人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案设计

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知识精讲
知识点 平面向量运算的正交分解及坐标表示
（1）向量的分解
一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解．
（2）向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底．
【微点拨】（1）相等的向量坐标相同；
（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关．
在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．
（3）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标相同．
【即学即练1】如图所示，向量，的坐标分别是（ ）
A．-3，2B．-3.4C．2，-2D．2，2
【答案】C
【分析】
由数轴上向量的坐标的定义即可得出结果,,
【详解】
由数轴上向量的坐标的定义可知,,
所以向量，的坐标分别是2，-2.
故选：C
【即学即练2】已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得=(x,y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2；
③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，则的始点是原点O；
④若x，y∈R，≠，且的终点坐标是(x,y)，则=(x,y)．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】
根据平面向量的基本定理、向量的坐标表示，及向量始点、终点与向量坐标的关系，即可判断各项的正误.
【详解】
由平面向量基本定理，存在唯一的一对实数x，y使，①正确；
举反例，=(1,0)≠(1,3)，但1=1，②错误；
由向量可以平移，所以=(x,y)与a的始点是不是原点无关，③错误；
当的终点坐标是(x,y)时，=(x,y)是以的始点是原点为前提的，④错误．
故选：A
【即学即练3】平面直角坐标系中，的坐标（ ）
A．与点的坐标相同
B．与点的坐标不相同
C．当与原点重合时，与点的坐标相同
D．当与原点重合时，与点的坐标相同
【答案】C
【分析】
根据直角坐标系中，由向量的坐标表示，结合各选项的描述判断正误即可.
【详解】
A：仅当点与原点重合时，向量与点的坐标相同，错误；
B：只有当点不与原点重合时，向量与点的坐标不相同，错误；
C：如A中描述，正确；
D：当与原点重合时，的坐标值与的对应坐标值互为相反数，错误.
故选：C．
【即学即练4】已知为坐标原点，若点的坐标，向量，则（ ）
A．点与点重合
B．点在直线上
C．的位置向量为
D．
【答案】C
【分析】
由条件可得，然后可判断出答案.
【详解】
因为为坐标原点，点的坐标，向量
所以，所以的位置向量为，故C正确，D错误
其中点的位置定不了，可以移动，故A，B错误
故选：C
【即学即练5】已知点，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设P点坐标为，根据得解方程组即得点P的坐标.
【详解】
由点P在线段AB上，且知，
设P点坐标为，则，即
解得即P点坐标为，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
【即学即练6】已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，则P点的坐标为( )
A．(－8,1)B．
C．D．(8，－1)
【答案】B
【分析】
由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.
【详解】
解：设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，
所以，解得，即，
故选B.
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.
【即学即练7】已知A(2,0)，＝(x＋3,x－3y－5)，若，其中O为原点，则x＝________，y＝________.
【答案】-1 -2
【分析】
，由向量的坐标表示计算即可得出结果.
【详解】
因为A(2,0)，＝(x＋3,x－3y－5)， ，
所以解得
故答案为：-1,-2.
【即学即练8】如图，向量，，的坐标分别是________，___________，_____________．
【答案】
【分析】
将向量，，分别向基底，所在的直线分解，由平面向量的坐标表示即可求解.
【详解】
将向量，，分别向基底，所在的直线分解，
则，，，
所以，，，
故答案为：；；.
【即学即练9】在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为________.
【答案】
【分析】
先求BC中点 ，进而得，再求模长即可.
【详解】
BC中点为D，，
∴
故答案为：
能力拓展
考法01
1.在求一个向量时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标；
【典例1】如果用分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由已知点坐标写出的坐标，根据平面向量的基本定理，可写出表示的代数形式.
【详解】
由题意知：，
∴.
故选：A.
【典例2】若、，则向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用平面向量的坐标求法求解.
【详解】
、，
，，，，，
故选：B．
【即学即练10】以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使A=90°，则的坐标为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】B
【分析】
设出点的坐标，求出向量的坐标表示，利用，求出点的坐标，进而求出的坐标表示.
【详解】
设，，因为三角形OAB是等腰直角三角形，且,所以,即,解方程组得
或所以或,故本题选B.
【点睛】
本题考查了向量坐标表示，考查了等腰三角形的性质，以及平面向量数量积的应用，向量模的计算公式.
【即学即练11】已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由旋转得到点B的坐标，从而得解.
【详解】
向量（5，12），
将绕原点按逆时针方向旋转90°得到，点B的坐标（﹣12，5），如图：
所以．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标表示，属于基础题.
考法02
2.求向量的模长：
【典例3】若向量的始点为，终点为，则向量的模为________
【答案】5
【分析】
首先求出的坐标，再根据向量模的计算公式计算可得；
【详解】
解：因为向量的始点为，终点为，所以，所以
故答案为：
【即学即练12】已知，且，则实数k的值是___________.
【答案】
【分析】
由平面向量模的坐标表示列方程即可得解.
【详解】
因为，
所以，解得.
故答案为：.
【即学即练13】在△ABC中，已知，则BC边的中线AD的长是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据中点坐标公式求得点坐标，从而得到，求解即为结果.
【详解】
由题意知：中点为

本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量模长的坐标运算，属于基础题.
【即学即练14】设0≤θ0，n>0B．m>0，n