初中数学中考复习 数学-2020年中考考前20天终极冲刺攻略(四)

这是一份初中数学中考复习 数学-2020年中考考前20天终极冲刺攻略(四)，共137页。试卷主要包含了多边形的内角和与外角和定理，平行四边形，正方形，计算公式等内容，欢迎下载使用。




目 录 / contents




倒计时第5天 多边形与平行四边形 ………………………………………01










倒计时第4天 特殊的平行四边形 …………………………………………22







倒计时第3天 圆 ……………………………………………………………53







倒计时第2天 视图与投影 …………………………………………………88






倒计时第1天 统计与概率…………………………………………………104







——多边形与平行四边形




1．了解：多边形的概念，平行四边形的相关概念，多边形的内角和与外角和定理.
2．理解：多边形的内角和定理，平行四边形的性质与判定.
3．会：求一个多边形的内角和;用判定定理方法证明一个四边形是平行四边形.
4．掌握：多边形的外角和定理，平行四边形的性质定理与判定定理.
5．能：用多边形的外角和定理来解决相关问题;熟练地应用平行四边形的性质来解答有关线段和角的计算.

1．从考查的题型来看，主要以解答题的形式进行考查,少数以填空题或选择题的形式进行考查，属于中档题,难度一般.
2．从考查的内容来看,重点涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理;多边形与平行四边形的应用.
3．从考查的热点来看,主要涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理，多边形与平行四边形的实际综合应用.

一、多边形的内角和与外角和定理
1．多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°．
2．注意：多边形的边数每增加1，内角和增大180°，外角和不变；四边形的内角和与外角和的度数相等．
二、平行四边形
1．性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等；
（2）平行四边形的对边平行且相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分．
2．判定：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
3．注意：（1）夹在两条平行线间的平行线段相等；
（2）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积；
（3）由平行四边形的性质可以证明线段相等或角相等或平行关系；
（4）平行四边形的判定经常与全等三角形的有关问题相结合，学会将平行四边形问题转化为三角形问题；
（5）针对实际问题，灵活选用平行四边形的判定方法来证明一个四边形是平行四边形是解决此类问题的关键．

1．（2019•德阳）若一个多边形的内角和为其外角和的2倍，则这个多边形为（　　）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
【答案】A
【解析】设这个多边形是n边形，根据题意，得（n﹣2）•180°=360°×2，解得n=6，即这个多边形为六边形．故选A．
【考点】多边形内角与外角
2．（2019•黑龙江）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC=2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC=（　　）

A．14 B．16 C．26 D．310
【答案】B
【解析】∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC=2：1，
∴BC=AD，设AB=2x，则BC=x．
如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．
∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，∴四边形BOCE是菱形．
∴OE与BC垂直平分，∴EF=12AD=12x，OE∥AB，
∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE=AB=2x，
∴CF=12OE=x．∴tan∠EDC=EFDF=12x2x+x=16．故选B．

【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形
3．（2019•青海）如图，小莉从A点出发，沿直线前进10米后左转20°，再沿直线前进10米，又向左转20°，……，照这样走下去，她第一次回到出发点A时，一共走的路程是（　　）

A．150米 B．160米 C．180米 D．200米
【答案】C
【解析】∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为20°，
∴多边形的边数为360°÷20°=18，
∴小莉一共走了：18×10=180（米）．
故选C．
【考点】规律型：图形的变化类；多边形内角与外角
4．（2019•梧州）正九边形的一个内角的度数是（　　）
A．108° B．120° C．135° D．140°
【答案】D
【解析】该正九边形内角和=180°×（9﹣2）=1260°，则每个内角的度数=1260°9=140°．故选D．
【考点】多边形内角与外角
5．（2019•北京）正十边形的外角和为（　　）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
【答案】B
【解析】因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，故选B．
【考点】多边形内角与外角
6．（2019•广州）如图，▱ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．EH=HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
【答案】B
【解析】∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD中，AB=2，AD=4，
∴EH=12AD=2，HG=12CD=12AB=1，
∴EH≠HG，故选项A错误；
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EH=12AD=12BC=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；
由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；
∵点E、F分别为OA和OB的中点，
∴EF=12AB，EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴S△AEFS△OAB=(EFAB)2=14，
即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，
故选B．
【考点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
7．（2019•威海）如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE、CE、BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（　　）

A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF C．∠AEB=∠BCD D．∠AEC=∠CBD
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∴DE∥BC，∠ABD=∠CDB，
∵∠ABD=∠DCE，∴∠DCE=∠CDB，
∴BD∥CE，∴BCED为平行四边形，故A正确；
∵DE∥BC，∴∠DEF=∠CBF，
在△DEF与△CBF中，∠DEF=∠CBF∠DFE=∠CFBDF=CF，
∴△DEF≌△CBF（AAS），∴EF=BF，
∵DF=CF，∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；
∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBF，
∵∠AEB=∠BCD，∴∠CBF=∠BCD，∴CF=BF，
同理，EF=DF，∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；
∵AE∥BC，∴∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，
∵∠AEC=∠CBD，∴∠BDE=∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，故选C．

【考点】平行四边形的判定与性质
8．（2019•泸州）四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AD∥BC B．OA=OC，OB=OD
C．AD∥BC，AB=DC D．AC⊥BD
【答案】B
【解析】∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故选B．
【考点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
9．（2019•河池）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（　　）

A．∠B=∠F B．∠B=∠BCF C．AC=CF D．AD=CF
【答案】B
【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥=12AC．
A、根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B、根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C、根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D、根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故选B．
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定
10．（2019•德阳）已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOD是等边三角形，且AD=4，则AB等于（　　）
A．2 B．4 C．23 D．43
【答案】D
【解析】∵△AOD是等边三角形，
∴AD=OA=OD=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=12AC，OD=12BD，
∴AC=BD=8，
∴四边形ABCD是矩形，
在Rt△ABD中，AB=BD2-AD2=82-42=43，
故选D．
【考点】等边三角形的性质；平行四边形的性质
11．（2019•柳州）如图，在▱ABCD中，全等三角形的对数共有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC；OD=OB，OA=OC；
∵OD=OB，OA=OC，∠AOD=∠BOC；
∴△AOD≌△COB（SAS）；①
同理可得出△AOB≌△COD（SAS）；②
∵BC=AD，CD=AB，BD=BD；
∴△ABD≌△CDB（SSS）；③
同理可得：△ACD≌△CAB（SSS）．④
因此本题共有4对全等三角形．
故选C．
【考点】全等三角形的判定；平行四边形的性质
12．（2019•遂宁）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（　　）

A．28 B．24 C．21 D．14
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形的周长为28，
∴AB+AD=14
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE=ED，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD=14，
故选D．
【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质

1．（2020•长春模拟）在▱ABCD中，AB
A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm
2．（2020•福建模拟）已知一个多边形的外角和比它的内角和少540°，则该多边形的边数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2020•长春模拟）如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G=（　　）

A．36° B．54° C．60° D．72°
4．（2020•南通模拟）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，则△ODE与△AOB的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
5．（2020•永州一模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=12BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=14BC．其中成立的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2020•河南模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AD∥BC，AO=CO B．AD=BC，AO=OC
C．AD=BC，CD=AB D．S△AOD=S△COD=S△BOC
7．（2019•鸡西）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件____________，使四边形ABCD是平行四边形．

8．（2020•长春模拟）如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD=60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD=5，CF=3，则EF=____________．

9．（2020•江西模拟）如图，▱ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为____________．

10．（2020•武汉模拟）E为▱ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，且EF=DF．若∠C=52°，那么∠ABE=____________．

11．（2019•贵阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE=AD，连接BD．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）若DA=DB=2，cosA=14，求点B到点E的距离．

12．（2019•郴州）如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．

13．（2019•柳州）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．



1．（2020•思明区校级模拟）下列角度不可能是多边形内角和的是（　　）
A．270° B．360° C．540° D．900°
2．（2020•海门市校级模拟）已知一个正多边形的一个内角为150度，则它的边数为（　　）
A．12 B．8 C．9 D．7
3．（2020•东城区校级模拟）已知正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2020•萧山区一模）如图，▱ABCD的周长为22cm，对角线AC、BD交于点O，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，则△CDE的周长为（　　）

A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
5．（2020•三明模拟）如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD的面积是（　　）

A．30 B．36 C．54 D．72
6．（2019•贵池区二模）已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AB∥CD；②OA=OC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD∥BC，从以上5个条件中任选2个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　）组．

A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2020•荔湾区校级一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=4，AF=6，则AC的长为（　　）

A．45 B．63 C．230 D．2033
8．（2020•海淀区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=16，tan∠ABD=34，则线段AB的长为（　　）

A．7 B．10 C．5 D．27
9．（2020•市中区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为___________．

10．（2020•安徽二模）如图，点P为平行四边形ABCD内一点，连接PB，PC，PD，PB=AB，∠ABP=∠ADP=90°
（1）求∠BCP的度数；
（2）若PC=PD，求证：BP垂直平分线段CD．

11．（2020•宿松县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，CE=AB，DF⊥BC，垂足为点F，交CE于点G，连接DE，EF．
（1）求证：∠AED=90°-12∠DCE；
（2）若点E是AB边的中点，求证：∠EFB=12∠DEF．





1．【答案】D
【解析】∵对角线AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE=CE，
∵▱ABCD的周长为20cm，∴AD+DC=10cm，
∴△CDE的周长=DE+CE+CD=AE+DE+CD=AD+CD=10cm，故选D．
2．【答案】A
【解析】设多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）•180°﹣360°=540°，解得n=7．故选A．
3．【答案】B
【解析】如图：

由正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，可得∠DPG=90°，
∴∠G+∠EDG=90°，
∵∠EDF=360°5=72°，DG平分正五边形的外角∠EDF，
∴∠EDG=12∠EDF=36°，∴∠G=90°﹣∠EDG=54°．故选B．
4．【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO
∴S△AOB=S△BOC，S△BOC=S△COD．
∴S△AOB=S△COD．
∵点E是CD的中点
∴S△ODE=12S△COD=12S△AOB．
∴△ODE与△AOB的面积比为1：2
故选A．
5．【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，
∵AB=12BC，∴AE=12BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，
∵AB=12BC，OB=12BD，∵BD>BC，∴AB≠OB，故③错误；
或∵AC⊥AB，∴AB ∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD∥BC，∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴AE=CE，∴BE=CE，∵OA=OC，∴OE=12AB=14BC，故④正确．
故选C．
6．【答案】B
【解析】若∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，且AO=CO，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD≌△COB（AAS），∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意；
若AD=BC，CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C选项不合题意；
若S△AOD=S△COD=S△BOC，∴AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意；
故选B．
7．【答案】AD∥BC（答案不唯一）
【解析】根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD∥BC．
故答案为：AD∥BC（答案不唯一）．
8．【答案】4
【解析】如图，延长AE，BC交于点G，
∵点E是CD的中点，∴DE=CE，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠D=∠ECG，
又∵∠AED=∠GEC，∴△ADE≌△GCE，∴CG=AD=5，AE=GE，
又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE=∠DAE=∠G=12∠DAF=30°，∴AF=GF=3+5=8，
又∵E是AG的中点，∴FE⊥AG，
∴Rt△AEF中，EF=12AF=4，故答案为：4．

9．【答案】2或23或19
【解析】分两种情况：
（1）①当∠BPC=90°时，作AM⊥BC于M，如图1所示，
∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，
∴BM=12AB=1，∴AM=3BM=3，CM=BC﹣BM=4﹣1=3，
∴AC=AM2+CM2=23，∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，∴BP=BA=2；
②当∠BPC=90°，
点P在边AD上，CP=CD=AB=2时，
BP=BC2-CP2=42-22=23；
（2）当∠BCP=90°时，如图3所示：则CP=AM=3，
∴BP=BC2+CP2=19；
综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为2或23或19．
故答案为：2或23或19．

10．【答案】51°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=52°，
由折叠的性质得：∠BFE=∠A=52°，∠FBE=∠ABE，
∵EF=DF，
∴∠EDF=∠DEF=12∠BFE=26°，
∴∠ABD=180°﹣∠A﹣∠EDF=102°，
∴∠ABE=12∠ABD=51°；
故答案为：51°．
11．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=AD，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴四边形BCED是平行四边形；
（2）连接BE，
∵DA=DB=2，DE=AD，∴AD=BD=DE=2，∴∠ABE=90°，AE=4，
∵cosA=14，∴AB=1，∴BE=AE2-AB2=15．

12．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE（ASA），∴CD=FA，
又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形．
13．【解析】∴∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD，
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．



1．【答案】A
【解析】A、270°÷180°=1…90°，不是180°的倍数，故不可能是多边形的内角和；
B、360°÷180°=2，是180°的倍数，故可能是多边形的内角和；
C、540°÷180°=3，是180°的倍数，故可能是多边形的内角和；
D、900°÷180°=5，是180°的倍数，故可能是多边形的内角和．
故选A．
2．【答案】A
【解析】设该正多边形为正n边形．
则（n﹣2）×180°=150°×n
解得：n=12．
故选A．
3．【答案】D
【解析】∵正多边形的一个内角是135°，
∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数=360°45°=8，
∴这个正多边形的边数是8．
故选D．
4．【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC，AO=CO，
又∵EO⊥AC，
∴AE=CE，
∵▱ABCD的周长为22cm，
∴2（AD+CD）=22cm
∴AD+CD=11cm
∴△CDE的周长=CE+DE+CD=AE+DE+CD=AD+CD=11cm
故选D．
5．【答案】D
【解析】作DE∥AM，交BC的延长线于E，则ADEM是平行四边形，
∴DE=AM=9，ME=AD=10，
又由题意可得，BM=12BC=12AD=5，则BE=15，
在△BDE中，∵BD2+DE2=144+81=225=BE2，
∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，
过D作DF⊥BE于F，
则DF=BD⋅DEBE=365，
∴S▱ABCD=BC•FD=10×365=72．
故选D．

6．【答案】C
【解析】①与⑤根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与④，⑤与④根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与②，②与⑤根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形．
所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有6组．
故选C．

7．【答案】C
【解析】如图，连接AE，设EF与AC交点为O，

∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，AE=CE，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠OAF=∠OCE，
在△AOF和△COE中，∠AOF=∠COEOA=OC∠OAF=∠OCE，
∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF=CE=6，
∴AE=CE=6，BC=BE+CE=4+6=10，
∴AB=AE2-BE2=36-16=25，
∴AC=AB2+BC2=20+100=230，故选C．
8．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=DO=8，
∵tan∠ABD=34=AOBO，∴AO=6，
∴AB=AO2+BO2=36+64=10，故选B．
9．【答案】215
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=12，AE∥BC，AB∥CD，∴∠CFB=∠FBA，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠CFB=∠CBF，
∴CB=CF=8，∴DF=12﹣8=4，
∵DE∥CB，∴△DEF∽△CBF，∴EFBF=DFCF，∴2BF=48，∴BF=4，
∵CF=CB，CG⊥BF，∴BG=FG=2，
在Rt△BCG中，CG=BC2-BG2=82-22=215，故答案为215．
10．【解析】如图：1，延长DP，交BC于点E．
在平行四边形ABCD中，AB=DC，∠A=∠BCD，∠ABC=∠ADC，
又∵PB=AB，∴PB=CD．∵∠ABP=∠ADP=90°，
∴∠A+∠BPD=180°，∠PBE=∠CDE．
又∵∠A=∠BCD，∠BPE+∠BPD=180°，∴∠BPE=∠DCE，
在△BPE和△DCE中，∠PBE=∠CDEPB=CD∠BPE=∠DCE，
∴△BPE≌△DCE（ASA），
∴∠BEP=∠DEC=90°，CE=EP，∴∠BCP=45°．
（2）连接BD，延长DP交BC于点E，如图2：
∵△BPE≌△DCE，∴BE=DE，则∠BDP=45°，∴∠BDP=∠BCP．
∵PC=PD，∴∠PCD=∠PDC，∴∠BCD=∠BDC，∴BD=BC．
又∵PC=PD，∴BP垂直平分线段CD．

11．【解析】∵CE=AB，AB=CD，∴CE=CD，
∴∠CDE=∠CED=180°-∠DCE2=90°-12∠DCE，
∵CD∥AB，∴∠AED=∠CDE=90°-12∠DCE；
（2）如图，延长DA，FE于点M，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且DF⊥BC，∴DF⊥AD，∠M=∠EFB，
∵∠M=∠EFB，AE=BE，∠AEM=∠FEB，∴△AEM≌△BEF（AAS），
∴ME=EF，且DF⊥DM，∴ME=DE=EF，∴∠M=∠MDE，
∴∠DEF=∠M+∠MDE=2∠M，∴∠EFB=12∠DEF．


——特殊的平行四边形


1．了解：矩形、菱形、正方形的概念及其之间的相互关系.
2．理解：矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理.
3．会：会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明；会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形.
4．掌握：矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理.
5．能：能运用矩形、菱形、正方形及梯形的性质解决相关线段或角的问题；熟练运用特殊四边形的判定及性质定理对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明；能综合运用特殊四边形的性质和判定定理解决问题，发现决定中点四边形形状的因素.

1．从考查的题型来看，主要以选择题或解答题的形式进行考查,属于中、高档题,难度比较大,综合性比较强.
2．从考查的内容来看,重点涉及的有：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的性质与判定定理及其综合应用.
3．从考查的热点来看,主要涉及的有：平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理;特殊四边形的图形平移、轴对称、旋转与生产实际相结合的综合问题.

一、矩形
1．概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等；
（4）矩形是轴对称图形．
3．判定：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
4．注意：（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性——一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质——轴对称图形、内角都是直角、对角线相等；
（2）证明一个四边形是矩形时，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
二、菱形
1．概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边相等；
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）菱形是轴对称图形．
3．判定：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形；
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
4．菱形的面积：=底边长×高=两条对角线乘积的一半．
5．注意：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
三、正方形
1．概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．
3．注意：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形即可．

1．（2019•赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（　　）

A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD为菱形，
∴CD=BC=204=5，且O为BD的中点，
∵E为CD的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴OE=12CB=2.5，
故选A．
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的性质
2．（2019•镇江）如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是2310，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（　　）

A．103 B．10 C．163 D．3
【答案】A
【解析】如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．

∵E（﹣2，0），F（0，6），∴OE=2，OF=6，∴EF=22+62=210，
∵∠FGE=90°，∴FG≤EF，∴当点G与E重合时，FG的值最大．
如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC=2a．

∵PA=PB，BE=EC=a，∴PE∥AC，BJ=JH，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BH=DH=103，BJ=106，∴PE⊥BD，
∵∠BJE=∠EOF=∠PEF=90°，∴∠EBJ=∠FEO，∴△BJE∽△EOF，
∴BEEF=BJEO，∴a210=1062，∴a=53，∴BC=2a=103，故选A．
【考点】坐标与图形性质；菱形的性质
3．（2019•永州）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．40 B．24 C．20 D．15
【答案】B
【解析】∵AB=AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，
∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，∴AB=CD，∴四边形ABCD是菱形，
∵AB=5，BO=12BD=4，∴AO=3，∴AC=2AO=6，
∴四边形ABCD的面积=12×6×8=24，故选B．
【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
4．（2019•临沂）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM=DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）

A．OM=12AC B．MB=MO C．BD⊥AC D．∠AMB=∠CND
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB﹣BM=OD﹣DN，即OM=ON，∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM=12AC，∴MN=AC，∴四边形AMCN是矩形．故选A．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定．
5．（2019•朝阳）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=5，且EO=2DE，则AD的长为（　　）

A．56 B．65 C．10 D．63
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，BD=AC，OD=12BD，OC=12AC，∴OC=OD，
∵EO=2DE，∴设DE=x，OE=2x，∴OD=OC=3x，AC=6x，
∵CE⊥BD，∴∠DEC=∠OEC=90°，
在Rt△OCE中，
∵OE2+CE2=OC2，∴（2x）2+52=（3x）2，
∵x>0，∴DE=5，AC=65，
∴CD=DE2+CE2=(5)2+52=30，
∴AD=AC2-CD2=(65)2-(30)2=56，故选A．
【考点】矩形的性质
6．（2019•鸡西）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC=3：2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC=（　　）

A．29 B．14 C．26 D．310
【答案】A
【解析】∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC=3：2，
∴设AB=3x，BC=2x．
如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，
∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，
∴EF=12AD=12BC=x，OE∥AB，∴四边形AOEB是平行四边形，
∴OE=AB，∴CF=12OE=12AB=32x．∴tan∠EDC=EFDF=x3x+32x=29．故选A．

【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形
7．（2019•眉山）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（　　）

A．1 B．74 C．2 D．125
【答案】B
【解析】连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=6，AD=BC=8，OA=OC，
∵EF⊥AC，∴AE=CE，设DE=x，则CE=AE=8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+62=（8﹣x）2，
解得：x=74，即DE=74；故选B．

【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
8．（2019•鄂尔多斯）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（　　）

A．15° B．35° C．45° D．55°
【答案】C
【解析】在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
在等边△ABE中，AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°，
在△ADE中，AD=AE，∠DAE=∠BAD+∠BAE=90°+60°=150°，
所以，∠AED=12（180°﹣150°）=15°，
所以∠BED=∠AEB﹣∠AED=60°﹣15°=45°．故选C．
【考点】等边三角形的性质；正方形的性质
9．（2019•莱芜区）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：
①AN=EN
②当AE=AF时，BEEC=2-2
③BE+DF=EF
④存在点E、F，使得NF>DF
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°，
∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，∴△AMN∽△BME，∴AMBM=MNEM，
∵∠AMB=∠EMN，∴△AMB∽△NME，
∴∠AEN=∠ABD=45°∴∠NAE=∠AEN=45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN=EN，故①正确；

②在△ABE和△ADF中，
∵AB=AD∠ABE=∠ADF=90°AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，
∵BC=CD，∴CE=CF，
假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1﹣x，
如图2，连接AC，交EF于H，

∵AE=AF，CE=CF，
∴AC是EF的垂直平分线，
∴AC⊥EF，OE=OF，
Rt△CEF中，OC=12EF=22x，
△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE，
∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），
∴AO=AB=1，∴AC=2=AO+OC，∴1+22x=2，
x=2-2，∴BEEC=1-(2-2)2-2=(2-1)(2+2)2=22；
故②不正确；
③如图3，

∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF=AH，∠DAF=∠BAH，
∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE，
∵∠ABE=∠ABH=90°，∴H、B、E三点共线，
在△AEF和△AEH中，AE=AE∠FAE=∠HAEAF=AH，∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故③正确；
④△ADN中，∠FND=∠ADN+∠NAD>45°，∠FDN=45°，∴DF>FN，
故不存在点E、F，使得NF>DF，故④不正确；
故选B．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
10．（2019•包头）如图，在正方形ABCD中，AB=1，点E，F分别在边BC和CD上，AE=AF，∠EAF=60°，则CF的长是（　　）

A．3+14 B．32 C．3-1 D．23
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=BC=CD=AD=1，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE=AFAB=AD，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=30°，
∴∠DAF=15°，
在AD上取一点G，使∠GFA=∠DAF=15°，如图所示：
∴AG=FG，∠DGF=30°，
∴DF=12FG=12AG，DG=3DF，
设DF=x，则DG=3x，AG=FG=2x，
∵AG+DG=AD，
∴2x+3x=1，
解得：x=2-3，
∴DF=2-3，
∴CF=CD﹣DF=1﹣（2-3）=3-1；
故选C．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
11．（2019•广元）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得∠CDE=15°，连接BE并延长BE到F，使CF=CB，BF与CD相交于点H，若AB=1，有下列结论：①BE=DE；②CE+DE=EF；③S△DEC=14-312；④DHHC=23-1．则其中正确的结论有（　　）

A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【解析】①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°．
在△ABE和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DACAE=AE，∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE，故①正确；
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，
∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE=∠ADE．∴∠CBE=∠CDE，
∵BC=CF，∴∠CBE=∠F，∴∠CBE=∠CDE=∠F．
∵∠CDE=15°，∴∠CBE=15°，∴∠CEG=60°．
∵CE=GE，∴△CEG是等边三角形．∴∠CGE=60°，CE=GC，
∴∠GCF=45°，∴∠ECD=GCF．
在△DEC和△FGC中，CE=GC∠ECD=∠GCFCD=CF，∴△DEC≌△FGC（SAS），∴DE=GF．
∵EF=EG+GF，∴EF=CE+ED，故②正确；
③过D作DM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC=2，
由面积公式得：12AD×DC=12AC×DM，∴DM=22，
∵∠DCA=45°，∠AED=60°，∴CM=22，EM=66，
∴CE=CM﹣EM=22-66，
∴S△DEC=12CE×DM=14-312，故③正确；
④在Rt△DEM中，DE=2ME=63，
∵△ECG是等边三角形，∴CG=CE=22-66，
∵∠DEF=∠EGC=60°，∴DE∥CG，
∴△DEH∽△CGH，∴DHHC=DECG=6322-66=3+1，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，
故选A．

【考点】全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；正方形的性质．
12．（2019•贵港）如图，E是正方形ABCD的边AB的中点，点H与B关于CE对称，EH的延长线与AD交于点F，与CD的延长线交于点N，点P在AD的延长线上，作正方形DPMN，连接CP，记正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，则下列结论错误的是（　　）

A．S1+S2=CP2 B．AF=2FD C．CD=4PD D．cos∠HCD=35
【答案】D
【解析】∵正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，∴S1=CD2，S2=PD2，
在Rt△PCD中，PC2=CD2+PD2，∴S1+S2=CP2，故A结论正确；
连接CF，∵点H与B关于CE对称，∴CH=CB，∠BCE=∠ECH，
在△BCE和△HCE中，CH=CB∠ECH=∠BCECE=CE ，∴△BCE≌△HCE（SAS），
∴BE=EH，∠EHC=∠B=90°，∠BEC=∠HEC，∴CH=CD，
在Rt△FCH和Rt△FCD中，CH=CDCF=CF ，∴Rt△FCH≌Rt△FCD（HL），
∴∠FCH=∠FCD，FH=FD，
∴∠ECH+∠FCH=12∠BCD=45°，即∠ECF=45°，
作FG⊥EC于G，∴△CFG是等腰直角三角形，∴FG=CG，
∵∠BEC=∠HEC，∠B=∠FGE=90°，∴△FEG∽△CEB，
∴EGFG=EBBC=12，∴FG=2EG，
设EG=x，则FG=2x，∴CG=2x，CF=22x，∴EC=3x，
∵EB2+BC2=EC2，∴54BC2=9x2，∴BC2=365x2，∴BC=655x，
在Rt△FDC中，FD=CF2-CD2=(22x)2-365x2=255x，∴3FD=AD，
∴AF=2FD，故B结论正确；
∵AB∥CN，∴NDAE=FDAF=12，
∵PD=ND，AE=12CD，∴CD=4PD，故C结论正确；
∵EG=x，FG=2x，∴EF=5x，
∵FH=FD=255x，∵BC=655x，∴AE=355x，
作HQ⊥AD于Q，HS⊥CD于S，∴HQ∥AB，
∴HQAE=HFEF，即HQ355x=255x5x，∴HQ=6525x，
∴CS=CD﹣HQ=655x-6525x=24525x
∴cos∠HCD=CSCH=24525x655x=45，故结论D错误，
故选D．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质；解直角三角形
13．（2019•抚顺）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（　　）

A．AB=CD，AB⊥CD B．AB=CD，AD=BC
C．AB=CD，AC⊥BD D．AB=CD，AD∥BC
【答案】A
【解析】∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，
∴EN、NF、FM、ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，
∴EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，EN=12AB=FM，ME=12CD=NF，
∴四边形EMFN为平行四边形，
当AB=CD时，EN=FM=ME=NF，∴平行四边形ABCD是菱形；
当AB⊥CD时，EN⊥ME，则∠MEN=90°，
∴菱形EMFN是正方形；故选A．
【考点】三角形中位线定理；正方形的判定
14．（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C=120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（　　）

A．18m2 B．183m2 C．243m2 D．4532m2
【答案】C
【解析】如图，过点C作CE⊥AB于E，
则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，
则∠BCE=∠BCD﹣∠DCE=30°，BC=12﹣x，
在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，
∴BE=12BC=6-12x，
∴AD=CE=3BE=63-32x，AB=AE+BE=x+6-12x=12x+6，
∴梯形ABCD面积S=12（CD+AB）•CE=12（x+12x+6）•（63-32x）=-338x2+33x+183=-338（x﹣4）2+243，
∴当x=4时，S最大=243．
即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为243m2；故选C．

【考点】梯形


1．（2020•锦州模拟）如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是___________．

2．（2020•亳州模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD=12，BC=5，那么DC的长等于___________．

3．（2020•哈尔滨一模）在正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E在BC边上，点F在CD边上，连接OE和OF，∠EOF=90°，AB=6，OE=10，则线段CF的长为___________．
4．（2019•青海）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．

5．（2019•兰州）如图，AC=8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．
（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；
（2）求BD的长．

6．（2019•云南）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB：∠ODC=4：3，求∠ADO的度数．

7．（2019•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

8．（2019•宁夏）如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE=CD．
（1）求证：AF=DE；
（2）若DE=25AD，求tan∠AFE．

9．（2019•湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF=CE．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若AB=4，AF=1，求四边形BEDF的面积．

10．（2020•雨花区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC=12，AB=16，求菱形ADCF的面积．

11．（2020•恩施市模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH．
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）若∠BAC=∠ECF，求∠ACF的度数．

12．（2020•长春模拟）如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，O是BC边中点，连结DO并延长到点E，使OE=OD，连结BE，CE．
（1）求证：四边形CDBE为矩形．
（2）若tanA=2，AD=5，求线段BE的长．

13．（2020•黄冈模拟）如图，在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB=60°，AF是∠DAB的平分线，若AD=3，求DC的长度．

14．（2019•杭州模拟）如图，正方形ABCD两条对角线AC、BD交于O，过O任作一直线L与边AB，CD交于M，N，MN的垂直平分线与边BC，AD交于P，Q．设正方形ABCD的面积为S1，四边形MPNQ的面积为S2．
（1）求证：四边形MPNQ是正方形；
（2）若S1=1，求S2的取值范围．




1．（2020•松江区一模）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是1.5．那么sinα的值为（　　）

A．34 B．12 C．23 D．32
2．（2020•太仓市模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为（　　）

A．8cm2 B．12cm2 C．16cm2 D．20cm2
3．（2020•荔湾区校级一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=4，AF=6，则AC的长为（　　）

A．45 B．63 C．230 D．2033
4．（2020•长春模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC=25，AC=4，求OE的长．

5．（2019•金山区二模）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF．

6．（2020•岳阳模拟）在矩形ABCD中，对角线AC交BD相于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，如图．求证：AD与OE相互垂直平分．






1．【答案】53-5
【解析】如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，
当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，
∵平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，
∴AB=AD=CD=BC=10，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO=5，
故AO的最小值为：AO=AE﹣EO=ABsin60°-12×BD=53-5．
故答案为：53-5．

2．【答案】25
【解析】∵AB⊥BC，∴∠ABD+∠DBC=90°，
∵BD⊥DC，∴∠C+∠DBC=90°，∴∠ABD=∠C，
∴tanC=BDDC=12，∴BD=12CD，
由勾股定理得，BD2+CD2=BC2，即（12CD）2+CD2=52，解得CD=25，
故答案为：25．
3．【答案】4或2
【解析】如图，过点O作OH⊥CD于H，

若点F在点H的上方，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OD=OC，AC⊥BD，∠ACB=∠BDC=45°，
∴∠DOC=∠EOF=90°，
∴∠DOF=∠COE，且OD=OC，∠BDC=∠ACB，
∴△DOF≌△COE（ASA），∴OF=OE=10，
∵△OCD是等腰直角三角形，OH⊥CD，∴OH=CH=DH=3，
∴FH=OF2-OH2=10-9=1，∴CF=CH+FH=4，
若点F在点H的下方，同理可求CF'=CH﹣F'H=3﹣1=2，
综上所述：CF=4或2，
故答案为：4或2．
4．【解析】∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE
∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
∴AE=DE，BD=CD
在△AFE和△DBE中，
∠AFE=∠DBE∠AEF=∠BEDAE=DE，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
（2）由（1）知，AF=BD，且BD=CD，
∴AF=CD，且AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=12BC=CD，
∴四边形ADCF是菱形．
5．【解析】（1）四边形ABCD为菱形；
由作法得AB=AD=CB=CD=5，
所以四边形ABCD为菱形；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，OB=52-42=3，
∴BD=2OB=6．
6．【解析】∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴AO=DO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO，
∵∠AOB：∠ODC=4：3，
∴∠AOB：∠ABO=4：3，
∴∠BAO：∠AOB：∠ABO=3：4：3，
∴∠ABO=54°，
∵∠BAD=90°，
∴∠ADO=90°﹣54°=36°．
7．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=12OB，DF=12OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵EG=AE，
∴EG=CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形EGCF是矩形．
8．【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°，
∴∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
在△AEF与△DCE中，∠A=∠D∠AFE=∠DECAE=CD，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AF=DE；
（2）∵DE=25AD，
∴AE=32DE，
∵AF=DE，
∴tan∠AFE=32DEDE=32．
9．【解析】（1）在△ABF和△CBE中
AB=BC∠A=∠C=90°AF=CE，
∴△ABF≌△CBE（SAS）；
（2）由已知可得正方形ABCD面积为16，
△ABF面积=△CBE面积=12×4×1=2．
所以四边形BEDF的面积为16﹣2×2=12．
10．【解析】∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∵∠AFE=∠DBE∠AEF=∠DEBAE=DE，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=DB，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=CD=12BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，AF=BD=CD，∠BAC=90°，
∴S菱形ADCF=CD•h=12BC•h=S△ABC=12AB•AC=12×12×16=96．
11．【解析】（1）∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=HC．
∵FH=EH，
∴四边形EBFC是平行四边形，
又∵AH⊥BC，
∴四边形EBFC是菱形；
（2）∵四边形EBFC是菱形，
∴∠ECB=∠FCB=12∠ECF．
∵AB=AC，AH⊥CB，
∴∠CAH=12∠BAC．
∵∠BAC=∠ECF，
∴∠CAH=∠FCB，
∵AH⊥CB，
∴∠CAH+∠ACH=90°．
∴∠FCB+∠ACH=90°．
∴∠ACF=90°．
12．【解析】∵O是BC边中点，
∴OC=OB，
又∵OE=OD，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴四边形CDBE为矩形；
（2）∵tanA=CDAD=2，且AD=5，
∴CD=10，
∵四边形CDBE为矩形，
∴BE=CD=10．
13．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB，DC=AB
∵CF=AE
∴DF=BE且DC∥AB
∴四边形DFBE是平行四边形
又∵DE⊥AB
∴四边形DFBE是矩形；
（2）∵∠DAB=60°，AD=3，DE⊥AB
∴AE=32，DE=3AE=332
∵四边形DFBE是矩形
∴BF=DE=332
∵AF平分∠DAB
∴∠FAB=12∠DAB=30°，且BF⊥AB
∴AB=3BF=92
∴CD=92
14．【解析】（1）∵QP垂直平分线段MN，
∴MQ=NQ，PM=PN，
∴△AOQ≌△DON（ASA），
∴OQ=ON，
∴∠OQN=∠ONQ=45°，
同理可得∠OQM=∠OMQ=∠OMP=∠OPM=45°，
∴∠NQM=∠QMP=∠MPN=∠PNQ=90°，
∴四边形MPNQ是矩形，而MQ=NQ，
∴四边形MPNQ是正方形．
（2）设AQ=DN=x，则QD=1﹣x，
∴S2=QN2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2(x-12)2+12≥12
而S2≤S1=1，
∴12≤S2≤1．



1．【答案】C
【解析】如图，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，

∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵四边形ABCD的面积是1.5，∴BC×AE=CD×AF，且AE=AF=1，
∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，
∵1.5=CD×AF，∴CD=32，∴AD=CD=32∴sinα=AFAD=23，故选C．
2．【答案】C
【解析】过A作AN⊥BC于N，交EF于M，

∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD+BC=2EF，EF∥AD∥BC，∴AM⊥EF，AM=MN，
∵△BEF的面积为4cm2，∴12EF×AM=4，∴EF×AM=8，
∴梯形ABCD的面积为12（AD+BC）AN=12×2EF×2AM=2EF×AM=16（cm2），
故选C．
3．【答案】C
【解析】如图，连接AE，设EF与AC交点为O，

∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，AE=CE，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠OAF=∠OCE，
在△AOF和△COE中，∠AOF=∠COEOA=OC∠OAF=∠OCE，∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE=6，∴AE=CE=6，BC=BE+CE=4+6=10，
∴AB=AE2-BE2=36-16=25，
∴AC=AB2+BC2=20+100=230，故选C．
4．【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，∴AD=AB，
∵AB=BC，∴AD=BC，
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=12AC=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=CD2-OC2=4，
∴BD=2OD=8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵OB=OD，
∴OE=12BD=4．
5．【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD=2∠DAC，∠ABC=2∠DBC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠BAD=∠ABC，
∴2∠BAD=180°，∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，CO=12AC，DO=12BO，
∴∠COB=∠DOC=90°，CO=DO，
∵DH⊥CE，垂足为H，
∴∠DHE=90°，∠EDH+∠DEH=90°，
∵∠ECO+∠DEH=90°，
∴∠ECO=∠EDH，
在△ECO和△FDO中，∠ECO=∠EDHCO=DO∠COE=∠DHE=90°，
∴△ECO≌△FDO（ASA），
∴OE=OF．
6．【解析】∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，
∴OA=OC=OD，
∴四边形AODE是菱形，
∴AD与OE相互垂直平分．




——圆


1．了解：圆、圆心角、圆周角的概念，垂径定理及其逆定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弧长和扇形面积，圆锥侧面积.
2．理解：圆周角定理及其推论，点与圆的位置关系及其运用，切线的性质与判定定理，切线长定理．
3．会：利用弧、弦、圆心角的关系进行证明和计算，运用切线的性质与判定定理、切线长定理解决一些实际问题，求n°的圆心角所对的弧长，求圆心角为n°的扇形面积.
4．掌握：圆周角定理及其推论的灵活运用，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弧长和扇形面积，圆锥侧面积.
5．能：运用垂径定理解决有关问题，切线的性质与判定定理、切线长定理解决一些实际问题，利用点、直线的位置关系解决问题，根据公式中的已知量求圆锥中的未知量，运用圆的有关性质与位置关系进行综合性质计算与实际问题的解决.

1．从考查的题型来看，填空题、选择题、解答题三种形式都有所考查,多数题目较难,属于中、高档题.
2．从考查的内容来看,主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)，圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系,切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积).
3．从考查的热点来看,主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论);圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系,切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积)，阴影部分的面积.


一、垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
2．推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等．
二、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3．正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余两项皆相等．
三、圆周角定理及其推论
1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3．注意：（1）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角．
（2）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．
（3）圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角转化．
（4）定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
四、点、直线、圆之间的位置关系
1．点与圆的位置关系判断
（1） dr，点P在⊙O外．
其中⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d．
2．直线与圆的位置关系判断
（1） dr，直线l与⊙O相离．
其中⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
五、计算公式
1．弧长公式：n°的圆心角所对的弧长．其中n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
2．扇形面积公式：．其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长．
3．圆锥的侧面积公式：．其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径．
4．阴影部分面积常用的方法：①公式法；②和差法；③割补法．其主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
5．注意：（1）在弧长的计算公式中，①若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长；②题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示；③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念．
（2）计算扇形面积时，有两个公式可供选择．已知扇形的圆心角度数与半径或扇形的弧长与半径都可以代入面积公式进行直接运算．
（3）①圆锥的母线与圆锥展开后所得扇形的半径相等；②圆锥的底面周长与圆锥展开后所得扇形的弧长相等．

1．（2019•西宁）边长为2的正三角形的外接圆的半径是（　　）
A．23 B．2 C．233 D．32
【答案】C
【解析】如图，等边△ABC中，三边的垂直平分线交一点O，则O是△ABC外接圆的圆心，∴∠OBC=∠OCB=30°，BF=CF=12BC=1，∴OF=33BF，∴OB=2OF=233．
故选C．

【考点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心
2．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB=70°，则∠ABC的度数是（　　）

A．20° B．70° C．30° D．90°
【答案】A
【解析】连接AC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，
∵∠ACB=∠ADB=70°，∴∠ABC=90°﹣70°=20°．故答案为20°．故选A．

【考点】圆周角定理
3．（2019•阜新）如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A=25°，则∠C的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】D
【解析】如图：连接OB，∵∠A=25°，∴∠COB=2∠A=2×25°=50°，
∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBC=90°，
∴∠C=90°﹣∠BOC=90°﹣50°=40°．故选D．

【考点】圆周角定理；切线的性质
4．（2019•莱芜区）如图，点A、B，C，D在⊙O上，AB=AC，∠A=40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2．则图中阴影部分的面积是（　　）

A．2π3-32 B．2π3-3 C．4π3-32 D．4π3-3
【答案】B
【解析】如图所示，连接BC、OD、OB，

∵∠A=40°，AB=AC，∴∠ACB=70°，
∵BD∥AC，∴∠ABD=∠A=40°，∴∠ACD=∠ABD=40°，
∴∠BCD=30°，则∠BOD=2∠BCD=60°，
又OD=OB，∴△BOD是等边三角形，
则图中阴影部分的面积是S扇形BOD﹣S△BOD=60⋅π⋅22360-34×22=23π-3，
故选B．
【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算
5．（2019•葫芦岛）如图，在⊙O中，∠BAC=15°，∠ADC=20°，则∠ABO的度数为（　　）

A．70° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【解析】连接OA、OC，
∵∠BAC=15°，∠ADC=20°，∴∠AOB=2（∠ADC+∠BAC）=70°，
∵OA=OB（都是半径），∴∠ABO=∠OAB=12（180°﹣∠AOB）=55°．故选B．

【考点】圆周角定理
6．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（　　）

A．20° B．35° C．40° D．55°
【答案】B
【解析】连接FB．∵∠AOF=40°，∴∠FOB=180°﹣40°=140°，∴∠FEB=12∠FOB=70°，

∵EF=EB，∴∠EFB=∠EBF=55°，
∵FO=BO，∴∠OFB=∠OBF=20°，∴∠EFO=∠EBO，
∠EFO=∠EFB﹣∠OFB=35°，故选B．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
7．（2019•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD=24，则sin∠ACD的值是（　　）

A．1213 B．125 C．512 D．513
【答案】D
【解析】∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵⊙O的半径是13，∴AB=2×13=26，
由勾股定理得：AD=10，∴sin∠B=ADAB=1026=513，
∵∠ACD=∠B，∴sin∠ACD=sin∠B=513，故选D．
【考点】圆周角定理；解直角三角形
8．（2019•娄底）如图，边长为23的等边△ABC的内切圆的半径为（　　）

A．1 B．3 C．2 D．23
【答案】A
【解析】设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=60°，CH⊥AB，∴∠OAH=30°，AH=BH=12AB=3，
在Rt△AOH中，∵tan∠OAH=OHAH=tan30°，∴OH=33×3=1，
即△ABC内切圆的半径为1．故选A．

【考点】等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心

1．（2020•武汉模拟）如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为（　　）

A．35 B．25-3 C．10-2 D．32-5
2．（2020•保定一模）如图，△ABD是⊙O的内接正三角形，四边形ACEF是⊙O的内接正四边形，若线段BC恰是⊙O的一个内接正n边形的一条边，则n=（　　）

A．16 B．12 C．10 D．8
3．（2020•迁安市二模）下列说法：
①函数y=x-6的自变量x的取值范围是x>6；
②对角线相等的四边形是矩形；
③正六边形的中心角为60°；
④对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
⑤计算|9-2|的结果为7：
⑥相等的圆心角所对的弧相等；
⑦12-27的运算结果是无理数．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2019•西宁）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，若∠AOB=120°，OA=2，则△PAB的周长是___________．

5．（2019•黑龙江）如图，在直径为10cm的⊙O中，BC是弦，半径OA⊥BC于点D，AD=2cm，则BC的长为___________cm．

6．（2019•锦州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB=2，则扇形AOB的面积为___________．

7．（2020•保定一模）如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=4，C是⊙O上一点，将弧AC沿弦AC所在直线翻折，使翻折后的圆弧恰好经过圆心O，则：
（1）AC的长是___________．
（2）劣弧BC的长是___________．

8．（2020•哈尔滨一模）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，∠P=60°，△PEF的周长为6，则⊙O的半径为___________．

9．（2020•北京模拟）把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB=2，则光盘的直径是___________．

10．（2020•淮北一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，过点C的直线CD与⊙O相切于点D，连接BD，若CD=BD=63，则线段AC的长是___________．

11．（2019•西宁）如图，AB，CD是⊙O的直径，AB过弦CE的中点F，过点D作⊙O的切线交CE的延长线于点P，连接BD交CE于点G．
（1）求证：PD=PG；
（2）若OC=4，PG=6，求CE的长．

12．（2019•济南）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．
（1）求证；∠ABD=∠CAB；
（2）若B是OE的中点，AC=12，求⊙O的半径．

13．（2019•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE=∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A=30°，BC=4，求DF的长．

14．（2019•青海）如图，在⊙O中，点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AE=2，sin∠ADE=23，求⊙O的半径．

15．（2020•淮北一模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，以AB为直径作⊙O，连接OC，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接AD交OC于点E．
（1）求证：BD=AE；
（2）若⊙O的半径为2，求OE的长．

16．（2020•长春模拟）以等边△ABC的一边AB为直径作半圆，设圆心为点O，半圆O与边AC交于点D，与边BC交于点E，取线段CD的中点F，连接EF、OE．
（1）求证：EF是⊙的切线；
（2）若⊙O的半径是2，求图中阴影部分的面积．




1．如图，在四边形ABCD中，点A、B、D在⊙O上，点C在⊙O外，BC与CD交圆于E、F两点，请判断∠B+∠D的度数（　　）

A．小于180° B．大于180° C．等于180° D．不能确定
2．（2020•新泰市一模）将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是（　　）

A．4 B．83 C．6 D．43
3．（2020•葫芦岛一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD∥AB，∠BCD=30°，AB=6，则AC的长为（　　）

A．π B．4π C．2π D．45π
4．（2020•海淀区校级模拟）如图，已知⊙O的半径为6，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（　　）

A．6 B．8 C．33 D．63
5．（2020•海安市一模）已知：如图，AC，BC分别是半圆O和半圆O'的直径，半圆O的弦MC交半圆O'于N．若MN=2，则AB等于（　　）

A．2cosα B．2sinα C．2•cosα D．2•sinα
6．（2020•番禺区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（　　）

A．22.5° B．45° C．30° D．50°
7．（2020•莲湖区二模）如图，已知∠OBA=20°，且OC=AC，则∠BOC的度数是（　　）

A．70° B．80° C．40° D．60°
8．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB=2，∠ACD=30°，则AD=__________．

9．（2020•铁东区一模）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，连接OP交AB于点C，交弧AB于点D，∠APB=70°，点Q为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为__________．

10．（2020•金华模拟）如图，BC是⊙O的弦，以BC为边作等边三角形ABC，圆心O在△ABC的内部，若BC=6，OA=3，则⊙O的半径为__________．

11．（2020•东莞市一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D=67°，则∠ABC等于__________度．

12．（2020•太湖县一模）如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A=30°，DC=2．
（1）求圆心O到弦DC的距离；
（2）若∠ACB+∠ADC=180°，求证：BC是⊙O的切线．

13．（2020•铁东区一模）如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D=2∠A．
（1）求证：DC与⊙O相切；
（2）若⊙O半径为4，cosD=45，求AC的长．

14．如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC=8，BC=6．
（1）求⊙O的面积；
（2）若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，直接写出CD的长为__________．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点D，且交AB于点E．
（1）连接AD，求证：AD平分∠CAB；
（2）若BE=2-1，求阴影部分的面积．

16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC边上的一点，过A，B，D三点的⊙O交AC于点E，作直径AF，连接FD并延长交AC于点G，且FG∥BE，连接BE，BF﹒
（1）求证：AB=BD；
（2）若BD=2CD，AC=5，求⊙O的直径长﹒

17．（2020•西城区校级模拟）如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的点，AC=BC，弦CD交AB于点E．
（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DCB；
（2）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．

18．（2020•朝阳区模拟）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，BC=1，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD=∠ABD=30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线；
（2）求线段EM的长．






1．【答案】C
【解析】如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM，取EF的中点O，连接OM，OC，CM．

∵AC是直径，
∴∠APC=90°，
∵BE=EA，BM=MP，
∴EM∥PA，同理FM∥PC，
∴∠BME=∠BPA，∠BMF=∠BPC，
∴∠BME+∠BMF=∠BPA+∠BPC=90°，
∴∠EMF=90°，
∴点M的轨迹是EF，（EF为直径的半圆，图中红线部分）
∵BC=AC，∠ACB=90°，AB=8，
∴AC=BC=42，
∵AE=EB，BF=CF=22，
∴EF=12AC=22，EF∥AC，
∴∠EFB=∠EFC=∠ACB=90°，OE=OF=OM=2，
∴OC=OF2+CF2=(2)2+(22)2=10，
∵CM≥OC﹣OM，
∴CM≥10-2，
故选C．
2．【答案】B
【解析】连接OA、OB、OC，如图，
∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOC=360°4=90°，∠AOB=360°3=120°，
∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=30°，
∴n=360°30°=12，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选B．

3．【答案】B
【解析】①函数y=x-6的自变量x的取值范围是x≥6，原命题是假命题；
②对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
③正六边形的中心角为60°，是真命题；
④对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原命题是假命题；
⑤计算|9-2|的结果为1，原命题是假命题：
⑥相等的圆心角所对的弧相等；错误．必须在同圆或等圆中，原命题是假命题；
⑦12-27的运算结果是无理数，是真命题．
故选B．
4．【答案】63
【解析】∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，
∴∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，∠OPA=∠OPB，
∵∠AOB=120°，∴∠APB=360°﹣90°﹣90°﹣120°=60°，
∴△PAB是等边三角形，∠OPA=∠OPB=30°，
∴PA=PB=AB，
∵∠PAO=90°，∠OPA=30°，
∴AB=PB=PA=3OA=23，
∴△PAB的周长=PA+PB+AB=63；
故答案为：63．
5．【答案】8
【解析】OD=OA﹣AD=5﹣2=3，
∵OA⊥BC，∴∠ODB=90°，BD=DC，
∴BD=OB2-OD2=52-32=4，
∴BC=2BD=8（cm），故答案为：8．
6．【答案】2π3
【解析】∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，
∴扇形AOB的面积=60⋅π×22360=2π3，故答案为：2π3．
7．【答案】（1）23；（2）23π．
【解析】如图，作OE⊥AC交弧AC于点F，交AC于点E，连接OC，BC，

由折叠的性质可知，
OE=12OA，
∴EF=OE=12OF，
∴∠CAB=30°，
∵AB=4，
∴AC=23；
故答案为：23．
（2）∵∠COB=60°，CO=2，
∴劣弧BC的长为：60π×2180=23π．
故答案为：23π．
8．【答案】3
【解析】∵EA，EC都是圆O的切线，
∴EC=EA，
同理FC=FB，PA=PB，
∴△PEF的周长=PF+PE+EF=PF+PE+EA+FB=PA+PB=2PA=6，
∴PA=3；
连接PO，OA，
∵∠APB=60°，
∴∠APO=30°，
∴AO=AP×tan∠APO=3×33=3，
故答案为：3．

9．【答案】43
【解析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如图所示：
由切线长定理知AB=CB=2，OA平分∠ABC，
∴∠OBA=60°，
在Rt△ABO中，OA=ABtan∠OBA=23，
∴光盘的直径为43，
故答案为：43．

10．【答案】6
【解析】连接OD，
∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，∴∠COD=∠ODB+∠B=2∠B，
∵CD=BD，∴∠B=∠C，∴∠COD=2∠C，
∵CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，
∴∠C+∠COD=90°，∴∠C=30°，
∴OD=OA=CDtan30°=63×33=6，
∴OC=CDcos30°=6332=12，∴AC=12﹣6=6．故答案为：6．

11．【解析】∵AB为⊙O的直径，AB过弦CE的中点F，∴AB⊥CE，
∴∠BGF+∠B=90°，
∵PD为⊙O的切线，∴∠PDG+∠ODB=90°，
∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，
∴∠BGF=∠PDG，∵∠PGD=∠BGF，
∴∠PDG=∠PGD，∴PD=PG；
（2）连接DE，由（1）得：PD=PG=6，
∵CD是⊙O的直径，∴CD=2OC=8，∠DEC=90°，∴DE⊥CP，
∵PD为⊙O的切线，∴PD⊥CD，
∴PC=CD2+PD2=82+62=10，
∵△CDP的面积=12PC×DE=12CD×PD，
∴DE=CD×PDPC=8×610=245，
∴CE=CD2-DE2=82-(245)2=325．

12．【解析】（1）∵AB、CD是⊙O的两条直径，
∴OA=OC=OB=OD，∴∠OAC=∠OCA，∠ODB=∠OBD，
∵∠AOC=∠BOD，∴∠OAC=∠OCA=∠ODB=∠OBD，
即∠ABD=∠CAB；
（2）连接BC．
∵AB是⊙O的两条直径，∴∠ACB=90°，
∵CE为⊙O的切线，∴∠OCE=90°，
∵B是OE的中点，∴BC=OB，
∵OB=OC，∴△OBC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，∴∠A=30°，
∴BC=33AC=43，∴OB=43，
即⊙O的半径为43．

13．【解析】（1）∵∠ACB=90°，点B，D在⊙O上，
∴BD是⊙O的直径，∠BCE=∠BDE，
∵∠FDE=∠DCE，∠BCE+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠BDE+∠FDE=90°，
即∠BDF=90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，

∴AB=2BC=2×4=8，
∴AC=AB2-BC2=82-42=43，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD=12AC=23，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∴∠DEA=180°﹣∠DEB=90°，
∴DE=12AD=12×23=3，
在Rt△BCD中，BD=BC2+CD2=42+(23)2=27，
在Rt△BED中，BE=BD2-DE2=(27)2-(3)2=5，
∵∠FDE=∠DCE，∠DCE=∠DBE，
∴∠FDE=∠DBE，
∵∠DEF=∠BED=90°，
∴△FDE∽△DBE，
∴DFBD=DEBE，即DF27=35，
∴DF=2215．
14．【解析】连接OA，如图，
∵点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，
∵DC∥OA，即EC∥OA，
∵AE⊥CD，∴AE⊥AO，∴AE是⊙O的切线；

（2）连接OD，如图，
∵AD=CD，∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，
在Rt△AED中，sin∠ADE=AEAD=23，∴AD=3，
∵CD∥OA，∴∠OAD=∠ADE．
在Rt△OAD中，sin∠OAD=23，
设OD=2x，则OA=3x，∴AD=(3x)2-(2x)2=5x，
即5x=3，解得x=355，∴OA=3x=955，即⊙O的半径长为955．
15．【解析】∵AB为直径，∴∠ADB=90°，
∵BD∥OC，∴∠AEO=∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，∴∠OAE=∠ACE，
在△ABD和△CAE中，∠ADB=∠CEA∠BAD=∠ACEAB=CA，
∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE；
（2）∵OE⊥AD，∴AE=DE，
∴OE为△ABD的中位线，∴BD=2OE，∴AE=2OE，
在Rt△AOE中，∵OE2+AE2=AO2，∴OE2+4OE2=22，∴OE=255．
16．【解析】连接BD，OE，AE，
∵AB是⊙O的直径，∴∠BDF=∠AEB=90°，∴BD⊥CD，AE⊥BC，
∵点D，A，B，E在⊙O上，∴∠ADE+∠ABE=180°，
∵∠ADE+∠CDE=180°，∴∠ABE=∠CDE，
∵AB=AC，∴∠C=∠ABE=∠CDE，∴DE=CE，
∵点F是CD中点，∴EF⊥CD，
∵BD⊥CD，∴EF∥BD，
∵AB=AC，AE⊥BC，∴CE=BE，
∵AO=BO，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，∴四边形FDGE是矩形，∴OE⊥EF，
又OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；
（2）由（1）知∠OEF=90°，BD∥EF，
∴∠OGE=90°，即OE⊥BD，
∴DE=BE，DE=BE，
∴弓形BE的面积=弓形DE的面积，
∴阴影部分面积=S△DEF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠BOE=60°，
∴∠CAE=30°，
∵DE=OA=2，
∴DF=12DE=1，EF=3，
∴图中阴影部分的面积=12×1×3=32．




1．【答案】B
【解析】连接DE，如图，
∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，∴∠ABE+∠ADE=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°+∠CDE>180°．故选B．

2．【答案】B
【解析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，

由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，
∴∠OAB=60°，
在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=43，
∴光盘的直径为83，故选B．
3．【答案】A
【解析】连接OC，如图：
∵AB是⊙O的直径，∴OA=12AB=3，
∵CD∥AB，∴∠ABC=∠BCD=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，∴AC的长为60π×3180=π；故选A．

4．【答案】D
【解析】作OE⊥AB于点E，∵⊙O的半径为6，弦CD=6，∴OC=OD=CD，
∴△DOC是等边三角形，∴∠DOC=60°，
∵∠AOB与∠COD互补，∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵OA=6，OE⊥AB，∴AE=OA•cos30°=6×32=33，∴AB=2AE=63，故选D．

5．【答案】A
【解析】∵AC，BC分别是半圆O和半圆O'的直径，
∴∠AMC=∠BNC=90°，
∴cosα=CMAC=CNBC，∴CM=AC×cosα，CN=BC×cosα，
∵MN=CM﹣CN=2，∴AC×cosα﹣BC×cosα=2，
∴（AC﹣BC）cosα=2，即AB×cosα=2，∴AB=2cosα；故选A．
6．【答案】B
【解析】如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，
根据圆周角定理，得：∠BPC=12∠BOC=45°．
故选B．

7．【答案】B
【解析】连接OA，如图，
∵OC=AC=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠OAC=60°，
∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA=20°，
∴∠BAC=60°﹣20°=40°，∴∠BOC=2∠BAC=80°．故选B．

8．【答案】1
【解析】∵AB为直径，∴∠ADB=90°，
∵∠B=∠ACD=30°，∴AD=12AB=12×2=1．故答案为1．
9．【答案】10°
【解析】如图，连接OA．

∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OPB=∠OPA=12∠APB=35°，PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，∴∠POA=90°﹣35°=55°，
∵OQ∥PB，∴∠POQ=180°﹣∠OPB=145°，
∴AOQ=360°﹣145°﹣55°=160°，
∵OQ=OA，∴∠OQA=∠OAQ=12（180°﹣∠AOQ）=10°，
故答案为10°．
10．【答案】21
【解析】过O作OD⊥BC于D，连接OB，
∵BC是⊙O的一条弦，且BC=6，∴BD=CD=12BC=12×6=3，
∴OD垂直平分BC，又AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴AD=3BD=33，
∵OA=3，∴OD=AD﹣OA=23
在Rt△OBD中，OB=BD2+OD2=32+(23)2=21；
故答案为：21．

11．【答案】23
【解析】由圆周角定理得，∠A=∠D=67°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°﹣67°=23°，故答案为：23．
12．【解析】（1）连接OD，OC，过O作OE⊥OC于E，
∵∠A=30°，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，CD=2，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD=OC=CD=2，
∵OE⊥DC，
∴DE=22，∠DEO=90°，∠DOE=30°，
∴OE=3DE=62，
∴圆心O到弦DC的距离为：62；
（2）①由（1）得，△ODC是等边三角形，∴∠OCD=60°，
∵∠ACB+∠ADC=180°，∠CDB+∠ADC=180°，∴∠ACB=∠CDB，
∵∠B=∠B，∴△ACB∽△CDB，∴∠A=∠BCD=30°，
∴∠OCB=90°，∴BC是⊙O的切线．

13．【解析】连接OC，如图1所示：
∵DE⊥OA，∴∠HED=90°，∴∠H+∠D=90°，
∵∠BOC=2∠A，∠D=2∠A，∴∠BOC=∠D，
∴∠H+∠BOC=90°，∴∠OCH=90°，
∴DC⊥OC，∴DC与⊙O相切；
（2）作AG⊥CD于G，如图2所示，则AG∥OC，
∵DC⊥OC，∴∠OCH=90°，
∵∠BOC=∠D，OC=4，∴cos∠BOC=OCOH=cosD=45，
∴OH=54OC=5，
∴AH=OA+OH=4+5=9，CH=OH2-OC2=52-42=3，
∵AG∥OC，∴△OCH∽△AGH，
∴OCAG=CHGH=OHAH=59，
∴AG=95OC=365，GH=95CH=275，
∴CG=GH﹣CH=275-3=125，
∴AC=CG2+AG2=(125)2+(365)2=12105．

14．【解析】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴⊙O的面积=π×52=25π．
（2）作直径DD′⊥AB，BH⊥CD于H，如图，则AD=BD，
∴AD=BD，∠ACD=∠BCD=45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴DB=22AB=52，
易得△BCH为等腰直角三角形，
∴CH=BH=22BC=32，
在Rt△BDH中，DH=BD2-BH2=(52)2-(32)2=42，
∴CD=CH+DH=32+42=72，
∵DD′是⊙O的直径，
∴∠DCD′=90°，
∴CD′=OD'2-CD2=102-(72)2=2，
综上所述，CD的长为2或72．

15．【解析】如图，连接OD，
∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，即∠ODB=90°．
又∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴∠ODA=∠CAD．
在⊙O中，OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠CAD，∴AD平分∠CAB．
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠B=45°，
∴∠BOD=45°，∴△BOD是等腰直角三角形，
∴OB=2OD，BD=OD，
设⊙O的半径为r，则OD=BD=r，OB=2r，
∴BE=(2-1)r=2-1，∴r=1，
∴S阴影=12r2-45360πr2=12-π8．

16．【解析】（1）如图，连接EF、ED．

∵AF为直径，
∴∠ABF=∠AEF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴AB=EF，AE=BF，
∵DF∥BE，
∴BF=DE，
∴BF=DE，
∴四边形BFDE是等腰梯形，
∴BD=EF，
∴AB=BD．
（2）设CD=x，则AB=BD=2CD=2x，BC=3x．
在Rt△ABC中：AB2+AC2=BC2，
∴（2x）2+52=（3x）2，
解得x1=5，x2=-5（舍），
∴CD=5，AB=BD=25，
设BF=AE=DE=y，则CE=5﹣y，
在Rt△CED中：DE2+CD2=CE2，
∴y2+5=（5﹣y）2，解得y=2，
∴BF=DE=AE=2，
∴AF=AB2+BF2=20+4=26，
即⊙O的直径长为26．
17．【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠PBD，
又∵∠BAD=∠DCB，
∴∠PBD=∠DCB；
（2）连接OC，如图：
∵AC=BC，AB是直径，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OA=4，E是半径OA的中点，
∴AE=OE=12OA=2，
∴CE=OC2+OE2=42+22=25，BE=OB+OE=6，
∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴DEBE=AECE，
∴AE•BE=CE•DE．
即2×6=25×DE，
解得：DE=655．

18．【解析】∵∠BAD=∠ABD=30°，∴∠DOB=2∠BAD=60°，
∴∠ODB=180°﹣30°﹣60°=90°，即OD⊥BD，
∵OD过O，∴直线BD是⊙O的切线；
（2）设OD=OC=r，
在Rt△BDO中，sin30°=ODOB=rr+1，解得：r=1，
即OD=1，OB=1+1=2，
由勾股定理得：BD=22-12=3，
∴BE=22+(3)2=7，
连接DM，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DME=90°，即∠DMB=∠BDE=90°，
∵∠DBM=∠DBE，
∴△BMD∽△BDE，
∴BMBD=BDBE，
∴BM3=37，解得：BM=377，
∴EM=BE﹣BM=477．






———视图与投影



1．了解：投影的定义，平行投影与中心投影的概念，物体的三视图.
2．理解：主视图、俯视图、左视图，平行投影与中心投影的性质.
3．会：区别平行投影与中心投影，画出主视图、俯视图、左视图.
4．掌握：平行投影与中心投影性质;主视图、俯视图、左视图的画法.
5．能：能准确判断三种视图,利用投影的性质解决生活与生产中的实际问题，解决投影与解直角三角形、相似有关的实际问题.

1．从考查的题型来看，主要以填空题或选择题的形式进行考查,属于中、低档题,较为简单;少数题目以解答题的形式进行考查,属于中档题,难度一般.
2．从考查的内容来看,主要涉及的有：平行投影与中心投影的性质;主视图、俯视图、左视图的画法;由三视图判断几何体;投影与解直角三角形、相似相结合的问题.
3．从考查的热点来看,重点涉及的有：平行投影与中心投影的性质;主视图、俯视图、左视图的画法;由三视图判断几何体;投影与解直角三角形、相似相结合的实际问题.

一、立体图形的三种视图
1．概念：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图．物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图．

2．画法：（1）确定主视图的位置，画出主视图；
（2）在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
（3）在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”；
（4）为表示出旋转几何体（圆柱、圆锥、球等）的对称轴，可在视图中加点．
3．利用三视图求几何体的表面积或体积：首先利用三视图还原几何体，再去求几何体的表面积或体积．
4．注意：三个视图要放在正确的位置，主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等．可简述为： 长对正，高平齐，宽相等．
二、投影
1．平行投影
（1）概念：有些光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯的一束光中的光线就可以看成是平行光线．由平行光线形成的投影是平行投影．
（2）性质：①直线或线段的平行投影是直线或线段或一点；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线或是两点；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上的两条线段，平行投影的比等于这两条线段的比．
2．中心投影
（1）概念：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，例如，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影．同一光源下，物体与影子上的两对对应点所在直线相交于一点，即光源处，而在中心投影中，物体的高度与影长一般是不成比例的．
（2）对于中心投影的问题通常有两种：①知道点源和木杆，画出影长；②知道标杆和影长，画出点光源．
（3）确定光源点（灯泡）的位置：①只要画出形成影子的两条光线，两条光线的交点就是灯泡的位置；②相交的光线为点光源发出的光线，其交点即为点光源；③点光源下两物体的影子可能在同一方向，也可能在不同方向；④找出影子的右端点与木杆的上端连线，再反向延长后有个交点即为光源点．
3．平行投影与中心投影的区别
（1）平行投影是在平行光线下所形成的投影，同一时刻，同一地点上的线段与线段若平行，则它们的影子平行或在同一条直线上，且线段的长与影长成比例；
（2）中心投影是从一点发出的光线的照射下所形成的投影，同一光源下，物体与影子上的对应点所在直线相交于一点，即光源处．
（3）太阳光线是平行光线，灯光的光线是从一点发出的．如下图所示．
因此在判断是太阳光线还是灯光光线时，只要看光线呈什么图形就可得出结论．即太阳光发射出来的光线是平行的，由灯光照射出来的光线是发散的．


1．（2019•阿坝州）如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据俯视图的意义可知，从上面看到的是选项C的图形，故选C．
【考点】简单组合体的三视图
2．（2019•黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层最多有2个小正方体，那么搭成这个几何体所需的小正方体最多为4+2=6个．故选A．
【考点】由三视图判断几何体
3．（2019•恩施州）桌上摆放着一个由相同正方体组成的组合体，其俯视图如图所示，图中数字为该位置小正方体的个数，则这个组合体的左视图为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由俯视图中的数字可得：左视图有3列，从左到右分别是2，3，2个正方形．故选D．
【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
4．（2019•阜新）如图所示的主视图和俯视图对应的几何体（阴影所示为右）是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、B、D选项的主视图符合题意；B选项的俯视图符合题意，
综上：对应的几何体为B选项中的几何体．故选B．
【考点】由三视图判断几何体
5．（2019•抚顺）如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有1竖列，右边是2竖列．
故选A．
【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
6．（2019•济南）以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；
故选D．
【考点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体
7．（2019•铁岭）如图所示几何体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】从正面可看到的图形是：

故选B．
【考点】简单组合体的三视图
8．（2019•青海）下面几何体中，俯视图为三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、俯视图为矩形；
B、俯视图为圆（带有圆心）；
C、俯视图为圆；
D、俯视图为三角形；
故选D．
【考点】简单几何体的三视图
9．（2019•南通）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．棱柱
【答案】C
【解析】由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱．故选C．
【考点】由三视图判断几何体．


1．（2020•哈尔滨一模）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　）

A． B．
C． D．
2．（2020•兰州模拟）如图所示的几何体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（2020•安徽二模）下列几何体中，主视图是矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2020•保定一模）如图是由几个大小相同的小正方体组合而成的几何体，则下列视图中面积最小的是（　　）

A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．主视图和俯视图
5．（2020•北京模拟）下列立体图形的主视图、左视图、俯视图都一样的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2020•安徽四模）如图，这个圆锥的主（正）视图是一个边长为4的等边三角形，则这个圆锥的俯视图的面积为（　　）

A．4π B．8π
C．43 D．83
7．（2020•朝阳区模拟）以下给出的几何体中，主视图和俯视图都是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2020•杭州模拟）一块三棱柱积木如下面的图所示，则它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
9．（2020•秦皇岛一模）如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则该几何体的（　　）

A．主视图会发生改变 B．俯视图会发生改变
C．左视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变
10．（2020•哈尔滨模拟）如图，小亮用6个相同的小正方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况，若由图①变到图②，改变的是（　　）

A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和俯视图
11．（2020•安徽一模）下列几何体均是由大小相同的小正方体组成的，其中左视图与其他三个不同的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2020•福建模拟）下列几何体中，俯视图是矩形的是（　　）
A． B．
C． D．


1．（2020•东湖区模拟）如图所示，该几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
2．如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（　　）

A．左视图会发生改变，其他视图不变 B．俯视图会发生改变，其他视图不变C．主视图会发生改变，其他视图不变 D．三种视图都会发生改变
4．（2020•金华模拟）在下列立体图形中，三视图中没有圆的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的全面积是（　　）

A．36π B．24π
C．20π D．15π
6．下列几何图形中，主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的有（　　）

A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
7．图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主=x2+3x，S左=x2+x，则S俯=（　　）

A．x2+4x+3 B．x2+3x+2
C．x2+2x+1 D．2x2+4x
8．如图是由小正方体搭成的几何体的俯视图，其上的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的主视图为（　　）

A． B．
C． D．



1．【答案】A
【解析】从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边是两个小正方形，第三层右边是一个小正方形，故选A．
2．【答案】B
【解析】主视图就是从正面看到的图形，能看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线，因此选项B的图形符合题意，故选B．
3．【答案】B
【解析】A、圆锥的主视图为等腰三角形，故本选项错误；
B、圆柱的主视图为矩形，故本选项正确；
C、三棱柱的主视图为三角形，故本选项错误；
D、球的主视图为圆，故本选项错误．故选B．
4．【答案】C
【解析】如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成，
左视图是由3个小正方形组成，
俯视图是由5个小正方形组成，
故三种视图面积最小的是左视图．
故选C．
5．【答案】C
【解析】因为球体的三视图都是大小相同的圆形，因此选项C正确；
故选C．
6．【答案】A
【解析】由题可得，圆锥的俯视图是一个带圆心的圆，
由圆锥的主（正）视图是一个边长为4的等边三角形可知，该圆半径为2，
故该圆的面积为4π．
故选A．
7．【答案】A
【解析】A．球的主视图是圆，俯视图是圆，故A符合题意；
B．立方体的主视图是正方形，俯视图是正方形，故B不合题意；
C．圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D．圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故D不符合题意．
故选A．
8．【答案】C
【解析】它的俯视图是

故选C．
9．【答案】A
【解析】如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．
故选A．
10．【答案】A
【解析】从左面看第一层都是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，①②的左视图相同；
从上面看第一列都是一个小正方形，第二列都是一个小正方形，第三列都是三个小正方形，故①②的俯视图相同，
从正面看第一层都是三个小正方形，图①中第二层右边一个小正方形，图②中第二层中间一个小正方形，中①②的主视图不相同．故选A．
11．【答案】A
【解析】选项A，B，C，D中几何体的左视图如下表所示，
选项
A
B
C
D
左视图




故选A．
12．【答案】D
【解析】A、俯视图为圆，故此选项不合题意；
B、俯视图为圆，故此选项不合题意；
C、俯视图为三角形，故此选项不合题意；
D、俯视图为矩形，正确；
故选D．


1．【答案】D
【解析】根据题意得：几何体的左视图为．
故选D．
2．【答案】C
【解析】从左往右看，易得一个长方形，正中有一条横向虚线．
故选C．
3．【答案】C
【解析】如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．
故选C．
4．【答案】C
【解析】A、主视图、左视图是矩形，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆，故B不符合题意；
C、主视图、左视图、俯视图都是正方形，故C符合题意；
D、主视图、左视图、俯视图都是圆，故D不符合题意．
故选C．
5．【答案】A
【解析】由题意可得，圆锥的底面直径为8，高为3，
则圆锥的底面周长为8π，
圆锥的母线长为32+(8÷2)2=5，
则圆锥的侧面积=12×8π×5=20π，
底面积为42π=16π，
则圆锥的全面积为20π+16π=36π．故选A．
6．【答案】C
【解析】①、正方体主视图是正方形，是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；
②、圆柱的主视图是矩形，是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；
③、圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
④、球主视图是圆，是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确．
所以主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的有①②④．
故选C．
7．【答案】A
【解析】∵S主=x2+3x=x（x+3），S左=x2+x=x（x+1），
∴S俯=（x+3）（x+1）=x2+4x+3．故选A．
8．【答案】B
【解析】由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由2个小正方体组成，右边一列由3个小正方体组成，
如图所示：．
故选B．




——统计与概率


１．了解：全面调查与抽样调查的概念;统计图与频率、频数的概念;平均数、中位数、众数的概念;方差、标准差、极差的概念;必然事件、不可能事件、不确定事件的概念.
2．理解：抽样调查、频率、平均数、中位数、众数、方差、随机事件、概率及频率估算概率.
3．会：计算频数和频率用频率估算事件的概率;求一组数据的平均数、中位数、众数，并会选择适当的统计量表示数据的集中趋势和集中程度;求一组数据的方差、标准差、极差，并会选择适当的统计量表示数据的波动趋势.
4．掌握：抽样调查的方式;频率的计算;平均数、中位数、众数的选用与计算;方差的计算;随机事件概率的计算;频率估算概率的计算及应用.
5．能：正确识别自然和社会想象中的一些必然事件、不可能事件、不确定事件;灵活选择适当的方法求事件的概率.

1．从考查的题型来看，以选择题或填空题的形式进行考查的题目相对简单,属于中、低档题;以解答题的形式进行考查的题目相对较难,属于中、高档题.
2．从考查的内容来看,主要涉及的有：抽样调查的方式;频率的计算;平均数、中位数、众数的选用与计算;方差的计算;随机事件概率的计算;频率估算概率的计算及应用.
3．从考查的热点来看,重点涉及的有：抽样调查的方式;频率的计算;平均数、中位数、众数的选用与计算;方差的计算;随机事件概率的计算;频率估算概率的计算及应用;统计与概率的以实际生活为背景的综合问题的应用解决.

一、数据的收集与整理
1．对于总体、个体、样本、样本容量、样本平均数、总体平均数的判断，在做题时只需严格根据定义判断即可，特别注意判断个体时必须是考察对象．
2．对于全面调查、抽样调查的选择：当考察数据较少时选择全面调查，但涉及人身安全时一定要选择全面调查；当考察数据较多时选择抽样调查．注意抽样时要全面、广泛，要有代表性．
3．对于统计图的考查，常涉及条形统计图、折线统计图、扇形统计图、频数分布直方图、频数折线图．做题时，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；扇形统计图能直接反映部分占总体的百分比大小．多个统计图时要注意各个统计图中各个项目数据之间的对应关系，防止弄混各个统计图的数据．
二、数据的集中与波动
1．对于平均数的计算方法，可以针对不同题型进行选择：
（1）当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：．
（2）当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中．
（3）当所给数据都在某一常数a的附近上下波动时，一般选用简化公式：．
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，．是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据） ．
2．对于涉及众数、中位数的试题：求众数时只需找到出现次数最多的数；求中位数时分两种情况，一是当数据是偶数个时，中位数是中间两个数的平均数；二是当数据是奇数个时中位数是中间数．特别注意求中位数时一定要弄清楚数据是偶数个还是奇数个．
3．对于数据的波动的考查主要涉及：
（1）极差——最大值与最小值的差；
（2）方差：，其中是数据的平均数；
（3）标准差：．
特别注意：计算方差时先求出数据的平均数再代入公式计算即可；极差也能表述数据的波动但不准确，所以如果准确判断数据的波动都用方差或标准差．
三、随机事件及其概率
1．对于随机事件的区分：必然事件——在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件；不可能事件——有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件；不确定事件——在一定的条件下重复进行试验时，可能发生也可能不发生的事件．特别注意：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）．
2．对于频率与概率的关系：当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值．
3．对于概率的计算：
（1）公式法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝．
（2）列表法：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
（3）画树状图：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图．
（4）涉及几何图形时，常利用面积比来求概率，其计算公式为：，注意解这类题时除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算．

1．（2019•德阳）在九年级一次数学单元测验中，某班一个学习小组6人的成绩（单位：分）分别为：85、87、98、70、84、87．则这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．86和89 B．85和86 C．86和87 D．87和87
【答案】C
【解析】这组数据按照从小到大的顺序排列为：70，84，85，87，87，98，则众数为：87，中位数为：（85+87）÷2=86．故选C．
【考点】中位数；众数
2．（2019•无锡）2019年6月某一天，长三角部分城市当天最高气温如下表所示：下列说法不正确的是（　　）
城市名称
上海
苏州
无锡
扬州
合肥
最高气温
31℃
32℃
32℃
28℃
25℃
A．五个城市最高气温的平均数为29.6℃ B．五个城市最高气温的极差为7℃
C．五个城市最高气温的中位数为32℃ D．五个城市最高气温的众数为32℃
【答案】C
【解析】A、五个城市最高气温的平均数为31+32+32+28+255=29.6（℃），此选项正确，不符合题意；
B、五个城市最高气温的极差为32﹣25=7（℃），此选项正确，不符合题意；
C、五个城市最高气温的中位数为31℃，此选项错误，符合题意；
D、五个城市最高气温的众数为32℃，此选项正确，不符合题意；
故选C．
【考点】算术平均数；中位数；众数；极差
3．（2019•恩施州）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（　　）
A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5
【答案】A
【解析】由题意可得，小桐这学期的体育成绩是：
95×20%+90×30%+85×50%=19+27+42.5=88.5（分）．故选A．
【考点】加权平均数
4．（2019•济南）在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（　　）

A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m
【答案】B
【解析】把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，
平均数为：（9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2）÷7=9.8m，故选B．
【考点】加权平均数；中位数
5．（2019•铁岭）某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试（满分均为100分），规定笔试成绩占40%，面试成绩占60%．应聘者蕾蕾的笔试成绩和面试成绩分别为95分和90分，她的最终得分是（　　）
A．92.5分 B．90分 C．92分 D．95分
【答案】C
【解析】根据题意得：95×40%+90×60%=92（分）．故她的最终得分是92分．故选C．
【考点】加权平均数
6．（2019•阜新）商场经理调查了本商场某品牌女鞋一个月内不同尺码的销售量，如表：
尺码/码
36
37
38
39
40
数量/双
15
28
13
9
5
商场经理最关注这组数据的（　　）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
【答案】A
【解析】对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．故选A．
【考点】加权平均数；中位数；众数；方差；统计量的选择
7．（2019•朝阳）下列调查中，调查方式最适合普查（全面调查）的是（　　）
A．对全国初中学生视力情况的调查
B．对2019年央视春节联欢晚会收视率的调查
C．对一批飞机零部件的合格情况的调查
D．对我市居民节水意识的调查
【答案】C
【解析】A、对全国初中学生视力情况的调查，适合用抽样调查，A不合题意；
B、对2019年央视春节联欢晚会收视率的调查，适合用抽样调查，B不合题意；
C、对一批飞机零部件的合格情况的调查，适合全面调查，C符合题意；
D、对我市居民节水意识的调查，适合用抽样调查，D不合题意；故选C．
【考点】全面调查与抽样调查
8．（2019•盘锦）下列说法正确的是（　　）
A．方差越大，数据波动越小
B．了解辽宁省初中生身高情况适合采用全面调查
C．抛掷一枚硬币，正面向上是必然事件
D．用长为3cm，5cm，9cm的三条线段围成一个三角形是不可能事件
【答案】D
【解析】A、方差越大，数据波动越大，故本选项错误；
B、了解辽宁省初中生身高情况适合采用抽样调查，故本选项错误；
C、抛掷一枚硬币，正面向上是不确定事件，故本选项错误；
D、用长为3cm，5cm，9cm的三条线段围成一个三角形是不可能事件，故本选项正确；故选D．
【考点】全面调查与抽样调查；方差；随机事件
9．（2019•抚顺）下列调查中，最适合采用全面调查的是（　　）
A．对全国中学生视力和用眼卫生情况的调查
B．对某班学生的身高情况的调查
C．对某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数的调查
D．对某池塘中现有鱼的数量的调查
【答案】B
【解析】A、对全国中学生视力和用眼卫生情况的调查，适合抽样调查，故此选项错误；
B、对某班学生的身高情况的调查，适合全面调查，故此选项正确；
C、对某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数的调查，适合抽样调查，故此选项错误；
D、对某池塘中现有鱼的数量的调查，适合抽样调查，故此选项错误；
故选B．
【考点】全面调查与抽样调查
10．（2019•盘锦）在中考体育加试中，某班30名男生的跳远成绩如下表：
成绩/m
1.95
2.00
2.05
2.10
2.15
2.25
人数
2
3
9
8
5
3
这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（　　）
A．2.10，2.05 B．2.10，2.10 C．2.05，2.10 D．2.05，2.05
【答案】C
【解析】由表可知，2.05出现次数最多，所以众数为2.05；由于一共调查了30人，所以中位数为排序后的第15人和第16人的平均数，即：2.10．故选C．
【考点】中位数；众数
11．（2019•丹东）在从小到大排列的五个整数中，中位数是2，唯一的众数是4，则这五个数和的最大值是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】A
【解析】因为五个整数从小到大排列后，其中位数是2，这组数据的唯一众数是4．
所以这5个数据分别是x，y，2，4，4，且x 当这5个数的和最大时，整数x，y取最大值，此时x=0，y=1，
所以这组数据可能的最大的和是0+1+2+4+4=11．故选A．
【考点】中位数；众数
12．（2019•西宁）西宁市教育局准备组织全市初中生去我市五个四星级公园开展“绿水青山，幸福西宁”社会实践活动．为了解学生的兴趣需求，对全市初中生进行一次抽样调查．针对给出的五个公园（每人限选一个）：A高原明珠景区、B体育公园、C人民公园、D南山公园、E湟水森林公园进行调查．根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答下列问题：

（1）在此调查中，下列抽样调查方式最合理的是_________；（只需填上正确答案的序号）
①对城北区所有初中学校的男同学进行调查；
②对市中心某初中学校九年级的同学进行调查；
③在全市每一所初中学校随机抽取100名同学进行调查．
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）已知全市初中学生约有35000人，请根据调查结果估计全市初中学生最喜欢去体育公园的学生人数；
（4）若甲、乙两名学生在上述选择率较高的三个公园中各选一个开展社会实践活动，请用画树状图或列表的方法求出甲、乙两名学生选择同一个公园的概率，并列出所有等可能的结果．
【解析】（1）①②缺乏代表性和广泛性，得到的数据也不准确，则③最合理
故答案为：③；
（2）区B公园的人数是：800÷40%﹣300﹣800﹣400﹣100=400（人），补图如下：

（3）根据题意得：
35000×400800÷40%=7000（人），
答：估计全市初中学生最喜欢去体育公园的学生人数是7000人；
（4）三个公园分别用A、B、C表示，画图如下：

共有9种等情况数，分别是AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC，其中甲、乙两名学生选择同一个公园的有3种，
则甲、乙两名学生选择同一个公园的概率是39=13．
【考点】抽样调查的可靠性；用样本估计总体；条形统计图；列表法与树状图法
13．（2019•济南）某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：
4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1 5.2
5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2
4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1
4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3
根据数据绘制了如下的表格和统计图：
等级
视力（x）
频数
频率
A
x<4.2
4
0.1
B
4.2≤x≤4.4
12
0.3
C
4.5≤x≤4.7
a

D
4.8≤x≤5.0

b
E
5.1≤x≤5.3
10
0.25
合计
40
1
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的a=__________，b=__________；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？
（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．

【解析】（1）由题意知C等级的频数a=8，
则C组对应的频率为8÷40=0.2，
∴b=1﹣（0.1+0.3+0.2+0.25）=0.15，
故答案为：8、0.15；
（2）D组对应的频数为40×0.15=6，
补全图形如下：

（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有400×0.25=100（人）；
（4）列表如下：

男
男
女
女
男

（男，男）
（女，男）
（女，男）
男
（男，男）

（女，男）
（女，男）
女
（男，女）
（男，女）

（女，女）
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）

得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，
所以恰好选到1名男生和1名女生的概率812=23．
【考点】用样本估计总体；统计表；条形统计图；列表法与树状图法
14．（2019•抚顺）为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．
学生选修课程统计表
课程
人数
所占百分比
声乐
14
b%
舞蹈
8
16%
书法
16
32%
摄影
a
24%
合计
m
100%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m=__________，b=__________．
（2）求出a的值并补全条形统计图．
（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．
（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．

【解析】（1）m=8÷16%=50，b%=1450×100%=28%，即b=28，
故答案为：50、28；
（2）a=50×24%=12，补全图形如下：

（3）估计选修“声乐”课程的学生有1500×28%=420（人）．
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，
则所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为412=13．
【考点】用样本估计总体；统计表；条形统计图；列表法与树状图法


1．（2020•武汉模拟）下列说法的是：①抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0；②三角形的外角和为180度，以上说法正确的是（　　）
A．① B．①② C．② D．没有
2．（2020•晋安区一模）如图，有2个白炽灯，能通电发光的概率都是50%，如果要求至少有一个灯泡发亮，你认为图中哪一种方式更保险？（　　）

A．甲 B．乙 C．甲、乙都可以 D．两种都不可以
3．（2020•淮北一模）一组数据：5，3，4，x，2，1的平均数是3，则这组数据的方差是（　　）
A．16 B．53 C．10 D．636
4．（2020•安徽二模）2019年9月29日，中国女排以11连胜的成绩夺得女排世界杯冠军，“女排精神”永远让中国人热血沸腾．某实验学校女子排球队12名队员的年龄分布如图所示，则这12名队员的年龄的众数、平均数分别是（　　）

A．15岁，14岁 B．15岁，15岁 C．15岁，356岁 D．14岁，15岁
5．（2020•成都模拟）某销售公司有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售量定额，统计了这15人某月的销售量，如下表所示：那么这15位销售人员该月销售量的平均数、众数、中位数分别是（　　）
每人销售件数
1800
510
250
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
A．320，210，230 B．320，210，210 C．206，210，210 D．206，210，230
6．（2020•武汉模拟）不透明的袋子中只有3个黑球和4个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出4个球，下列事件是不可能事件的是（　　）
A．摸出的全部是黑球 B．摸出2个黑球，2个白球
C．摸出的全部是白球 D．摸出的有3个白球
7．（2020•杭州模拟）在平面直角坐标系中有三个点的坐标：A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣1，﹣3）．从A、B、C三个点中依次取两个点，求两点都落在抛物线y=x2﹣x﹣2上的概率是（　　）
A．13 B．16 C．12 D．23
8．（2020•武汉模拟）下列说法：①“掷一枚质地均匀的骰子两次，两次向上的点数都是6”是随机事件；②“小概率事件一定不会发生”．（　　）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都错误
9．（2019•无锡）“六一”儿童节，游乐场举办摸牌游戏．规则如下：桌上放有4张扑克牌，分别为红心2、红心5、黑桃8、梅花K，将扑克牌洗匀后背面朝上，每次从中随机摸出一张牌，若摸到红心，则获得1份奖品；否则，就没有奖品．同时规定：6岁以下（不含6岁）儿童每人有2次摸牌机会（每次摸出后放回并重新洗匀）；6岁以上（含6岁）儿童每人只有1次摸牌机会．
（1）已知小红今年5岁，求小红获得2份奖品的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）；
（2）小明今年6岁，摸牌获得了1份奖品，游乐场工作人员表示可赠送一次机会，让小明在余下的3张牌中任意摸出一张，如果摸到红心，则可再获1份奖品；如果没摸到红心，那么将收回小明已获奖品．请你运用概率知识帮小明判断是否要继续摸牌，并说明理由．
10．（2020•哈尔滨一模）为了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，某校在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求学生在“古筝、二胡、竹笛、扬琴、琵琶”五个选项中，选取自己喜爱的一种乐器（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）本次调查共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若该校共有2020名学生，请你估计该校喜爱“竹笛”的学生有多少名．



1．某校九年级模拟考试中，2班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110．下列说法不正确的是（　　）
A．众数是110 B．中位数是110
C．平均数是100 D．中位数是100
2．动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，活到30岁的概率为0.3，现在有一只20岁的动物，它活到30岁的概率是（　　）
A．35 B．38 C．58 D．310
3．石家庄某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，下面表格反映的是各组平时成绩（单位：分）的平均数x及方差S2．如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（　　）

甲
乙
丙
丁
x
7
8
8
7
S2
1
1.2
0.9
1.8
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
4．某校对部分参加研学旅行社会实践活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：
年龄
12
13
14
15
16
人数
2
3
2
5
1
则这些学生年龄的众数和中位数分别是（　　）
A．15，14 B．15，13 C．14，14 D．13，14
5．如图是两个可以自由转动的转盘，其中一个转盘平均分为4份，另一个转盘平均分为3份，两个转盘分别标有数字；同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为5的概率是（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15
6．体育课上五名同学一分钟跳绳个数如下：126，130，132，134，130．则这组数据的众数和中位数是（　　）
A．130，130 B．130，131 C．134，132 D．131，130
7．在一次数学考试中，某小组的10名学生成绩如下：
分数（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
1
1
5
2
1
则下列说法中正确的是（　　）
A．学生成绩是80分的频率是15 B．学生成绩的中位数是80分
C．学生成绩的众数是5 D．学生成绩的平均数是80分
8．2019年2月18日，《感动中国2018年度人物颁奖盛典》在央视综合频道播出，其中乡村教师张玉滚的事迹令人非常感动．某校区委组织“支援乡村教育，帮助教师张玉滚”的捐款活动，以下为九年级（1）班捐款情况：
捐款金额/元
5
10
20
50
人数/人
12
13
16
11
则这个班学生捐款金额的中位数和众数分别为（　　）
A．15，50 B．20，20 C．10，20 D．20，50
9．为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意；B级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：

（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是__________．
（2）图1中，∠α的度数是__________，并把图2条形统计图补充完整．
（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？
（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，调查他们对精准扶贫政策落实的满意度，请用列表或画树状图的方法求出选中贫困户e的概率．
10．一个盒子里有标号分别为1，2，3的三个小球，这些小球除标号数字外都相同，每次摸出一个小球，然后放回充分摇匀后再摸，在实验中得到下表中部分数据：
试验次数
20
40
60
80
100
120
150
出现1号小球的频率
0.35
0.325
0.35
0.338
0.34
0.325
0.327
（1）从上表中可以估计摸到“1号小球”发生的概率是__________（精确到0.01）
（2）甲、乙两人用这三个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若再次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．
11．（2020•保定一模）学校组织甲、乙两组同学参加国学经典知识对抗赛，每组有6位选手，每场比赛两组各派1人进行现场对抗比赛，满分为30分，共进行了6场比赛．学校整理和汇总了这6场比赛的成绩，并制成如下所示的尚不完整的统计表和如图所示的折线统计图．
场次
一
二
三
四
五
六
甲组成绩
（单位：分）
24
25
27
28
25
21
乙组成绩
（单位：分）
23
27
25
25
24
n
根据以上信息回答下面的问题：
（1）若甲、乙两组成绩的平均数相同，
①求n的值；
②将折线统计图补充完整，并根据折线统计图判断哪组成绩比较稳定．
（2）若甲、乙两组成绩的中位数相等，直接写出n的最小值．
（3）在（1）中的条件下，若从所有成绩为25分的选手中随机抽取两人对其答题情况进行分析，请用列表法求抽到的两位选手均来自同一组的概率．

12．（2020•长春模拟）有四张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字2，0，2，0，如图，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上，甲、乙两人进行如下游戏：甲先抽一张卡片不放回，乙在抽一张卡片．
（1）已知甲抽到的卡片是数字2，则乙抽到卡片上的数字也是2的概率是__________．
（2）甲、乙约定：若甲抽到卡片上的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为这个游戏是否公平？用画树状图或列表的方法加以说明．

13．教育局为了了解初一学生参加社会实践活动的天数，随机抽查本市部分初一学生参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）这次共抽取__________名学生进行统计调查，补全条形图；
（2）a=__________，该扇形所对圆心角的度数为__________；
（3）如果该市有初一学生20000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？
14．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A，B中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是__________；
（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B通道通过的概率．（请用画树状图的方法写出分析过程，并求出结果）．
15．某中学为了解学生对新闻，体育，娱乐，动画四类电视节目的喜爱情况，进行了统计调查．随机凋查了某班所有同学最喜欢的节目（每名学生必选且只能选择四类节目中的一类），并将调查结果绘成如下不完整的统计图．

根据两图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查了多少人？
（2）请补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，若该校有1000名学生，请你估计该校有多少名学生最喜欢“新闻”类节目；
（4）在全班同学中，甲，乙，丙，丁等同学最喜欢体育类节，班主任打算从甲，乙，丙，丁4名同学中选取2人参加学校组织的体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲，乙两同学的概率．
16．（2020•安徽四模）某校组织的元旦晚会中，有歌咏比赛环节，七、八、九年级各派1个代表队参加，他们通过抽签的形式来决定歌咏比赛的顺序，请解答下列问题：
（1）求七年级代表队第1个出场的概率；
（2）求九年级代表队在八年级代表队前面出场的概率．
17．某校九年级获得一个到高校体验的名额，从前期的选拔中，小明和小刚从众多报名者中脱颖而出：为公平起见，学校设计了如下的游戏：四张大小、质地相同的卡片上分别标有数字1、2、3、4．将标有数字的一面朝下，洗匀后从中抽取一张卡片，记下上面的数字，不放回，再从剩余的卡片中抽取一张卡片，记下上面的数字如果两次抽取卡片上数字之和是奇数，小明获胜：如果两次抽取卡片上数字之和是偶数，小刚获胜，获胜的同学将代表学校参加“高校体验”活动．请问：学校设计的这个游戏是否公平？说明理由．
18．（2020•江西模拟）有若干个仅颜色不同的红球和黑球，现往一个不透明的袋子里装进2个红球和3个黑球．
（1）随机摸出一个球是黑球的概率为__________；若先从袋子里取出m个红球（不放回），再从袋子里随机摸出一个球，将“摸到黑球”记为事件A．若事件A为必然事件，则m=__________；
（2）若先从袋子里摸出一个球，放回后再摸出一个球，用列表法或画树状图法求出两次摸出的球颜色不同的概率．
19．停课不停学，疫情期间，九（1）班30位同学参加运动线上打卡，张老师为了鼓励同学们积极锻炼，统计了这30人15天的打卡次数如下：
打卡次数
4
5
6
7
8
9
10
11
13
14
15
人数
1
1
2
3
6
5
1
1
1
4
5
（1）求所有同学打卡次数的平均数，并直接写出中位数和众数；
（2）为了调动同学们锻炼的积极性，张老师决定制定一个打卡奖励标准，凡打卡次数达到或超过这个标准的同学将获得奖励﹒请你根据（1）中所求的统计量，帮助张老师制定一个较为合理的打卡奖励标准，并说明理由﹒
20．某校为了解九年级全体学生物理实验操作的情况，随机抽取了30名学生的物理实验操作考核成绩，并将数据进行整理，分析如下：（说明：考核成绩均取整数，A级：10分，B级：9分，C级：8分，D级：7分及以下）
收集数据
10，8，10，9，5，10，9，9，10，8，9，10，9，9，8，9，8，10，7，9，8，10，9，6，9，10，9，10，8，10
整理数据
整理、描述样本数据，绘制统计表如下：
抽取的30名学生物理实验操作考核成绩频数统计表
成绩等级
A
B
C
D
人数（名）
10
m
n
3
根据表中的信息，解答下列问题：
（1）m=__________，n=__________；
（2）若该校九年级共有800名学生参加物理实验操作考核，成绩不低于9分为优秀，试估计该校九年级参加物理实验操作考核成绩达到优秀的学生有多少名？
（3）甲、乙、丙、丁是九年级1班物理实验考核成绩为10分的四名学生，学校计划从这四名学生中随机选出两名学生代表学校去参加全市中学生“物理实验操作”竞赛，用列表法或画树状图法，求甲、乙两名学生中至少有一名被选中的概率．
21．一个不透明的袋子中装有分别标注着汉字“文”“明”“赣”“州”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一球，请直接写出球上的汉字恰好是“文”的概率；
（2）若从袋中任取一球，记下汉字后放回袋中，然后再从中任取一球，再次记下球上的汉字，求两次的汉字恰好组成“文明”或“赣州”这两个词的概率．



1．【答案】D
【解析】①抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为12，故此①错误；
②三角形的外角和为360度，故此②错误．故选D．
2．【答案】B
【解析】甲图列表如下：

灯泡1发光
灯泡1不发光
灯泡2发光
（发光，发光）
（不发光，发光）
灯泡2不发光
（发光，不发光）
（不发光，不发光）
所有等可能的情况有4种，其中至少有一个灯泡发光的情况有3种，P甲=14，
乙图列表如下：

灯泡1发光
灯泡1不发光
灯泡2发光
（发光，发光）
（不发光，发光）
灯泡2不发光
（发光，不发光）
（不发光，不发光）
所有等可能的情况有4种，其中至少有一个灯泡发光的情况有3种，P乙=34，
∴P甲 3．【答案】B
【解析】由平均数的公式得：（5+3+4+x+2+1）÷6=3，解得x=3；
∴方差=[（5﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（1﹣3）2]÷6=53．故选B．
4．【答案】A
【解析】在12名队员的年龄这组数据中，15岁出现了5次，次数最多，故众数是15岁；
这组数据的平均数为12×3+13+14×2+15×5+1612=14（岁）．
故选A．
5．【答案】B
【解析】平均数是：（1800+510+250×3+210×5+150×3+120×2）÷15=4800÷15=320（件）；
210出现了5次最多，所以众数是210；
表中的数据是按从大到小的顺序排列的，处于中间位置的是210，因而中位数是210（件）．
故选B．
6．【答案】A
【解析】A、摸出的全部是黑球，是不可能事件；
B、摸出2个黑球，2个白球，是随机事件；
C、摸出的全部是白球，是随机事件；
D、摸出的有3个白球，是随机事件；故选A．
7．【答案】A
【解析】根据题意画图如下：

共有6种等可能的结果数，其中两点都落在抛物线y=x2﹣x﹣2上的结果数为2，
所以两点都落在抛物线y=x2﹣x﹣2上的概率是26=13；故选A．
8．【答案】A
【解析】①“掷一枚质地均匀的骰子两次，两次向上的点数都是6”是随机事件，正确；
②“小概率事件也有可能发生”，故此选项错误．故选A．
9．【解析】（1）根据题意画图如下：

共有16种等情况数，求其中符合题意的结果数有4种，
所以小红获得2份奖品的概率是416=14；
（2）∵小明在余下的3张牌中摸到红心的概率为13，摸不到红心的概率是23，
且13<23，
∴小明不需要继续摸牌了．
10．【解析】（1）80÷40%=200（人），
答：本次调查共抽取了200名学生．
（2）200﹣10﹣20﹣30﹣80=60（人），补全条形统计图如图所示：

（3）2020×30200=303（人），
答：该校2020名学生中喜爱“竹笛”的学生有303名．


1．【答案】B
【解析】85，95，110，100，110这组数据的众数是110，中位数是100，平均数为100，
因此选项B符合题意，故选B．
2．【答案】B
【解析】设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到25岁的只数为0.5x，活到30岁的只数为0.3x，
故现年20岁到这种动物活到30岁的概率为0.3x0.8x=38．故选B．
3．【答案】C
【解析】因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．故选C．
4．【答案】A
【解析】15出现的次数最多，15是众数．
一共13个学生，按照顺序排列第7个学生年龄是14，所以中位数为14．故选A．
5．【答案】C
【解析】画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两数字之和为5的结果数为3，
所以指针所指区域内的数字之和为5的概率=312=14．故选C．
6．【答案】A
【解析】把已知数据按从小到大排序后为：126，130，130，132，134，
这组数据中130出现的次数最多，故众数是130，中位数是130．故选A．
7．【答案】B
【解析】A．学生成绩是80分的频率是510=0.5，故选项错误；
B．学生成绩的中位数是80+802=80（分），故选项正确；
C．学生成绩的众数是80分，故选项错误；
D．学生成绩的平均数=110×(60×1+70×1+80×5+90×2+100×1)=81（分），故选项错误；
故选B．
8．【答案】B
【解析】根据题意可知捐款20元的人数有16人，即20是捐款的众数，
把50名同学捐款从小到大排列，最中间的两个数是20，20，中位数是20．
故选B．
9．【解析】（1）由图表信息可知本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数=21÷35%=60（户）
故答案为：60（户）
（2）图1中，∠α的度数=960×360°=54°； C级户数为：60﹣9﹣21﹣9=21（户），
补全条形统计图如图2所示：

故答案为：54°；
（3）估计非常满意的人数约为960×10000=1500（户）；
（4）由题可列如下树状图：

由树状图可以看处，所有可能出现的结果共有20种，选中e的结果有8种
∴P（选中e）=820=25．
10．【解析】（1）∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.33附近，
∴估计摸到“1号小球”发生的概率是0.33；
（2）列表如下：

1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
共有9种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有5种，两次摸到小球的标号数字为一奇一偶有4种，
∴P（甲）=59，P（乙）=49，
∵49<59，
∴这个游戏对甲、乙两人是不公平的．
11．【解析】（1）①由题意得，24+25+27+28+25+21=23+27+25+25+24+n，
解得，n=26．
②补全折线统计图如下图所示：

从折线统计图中可以看出乙组的成绩比较稳定．
（2）n的最小值为25．
（3）根据题意，在（1）中的条件下，甲、乙两组各有两位选手的成绩为25分，设甲组的这两位选手分别记作甲1、甲2，乙组的这两位选手分别记作乙1、乙2，列表如下：

甲1
甲2
乙1
乙2
甲1

甲2甲1
乙1甲1
乙2甲1
甲2
甲1甲2

乙1甲2
乙2甲2
乙1
甲1乙1
甲2乙1

乙2乙1
乙1
甲1乙1
甲2乙2
乙1甲2

根据列表可知，一共有种等可12能的情况，其中得分为25分的两位选手均来自同一组共有4种情况，故P（两位选手均来自同一组）=412=13．
12．【解析】（1）画树状图得：
，
一共有12种可能，两人抽得数字都是2的有2种情况，故两人抽得数字都是2的概率是：212=16；
故答案为：16；
（2）这个游戏不公平，
理由：由（1）得：甲抽到卡片上的数字比乙大的有4种情况，故甲获胜的概率为：412=13，则乙获胜的概率为：23，故这个游戏不公平．
13．【解析】（1）本次抽查的学生有：20÷10%=200（名），
故答案为：200，
参加社会实践活动6天的学生有200﹣20﹣30﹣60﹣40=50（名），
补全的条形统计图如图所示；
（2）a=50÷200×100%=25%，
360°×25%=90°，
故答案为：25%，90°；
（3）20000×（30%+25%+20%）=15000（人），
答：“活动时间不少于5天”的大约有15000人．

14．【解析】（1）∵在2个收费通道A，B中，可随机选择其中的一个通过．
∴一辆汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率=12，
故答案为：12；
（2）画树状图得：

∵共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择B通道通过的有4种情况，
∴至少有两辆汽车选择B通道通过的概率为48=12．
15．【解析】（1）被调查的总人数为：9÷18%=50（人）；
（2）喜欢娱乐的有：50﹣6﹣15﹣9=20（人），
补全统计图如下：

（3）估计该校最喜欢娱乐类节目的学生有：1000×650=120（人）；
（4）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况，
∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为212=16．
16．【解析】（1）由题知，第1个出场的代表队有3种等可能的结果，其中七年级代表队第1个出场的结果有1种，
故所求概率为13．
（2）根据题意画树状图如下：

由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中九年级代表队在八年级代表队前面出场的结果有3种，
故九年级代表队在八年级代表队前面出场的概率为36=12．
17．【解析】这个游戏不公平，画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中和为奇数的有8种结果，和为偶数的有4种结果，
∴小明获胜的概率为812=23，小刚获胜的概率为412=13，
∵23≠13，∴此游戏不公平．
18．【解析】（1）随机摸出一个球是黑球的概率为35，若事件A为必然事件，则m=2，
故答案为：35；2．
（2）列表如下：

红
红
黑
黑
黑
红
（红，红）
（红，红）
（红，黑）
（红，黑）
（红，黑）
红
（红，红）
（红，红）
（红，黑）
（红，黑）
（红，黑）
黑
（黑，红）
（黑，红）
（黑，黑）
（黑，黑）
（黑，黑）
黑
（黑，红）
（黑，红）
（黑，黑）
（黑，黑）
（黑，黑）
黑
（黑，红）
（黑，红）
（黑，黑）
（黑，黑）
（黑，黑）
由上表可知，共有25种等可能的结果，其中颜色不同的结果有12种，
∴两次摸出的球颜色不同的概率为1225．
19．【解析】（1）平均数为（4×1+5×1+6×2+7×3+8×6+9×5+10×1+11×1+13×1+14×4+15×5）÷30=10；
共30人，所有同学打卡次数从小到大排列第15个、第16个数都为9次，
中位数为9次；
8出现了6次，次数最多，众数为8次；
（2）为了调动同学们锻炼的积极性，打卡奖励标准可以定为所有同学打卡次数的中位数．
因为共有30人，9次以上（含9次）的有17人，超过总数的一半．
20．【解析】（1）由题意可得，m=11，n=6，故答案为：11，6；
（2）800×10+1130=560（名）
答：该校九年级参加物理实验操作考核成绩达到优秀的学生有560名；
（3）所有的可能性如下图所示，

则甲、乙两名学生中至少有一名被选中的概率是：3+3+2+23×4=1012=56，
即甲、乙两名学生中至少有一名被选中的概率是56．
21．【解析】（1）P（文）=14．
（2）列表如下：
　　二
一
文
明
赣
州
文
文文
文明
文赣
文州
明
明文
明明
明赣
明州
赣
赣文
赣明
赣赣
赣州
州
州文
州明
州赣
州州
所有可能结果有16种，其中满足条件的有2种．
∴P（文明或赣州）=416=14．