故在，上单调递增，
所以当时，在，上的最小值；
，
因为在，上恒成立，
①当时，由知在，上单调递增，且，，
故存在唯一的使得，
当时，，单调递减，，此时与已知矛盾，
②当时，
若，由（1）知，，
所以在，上单调递增，恒成立，此时原不等式恒成立，符合题意；
若，则，，
因为在，上为增函数且，，
故存在唯一的使得，
当时，，单调递减，当，时，，单调递增，
又，，
故存在唯一的，，使得，
故当，时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
又，，
故当，时，，单调递增，，
即在，上恒成立，
综上的范围，．
例9．（2022春•渝中区校级月考）已知函数．
（1）若时，不单调，求的取值范围；
（2）设，，若，时，时，有最小值，求最小值的取值范围．
【解析】解：（1），
时，不单调，在上有解，
，
．
（2），．
设，则，又，
，单调递增，又（1），，
存在，使得，即．时，，单调递减，
时，，单调递增，
．
设，则
，单调递减，又，（1），
．
【同步练习】
一．选择题
1．（2022秋•滨江区校级期末）已知，，若不等式恒成立，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：，，
不等式等价为，
令，，
令，
令，（负值舍去）
函数在上单调增，在，上单调减
时，函数取得最大值为
实数的最小值为
故选：．
2．（2022•山西自主招生）若不等式恒成立，则的取值范围是
A．，B．，C．，，D．，，
【解析】解：令，．
，
时，，函数在上单调递增．
时，，不满足不等式恒成立，舍去．
时，，在上恒成立．
时，函数在上单调递增，存在，使得，
可得函数在上单调递减，在，上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值．
由可得，，
则，
解得．
综上可得：的取值范围是，．
故选：．
3．（2022秋•道里区校级月考）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．
【解析】解：当时，恒成立，即为
恒成立，
令，，
，，
当时，，递减，
当时，，递增，
即有时，取得最大值，
即为，
即有，
令，导数为，
当时，递减，当时，递增，
当时，（e），即时，（e），
则有的取值范围是．
故选：．
4．（2022•大庆模拟）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由函数，，
所以不等式恒成立，等价于恒成立；
因为，所以；
设函数，，
则，计算（1），且；
所以，
当，时，令，解得，
所以时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以（1）；
设（a），，
则（a），
所以（a）在上单调递增，且；
要使恒成立，需使（a）恒成立，即，
所以的取值范围是，．
故选：．
5．用，，表示，，三个数中的最小值，设，，，则的最大值为
A．4B．5C．6D．7
【解析】解：，
当，即时，
，，
当，即时，
，．
时，；
时，．
综上可得，的最大值为5．
故选：．
6．（2022秋•鼓楼区校级期末）若函数的值域为，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解析】解：当时，，
当时，，且，
即，
的值域为，
，且
，
故选：．
7．（2022秋•武昌区校级月考）已知函数，，设，，，，（其中，表示、中的较大值，，表示、中的较小值，记的最小值为，的最大值为，则为
A．B．C．16D．
【解析】解：，
，
当时，或；
又，，
，；
，，
．
故选：．
8．（2022秋•遵义月考）若对任意，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：令，，则，对任意的，恒成立，
所以在，上单调递增，从而（1），
①若，则当时，恒成立，符合题意，
②若，，易知在，上单调递增，
因为，所以，所以（1），即，
所以，
因为，，所以，，所以，
因为在，上单调递增，其图象是一条连续的曲线，
且（1），所以存在唯一的，使得，
当时，，所以函数在上单调递减，（1），不符合题意，舍去，
综上所述，实数的取值范围为，．
故选：．
9．（2022春•瑞金市月考）设函数的最大值为，若对任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：，函数为偶函数，
当时，，，
函数单调递减，故，
故恒成立，
即，
故，解得，
故选：．
10．（2022春•武邑县校级期末）设，，，则的最小值为
A．2B．4C．D．
【解析】解：因为，，，
所以，
由基本不等式，得（当且仅当时，即，时，等号成立）
所以，，故，
故的最小值为．
故选：．
11．（2022•曲阜市校级模拟）若函数的图象关于直线对称，则的最大值是
A．9B．14C．15D．16
【解析】解：的图象关于直线对称，
（1）（3），（5），
即，解得，，
即，
则，
由，解得或或，
由，解得或，此时函数单调递增，
由，解得或，此时函数单调递减，
作出对应的函数图象如图：
则当或时，函数取得极大值同时也是最大值
则，
故选：．
二．填空题
12．（2022秋•吴忠校级月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则函数的值域是，1，2，．
【解析】解：，
，
，
，1，2或3，
即函数的值域是，1，2，．
故答案为：，1，2，．
13．（2022春•梅河口市校级期中）已知，，且，则的最小值为．
【解析】解：因为，，且，
则，
当且仅当，即且，此时，或，时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
14．（2022秋•秦淮区校级月考）已知，，且，则的最小值为 6 ．
【解析】解：由，，且，
则，
当且仅当，又，即，，或，，上式取得等号．
所以的最小值为6．
故答案为：6．
15．（2022•郑州二模）已知，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为，．
【解析】解：不等式对任意的恒成立，
令，则，所以不等式等价于对恒成立，
变形可得不等式对恒成立，
令，，则不等式等价于对恒成立，
，当时，，故单调递增，
所以不等式转化为对恒成立，即对恒成立，
令，所以，令，解得，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以当时，取得最小值（e），
所以，又，
所以实数的取值范围为，．
故答案为：，．
16．（2022秋•太原期末）已知函数在，上的最小值为1，若对于任意，，不等式恒成立，则实数的最小值为．
【解析】解：由的导数为，
当时，，递增；
当时，，递减，
则在处取得极小值0，且为最小值0，
则，
所以，
当且仅当且时取等号，
即，故时取等号，
不等式恒成立即为，
令，，，，，
故在，递增，而，
故在递减，在，递增，
故的最大值是（1）或（2），
而（1）（2），故，
故答案为：．
17．（2022秋•道里区校级月考）若函数的值域是，则的取值范围是，．
【解析】解：当时，的最小值为1，
；
当时，的最大值为，
保证值域是，
，即
综上，可得的取值范围是．
故答案为：．
18．（2022秋•龙华区校级期中）设函数．
①若，则的最大值为 0 ；
②若无最大值，则实数的取值范围是．
【解析】解：①若，则，
当时，，此时函数为增函数，
当时，，此时函数为减函数，
当时，取得最大值，为．
②当时，，
图像如图所示：
，
由图可知存在最大值，
②当时，，
图像如图所示：
，
由图可知不存在最大值，
由（1）可知，当时，函数有最大值，
综上所述，若无最大值，则实数的取值范围是，
故答案为：0，．
19．（2022秋•贵阳月考）已知函数，若函数只有一个零点，则函数的最小值是 12 ．
【解析】解：函数，所以，故函数为奇函数，
由函数只有一个零点，
所以只有一个根，可得只有一个根，
由于在上单调递增，所以，化简可得只有一个根，
故△，解得，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故函数的最小值是12．
故答案为：12．
20．（2022秋•沈阳期末）已知函数若函数只有一个零点，则函数的最小值是 5 ．
【解析】解：函数满足，
且恒成立，
故是上的单调奇函数，
令，
所以，即只有一个实数解，
则△，解得，
，；
当且仅当时，即时取等号；
所以的最小值为5，
故答案为：5．
21．（2022秋•河西区期末）已知，，则的最小值为 2 ．
【解析】解：因为，，
所以，
当且仅当时，等号成立；
故答案为：2．
22．（2022春•忻州校级期中）若函数的图象关于直线对称，则的最大值是 16 ．
【解析】解：函数的图象关于直线对称，
且（1），
即且，
解之得，，
因此，，
求导数，得
当，，时，，
当，，时，，
在单调递增，在，单调递减，在单调递增，在，单调递减，
故当和时取极大值，
．
故答案为：16．
23．（2022•新疆模拟）不等式对，恒成立，则的最大值为．
【解析】解：，，恒成立，
设，，
则，
设，则在上恒成立，
在上单调递增，又（1），
当时，，当时，，
（1），，，
，的最大值为．
故答案为：．
三．解答题
24．（2022秋•南城县校级期中）已知函数，，函数的定义域为，．
（1）求的值；
（2）若，试判断函数在，上的单调性，并加以证明；
（3）若函数的最大值是，求的值．
【解析】解：（1），．
（2）由（1）及得，．
任取，则，
，，
，
，
即，
即，
在，上是减函数，
（3）设，，
．
．
，．
①当，即时，，；
②当，即时，，，（舍；
③当，即时，，（舍．
综上
25．（2022春•雅安校级期末）已知函数，其中．
（1）若对一切，恒成立，求的取值集合；
（2）在函数的图象上去定点，，，，记直线的斜率为，证明：存在，，使恒成立．
【解析】（1）解：，令得．
当时，单调递减；当时，单调递增，
故当时，取最小值．
于是对一切，恒成立，当且仅当．①
令，则．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
故当时，大值（1）．
因此，当且仅当时，①式成立．
综上所述，的取值集合为．
（2）证明：由题意知，．
令，
则，
．
令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
故当，，即．
从而，，
又，，所以，．
因为函数在区间，上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在，使，即成立．
26．（2022•广西一模）设，，其中，，且．
（1）试讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）由题意得：，
①时，的定义域是，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
②时，的定义域是，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增；
综上：时，在递减，在递增，
时，在递减，在递增．
（2）当时，，恒成立，
等价于恒成立，即恒成立，
即恒成立，设，
则，
设，则，
当时，，当，时，，
故在递减，在，递增，
故，故，
又，故当时，，当时，，
故在单调递减，在单调递增，
故（1），
故，即的取值范围是，．
27．（2022•九江一模）已知函数，，且直线和函数的图象相切．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设，若不等式对任意恒成立，为的导函数），求的最大值．
【解析】解：（Ⅰ）设切线的坐标为，由得，
切线方程为，即，
由已知和为同一条直线，
，，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
当且仅当时等号成立，，，
（Ⅱ）由于，，
，，，
令，，，
令，，，
在单调递增，且（1），（2），
在上存在唯一零点，设此零点为，且，
当时，，当，时，，
，
由，，
，
又，，
的最大值为2．
28．（2022秋•天心区校级月考）已知函数对一切实数，，等式都成立，且（1）．
（1）求函数的解析式；
（2）已知，，，当时，使不等式恒成立的的集合记为；当，时，使是单调函数的的集合记为．求．
（3）设，，，，记的最小值为，求的最大值．
【解析】解：（1）令，则（1），，
故．
（2），
则，恒成立，
所以，，；，，为单调函数，
所以或，即或，，，；
所以，．
（3），，，分情况讨论：
①当，时，，；
②当，时，（2），（5）；
③当，时，，此时（1）；
综上所述，的最大值为．
29．（2022•天河区二模）已知函数，在点，（e）处的切线方程为．
（1）求，的值及函数的极值；
（2）若．且对任意的恒成立，求的最大值．
【解析】解：（1），，
函数在点，（e）处的切线方程为，
，解得，．
，则，
由，得．
当时，，当，时，．
在上为减函数，在，上为增函数，
则当时，函数取得极小值为；
（2）当时，
由，得．
令，
则，
设，则，
在上为增函数，
（3），（4），
，且，
当时，，，在上单调递减；
当，时，，，在，上单调递增．
，
，
，，
，的最大值为3．
30．（2022•呼和浩特模拟）已知函数，，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，对任意恒成立，求的最大值．
【解析】解：（Ⅰ），
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（Ⅱ）即为，即，
设，则，
易知函数在上单调递增，
而，所以，即，当时，即为，
设，则，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
（e），
，即的最大值为．