2024年河北省石家庄市长安区中考一模数学试卷

这是一份2024年河北省石家庄市长安区中考一模数学试卷，共4页。

注意事项：1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上.
3.答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题共16个小题.1-6 小题每小题3分，7-16 小题每小题2分，共38分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. -2比2
A. 小2 B. 大2 C. 小4 D. 大4
2.一艘轮船在P处向M 处的海上巡逻艇呼叫救援，根据图1.所示，巡逻艇从 M 处去 P 处实施救援，若要航线最短，其航行的路线为
A.沿北偏东40°方向航行
B.沿南偏西 50°方向航行
C. 沿北偏东40°方向，航行30海里
D. 沿南偏西40°方向，航行30海里
3. 为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗距地球2.18亿千米的行星命名为“苏步青星”，将2.18亿用科学记数法表示为 2.18×10,则n=
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
4.若使用如图2所示的a，b两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是
A. a,b都可以
B. a,b都不可以
C. 只有a可以
D. 只有b可以
5. 整式 A=x-1,B=x²-x,下列结论：
结论一:A·x=B.
结论二：A，B的公因式为x.
下列判断正确的是
A. 结论一正确，结论二不正确 B. 结论一不正确，结论二正确
C. 结论一、结论二都正确 D. 结论一、结论二都不正确
数学试卷 第1页(共8页)
6.如图3，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转 90°后，主视图的面积为
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7.在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简 aa-b-1÷bα2-b2,以下变形过程正确的是
A. 原式 =aa-b-1⋅a2-b2b B. 原式 a-a-ba-b+ba-b2
C. 原式 a-a+ba-b,ba2-b2 D. 原式 a-a+ba-b,α2-b2b
8.如图4,∠1=70°,∠2=150°,则直线AB与CD所成的锐角的度数是
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
9. 如图5，数轴上有①，②，③，④四部分，数轴上的三个点分别表示数a，b，c且. a0,则原点落在
A.段①
B. 段②
C. 段③
D. 段④
10. 如图6,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是线段AB,CD,AC,BD的中点,对于四边形 EGFH 的周长，下列说法正确的是
A. 只与线段AB，CD的长有关
B. 只与线段AD，BC的长有关
C. 只与线段AC,BD的长有关
D. 与四边形ABCD各边的长都有关
11.班主任和甲、乙、丙三位同学围坐在圆桌前.如图7，班主任坐在了 D 座位，三位同学随机坐在A，B，C三个座位，则甲、乙两位同学座位相邻的概率是
A.12
B.13
C.14
D.23
数学试卷 第2页(共8页)12. 如图8，在正方形纸片ABCD上进行如下操作：
第一步：剪去长方形纸条AEFD；
第二步：从长方形纸片 BCFE 上剪去长方形纸条CFGH.
若长方形纸条AEFD和CFGH的面积相等，则AB的长度为
A. 30cm B. 15cm
C. 16cm D. 90cm
13.刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼，匀速走了60min后回到家(中间不休息).图9表示她出发后离家的距离s(km)与行走时间t(min)之间的函数关系图象.则下列图形中可以大致描述刘阿姨行走路线的是
14. 对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线? ”甲、乙的作法如图10：
甲的作法 乙的作法
连接OP，作OP的垂直平分线交 OP.于点G， 以点G为圆心，OG长为半径画弧交⊙O 于 M,作直线 PM.直线 PM 即为所求.连接PO 并延长,交⊙O于 B,C两点,分别.以P，O为圆心，PO，BC长为半径作弧， 两弧交于点D,连接OD,交⊙O 于点M,作直线 PM.直线 PM 即为所求.
图10
下列说法正确的是
A. 甲和乙的作法都正确 B. 甲和乙的作法都错误
C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 乙的作法正确，甲的作法错误
15. 如图11,直线 y=2x+2及反比例函数 y=kxx0)的图象与两坐标轴之间的阴影部分(不包括边界)有5个整点(横、纵坐标都为整数)，则k的取值可能是
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
数学试卷 第3页(共8页)
16. 如图12,矩形ABCD中,点E,F,G 分别在边AB,CD,AD上,将矩形分别沿GE,GF,EC折叠,使点A，D 恰好都落在点O 处，点B落在点B'处.以下结论：
Ⅰ :若点B'落在EF上,则 CF‖EC.
Ⅱ :若点 B'与点O重合，则 AB=AD.
下列判断正确的是
A. Ⅰ、Ⅱ都正确 B. Ⅰ、Ⅱ都不正确
C. 只有Ⅰ正确 D. 只有Ⅱ正确
二、填空题(本大题有3个小题，共10分.17小题2分，18~19 小题各4分，每空2分)
17. 计算: 4-9=¯.
18. 规定一种新运算:a☆b=ab+a-b,如2☆3=2×3+2-3=5.
(1)计算:(3a)☆5= ;
(2)如果2☆ 2x-3=3x²-2,则x的值为 .
19.图13-1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图13-2是该零件的俯视图，正方形ABCD的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，点E，F分别是正六边形的顶点.已知正六边形的边长为2，正方形边长为 a.
(1)连接EF,EF的长为 ;
(2)a的取值范围是 .
三、解答题(本大题有7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20.(本小题满分9分)
琪琪准备完成题目： 计算： -9×12-m-32. 发现题中有一个数字“■”被墨水污染了。
(1)琪琪猜测被污染的数字“■”是 23,请计算( -9×12-23-33;
(2)琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于-9，请通过计算求出被污染的数字“■”.
数学试卷 第4页(共8页)21. (本小题满分9分)
某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：
第1个等式： 15²=15×15=225=1×2×100+25;
第2个等式： 25²=25×25=625=2x3×100+25;
第3个等式： 35⁻=35×35=1225=3×4×100+25;
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)填空: 75²=75×75=;
(2)已知1≤n≤9且 n为整数，猜想第n个等式(用含 n的等式表示)，并证明.
22. (本小题满分9分)
鱼塘承包户小李在春天往鱼塘投放了2000条鱼苗，打算在中秋节前全部售出，据统计，鱼的存活率约为90%.小李随机捕捞了20条鱼，将每条鱼称重后得到的质量作为一个样本，然后把鱼又放回鱼塘.统计结果如图14所示：
(1)求样本的中位数和平均数；
(2)已知这种鱼的售价为 25 元/kg，利用样本平均数，估计小李售完鱼塘里的这种鱼的总收人.
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23. (本小题满分10分)
某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度y₁(m)与上升时间x(s)的函数图象如图15 所示；2号机从6m高度，以0.5m/s的速度上升，两架无人机同时起飞，设2号机所在高度为 y₂(m).
(1)求1号机所在高度与上升时间x之间的函数表达式(不必写出x的取值范围)，并在图15 y中画出2号机所在高度y₂(m)与上升时间x(s)的函数关系图象；
(2)在某时刻两架无人机能否位于同一高度? 如果能，求此时两架无人机的高度；如果不能，请说明理由.
24.(本小题满分10分)
如图16-1，某玩具风车的支撑杆OE垂直于桌面MN，点O为风车中心， OE=26cm,风车在风吹动下绕着中心O旋转，叶片端点A，B，C，D将⊙O四等分，已知⊙O的半径为 10cm.
(1)风车在转动过程中，当 ∠AOE=45°时,点A 在OE左侧,如图16-2所示,求点A 到桌面 MN的距离(结果保留根号)；
(2)在风车转动一周的过程中，求点A 到桌面的距离不超过21cm时，点A 所经过的路径长(结果保留π)；
(3)连接CE，当CE与⊙O相切时，求切线长 CE的值，并直接写出A，C两点到桌面 MN的距离的差.
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25. (本小题满分12分)
图17-1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图17-2所示的函数图象，并模拟过山车(抽象为点)的运动.线段AB是一段直滑道，点A 在y轴上，且( OA=1.滑道 B-C-D为抛物线 y=14x2+bx+c的一部分,在点C(4,2)处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A 的水平距离为2， BC⊥x轴于点G.滑道 B-C-D与滑道D-E-F可看作形状相同、开口方向相反的两段抛物线，点F(12，0).
(1)求抛物线B-C-D和D-E-F的函数表达式;
(2)当过山车沿滑道从点A 运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为 1.5时，求它到出发点A的水平距离；
(3)点M为B-C上的一点，求点M到BG和到x轴的距离之和(图中 MH+MN)的最大值及此时点M的坐标.
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26.(本小题满分 13分)
在 △ABC中, ∠ACB=90°,BC=3,AC=4,点P是AB的中点，M在AC上(不与点C重合)，连接PM,在PM 的左侧作矩形PMQN.
(1)如图18-1,当点N在线段BC上时,
①若 AM=2,求PN的长;
②求 tan∠PNM的值.
(2)如图 18-2,当 PN=PM时,
①若矩形PMQN在 △ABC内部(包括边界)，设 AM=x,写出CQ的长与x的函数关系式，并求x的取值范围；
②若矩形PMQN的两个顶点落在. △PCA的同一条边上，直接写出AC在矩形PMQN内部的线段长.
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