2023-2024学年上海市浦东新区高一（上）月考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区高一（上）月考数学试卷（10月份），共10页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{b|b＝4a，a∈A}＝ ．（用列举法表示）
2．（3分）设全集U＝R，若集合A＝{x||x|≥1，x∈R}，则＝ ．
3．（3分）已知，则a﹣3b的取值范围是 ．
4．（3分）若“x＜m”是“x＜4”的充分条件，则m的取值范围是 ．
5．（3分）用反证法证明命题“a1x+b1＞0或a2x+b2＞0”时要做的假设是 ．
6．（3分）设方程2x2﹣5x+1＝0的两根为x1、x2，则＝ ．
7．（3分）不等式的解集为 ．
8．（3分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（2，3），则关于x的不等式ax2﹣bx+c≤0的解集为 ．
9．（3分）已知集合A＝{（x，y）|x+ay+6＝0}，B＝{（x，y）|3x+3y+2a＝0}，若A∩B＝∅，则a＝ ．
10．（3分）不等式|2x﹣3|＜x+1的解集是 ．
11．（3分）已知集合M＝{m∈Z|x2+mx﹣36＝0有整数解}，非空集合A满足条件：
（1）A⊆M，
（2）若a∈A，则﹣a∈A，则所有这样的集合A的个数为 ．
12．（3分）若关于x的不等式|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集A⊇{1，2}，则实数a的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填涂在答题纸对应位置．）
13．（4分）α：x是2的倍数，β：x是6的倍数，则α是β的（ ）条件．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分不必要条件
14．（4分）如果a＜b＜0，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A．a2＞abB．a2＜b2C．D．
15．（4分）设集合I＝{1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min（A），（其中|A|表示A中元素的个数，min（A）表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
16．（4分）已知实数a＜b，关于x的不等式x2﹣（a+b）x+ab+1＜0的解集为（x1，x2），则实数a、b、x1、x2从小到大的排列是（ ）
A．a＜x1＜x2＜bB．x1＜a＜b＜x2C．a＜x1＜b＜x2D．x1＜a＜x2＜b
三、解答题（本大题共5题，满分48分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答过程写在符题纸对应位置.）
17．（8分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜a}，集合．
（1）若a＝2，求A∪B；
（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
18．（8分）求关于x的不等式3ax2﹣（3a+2）x+2＜0（a∈R）的解集．
19．（8分）（1）已知x∈R，比较2x2+3x﹣1与7x﹣3的大小；
（2）设x，y是不全为零的实数，试比较2x2+y2与x2+xy的大小，并说明理由．
20．（12分）已知关于x的不等式（k2﹣4k﹣5）x2+（k+1）x+1＞0（k∈R）的解集为M．
（1）若k＝1，求x的取值范围；
（2）若M＝R，求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，满足：“对于任意正整数n，都有n∈M；对于任意负整数m，都有m∉M”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
21．（12分）设A是实数集的非空子集，称集合B＝{uv|u，v∈A且u≠v}为集合A的生成集．
（1）当A＝{2，3，5}时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，并说明理由．
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，满分36分，每题3分，请将正确答案直接填写在答题纸相应空格上）
1．【分析】根据题意，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：因为集合A＝{0，1，2}，集合B＝{b|b＝4a，a∈A}，则集合B中的元素有0，4，8，
所以B＝{0，4，8}．
故答案为：{0，4，8}．
【点评】本题主要考查集合的表示法，属于基础题．
2．【分析】求解绝对值的不等式化简A，再由补集运算的定义得答案．
【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{x||x|≥1，x∈R}＝{x|x≤﹣1或x≥1，x∈R}，
∴＝{x|﹣1＜x＜1，x∈R}．
故答案为：{x|﹣1＜x＜1，x∈R}．
【点评】本题考查补集及其运算，是基础题．
3．【分析】利用不等式的性质计算即可．
【解答】解：由题意可知﹣9≤﹣3b≤0，由不等式同向可加性得﹣7≤a﹣3b≤3，
所以a﹣3b的取值范围是[﹣7，3]．
故答案为：[﹣7，3]．
【点评】本题主要考查不等式的性质，考查计算能力，属于基础题．
4．【分析】根据题意，由条件可得{x|x＜m}⊆{x|x＜4}，即可得到结果．
【解答】解：由题意可得，{x|x＜m}⊆{x|x＜4}，则m≤4，所以m的取值范围是（﹣∞，4]．
故答案为：（﹣∞，4]．
【点评】本题考查了充分条件的定义，子集的定义，考查了计算能力，是基础题．
5．【分析】根据题意，由反证法的证明方法即可得到结果．
【解答】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a1x+b1≤0且a2x+b2≤0”．
故答案为：“a1x+b1≤0且a2x+b2≤0”．
【点评】本题考查反证法的应用，是基础题．
6．【分析】本题考查韦达定理的应用，属于基础题．
【解答】解：因为2x2﹣5x+1＝0的两根为x1、x2，
故，x1x2＝，
故＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查韦达定理的应用，属于基础题．
7．【分析】将原不等式转化为，化简即可得出答案．
【解答】解：原不等式转化为，解得：﹣1＜x≤6，
所以不等式的解集为{x|﹣1＜x≤6}．
故答案为：（﹣1，6]．
【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
8．【分析】由题意得a＜0，且关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根分别为2、3，利用韦达定理可得b、c与a的等量关系，利用二次不等式的解法求解不等式ax2﹣bx+c≤0即可．
【解答】解：因为关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（2，3），
则a＜0，且关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根分别为2、3，
由韦达定理可得，所以，
所以不等式ax2﹣bx+c≤0为ax2+5ax+6a≤0，即x2+5x+6≥0，
解得x≤﹣3或x≥﹣2，
所以不等式ax2﹣bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣3或x≥﹣2}．
故答案为：{x|x≤﹣3或x≥﹣2}．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，是基础题．
9．【分析】根据题意可知两直线平行，从而建立方程，即可求解．
【解答】解：依题知两直线平行，则1×3﹣a×3＝0，解得a＝1，
经验证a＝1时，两直线不重合，所以a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查集合的基本运算，直线的平行关系，属基础题．
10．【分析】分两种情况：2x﹣3大于等于0和小于0，根据绝对值的代数意义分别化简绝对值，得到两个一元一次不等式，求出两解集的并集即为原不等式的解集．
【解答】解：当2x﹣3≥0，即x≥时，原不等式化为2x﹣3＜x+1，
解得：x＜4，不等式的解集为：≤x＜4；
当2x﹣3＜0，即x＜时，原不等式化为3﹣2x＜x+1，
解得：x＞，不等式的解集为：＜x＜，
综上，原不等式的解集为{x|＜x＜4}，
故答案为：{x|＜x＜4}．
【点评】此题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．
11．【分析】根据集合M＝{m∈Z|x2+mx﹣36＝0有整数解}，利用韦达定理，可求出集合M，进而根据已知中集合A满足的两个条件，可得互为相反数的两个元素同属于A，或同不属于A，进而得到满足条件的集合A的个数．
【解答】解：（1）∵x2+mx﹣36＝0的整数解只能是36的约数
当方程的解为﹣1，36时，m＝﹣35；
当方程的解为﹣2，18时，m＝﹣16；
当方程的解为﹣3，12时，m＝﹣9；
当方程的解为﹣4，9时，m＝﹣5；
当方程的解为﹣6，6时，m＝0；
当方程的解为1，﹣36时，m＝35；
当方程的解为2，﹣18时，m＝16；
当方程的解为3，﹣12时，m＝9；
当方程的解为4，﹣9时，m＝5；
故集合M＝{﹣35，﹣16，﹣9，﹣5，0，5，9，16，35}
由非空集合A满足条件：（1）A⊆M，（2）若a∈A，则﹣a∈A，
可得这样的集合共有25﹣1＝31个
故答案为：31
【点评】本题考查的知识是集合包含关系及时应用，其中分析出A中不确定元素的组（个）数是解答的关键．
12．【分析】由题知，1，2 都是不等式的解可得不等式组，再求解即可．
【解答】解：∵关于x的不等式|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集A⊇{1，2}，
∴1，2都是不等式的解，∴，∴，
∴，∴，∴﹣3≤a≤0．
∴实数a的取值范围为[﹣3，0]．
故答案为：[﹣3，0]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力，属于基础题．
二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填涂在答题纸对应位置．）
13．【分析】根据题意，利用充分必要条件的定义加以判定，即可得到本题的答案．
【解答】解：若x是6的倍数则它一定是2的倍数，即由β可推出α．
反之，若x是2的倍数但不一定是6的倍数，比如x＝2，不能被6整除，即由α不能推出β，
因此，α是β的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查了整数的整除性质、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
14．【分析】利用不等式的性质可判断AC，利用作差法可判断BD．
【解答】解：对于A，∵a＜b＜0，∴a2＞ab，故A正确；
对于B，∵a＜b＜0，∴a﹣b＜0，a+b＜0，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＞0，即a2＞b2，故B错误；
对于C，∵a＜b＜0，∴，故C错误；
对于D，∵a＜b＜0，∴ab＞0，b﹣a＞0，
∴＝＞0，即，故D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题．
15．【分析】根据好子集的定义，分类讨论即可求出．
【解答】解：当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}，
当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}，
当|A|＝3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}，
综上所述：I的所有好子集的个数为8，
故选：B．
【点评】本题的关键理解题中定义，运用分类讨论思想进行求解．
16．【分析】不等式x2﹣（a+b）x+ab+1＜0可化为（x﹣a）（x﹣b）+1＜0，设g（x）＝（x﹣a）（x﹣b），f（x）＝g（x）+1，画出函数g（x）与函数f（x）的图像，利用数形结合法即可求出结果．
【解答】解：不等式x2﹣（a+b）x+ab+1＜0可化为（x﹣a）（x﹣b）+1＜0，
设g（x）＝（x﹣a）（x﹣b），f（x）＝g（x）+1，
画出函数g（x）与函数f（x）的图像，如图所示，
由图像可知，a＜x1＜x2＜b，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，同时考查了数形结合的数学思想，是基础题．
三、解答题（本大题共5题，满分48分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答过程写在符题纸对应位置.）
17．【分析】（1）当a＝2时，化简集合A，集合B，再根据集合的并集运算可得解；
（2）A⋂B＝A即A⊆B，抓住集合A是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解．
【解答】解：（1）若a＝2，由|x﹣2|＜2，解得0＜x＜4，则A＝{x|0＜x＜4}，
又，即等价于（x+2）（x﹣3）＜0，解得﹣2＜x＜3，
则B＝{x|﹣2＜x＜3}，
∴A∪B＝{x|﹣2＜x＜4}．
（2）由A⋂B＝A等价于A⊆B，
当a≤0时，集合A＝∅，符合A⊆B；
当a＞0时，由|x﹣2|＜a，解得2﹣a＜x＜2+a，
即A＝{x|2﹣a＜x＜2+a}，又B＝{x|﹣2＜x＜3}，
∴，解得0＜a≤1，
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．
【点评】本题考查集合的基本运算，属中档题．
18．【分析】当a＝0时，不等式为一元一次不等式，化简即可求解，当a≠0时，求出方程的两根，然后比较两根的大小，再根据a的符号以及一元二次不等式的解法即可求解．
【解答】解：当a＝0时，不等式化为﹣2x+2＜0，解得x＞1，
当a≠0时，方程3ax2﹣（3a+2）x+2＝0的两根分别为：1，，
当，即a＝时，不等式化为（x﹣1）2＜0，不等式无解，
当＜1，即a＞时，不等式解集为（，1），
当0＜a＜时，＞1，不等式的解集为（1，），
当a＜0时，不等式的解集为（﹣）∪（1，+∞），
综上，当a＝0时，不等式的解集为（1，+∞），
当a＝时，不等式的解集为∅，
a＞时，不等式解集为（，1），
当0＜a＜时，不等式的解集为（1，），
当a＜0时，不等式的解集为（﹣）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查了含参数一元二次不等式的解法，考查了学生的分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．
19．【分析】作差法比较大小．
【解答】解：（1）2x2+3x﹣1﹣（7x﹣3）＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2≥0，
所以2x2+3x﹣1≥7x﹣3；
（2）（2x2+y2）﹣（x2+xy）＝x2﹣xy+y2，
当x＝0，y≠0时，（2x2+y2）﹣（x2+xy）＝y2＞0，即2x2+y2＞x2+xy，
当x≠0，y＝0时，（2x2+y2）﹣（x2+xy）＝x2＞0，即2x2+y2＞x2+xy，
当x≠0，y≠0时，，即2x2+y2＞x2+xy，
故2x2+y2＞x2+xy．
【点评】本题主要考查不等式比较大小，属于基础题．
20．【分析】（1）直接求解不等式，即可得到结果．
（2）讨论二次项系数k2﹣2k﹣3＝0及不为0时，求出原不等式的解集为R时k的取值范围．
（3）根据题意得出解集M，讨论k2﹣4k﹣5的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可．
【解答】解：（1）当k＝1时，不等式为﹣8x2+2x+1＞0，即（4x+1）（2x﹣1）＜0，解得，
所以x的取值范围是．
（2）当k2﹣4k﹣5＝0时，解得k＝5，或k＝﹣1，
①当k＝﹣1时，不等式化为1＞0，所以k＝﹣1时，不等式的解集为R；
②当k＝5时，不等式化为6x+1＞0，对任意实数x不等式不成立；
③当时，解得，
所以k的取值范围是（﹣∞，﹣1）⋃（7，+∞）；
综上所述，实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]⋃（7，+∞）．
（3）根据题意，得出解集M＝（t，+∞），t∈[﹣1，1），
当k2﹣4k﹣5＝0时，解得k＝5，或k＝﹣1，
k＝5时，不等式的解集为，满足条件，
k＝﹣1时，1＞0恒成立，不满足条件，
当k2﹣4k﹣5＞0时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是（t，+∞）的形式，不满足条件，
当k2﹣4k﹣5＜0时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是（t，+∞）的形式，不满足条件，
综上，存在满足条件k的值为5．
【点评】本题考查了解含有字母系数的不等式应用问题，也考查了转化思想，是中档题．
21．【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；
（2）设A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，且0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，利用生成集的定义即可求解；
（3）不存在，理由反证法说明．
【解答】解：（1）∵A＝{2，3，5}，∴B＝{6，10，15}；
（2）设A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，不妨设0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
因为a1a2＜a1a3＜a1a4＜a1a5＜a2a5＜a3a5＜a4a5，所以B中元素个数大于等于7个，
又A＝{21，22，23，24，25}，B＝{23，24，25，26，27，28，29}，此时B中元素个数大于等于7个，
所以生成集B中元素个数的最小值为7；
（3）不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合A＝{a，b，c，d}，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，
不妨设0＜a＜b＜c＜d，则集合A的生成集B＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}；
则必有ab＝2，cd＝16，其4个正实数的乘积abcd＝32；
也有ac＝3，bd＝10，其4个正实数的乘积abcd＝30，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}．
【点评】本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题．