第18讲 不等式的最值问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

第18讲 不等式的最值问题

参考答案与试题解析

一．选择题（共14小题）

1．（2021春•沈阳期末）若正数，满足，当取得最小值时，的值为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：，，，，

，

当且仅当，即时取等号，

的值为3．

故选：．

2．（2021•和平区校级二模）已知，，为正实数，则的最大值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

，当且仅当时取等号，

故的最大值为，

故选：．

3．（2021•西湖区校级模拟）已知，，．则的最大值为　　

A．1 B． C． D．2

【解答】解：，，．

则

，

令，，则，

则．

当且仅当时，取得等号，

则的最大值为，

故选：．

4．（2021秋•杨浦区校级期末）设，则取得最小值时，的值为　　

A． B．2 C．4 D．

【解答】解：法一：，

，当且仅当时取等号，

，当且仅当时取等号，

，

故选：．

法二：

，

当且仅当，，，即，，时取等号，

故取得最小值时，的值为．．

故选：．

5．（2021春•重庆校级期中）设，则的最小值为　　

A．2 B．4 C． D．

【解答】解：由，可得，

则

．

当且仅当时取等号．

因此的最小值为．

故选：．

6．（2021秋•镇平县校级期末）若不等式对一切正数、恒成立，则正数的最小值为　　

A．1 B．2 C． D．

【解答】解：不等式对一切正数、恒成立，．

令，，．

令，则，

，

令，解得，可知当时，取得极大值即最大值，

．

．

故的最小值为2．

故选：．

7．（2021•济南三模）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是　　

A．或 B．或 C． D．

【解答】解：

若恒成立，则使恒成立，

，求得

故选：．

8．（2021•唐山二模）已知正数、、满足，则的最小值为　　

A．3 B． C．4 D．

【解答】解：由题意可得，，

，

当且仅当即时取等号，

又，，

当且仅当时取等号，，

，，

，

当且仅当且时取等号，

的最小值为4

故选：．

9．（2021春•柯桥区期末）已知正实数，满足，若对任意满足条件的正实数，都有不等式恒成立，则实数的取值范围为　　

A．， B．， 

C．， D．，，

【解答】解：，

可得，

由，，解得，

对任意满足条件的正实数，都有

不等式恒成立，

可得的最小值，

可令，则在递增，可得的最小值为，

则，

故选：．

10．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知正实数，满足，若对任意满足条件的，，都有恒成立，则实数的最大值为　　

A． B．7 C． D．8

【解答】解：正实数，满足，而，

，

，

或（舍去），

．

又正实数，有恒成立，

恒成立，

，

令，，由双钩函数的性质得在，上单调递增，

（6）．

，即的最大值为7．

故选：．

11．（2021春•东湖区校级期中）已知，，，则的最小值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，得，

解得且，

①当时，，

，

，

当且仅当即时取等号；

②当时，，

，

当且仅当即时取等号．

综上可得，最小值

故选：．

12．（2021春•西陵区校级期中）设正实数，，满足，则当取得最小值时，的最大值为　　

A．1 B． C．2 D．

【解答】解：正实数，，满足，，

，当且仅当，时取等号．

，，，时取等号．

的最大值为2．

故选：．

13．设，，，且，则的最大值是　　

A．13 B．12 C．11 D．10

【解答】解：，，，且，

，即，

那么令函数，

令，

则，

当在，时，，在，上是单调递减；

当在，时，，在，上是单调递增；

（2）；

同理：令，

则，

当在，时，，在，上是单调递减；

当在，时，，在，上是单调递增；

（2）．

故当，，时，函数取得最大值，

即．

故选：．

14．（2021•浙江模拟）对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为　　

A． B． C． D．2

【解答】解：，

，由柯西不等式得，

故当最大时，有，

，，

，

时，取得最小值为．

故选：．

二．填空题（共15小题）

15．（2021•浙江模拟）已知正数，，满足：，，则的取值范围是　　．

【解答】解：令，，

由，，

由，得，

即，

则问题等价为，满足约束条件，

求目标函数的取值范围，

根据线性规划，作出对应的图象，

求出，

，

故答案为：

16．（2021•浙江模拟）若正数，满足，则的最小值为　　．

【解答】解：正数，满足，．

．

当且仅当，即时取等号，此时结合，

得

，可知的最小值为．

故答案为．

17．（2021•徐汇区校级开学）设实数、、满足，则的最小值为　　．

【解答】解：法1：令，，其中：，，．

则

，当且仅当取等号．

的最小值为．

故答案为：．．

法实数，，满足，

，当，时取等号，

的最小值为．

故答案为：．

18．（2021秋•浙江月考）若实数，满足条件，且，则的最小值为　2　．

【解答】解：，

，

令，则，因此，

则原式（1）．

的最小值为2．

故答案为：2．

19．（2021•南通模拟）已知，，，若，则的最小值为　　．

【解答】解：，，．

令，解得，，．

则，

当且仅当，即，时取等号．

的最小值为．

故答案为：．

20．（2021秋•上城区校级期中）若，，则的最小值为　　．

【解答】解：，，

所以，

所以．

当且仅当时，取得最小值．

故答案为：

21．（2021春•泗县校级期末）设正实数，满足，则的取值范围是 　　．

【解答】解：正实数，满足，

，，

当且仅当时取等号．

则，

．

故的取值范围为．

故答案为：

22．（2021秋•皇姑区校级期末）设，则最小值为　4　．

【解答】解：，

则

（当时取等号）

（当即时取等号）

（当且仅当即时取等号）

即最小值为4

故答案为：4

23．（2021秋•浦东新区校级期中）若不等式对任意，恒成立，则的取值范围是　，　．

【解答】解：不等式，，，

，

令，可得：．

．

可知：时函数取得最大值，．

．

．

不等式对任意，恒成立，

的取值范围是．

故答案为：，．

24．（2021秋•河东区校级月考）已知正实数，满足，则的最小值是　　．

【解答】解：正实数，满足，

，

当且仅当且，即，时取等号，

则的最小值．

故答案为：．

25．（2015•宝安区校级二模）设二次函数的值域为，，则的最大值为　　．

【解答】解：因为二次函数的值域为，，

所以，

所以

由于（当且仅当时取等号）

所以．

故答案为：

26．（2021•蓝山县校级模拟）已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为　3　．

【解答】解：一元二次不等式对一切实数都成立，

当时，不符合题意；

当时，根据的图象，

，由此，

，，

得，

则，

即时，取等号，

故答案为：3．

27．（2021春•青羊区校级期末）已知正实数，满足，若对任意满足条件的，，都有恒成立，则实数的取值范围为　，　．

【解答】解：正实数，满足，而，

，

，

或（舍去），

．

又正实数，有恒成立，

恒成立，

，

令，，由双钩函数的性质得在，上单调递增，

（6）．

．

故答案为：，．

28．（2021•辽宁）对于，当非零实数，满足且使最大时，的最小值为　　．

【解答】解：，

由柯西不等式得，

故当最大时，有

，

当时，取得最小值为．

故答案为：

29．对于，当非零实数、满足且使最大时，的最小值为　　．

【解答】解：，

，

由柯西不等式得，，

故当最大时，有，

，，

当时，取得最小值为．

故答案为：．

三．解答题（共3小题）

30．例2．若的最小值．

【解答】解：；

故其最小值为3．

31．已知正实数，满足，求的最小值．

【解答】解：

，

由，可得（当且仅当时取等号），

所以且，

所以，

所以的最小值为．

32．（2021•天门模拟）已知实数，，，满足，，试求的最值．

【解答】解：由柯西不等式得即

将条件代入可得，解得

当且仅当时等号成立，

可知，，时最大，

，，时，最小．