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初中数学中考复习 数学-2020年中考考前20天终极冲刺攻略(二)
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这是一份初中数学中考复习 数学-2020年中考考前20天终极冲刺攻略(二)，共94页。试卷主要包含了 有序数对确定平面内点的位置，平面直角坐标系，平面直角坐标系内点的坐标特点，用坐标表示平移、地理位置，函数的图象、应用，5，，二次函数与四边形的综合运用等内容，欢迎下载使用。
目 录 / contents
倒计时第15天 函数与平面直角坐标系 …………………………………01
倒计时第14天 一次函数 ……………………………………………………17
倒计时第13天 反比例函数 …………………… ……………………35
倒计时第12天 二次函数 ………… …………………………………49
倒计时第11天 函数的综合应用 …………………………………………68
——函数与平面直角坐标系
1.了解：函数的一般概念和函数的表示方法;平面直角坐标系的概念;常量与变量的含义;象限的坐标特点;
2.理解：有序实数对;平面内点的坐标特征;函数的实际应用;函数的三种表示方法及作图象的步骤.
3.会：在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标;会用解析法表示简单函数;会画平面直角坐标系;会求函数值.
4.掌握：坐标平面内点的坐标特征;函数的三种表示方法;函数的实际应用.
5.能：画出平面直角坐标系;在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；能结合具体情境灵活运用多种方式确定物体的位置;在直角坐标系中描述物体的位置、确定物体的位置;能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析;能确定函数自变量的取值范围.
1.从考查的题型来看，主要以选择题或填空题的形式进行考查,属于中、低档题,较简单；
2.从考查的内容来看,考查的重点有:函数的概念与平面直角坐标系的建立;函数的三种表示方法;各象限内坐标的特点;函数自变量的取值范围与平面直角坐标系上点的对称性与动点问题；
3.从考查的热点来看,主要涉及的有:象限内坐标的特点与有序实数对;函数自变量的取值范围与平面直角坐标系上点的对称性与动点问题;函数在实际问题中的应用.
1. 有序数对确定平面内点的位置
用有序数对确定平面内点的位置时，一般采用“行列”定位法、“方位角+距离”定位法、“经纬度”定位法等.
(1)用一个数据可以确定一条直线上点的位置，但确定平面内点的位置必须有两个数据，平面内物体的位置与有序数对之间是一一对应关系.
(2)“行列”定位法是确定平面内物体位置的方法之一，在这种方法中，常把平面分成若干行、列，然后根据行号和列号表示平面内点的位置，在此方法中，要准确记住某点的位置需要两个独立的数据组成有序数对.
(3)“方位角+距离”定位法在生活中比较常见，易错点是在一个图中，要弄清“A在B的什么方向”与“B在A的什么方向”的区别，也就是说方向易弄错.解题时要特别注意.
2.平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的三要素：①两条数轴; ②互相垂直; ③公共原点.
(2)坐标轴上的点不属于任何象限；坐标平面内的任何一个点，不在四个象限内就在坐标轴上.
(3)平面直角坐标系中两条数轴的特征：互相垂直；原点重合；通常取向上、向右为正方向.
(4)单位长度一般取相同.在有些实际问题中，两数轴上的单位长度可以不同.
3.平面直角坐标系内点的坐标特点
(1)点P(a,b)在第一象限，则a>0,b>0;
(2)点P(a,b)在第二象限，则a<0, b >0;
(3)点P(a,b)在第三象限，则a<0, b <0;
(4)点P(a,b)在第四象限，则a>0, b <0.
(5)x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的横、纵坐标都为0；原点既在x轴上，又在y轴上.
(6)判断一个点在哪个象限，关键是看它的坐标符号的正负；判断一个点是否在坐标轴上，关键是看它的坐标中是否有0.
(7)纵坐标都相同的点连成的直线平行于x轴(或与x轴重合)，横坐标都相同的点连成的直线平行于y轴(或与y轴重合).
4.用坐标表示平移、地理位置
(1)点的平移坐标变化规律的简单记忆方法：左右平移→左减右加纵不变，上下平移→上加下减横不变.解题时，一般有两种方法：一是可以根据点的平移规律判断平移情况，也可根据平移情况判断点的平移规律；二是画平面直角坐标系描点进行平移操作.
(2)确定一个物体(或某地)的坐标，关键是选好平面直角坐标系，再通过观察图形，找出物体(或某地)所在点的坐标；选择的平面直角坐标系的原点不同，建立的平面直角坐标系就不同，得到的点的坐标就不同；无论怎样选择坐标原点，虽然得到的坐标不同，但它们的相应位置始终不变;
(3)用方位角和距离表示平面内物体的位置时，采用“方位角+距离”的格式书写，运用此法必须具备两个数据：一是“方位角”，二是“距离”.
5.函数的概念、表示方法、自变量取值范围
(1)函数的实质是两个变量之间的对应关系,在某个变化过程中,必须有两个变量,含有一个变量的代数式可以看作是这个变量的函数.
(2)函数的表示:图象法、解析式法、列表法.函数的三种表示方法应根据实际需要选择，有时需同时使用几种方法.
(3)自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不等于0的实数；当自变量以二次根式形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数；在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．
6.函数的图象、应用
(1)根据题意找出两个变量间函数的大致图象;弄清函数和自变量的意义，结合函数图象作出判断;特别要读懂函数表达的意义与自变量的关系，一般要分段思考.
(2)函数的应用是灵活运用函数的知识去解决实际问题，问题中的信息有的是利用表格提供，要善于从图文、表格中准确获取信息，用函数的知识分析和解决问题.
1．（2019•株洲）在平面直角坐标系中，点A（2，–3）位于哪个象限？
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】点A坐标为（2，–3），则它位于第四象限，故选D．
【考点】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决本题的关键，四个象限的符号特征分别是：第一象限（+，+）；第二象限（–，+）；第三象限（–，–）；第四象限（+，–）．
2．（2019•甘肃）已知点P（m+2，2m–4）在x轴上，则点P的坐标是
A．（4，0） B．（0，4）
C．（–4，0） D．（0，–4）
【答案】A
【解析】∵点P（m+2，2m–4）在x轴上，∴2m–4=0，解得m=2，
∴m+2=4，则点P的坐标是：（4，0）．故选A．
【考点】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．
3．（2009•安顺）函数y=的自变量x的取值范围是
A．x<2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2
【答案】D
【解析】根据题意得：2x–4≥0，解得x≥2．故选D．
【考点】本题考查函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
4．（2019•海南）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0）
C．（﹣1，0） D．（3，0）
【答案】C
【解析】由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，∴点B的对应点B1的坐标（﹣1，0）．故选C．
【考点】本题运用了点的平移的坐标变化规律，关键是由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．
5．(2018·山东滨州) 如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，y=x+1，
当0≤x＜1时，[x]=0，y=x，
当1≤x＜2时，[x]=1，y=x﹣1，
……
故选A．
【考点】本题考查函数的图象．
6．（2019·山东枣庄）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是
A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（1，2）
【答案】A
【解析】∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，∴点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，∴A′的坐标为（﹣1，1）．故选A．
【考点】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
7．（2019•衡阳）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，
∵EF⊥BC，ED⊥AC，∴四边形EFCD是矩形，
∵E是AB的中点，∴EF=AC，DE=BC，∴EF=ED，∴四边形EFCD是正方形，
设正方形的边长为a．
如图1，当移动的距离小于a时，S=正方形的面积–△EE′H的面积=a2–t2；
当移动的距离大于a时，如图2，S=S△AC′H=（2a–t）2=t2–2at+2a2，
∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选C．
【考点】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
8．(2018·湖北咸宁)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米.
其中正确的结论有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】由图可得，甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，
乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，
故选A．
【考点】本题考查函数的图象.
9．(2018·广东广州) 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1 m，其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是
A．504 m2 B． m2
C． m2 D．1009 m2
【答案】A
【解析】由题意知OA4n=2n，∴OA2016=2016÷2=1008，即A2016的坐标为(1008，0)，
∴A2018坐标为(1009，1)，则A2A2018=1009－1=1008(m)，
∴＝A2A2018×A1A2＝×1008×1＝504(m2).
故选A.
【考点】本题考查点的坐标、规律探索．
10．（2019•山东济宁）已知点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），写出一个符合上述条件的点P的坐标__________．
【答案】（1，﹣2）（答案不唯一）
【解析】∵点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），
∴x>0，y<0，
∴当x＝1时，1≤y+4，
解得0>y≥﹣3，
∴y可以为：﹣2，
故写一个符合上述条件的点P的坐标可以为：（1，﹣2）（答案不唯一）．
故答案为：（1，﹣2）（答案不唯一）．
【考点】此题主要考查了点的坐标，正确把握横纵坐标的符号是解题关键．
1．（2019年广东省佛山市顺德区中考数学三模试卷）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（江苏省徐州市2019-2020学年九年级上学期月考数学试题）在函数y＝中，自变量x的取值范围是
A．x≥1 B．x≤1且x≠0 C．x≥0且x≠1 D．x≠0且x≠1
3．（2020年河南省安阳市中考数学一模试题）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
4．（2019年广西玉林市兴业县中考一模数学试题）若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是
A．± B．4 C．±或4 D．4或－
5．（2020年北京市首都师范大学二附中中考零模数学试题）如图，昌平十三陵中的部分皇陵在地图上的位置，若庆陵的位置坐标（﹣1，4），长陵的位置坐标（2，0），则定陵的位置坐标为
A．（5，2） B．（﹣5，2） C．（2，5） D．（﹣5，﹣2）
6．（江西省宜春市2019届九年级4月模拟考试数学试题）如图，在△ABC中，AC＝BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是
A． B．
C． D．
7．（江苏省连云港市海州区海庆中学2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，4）
8．（北京市西城区重点中学2019届九年级模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系中，张敏做走棋游戏，其走法：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…，以此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n能被3除时，余数为1时，则向右走1个单位；当n能被3除时，余数为2时，则向右走2个单位，当走完67步时，棋子所处的位置坐标是
A．（66，22） B．（66，23） C．（67，23） D．（67，22）
9．（北京市通州区北关中学2019年中考数学一模试卷）平面直角坐标系中，点A(，﹣)到x轴的距离是_____．
10．（四川省自贡市田家炳中学2019-2020学年九年级下学期4月月考数学试题）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完．
1．若n是任意实数,则点N(−1，n2+1)在第( )象限.
A．一 B．二
C．三 D．四
2．函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
3．用100元钱在网上书店恰好可购买m本书，但是每本书需另加邮寄费6角，购买n本书共需费用y元，则可列出关系式
A． B．
C． D．
4．若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是
A． B．4 C．或4 D．4或
5．小明从家步行到校车站台，等候坐校车去学校，图中的折线表示这一过程中小明的路程S(km)与所花时间t(min)间的函数关系.下列说法：
①他步行了1km到校车站台；
②他步行的速度是100m/min；
③他在校车站台等了6min；
④校车运行的速度是200m/min.
其中正确的个数是
A．1 B．2
C．3 D．4
6．如图，正三角形ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x(秒)，y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为
7．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到如图所示的螺旋折线，已知点P1（0，1），P2（−1，0），P3（0，−1），则该折线上的点P9的坐标为
A．（−6，24） B．（−6，25） C．（−5，24） D．（−5，25）
1．【答案】B
【解析】点（﹣2，3）在第二象限．
故选：B．
2．【答案】C
【解析】由题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．
故x的取值范围是x≥0且x≠1．
故选C．
3．【答案】A
【解析】由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为：（1﹣2m，1﹣m），
又∵M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：．
故选A．
4．【答案】D
【解析】把y=8代入第二个方程，解得x=4大于2，所以符合题意；
把y=8代入第一个方程，解得： x=，
又由于x小于等于2，所以x=舍去，
所以选D.
5．【答案】D
【解析】根据庆陵的位置坐标（﹣1，4），长陵的位置坐标（2，0），
建立直角坐标系，如图
所以定陵的位置坐标为（﹣5，﹣2），
故选：D．
6．【答案】D
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在△ABC中，AC=BC，∴AD=BD．
①点P在边AC上时，s随t的增大而减小．故A、B错误；
②当点P在边BC上时，s随t的增大而增大；
③当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小，点P与点D重合时，s最小，但是不等于零．故C错误；
④当点P在线段AD上时，s随t的增大而增大．故D正确．故答案选D．
7．【答案】C
【解析】过O′作O′F⊥x轴于点F，过A作AE⊥x轴于点E，
∵A的坐标为（2，），∴AE=，OE=2．
由等腰三角形底边上的三线合一得OB=2OE=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理可求AB=3，则A′B=3，
由旋转前后三角形面积相等得，即，
∴O′F=．
在Rt△O′FB中，由勾股定理可求BF=，∴OF=．
∴O′的坐标为（）．
故选C．
8．【答案】D
【解析】由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，
∵67÷3＝22余1，
∴走完第67步，为第23个循环组的第1步，
所处位置的横坐标为22×3+1＝67，
纵坐标为22×1＝22，
∴棋子所处位置的坐标是（67，22）．
故选：D．
9．【答案】
【解析】∵点A(，﹣)，
∴A点到x轴的距离是：．
故答案为．
10．【答案】8
【解析】由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：20÷4=5升．
设出水管每分钟的出水量为a升，由函数图象，得，解得：．
∴关闭进水管后出水管放完水的时间为：（分钟）．
故答案为：8．
1．【答案】B
【解析】∵n2≥0，∴1+n2≥1，∴点N在第二象限．故选B．
2．【答案】A
【解析】由函数，得到3x+6≥0，解得x≥−2，表示在数轴上，如图所示：故选A．
3．【答案】A
【解析】平均每本书价格为，购买n本书共需费用.故选A．
4．【答案】D
【解析】把y=8代入函数中，先代入上边的方程得x=，∵x≤2，∴x=不合题意，舍去，故x=；再代入下边的方程得x=4，∵x＞2，∴x=4，综上，x的值为4或．故选D．
5．【答案】C
【解析】由图象可得小明步行10分钟，步行了1km到达校车站台，
所以步行的速度为：1000÷10=100（m/min），
由图象可得：小明在校车站台等了16-10=6（min），
利用图象可得：校车行驶的距离为：8-1=7（km），
校车行驶的时间为：30-16=14（min），
所以校车的速度是：7000÷14=500（m/min）．
故①②③正确，④错误.故本题答案为C.
6．【答案】C
【解析】∵正三角形ABC的边长为3 cm，如图，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3 cm．
过C作CD⊥AB，则AD=1.5 cm，CD= cm.
①当点P在AB上时，AP=x cm，PD=|1.5x| cm，
∴y=PC2=()2+(1.5x)2=x23x+9(0≤x≤3)，该函数图象是开口向上的抛物线；
②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=(6x)cm(3＜x≤6)，
则y= PC2=(6x)2=(x6)2(3＜x≤6)，该函数图象是在3＜x≤6上的抛物线.故选C．
7．【答案】B
【解析】由题意,P5在P2的正上方,推出P9在P6的正上方,且到P6的距离=21+5=26，
所以P9的坐标为(−6,25)，故选B．
——一次函数
1.了解：正比例函数的概念; 一次函数的概念;一次函数的图象.
2.理解：一次函数的概念及性质;待定系数法确定一次函数的表达式.
3.会：判断一个函数是否为一次函数;准确判断k的正负、函数增减性和图象经过的象限;用数形结合思想解决此类问题.
4.掌握：一次函数的性质;一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式(组)的联系;一次函数图象的应用;一次函数的综合应用.
5.能：能根据图象信息，解决相应的实际问题;能解决与方程(组)、不等式(组)相关的实际问题.
1.从考查的题型来看，主要以解答题的形式考查,少数题目以填空题或选择题的形式考查，属于中档题.
2.从考查的内容来看,主要涉及一次函数的概念、性质及图象;一次函数与一次方程(不等式)相结合的综合应用.
3.从考查的热点来看,主要涉及一次函数的性质与图象及其与其他方程或不等式的实际问题的综合应用.
1.正比例函数和一次函数的概念
判断一个函数是否为一次函数关键是看它的k值是否不为0和自变量指数是否为1；而要判断一个函数是否为正比例函数还要在一次函数基础上加上b=0这个条件．当k及自变量x的指数含字母参数时，要同时考虑k≠0及指数为1．
2.一次函数的图象
(1)所有一次函数的图象都是一条直线；一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b)的直线；正比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0)的直线．
(2)k>0，b>0时，图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大；
k>0，b<0时，图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大；
k<0，b>0时，图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小；
k<0，b<0时，图象经过第二、三、四象限，y随x的增大而减小．
(3)一次函数y=kx+b是由正比例函数y=kx上下平移得到的，要判断一次函数经过的象限，先由k的正负判断是过第一、三象限还是过第二、四象限，再由b的正负判断是向上平移还是向下平移，从而得出所过象限.而增减性只由k的正负决定，与b的取值无关．准确抓住k、b的正负与一次函数图象的关系是解答关键．
3.正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数解析式y=kx(k0)中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数解析式y=kx+b(k0)中的常数k和B．解这类问题的一般方法是待定系数法．
4.一次函数的应用
主要涉及经济决策、市场经济等方面的应用．利用一次函数与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．解决这类问题的一般步骤：
(1)设定实际问题中的变量；
(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；
(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；
(4)利用函数的性质解决问题；
(5)写出答案．
注意：读图时首先要弄清横、纵坐标表示的实际意义，还要会将图象上点的坐标转化成表示实际意义的量；自变量取值范围要准确，要满足实际意义．
1．（2019•扬州）若点P在一次函数的图象上，则点P一定不在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】一次函数y=-x+4中k=-1<0，b>0，所以一次函数y=-x+4的图象经过一、二、四象限，又点P在一次函数y=-x+4的图象上，所以点P一定不在第三象限，故选C．
【考点】本题考查一次函数图象．
2．（2019•梧州）直线y=3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是
A．y=3x+3 B．y=3x-2 C．y=3x+2 D．y=3x-1
【答案】D
【解析】直线y=3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y=3x+1-2=3x-1．故选D．
【考点】本题考查一次函数图象与几何变换．
3．（2019•绍兴）若三点，，在同一直线上，则的值等于
A．-1 B．0 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y=kx+b，∴∴，∴y=3x+1，
将点（a，10）代入解析式，则a=3，故选C．
【考点】本题考查待定系数法求函数的解析式．
4．(2018·辽宁辽阳)如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是
A．x=-3 B．x=4
C．x= D．x=
【答案】A
【解析】方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b的图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y=ax+b过B（-3，0），∴方程ax+b=0的解是x=-3，故选A．
【考点】本题考查一次函数与方程的关系．
5．（2019•辽阳）若且，则函数的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，且，
∴a>0，b<0．
∴函数的图象经过第一、三、四象限．
故选A．
【考点】此题主要考查一次函数的图象，解题的关键是熟知不等式的性质及一次函数的图象．
6．（2019•临沂）下列关于一次函数的说法，错误的是
A．图象经过第一、二、四象限 B．随的增大而减小
C．图象与轴交于点 D．当时，
【答案】D
【解析】∵，∴图象经过第一、二、四象限，A正确；
∵，∴随的增大而减小，B正确；
令时，，∴图象与轴的交点为，∴C正确；
令时，，当时，，D不正确，故选D．
【考点】本题考查一次函数图象与性质．
7．（2019•枣庄）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、，
设点坐标为，
∵点在第一象限，∴，，
∵矩形的周长为8，
∴，∴，
即该直线的函数表达式是，
故选A．
【名师点睛】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．根据坐标的意义得出x、y之间的关系是解题的关键．
8．（2019•黔东南州）如图所示，一次函数（、为常数，且）的图象经过点，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】函数的图象如图所示，图象经过点，且函数值随的增大而增大，
故不等式的解集是．
故答案为：．
【考点】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解题的关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
9．（2019•南京）已知一次函数（k为常数，k≠0）和．
（1）当k=﹣2时，若>，求x的取值范围；
（2）当x<1时，>．结合图象，直接写出k的取值范围．
【解析】（1）当时，，
根据题意，得，解得．
（2）当x=1时，y=x−3=−2，
把（1，−2）代入y1=kx+2得k+2=−2，解得k=−4，
当−4≤k<0时，y1>y2；
当0y2．
∴k的取值范围是：且．
【考点】一次函数的图象与性质.
10．（2019•湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为（分），图1中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程（米）与甲步行时间（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离（米）与甲步行时间（分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：
（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
（3）在图2中，画出当时关于的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
【解析】（1）由题意，得：甲步行的速度是（米/分），
∴乙出发时甲离开小区的路程是（米）．
（2）设直线的解析式为:，
∵直线过点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为:，
∴当时，，
∴乙骑自行车的速度是（米/分）．
∵乙骑自行车的时间为（分），
∴乙骑自行车的路程为（米）．
当时，甲走过的路程是（米），
∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是（米）．
（3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），
乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分），
当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如图所示．
【考点】本题考查一次函数的实际应用．
11．（2019•陕西）根据记录，从地面向上11 km以内，每升高1 km，气温降低6 °C；又知在距离地面11 km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m（°C），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（°C）
（1）写出距地面的高度在11 km以内的y与x之间的函数表达式；
（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为-26 °C时，飞机距离地面的高度为7 km，求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12 km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12 km时，飞机外的气温．
【解析】（1）∵从地面向上11 km以内，每升高1 km，气温降低6 °C，地面气温为m（°C），距地面的高度为x（km）处的气温为y（°C），
∴y与x之间的函数表达式为：y=m-6x（0≤x≤11）．
（2）将x=7，y=-26代入y=m-6x，得-26=m-42，
∴m=16，
∴当时地面气温为16 °C．
∵x=12>11，
∴y=16-6×11=-50（°C），
假如当时飞机距地面12 km时，飞机外的气温为-50 °C．
【考点】本题考查了一次函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键．
1．（2020年福建省漳州市中考数学三模试题）下列直线与过（﹣2，0），（0，3）的直线的交点在第一象限的是
A．x＝﹣3 B．x＝3 C．y＝﹣3 D．y＝3
2．（2019年陕西省交大附中中考数学第二次模拟试题）若点A（1，a）和点B（4，b）在直线y＝﹣x+m上，则a与b的大小关系是
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．与m的值有关
3．（福建省厦门市湖滨中学2019-2020学年九年级下学期阶段反馈一数学试题）已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0）
C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小
4．（江苏省无锡市敔山湾实验学校2019-2020学年九年级上学期期中数学试题）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2；④当y1＞0且y2＞0时，﹣a＜x＜4．其中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2019年江苏省太仓市九年级数学教学质量调研测试）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，Q为内部一点，则的最小值等于
A． B． C． D．
6．（2019年吉林省长春市汽开区中考数学预测模拟试卷（三））如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，0），则当函数值y小于0时，自变量x的取值范围是_____．
7．（2020年河南省南阳市镇平县九年级第一次摸底数学试题）如图，l1反映了某公司产品的销售收人与销售量的关系，l2 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断：当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量必须_____.
8．（安徽省合肥市蜀山区第四十八中学2019-2020学年九年级上学期10月月考数学试题）一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点．
（1）求出这个一次函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．
9．（浙江省温州南浦中学2019届九年级中考一模试卷数学试题）某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．已知购3台空调、2台彩电需花费2.32万元，购2台空调、4台彩电需花费2.48万元．
（1）计算每台空调与彩电的进价分别是多少元？
（2）已知每台空调的售价为6100元，每台彩电的售价为3900元，设商场计划购进空调台，空调和彩电全部销售完商场获得的利润为元．试写出与的函数关系式；
（3）根据市场需要，商场购进空调不少于10台，且购进的空调和彩电可以全部售完，那么在筹集资金范围内，商场有哪几种进货方案可供选择？选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？
10．（2020年吉林省长春市中考5月第一次模拟数学试题）小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），小明操控无人飞机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）无人机上升的速度为 米/分，无人机在40米的高度上飞行了 分．
（2）求无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式．
（3）求无人机距地面的高度为50米时x的值．
1．一个正比例函数的图象过点（2，−3），它的表达式为
A．y=-32x B．y=23x C．y=32x D．y=-23x
2．已知一次函数和，假设k＞0且,则这两个一次函数的交点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则y＜0时自变量x的取值范围是
A．x＞2 B．x＜2
C．x＞−1 D．x＜−1
4．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s(单位：千米)，甲行驶的时间为t(单位：小时)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：
①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；
②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；
③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；
④甲的速度是乙速度的一半．
其中，正确结论的个数是
A．4 B．3
C．2 D．1
5．如图，在一次函数的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰直角三角形ABC,使∠BAC=90°,设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y,则y与x的解析式是_______.
7．一次函数的图象经过点(﹣2，12)和(3，﹣3)．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）画出这条直线的图象；
（3）设这条直线与两坐标轴的交点分别为A、B，求△AOB的面积．
8．学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．
（1）求A，B两型桌椅的单价；
（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总费用最少的购置方案．
9．如图，直线AB：y=−x−b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且OB∶OC=3∶1．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线BC的函数关系式；
（3）若点P（m，2）在△ABC的内部，求m的取值范围．
1．【答案】B
【解析】与过（﹣2，0），（0，3）的直线的交点在第一象限，∴x＞0，y＞3，因此x＝3满足条件，
故选：B．
2．【答案】A
【解析】因为k＝﹣1＜0，所以在函数y＝﹣x+m中，y随x的增大而减小．
∵1＜4，∴a＞b．故选：A．
3．【答案】C
【解析】将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1，
A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；
B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误；
C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；
D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误，
故选C．
4．【答案】B
【解析】①∵y1＝kx+b的图象从左向右呈下降趋势，∴k＜0正确；
②∵y2＝x+a，与y轴的交点在负半轴上，∴a＜0，故②错误；
③当x＜3时，y1＞y2，故③错误；
④y2＝x+a与x轴交点的横坐标为x＝﹣a，当y1＞0且y2＞0时，﹣a＜x＜4正确；
故正确的判断是①④，正确的个数是2个．故选：B．
5．【答案】D
【解析】如图，将ΔAOQ绕点A逆时针旋转60°得到ΔA0´Q´，连接QQ´，OQ´，BQ´，
由y=-x+可得A(1，0)，B(0，)，∴AO=1，BO=，
由旋转性质可得ΔAO´O，ΔAQQ´都是等边三角形，∴QQ´=AQ，OQ=O´Q´
当A、Q、Q´、0´四点共线时，AQ+OQ+BQ的值最小，即为AO´的长，
∵ΔAQQ´都是等边三角形，AO=1，∴O´()
∴O´H=，OH=，∴BH=BO+OH=
∴AO´==
∴AQ+OQ+BQ的最小值是.故答案为：D.
6．【答案】x＞3
【解析】观察函数图象，可知：当x＞3时，y＜0．故答案为x＞3．
7．【答案】大于4
【解析】根据图象分析可得：当销售量大于4时，a在b的上方，即收入大于成本．故答案为大于4．
8．【解析】（1）把A（﹣1，m），B（n，﹣1）分别代入y＝得﹣m＝﹣2，﹣n＝﹣2，解得m＝2，n＝2，
所以A点坐标为（﹣1，2），B点坐标为（2，﹣1），
把A（﹣1，2），B（2，﹣1）代入y＝kx+b得，解得，
所以这个一次函数的表达式为y＝﹣x+1；
（2）设直线AB交y轴于P点，如图，
当x＝0时，y＝1，所以P点坐标为（0，1），
所以S△OAB＝S△AOP+S△BOP＝×1×1+×1×2＝；
（3）使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
9．【解析】（1）每台空调与彩电的进价分别是5400元与3500元；
（2）；
（3），解得，
∴有三种进货方案：①购进空调10台，彩电20台；②购进空调11台，彩电19台；③购进空调12台，彩电18台．
∵，
∴随的增大而增大，
∵是正整数，其所能取的整数值是10、11、12，
∴当时，取最大值，
∴选择方案③获利最大，即购进空调12台，彩电18台，最大利润为元．
10．【解析】（1）无人机上升的速度为=20米/分，无人机在40米的高度上飞行了6﹣1﹣2=3分．
故答案为20，3；
（2）设y=kx+b，把（9，60）和（12，0）代入得到，
解得 ，
∴无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式为y=﹣20x+240．
（3）易知无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y=20x﹣60（5≤x≤6），
由20x﹣6﹣=50，解得x=5.5，
由﹣2﹣x+240=50，解得x=9.5，
综上所述，无人机距地面的高度为50米时x的值为5.5和9.5．
1．【答案】A
【解析】设函数的解析式是y=kx，根据题意得：2k=−3，解得：k=-32．∴函数的解析式是：y=-32x．故选A．
2．【答案】A
【解析】已知一次函数中k＞0，∴其图象过第一、二、三象限，与y轴交点为（0，5），∵一次函数，且,∴其图象过第一、二、四象限，与y轴交点为（0,7），故两条直线的交点在第一象限，故选A．
3．【答案】D
【解析】当y＜0时，图象在x轴下方，∵其图象与x轴交于点（−1，0），∴y＜0时，自变量x的取值范围是x＜−1，故选D．
4．【答案】B
【解析】由图象可得：出发1小时时，甲、乙在途中相遇，故①正确；
甲骑摩托车的速度为：120÷3=40(千米/小时)，设乙开汽车的速度为a千米/小时，则，解得：a=80，∴乙开汽车的速度为80千米/小时，∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确；
出发1.5小时，乙比甲多行驶了：1.5×(8040)=60(千米)，故②正确；
乙到达终点所用的时间为1.5小时，甲到达终点所用的时间为3小时，故③错误.
∴正确的有①②④，共3个，故选B．
5．【答案】C
【解析】①当0＜x＜6时，设点P(x，x+6)，∵矩形PBOA的面积为5，∴x(x+6)=5，化简，解得，，∴P1(1，5)，P2(5，1)，②当x＜0时，设点P(x，x+6)，∵矩形PBOA的面积为5，∴x(x+6)=5，化简，解得，(舍去)，∴P3(，)，∴在x轴的上方满足上述条件的点P共有3个．故选C．
6．【答案】y=x+1
【解析】过点C作CD⊥OA于点D，则∠CDA＝∠BAC＝∠AOB＝90°，
因为∠CAD＋∠BAO＝90°，∠CAD＋∠ACD＝90°，所以∠BAO＝∠ACD，
又因为AC＝AB，所以△ABO≌△CAD，所以OB＝DA，即x＝y−1，所以y＝x＋1.
故答案为y＝x＋1.
7．【解析】（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，解得：，
则函数的解析式是y=﹣3x+6.
（2）画出函数图象如图：
（3） y=﹣3x+6中，令x=0，解得：y=6，则与y轴交点的坐标是(0，6)，
令y=0，解得：x=2，则与x轴交点的坐标是(2，0)．
则△AOB的面积是：×3×6=9.
8．【解析】（1）设A型桌椅的单价为a元，B型桌椅的单价为b元，
根据题意知，，解得，
即A，B两型桌椅的单价分别为600元、800元.
（2）根据题意知，y=600x+800（200﹣x）+200×10=﹣200x+162000（120≤x≤130）.
（3）由（2）知，y=﹣200x+162000（120≤x≤130），
∴当x=130时，总费用最少，
即购买A型桌椅130套，购买B型桌椅70套，总费用最少，最少费用为136000元．
9．【答案】（1）（0，6）；（2）y=3x+6；（3）−43
解得：b=−6，
∴直线AB的解析式为y=−x+6，∴B点坐标为（0，6）.
（2）∵OB∶OC=3∶1，∴OC=2，
∴点C的坐标为（−2，0），
设BC的解析式是y=kx+6，则0=−2k+6，解得：k=3，
∴直线BC的解析式是：y=3x+6.
（3）把y=2代入y=−x+6得x=4；把y=2代入y=3x+6中得x=−43，
结合图象可知m的取值范围是−43
——反比例函数
1.了解：反比例函数的概念；反比例函数的图象；反比例函数中比例系 数的几何意义.
2.理解：反比例函数的性质；一次函数解析式的确定.
3.会：会判断一个函数是否为反比例函数；会分象限利用增减性；用数形结合思想解决问题.
4.掌握：反比例函数的性质；反比例函数解析式的确定.
5.能：能用待定系数法确定函数解析式；能根据图象信息，解决相应的实际问题；能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明.
1.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题或填空题的形 式出现,少数题目以解答题的形式出现,属于中档题.
2.从考查内容来看,主要有：反比例函数的概念；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数解析式的确定；反比例函数的应用.
3.从考查热点来看,主要有：反比例函数的性质及其解析式的确定；反比例函数与一次函数交点的综合应用；反比例函数与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明.
1.反比例函数的概念
一般地，形如（k是常数，）的函数叫做反比例函数.自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围也是一切非零实数．
方法归纳：判断一个函数是否是反比例函数的关键是看它的横、纵坐标的乘积是否为一个非零常数.当k及自变量x的指数含字母参数时，要同时考虑及指数为．
2.反比例函数的性质
当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
方法归纳：熟练掌握反比例函数的性质，准确抓住“在每个象限内”是解答的关键．
反比例函数的图象位置和函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的.反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号，如已知双曲线在第二、四象限，则可知.
3.反比例函数的图象与画法
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三或第二、四象限，它们关于原点对称.由于反比例函数中自变量，函数值，所以反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.
画反比例函数图象的步骤：列表、描点、连线.
需要注意的是：（1）画反比例函数的图象应多取一些点，这样画出的图象才能标准、对称、美观；（2）随着的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远达不能与坐标轴相交.
4.反比例函数与一次函数的综合运用
一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标为对应方程组的解.
方法归纳：列方程组是关键.坐标要准确，利用增减性时要分象限考虑．
5.反比例函数的图象和k的几何意义
主要涉及与三角形、四边形相关的面积问题，线段长度问题和坐标问题．
如图，过双曲线上任意一点P(x,y)分别作轴、轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积.因为，所以，所以，即过双曲线上任意一点P(x,y)分别作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为.
如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于其中一坐标轴，垂足为F，连接EO，则，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得的三角形的面积为.
1．（2019•安徽）已知点A（1，–3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y=的图象上，则实数k的值为
A．3 B．
C．–3 D．–
【答案】A
【解析】点A（1，–3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A'（1，3）代入y=得k=1×3=3．故选A．
【考点】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
2．（2019•广西）若点（–1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=（k<0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1
C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
【答案】C
【解析】∵k<0，∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，∴当x=–1时，y1＞0，
∵2<3，∴y2
3．（2019·湖北鄂州）在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x+k与y=（k为常数，且k≠0）的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵函数y=﹣x+k与y=（k为常数，且k≠0），∴当k>0时，y=﹣x+k经过第一、二、四象限，y=经过第一、三象限，故选项D错误，当k<0时，y=﹣x+k经过第二、三、四象限，y=经过第二、四象限，故选项C正确，选项A、B错误，故选C．
【考点】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和反比例函数的性质解答．
4．（2019·江苏无锡）如图，已知A为反比例函数y=（x<0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为
A．2 B．﹣2
C．4 D．﹣4
【答案】D
【解析】∵AB⊥y轴，∴S△OAB=|k|，∴|k|=2，∵k<0，∴k=﹣4．故选D．
【考点】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
5．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y=上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y=，则k1+k2的值为__________．
【答案】0
【解析】∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y=上，∴k1=ab；
又∵点A与点B关于x轴对称，∴B（a，–b），
∵点B在双曲线y=上，∴k2=–ab；∴k1+k2=ab+（–ab）=0；
故答案为：0．
【考点】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．
6．（2019•山西）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（–4，0），点D的坐标为（–1，4），反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过点C，则k的值为__________．
【答案】16
【解析】过点C、D作CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为E、F，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，
易证△ADF≌△BCE，
∵点A（–4，0），D（–1，4），
∴DF=CE=4，OF=1，AF=OA–OF=3，
在Rt△ADF中，AD=＝5，
∴OE=EF–OF=5–1=4，∴C（4，4），∴k=4×4=16，
故答案为：16．
【考点】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用菱形的性质、全等三角形、直角三角形勾股定理，以及反比例函数图象的性质；把点的坐标与线段的长度相互转化也是解决问题重要方法．
7．（2019•吉林）已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x=4时，求y的值．
【答案】（1）y=．（2）y=3．
【解析】（1）因为y是x的反例函数，
所以设y=(k≠0)，
当x=2时，y=6．
所以k=xy=12，
所以y=．
（2）当x=4时，y=3．
【考点】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．
8．（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC=2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．
（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；
（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y=；（2）点A的坐标为（，2）．
【解析】（1）如图，过点B作BD⊥OC于D，
∵△BOC是等边三角形，
∴OB=OC=2，OD=OC=1，
∴BD==，
∴S△OBD=OD×BD=，
又∵S△OBD=|k|，∴|k|=，
∵反比例函数y=（k≠0）的图象在第一、三象限，
∴k=，
∴反比例函数的表达式为y=；
（2）∵S△OBC=OC•BD=×2×=，
∴S△AOC=3-=2，
∵S△AOC=OC•yA=2，∴yA=2，
把y=2代入y=，求得x=，
∴点A的坐标为（，2）．
【考点】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，此题的突破点是先由三角形的面积求出反比例函数的解析式．
1．（河北省沧州市任丘市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）反比例函数的图象经过点(-2，3)，则k的值为
A．-3 B．3 C．-6 D．6
2．（湖南省张家界市慈利县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）已知反比例函数，下列结论中不正确的是
A．图像经过点（－1，－1） B．图像在第一、三象限
C．两个分支关于原点成中心对称 D．当x＜0时，y随着x的增大而增大
3．（2020年江苏省南通市启东市中考九年级数学一模试题）如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，AB⊥y轴，若△AOB的面积为2，则k的值为____．
4．（广东省清远市英德市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃）从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知在操作加热前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
5．（2020年江苏省苏州市星海实验中学中考数学3月模拟试题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，.对角线相交于点，反比例函数的图像经过点，分别与交于点.
（1）若，求的值;
（2）连接，若，求的面积.
1．反比例函数是的图象在
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
2．反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论：①常数m＜﹣2；②若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；③y随x的增大而减小；④若P（x，y）在图象上，则P'（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的是
A．①② B．③④
C．②③ D．②④
3．如图，点，依次在的图象上，点，依次在x轴的正半轴上，若，均为等边三角形，则点的坐标为 ．
4．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．
5．某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温y（℃）与通电时间x（min）的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）当0≤x≤8时，求y与x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）某天早上7：20，李老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在8：00上课前能喝到不超过40℃的温开水，问：他应在什么时间段内接水？
1．【答案】C
【解析】∵反比例函数的图象经过点(-2，3)
∴k=-6.
故选C.
2．【答案】D
【解析】当x=-1时，y=-1，∴A是正确的；
∵k=1＞0，反比例函数在第一、三象限，∴B是正确的；
根据反比例函数的图象性质，它是中心对称图形，∴C是正确的；
当x＜0时，随着的增大而减小，∴D是错的.故选D.
3．【答案】－3
【解析】如图，设AB与y轴交于点C，
∵点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，AB⊥y轴，
∴S△OAC=，S△OBC=，
∵△AOB的面积为2，
∴S△AOB= S△OAC+ S△OBC=+=2，
解得：k=±3，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴k=-3.
故答案为：-3
4．【解析】（1）材料加热时，设y=ax+15（a≠0），
由题意得60=5a+15，
解得a=9，
则材料加热时，y与x的函数关系式为y=9x+15（0≤x≤5）．
停止加热时，设y=（k≠0），
由题意得60=，
解得k=300，
则停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y=（x≥5）；
（2）把y=15代入y=，得x=20，
因此从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
5．【解析】（1）∵在矩形ABCD的顶点B，AB＝8，BC＝6，
而OC＝8，
∴B（2，0），A（2，8），C（8，0），
∵对角线AC，BD相交于点E，
∴点E为AC的中点，
∴E（5，4），
把E（5，4）代入y＝得k＝5×4＝20；
（2）∵AC＝＝10，
∴BE＝EC＝5，
∵BF﹣BE＝2，
∴BF＝7，
设OB＝t，则F（t，7），E（t+3，4），
∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点E、F，
∴7t＝4（t+3），解得t＝4，
∴k＝7t＝28，
∴反比例函数解析式为y＝，
当x＝10时，y＝，
∴G（10，），
∴△CEG的面积＝．
1.【答案】B
【解析】∵反比例函数中，k=2＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限．故选B．
2．【答案】D
【解析】∵反比例函数图象经过第一、三象限，∴m＞0，所以①错误；
在每一象限，y随x的增大而减小，所以③错误；
∵A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，∴h＝﹣m，k＝，而m＞0，∴h＜k，所以②正确；
∵m＝xy＝（﹣x）•（﹣y），∴若P（x，y）在图象上，则P'（﹣x，﹣y）也在图象上，所以④正确．
故选D．
3.【答案】(，0)
【解析】作A1C⊥OB1，垂足为C，
∵△A1OB1为等边三角形，∴∠A1OB1=60°，∴tan60°=，∴A1C=OC，
设A1的坐标为（m，），∵点A1在的图象上，∴，解得m=3，∴OC=3，∴OB1=6，
作A2D⊥B1B2，垂足为D，设B1D=a，则OD=6+a，A2D=，∴A2（，），
∵A2（，）在反比例函数的图象上，∴代入，得，化简得，解得：，∵a>0，∴．
∴B1B2=，∴OB2=OB1+B1B2=，所以点B2的坐标为(，0)．
故答案为(，0)．
4．【解析】（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象过格点P（2，2），
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=（x＞0）.
（2）如图所示：矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形．
5．【解析】（1）当0≤x≤8时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将（0，20），（8，100）代入y=kx+b，得：，解得：，
∴当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为y=10x+20.
（2）当8≤x≤a时，设y与x之间的函数关系式为（k2≠0），
将（8，100）代入，得：，解得：k2=800，
∴当8≤x≤a时，y与x之间的函数关系式为，
将（a，20）代入，得：a=40.
（3）依题意，得：≤40，解得：x≥20．
∵x≤40，
∴20≤x≤40．
∴他应在7：40～8：00时间段内接水.
——二次函数
1.了解：二次函数的概念；二次函数的对称轴；二次函数图象与系数的关系.
2.理解：二次函数的性质与图象；确定二次函数的解析式.
3.会：会判断一个函数是否为二次函数；会在对称轴左、右判断函数的增减性；会用数形结合思想解决问题．
4.掌握：二次函数的性质；用待定系数法确定函数解析式；利用二次函数来解决实际问题的基本思路；掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的关系；掌握二次函数图象与一元二次不等式的关系；将实际问题转化为数学中的二次函数问题.
5.能：用待定系数法确定函数解析式.判别式、抛物线与x轴的交点、二次方程的根的情况三者之间的联系.能根据图象信息解决相应的问题．
1.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题与解答题的形 式考查，也可能在填空题中出现，题目难度中高档.
2.从考查内容来看,主要有：二次函数的性质与图象；用待定系数法确定函数解析式；二次函数的最值与平移问题等.
3.从考查热点来看,主要有：二次函数的性质与图象；通过具体问题情境学会用三种方式表示二次函数关系；通过在实际问题中应用二次函数的性质，发展应用二次函数解决实际问题的能力.
1.二次函数的概念
一般地，函数是常数，）叫做二次函数.
方法归纳:（1）二次函数的形式是关于自变量x的二次多项式，其中二次项系数不能为0,如果二次项系数是0,则函数就是，若，则是一次函数；若，则就是，这是一个常函数；
（2）函数关系式必须是整式；
（3）化简后二次函数的最高次数必须是2.
二次函数中系数a、b、c的几何意义：
a决定开口方向，a>0开口向上，a<0开口向下，ab乘积决定对称轴的位置（左同右异）， c决定与y轴的交点位置．
方法归纳：根据a、b、c的符号逐步分析判断．当只有ac或者bc时，要考虑用对称轴方程这个式子去代换变形．
2.二次函数关系式的确定
(1)设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
(2)设交点式：y＝a(x−x1)(x−x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
(3)设顶点式：y＝a(x−h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x−h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数并化为一般式．
方法归纳：用待定系数法确定二次函数关系式的一般形式的步骤是：①写出函数解析式的一般形式；②把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组求出待定系数的值，从而写出函数解析式.
3.二次函数图象与几何变换
二次函数的平移：抛物线y＝ax2与y＝a(x−h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x−h)2＋k中|a|相同，则图象的开口方向和大小都相同，只是位置不同．
方法归纳：平移规律是“左加右减，上加下减”．
4.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数的图象与一元二次方程的根的判别式的关系：抛物线与x轴交点的横坐标恰为一元二次方程的实数根.
因为x轴上的点的纵坐标都为0,所以求抛物线与x轴的交点的横坐标，可利用函数表达式来求，只需令y=0，可得一元二次方程，方程的根即为交点的横坐标.
二次函数与一元二次方程之间的关系如下表：
图象
（）
方程（）根的情况
与轴交点
与轴交点
，
=
无交点
没有交点
5.二次函数的应用
（1）二次函数图象、性质的综合应用
用待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的图象与其他函数图象的交点，与三角形和四边形的综合，面积问题等．
方法归纳：解这类问题的一般方法是数形结合.用数形结合思想将线段长度、图形面积与点的坐标联系起来是关键，同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理．
（2）二次函数与实际应用题的综合运用
待定系数法求抛物线的解析式，配方法求二次函数的最值.
方法归纳：关键是熟练掌握二次函数的性质.
在求二次函数的最值时，一定要准确求出自变量的取值，特别要观察顶点是否在取值范围内，若在，则取顶点纵坐标为最值；若不在，则根据取值范围与对称轴的位置关系和开口方向，利用增减性求最值.
1．（2019•重庆）抛物线的对称轴是
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
【答案】C
【解析】∵，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为．
故选C．
【考点】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．
2．（2019•兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y=-（x+1）2+2上，则下列结论正确的是
A．2>y1>y2 B．2>y2>y1 C．y1>y2>2 D．y2>y1>2
【答案】A
【解析】当x=1时，y1=-（x+1）2+2=-（1+1）2+2=-2；
当x=2时，y1=-（x+1）2+2=-（2+1）2+2=-7，所以2>y1>y2．故选A．
【考点】二次函数的性质．
3．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
【答案】B
【解析】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．
y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．
所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5），故选B．
【考点】本题考查二次函数的图象平移规律．
4．（2019•成都）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【解析】由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0，A选项错误；
函数图象与x轴有两个交点，所以>0，B选项错误；
观察图象可知x=-1时y=a-b+c>0，所以a-b+c>0，C选项错误；
根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1，0），（5，0）两点的中垂线，，
即x=3为函数对称轴，D选项正确，
故选D．
【考点】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的图象．
5．（2019•泸州）已知二次函数（其中是自变量）的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
∵抛物线与轴没有公共点，
∴，解得，
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，
而当时，随的增大而减小，
∴，
∴实数的取值范围是，
故选D．
【考点】本题考查了二次函数图象与x轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
6．（2019•临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：m）与小球运动时间（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
【答案】D
【解析】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，把代入得，解得，
∴函数解析式为，把代入解析式得，，解得：或，∴小球的高度时，或，故④错误，故选D．
7．（2019•云南）已知k是常数，抛物线y=x2+（k2+k-6）x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
（1）求k的值：
（2）若点P在抛物线y=x2+（k2+k-6）x+3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
【解析】（1）∵抛物线y=x2+（k2+k-6）x+3k的对称轴是y轴，
∴，
即k2+k-6=0，
解得k=-3或k=2，
当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去，
当k=-3时，二次函数解析式为y=x2-9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意，
∴k=-3．
（2）∵P到y轴的距离为2，
∴点P的横坐标为-2或2，
当x=2时，y=-5；
当x=-2时，y=-5，
∴点P的坐标为（2，-5）或（-2，-5）．
【考点】本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键．
8．（2019•湘潭）某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
【解析】（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，
则有，解得，
故该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒．
（2）设A种湘莲礼盒降价元/盒，利润为元，依题意
总利润，
化简得，
∵，
∴当时，取得最大值为1307，
故当种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．
【考点】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
9．（2019·内蒙古通辽）已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．
（2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．
【解析】（1）二次函数表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①，则点，
将点的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：；
（2）存在，理由：
二次函数对称轴为：，则点，
过点作轴的平行线交于点，
设点，点，
∵，
则，
解得：或5（舍去5），
故点；
（3）设点、点，，
①当是平行四边形的一条边时，
点向左平移4个单位向下平移16个单位得到，
同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点，
即：，，而，
解得：或﹣4，
故点或；
②当是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：，，而，
解得：，
故点或；
综上，点或或或．
【考点】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
1．（2020年黑龙江省哈尔滨市九年级升学考试模试题（一）数学试题）将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，两次平移后得到的抛物线的解析式为
A． B．
C． D．
2．（2019-2020学年陕西省宝鸡市陈仓区九年级学业考试一模数学试题）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为
A．（﹣3，7） B．（﹣1，7） C．（﹣4，10） D．（0，10）
3．（2020年福建省漳州市中考数学三模试题）已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x1，x2(0＜x1＜x2＜4)时，对应的函数值是y1，y2，且y1＝y2，设该函数图象的对称轴是x＝m，则m的取值范围是
A．0＜m＜1 B．1＜m≤2 C．2＜m＜4 D．0＜m＜4
4．（2020年山东省济南市长清区九年级5月一模数学试题）如图，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a﹣b=0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3，0）；④方程ax2+bx+c﹣3=0有两个相等的实数根；⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y2＜y1.其中正确的是
A．①②③ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③④
5．（2020年内蒙古呼和浩特市九年级中考数学4月模拟试题）在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D．
①在的条件下，当时，n的取值范围是，求抛物线的表达式；
②若D点坐标（4，0），当时，求a的取值范围.
6．（2020年安徽省芜湖市九年级升学一模数学试题）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A、B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同．
（1）求A、B两种型号汽车的进货单价；
（2）销售中发现A型汽车的每周销量yA（台）与售价x（万元/台）满足函数关系yA＝﹣x+20，B型汽车的每周销量yB（台）与售价x（万元/台）满足函数关系yB＝﹣x+14，A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台．问A、B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？
7．（2020年福建省漳州市中考数学二模试题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．
求点P，C的坐标；
直线l上是否存在点Q，使的面积等于的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1．函数的顶点坐标是
A．(1，) B．(，3) C．(1，−2) D．(−1，2)
2．若二次函数的图象与轴有两个交点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
3．如图，二次函数的对称轴是直线，且经过点，则以下结论：
①；②；③；④若方程的两根为和，则，正确的有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．某工厂加工一种商品，每天加工件数不超过100件时，每件成本80元，每天加工超过100件时，每多加工5件，成本下降2元，但每件成本不得低于70元.设工厂每天加工商品x（件），每件商品成本为y（元）.
（1）求出每件成本y（元）与每天加工数量x（件）之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
（2）若每件商品的利润定为成本的20%，求每天加工多少件商品时利润最大，最大利润是多少？
5．已知二次函数（ b，c为常数）．
（1）当b =2，c =−3时，求二次函数的最小值；
（2）当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（3）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
6．如图，抛物线y=－12x2+mx+m+12与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点D在第一象限．
（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；
（3）当△BCD的面积与△ABC的面积相等时，求m的值.
1．【答案】A
【解析】将抛物线先向左平移1个单位得到解析式为：，
再向上平移3个单位，得到解析式为：，
故选A.
2．【答案】D
【解析】∵点A（a-2b，2-4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，
∴（a-2b）2+4×（a-2b）+10=2-4ab，
a2-4ab+4b2+4a-8b+10=2-4ab，
（a+2）2+4（b-1）2=0，
∴a+2=0，b-1=0，
解得a=-2，b=1，
∴a-2b=-2-2×1=-4，
2-4ab=2-4×（-2）×1=10，
∴点A的坐标为（-4，10），
∵对称轴为直线x=-=-2，
∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）．
故选D．
3．【答案】C
【解析】当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），
∴x0＞4，
∴对称轴为x=m中2＜m＜4，
故选C．
4．【答案】C
【解析】∵抛物线的顶点坐标A（﹣1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴2a﹣b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣4，0）
而抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标A（﹣1，3），
∴x=﹣1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以④正确；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（﹣1，3），B点（﹣4，0）
∴当﹣4＜x＜﹣1时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选C．
5．【解析】（1）把y=0代入二次函数得：a（x2-2x-3）=0即a（x-3）（x+1）=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）①抛物线的对称轴为直线x=1，
∵-2≤m≤2时，n的取值范围是-4≤n≤5，
∴n=-4为二次函数的最小值，m=-2时，n=5，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）
把（1，-4）代入y=ax2-2ax-3a得a-2a-3a=-4，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
②∵D点坐标（4，0），PD⊥x轴，
∴点P的横坐标为4，
当x=4时，y=ax2-2ax-3a=5a，
∵D点坐标为（4，0），A点坐标为（-1，0）
∴AD=5
∵PD＞AD
∴|5a|＞5，
∴a＞1或a＜-1．
6．【解析】（1）设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意得＝，解得x＝8，
经检验x＝8是原分式方程的根．
答：A、B两种型号汽车的进货单价为：10万元、8万元．
（2）设两种汽车的总利润为w万元，根据题意得
w＝（x+2﹣10）[﹣（x+2）+18]+（x﹣8）（﹣x+14）
＝﹣2x2+48x﹣256
＝﹣2（x﹣12）2+32
∵﹣2＜0，当x＝12时，w有最大值为32．
答：A、B两种型号的汽车售价各为14万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是32万元.
7．【解析】，
顶点，
令得到，
．
令，，解得或5，
，，
设直线PC的解析式为，则有，
解得，
直线PC的解析式为，设直线交x轴于D，则，
设直线PQ交x轴于E，当时，的面积等于的面积的2倍，
，
，
或，
则直线PE的解析式为，
，
直线的解析式为，
，
综上所述，满足条件的点，．
1.【答案】A
【解析】∵二次函数y=−x2+2x+2=−(x−1)2+3，∴此函数的顶点坐标是(1，3).故选A．
2．【答案】D
【解析】∵抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点，
∴=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，即4-4m＞0，解得：m＜1．
故选D．
3．【答案】C
【解析】由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，-=1，∴abc＜0，-b=2a，2a-b=4a≠0，故①正确，②错误；
x=-1时，a-b+c=0，3a+c=0，c=-3a＞2，a＜-，故③正确；
由对称轴直线x=1，抛物线与x轴左侧交点为（-1，0），可知抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
由图象可知，y=2时，-1＜x1＜0，1＜x2＜3，∴x1+1>0，x2-3<0，∴（x1+1）（x2-3）＜0，故④正确．
故选C．
4．【解析】（1）当时，；
∵,
∴当时，，
∴.
（2）设每天加工的利润为w元，
当时，，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w最大，最大值为1600元；
当时，,
∵，开口向下，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w最大，最大值为1750元，
∵1750>1600，
∴当时，w最大.
答：每天加工125件时，利润最大，为1750元.
5．【解析】（1）当b=2，c=−3时，二次函数的解析式为，即．
∴当x=−1时，二次函数取得最小值−4．
（2）当c=5时，二次函数的解析式为．
由题意得，方程有两个相等的实数根．
所以，解得，
∴此时二次函数的解析式为或．
（3）当c=b2时，二次函数的解析式为．
它的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．
①若0，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而增大，
故当x=b时，为最小值．
∴，解得，（舍去）．
②若b≤≤b+3，即−2≤b≤0，
当x=时，为最小值．
∴，解得（舍去），（舍去）．
③若>b+3，即b<−2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而减小，
故当x=b+3时，为最小值．
∴，即.解得（舍去），．
综上所述，或b=−4．
∴此时二次函数的解析式为或．
6.【解析】（1）y=−12x2+mx+m+12=−12（x−m）2+（m+1）22，
∴顶点D（m，（m+1）22），即D（m，12m2+m+12）．
（2）过D作DH⊥x轴于H．令y=−12x2+mx+m+12=0，解得：x=−1或x=2m+1，
则与x轴的交点为A（−1，0），B（2m+1，0），
∴DH=（m+1）22，AH=m−（−1）=m+1，
∴tan∠ADH=m+1（m+1）22=2m+1．
当60°≤∠ADB≤90°时，由对称性得30°≤∠ADH≤45°，
∴当∠ADH=30°时，2m+1=33，∴m=23−1，当∠ADH=45°时，2m+1=1，∴m=1，∴1≤m≤23−1.
（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m．
设过点B（2m+1，0），C（0，m+12）的直线的解析式为y=kx+b，
则&（2m+1）k+b=0&b=m+12，解得&k=-12&b=m+12，即y=−12x+m+12．
当x=m时，y=−12m+m+12=m+12，
∴M（m，m+12），
∴DM=（m+1）22-m+12=m（m+1）2，AB=（2m+1）−（−1）=2m+2．
又∵S△DBC=S△ABC，
∴m（m+1）2•（2m+1）=（2m+2）•（m+12）．解得：m=－1，m=－12，m=2．
又∵抛物线的顶点D在第一象限，
∴m＞0，
∴m=2．
第24题备用图
x
y
C
O
D
A
B
——函数的综合应用
1.了解：函数与一次函数的概念与表达式；反比例函数与二次函数的概念与表达式；一次方程(组)；一次不等式(组)；三角形与四边形、圆的相关问题.
2.理解：函数与一次函数的性质与图象；反比例函数与二次函数的性质与图象.
3.会：确定函数的表达式；运用函数的性质与图象解决与几何图形、方程、不等式相关的问题.
4.掌握：运用函数的性质与图象解决与几何图形、方程不等式相关综合问题的方法；函数之间的综合应用问题.
5.能：运用数形结合的方法与转化思想或方程思想解决函数与其他相关的综合问题.
1.从考查的题型来看，对于一次函数或反比例函数来说,以填空题或选择 题为主,属于中档题；对于二次函数来说,一般以解答题的形式考查,属于中高档题.
2.从考查内容来看,主要有：函数的性质与图象；一次函数与反比例函数,反比例函数与二次函数,一次函数与二次函数,函数与其他综合相关的实际问题.
3.从考查热点来看,主要有：一次函数与反比例函数及二次函数之间的问题；函数与几何图形相关的综合应用.
1.函数之间的综合应用
方法归纳：反比例函数与一次函数的应用,根据反比例函数图象与一次函数图象的交点,建立两个方程,通过组建方程组求得方程组的解，即可进一步确定两个函数解析式.解决问题的关键是发掘题目中的条件,确定图象上的坐标，运用待定系数法解出函数的表达式,再利用数形结合的方法求解其他问题.
二次函数、一次函数及反比例函数相综合是中考命题的热点，可以由一次函数或反比例函数中的简单信息来推断二次函数的部分信息,从而解决三个函数之间的问题.或由二次函数的图象推出a,b,c的符号,来进一步推断一次函数图象与反比例函数图象经过的象限,从图象中获取信息来解决函数的问题,综合一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质来解决函数问题.
2.一次函数、方程、一元一次不等式的综合应用
（1）一元一次方程与一次函数的综合应用
方法归纳：由于任何一元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当函数值确定时，求与之对应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.
（2）一元一次不等式与一次函数的综合应用
方法归纳：①一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0)的函数值不等于0的情形．②直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的图象）的x的取值范围是ax+b>0的解集；使函数值y<0（x轴下方的图象）的x的取值范围是ax+b<0的解集．
运用一次函数与一元一次不等式解决问题的关键是找出等量关系式,同时正确理解关键词“不低于,不超过”的含义,建立不等式组,将一次函数问题转化为一元一次不等式组问题,体现数学中的转化思想.
（3）一次函数与二元一次方程(组)的综合应用
方法归纳：①任意一个二元一次方程都可化成y=kx+b的形式，即每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.②直线y=kx+b上的每一点的坐标均为这个二元一次方程的解.③二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式.④求二元一次方程组的解可以看作求两个一次函数的交点坐标.两直线的交点坐标是两个一次函数解析式y=k1x+b1和y=k2x+b2所组成的关于x、y的方程组的解.
3.二次函数与一元二次方程的应用
方法归纳:①一元二次方程是二次函数当函数y的值为0时的情况．
②二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程的根．
③当二次函数的图象与x轴有两个交点时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与 x轴没有交点时，一元二次方程没有实数根．
4.二次函数与几何图形的综合应用
此类问题常与三角形、特殊的四边形(如矩形 菱形、平行四边形、梯形等) 、圆等图形相综合进行探究,并且常与生活生产中的实际问题相结合求面积最大问题,通常情况下要联想到二次函数的最值问题.也就是说，将实际问题转化为二次函数问题,运用二次函数的顶点坐标(−,)、对称轴x=−,或者二次函数的一般形式y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)转化为二次函数的顶点式y=a(x−h)2+k,进一步确定当x=h时,y的最值是k.
5.二次函数与线段、角等图形的综合运用
二次函数综合题中的线段问题，常涉及的类型有：（1）直接求线段的长或用含字母的代数式表示线段的长；（2）根据题中给出的线段关系求相应字母的值；（3）求三角形或四边形周长的最值；（4）求多边形面积等问题.其中求三角形或四边形周长的最值，一般要将其转化为求某线段长的最值或利用两点之间线段最短来求最值.
此类问题一般是过抛物线上的一动点作x轴的垂线（或y轴的平行线），且与某直线相交于一点，以确定两点之间长度关系的形式出题.解决此类问题时，一般要将线段问题转化为点的坐标问题，根据抛物线和直线上点的坐标特征，设其中一点的坐标，从而得到另一点的坐标，然后用含字母的式子表示两点间的线段长，特别是遇到线段最值问题时，一般要结合二次函数求最值的方法，将二次函数解析式配成顶点式，然后求最值.
6.二次函数与三角形的综合运用
特殊图形的判定问题，常与点的存在性问题相结合，解决此类问题的关键是要熟练掌握特殊图形的判定方法及性质，如：等腰三角形是直角、等边三角形的三边相等.解决此类问题最常用的方法是假设法，一般先假设存在满足题意的点，根据特殊图形的性质画出草图，确定点的位置，然后根据题中已知条件和特殊图形的性质及判定方法建立动点与已知点的关系，最后列方程求解.在画草图时，要做到不重不漏地画出所有可能的情况，以免在求解过程中遗漏答案，对所求出的结果要进行检验，看是否符合题意，如果不符合题意，应舍去.
7.二次函数与四边形的综合运用
解决二次函数与四边形的综合题时，关键是建立合适的函数模型，将四边形问题和二次函数的解析式相结合.此类型题的考查方式比较灵活，经常在四边形特别是正方形、菱形等几何图形中进行变换.解题时，需要在熟练掌握二次函数图象与性质的基础上，运用数形结合和分类讨论思想，将面积问题转化为函数关系问题.解题技巧一般是过特殊点作x轴或y轴的垂线，从而将边之间的关系问题转化为线段问题，建立未知量和已知变量之间的联系，运用勾股定理等有关手段解决相应的问题.
二次函数与几何图形相结合的综合问题,是近年来全国各地中考的热点题型，不仅考查了二次函数和平面几何的基础知识,还可以考查数形结合、分类讨论等数学思想方法,以及阅读理解能力、收集信息、处理信息的能力、运用数学知识对问题的探究能力等.解这类问题的关键是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识,并充分挖掘题目中的隐含条件,以达到解题目的.
8.对于二次函数的综合应用可能融合多个知识点，直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程、分式方程、分式不等式的解，比较大小等问题.利用数形结合的思路，借助函数的图象和性质，形象直观地解决有关不等式最大（小）值、方程的解以及图形的位置关系等问题.利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点的问题.通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案的可行性.建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须检验与实际情况是否相符合.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数.
1．（2019·江苏扬州）若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴对称点都在一次函数y=–x+m的图象上，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵反比例函数上两个不同的点关于y轴对称的点，在一次函数y=–x+m图象上，∴反比例函数与一次函数y=–x+m有两个不同的交点，联立两个函数解方程，∵有两个不同的交点，∴有两个不等的根，∴Δ=m2–8>0，∴m>2或m<–2，故选C．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的根的问题以及不等式求解等．
2．（2019 •青岛）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2-2x和一次函数y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．° B．°
C．° D．
【答案】C
【解析】∵当x=0时，y=ax2–2x=0，即抛物线y=ax2–2x经过原点，故A错误；
∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，
∴ab>0，即a、b同号，
当a<0时，抛物线y=ax2–2x的对称轴x=<0，对称轴在y轴左边，故D错误；
当a>0时，b>0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误；
C正确．故选C．
【考点】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
3．（2018·辽宁葫芦岛）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC==8，
当0≤x≤6时，AP=6﹣x，AQ=x，∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36；
当6≤x≤8时，AP=x﹣6，AQ=x，∴y=PQ2=（AQ﹣AP）2=36；
当8≤x≤14时，CP=14﹣x，CQ=x﹣8，∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260，
故选B．
【考点】(1)动点问题的函数图象；(2)二次函数的应用.
4．（2019•福建）如图，菱形ABCD顶点A在函数y=（x＞0）的图象上，函数y=（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB=2，∠BAD=30°，则k=__________．
【答案】6+2
【解析】连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，
∵函数y=（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，
∴O、A、C三点在同直线上，且∠COE=45°，∴OE=AE，
不妨设OE=AE=a，则A（a，a），
∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴a2=3，∴a=，∴AE=OE=，
∵∠BAD=30°，∴∠OAF=∠CAD=∠BAD=15°，
∵∠OAE=∠AOE=45°，∴∠EAF=30°，∴AF==2，EF=AEtan30°=1，
∵AB=AD=2，∴AF=AD=2，又∵AE∥DG，∴EF=EG=1，DG=2AE=2，
∴OG=OE+EG=+1，∴D（+1，2），∴k=2×（+1）=6+2．故答案为：6+2．
【考点】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，菱形的性质，解直角三角形，关键是确定A点在第一象限的角平分线上．
5．（2017·吉林）如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．
（1）正方体的棱长为 cm；
（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．
【答案】（1）10；（2）y=x+（12≤x≤28）；（3）4 s.
【解析】（1）由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10 cm，12秒后水槽内高度变化趋势改变，故正方体的棱长为10 cm.
（2）设线段AB对应的函数解析式为：y=kx+b，
∵图象过A（12，10），B（28，20），
∴，解得：，
∴线段AB对应的解析式为：y=x+（12≤x≤28）.
（3）∵28−12=16（s），
∴没有立方体时，水面上升10 cm，所用时间为16 s，
∵前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4 s，
∴将正方体铁块取出，经过4 s恰好将此水槽注满．
【考点】几何图形与一次函数的综合应用．
6．（2019•鄂尔多斯）某工厂制作两种手工艺品，每天每件获利比多105元，获利30元的与获利240元的数量相等．
（1）制作一件和一件分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作，两种手工艺品，每人每天制作2件或1件．现在在不增加工人的情况下，增加制作．已知每人每天可制作1件（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作，两种手工艺品的数量相等．设每天安排人制作，人制作，写出与之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润（元）的最大值及相应的值．
【解析】（1）设制作一件获利元，则制作一件获利（）元，由题意得：
，解得：，
经检验，是原方程的根，
当时，，
答：制作一件获利15元，制作一件获利120元．
（2）设每天安排人制作，人制作，则人制作，于是有：
，
∴，
答：与之间的函数关系式为∴．
（3）由题意得：
，
又∵，
∴，
∵，对称轴为，而时，的值不是整数，
根据抛物线的对称性可得：
当时，元．
此时制作产品的13人，产品的26人，产品的26人，获利最大，最大利润为2198元．
【名师点睛】考核知识点：分式方程，二次函数应用.根据题意列出方程，把实际问题转化为函数问题是关键．
7．（2019•河南）如图，抛物线y=ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=–x–2经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B′，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y=kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2+x–2．（2）①点P的坐标为（-2，-2）或（6，10）.②直线l的解析式为y=–x–2，y=x–2或y=x–m–2．
【解析】（1）∵直线y=–x–2交x轴于点A，交y轴于点C，
∴A（-4，0），C（0，-2）.
∵抛物线y=ax2+x+c经过点A，C，
∴，∴
∴抛物线的解析式为y=x2+x–2．
（2）①∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，m2+m–2）.
当△PCM是直角三角形时，有以下两种情况：
（i）当∠CPM=90°时，PC∥x轴，x2+x–2=-2.
解得m1=0（舍去），m2=-2.
∵当m=-2时，m2+m–2=-2.
∴点P的坐标为（-2，-2）.
（ii）当∠PCM=90°时，过点P作PN⊥y轴于点N，
∴∠CNP=∠AOC=90°.
∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，
：∠NCP=∠OAC，∴△GNP∽△AOC，∴，
∵C（0，-2），N（0，m2+m–2），
∴CN=，PN=m.
即，解得a3=0（含去），m4=6.
∵当m=6时，m2+m–2=10，
∴点P的坐标为（6，10）.
综上所述，点P的坐标为（-2，-2）或（6，10）.
②当y=0时，x2+x–2=0，
解得x1=–4，x2=2，
∴点B的坐标为（2，0）．
∵点C的坐标为（0，–2），点B，B′关于点C对称，
∴点B′的坐标为（–2，–4）．
∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），
∴点M的坐标为（m，–m–2）．
利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y=–x+，
直线B′M的解析式为y=x–，
直线BB′的解析式为y=x–2．
分三种情况考虑，如图2所示：
当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y=–x–2；
当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y=x–2；
当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（m，–m–2）时，直线l的解析式为y=x–m–2．
综上所述：直线l的解析式为y=–x–2，y=x–2或y=x–m–2．
【考点】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质．
1．（2020年山东省潍坊市青州市九年级中考数学一模试题）如图，已知一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象有2个公共点，则b的取值范围是
A．b＞2 B．﹣2＜b＜2 C．b＞2或b＜﹣2 D．b＜﹣2
2．（河南省驻马店市上蔡县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，在中，，，点从点沿边，匀速运动到点，过点作交于点，线段，，，则能够反映与之间函数关系的图象大致是
A． B．
C． D．
3．（2020年河南省南阳市镇平县九年级中考模拟数学试题）反比例函数y1=（x＞0）的图象与一次函数y2=﹣x+b的图象交于A，B两点，其中A（1，2）
（1）求这两个函数解析式；
（2）在y轴上求作一点P，使PA+PB的值最小，并直接写出此时点P的坐标．
4．（2020年内蒙古巴彦淖尔市磴口县诚仁中学九年级中考一模数学试题）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表：
销售单价x（元）
85
95
105
115
日销售量y（个）
175
125
75
m
日销售利润w（元）
875
1875
1875
875
（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；
（2）根据以上信息，填空：
该产品的成本单价是 元，当销售单价x= 元时，日销售利润w最大，最大值是 元；
（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
5．（2020年江苏省扬州教育学院附属中学九年级下学期一模数学试题）如图①，一次函数y=x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．
（1）求二次函数的关系式及点C的坐标；
（2）如图②，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PD∥x轴交AB于点D，PE∥y轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）如图③，若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB=∠ACB，求出所有满足条件的点M的坐标．
1.已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是
A．x＜2 B．x＞5 C．2＜x＜5 D．0＜x＜2或x＞5
2.如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB∥x轴，BC∥y轴交x轴于点C，连接AC，交反比例函数y＝（x＞0）图象于点D，若D为AC的中点，则k的值是
A．2 B．3
C．4 D．5
3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx−2的图象与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点.
（1）求A，B两点的坐标；
（2）设点P是一次函数y=kx−2图象上的一点,且满足APO的面积是ABO的面积的2倍，请直接写出点P的坐标．
4.如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在抛物线上，且，求点的坐标；
（3）如图2，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值，并求出面积的最大值.
1．【答案】C
【解析】与的图像有个交点，即有个解．
，
，
∴或．
2．【答案】D
【解析】∵△AOB是等腰直角三角形，AB=，
∴OB=4．
①当P点在OA上时，即0≤x≤2时，
PC=OC=x，S△POC=y=PC•OC=x2，
是开口向上的抛物线，当x=2时，y=2；
OC=x，则BC=4-x，PC=BC=4-x，
S△POC=y=PC•OC=x（4-x）=-x2+2x，
是开口向下的抛物线，当x=4时，y=0．
综上所述，D答案符合运动过程中y与x的函数关系式．
故选：D．
3．【解析】（1）将点A（1，2）代入y1=，得：k=2，
则y1=；
将点A（1，2）代入y2=﹣x+b，得：﹣1+b=2，
解得：b=3，
则y2=﹣x+3；
（2）作点A关于y轴的对称点A′（﹣1，2），连接A′B，交y轴于点P，即为所求，
如图所示：
由得：或，
∴B（2，1），
设A′B所在直线解析式为y=mx+n，
根据题意，得：，
解得：，
则A′B所在直线解析式为y=3x﹣5，
当x=0时，y=，
所以点P（0，）．
4．【解析】（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
，得，
即y关于x的函数解析式是y=-5x+600，
当x=115时，y=-5×115+600=25，
即m的值是25；
（2）设成本为a元/个，
当x=85时，875=175×（85-a），得a=80，
w=（-5x+600）（x-80）=-5x2+1000x-48000=-5（x-100）2+2000，
∴当x=100时，w取得最大值，此时w=2000，
（3）设科技创新后成本为b元，
当x=90时，
（-5×90+600）（90-b）≥3750，
解得，b≤65，
答：该产品的成本单价应不超过65元．
5．【解析】（1）令y＝＝0，得：x＝4，∴A（4，0）．
令x＝0，得：y＝－2，∴B（0，－2）．
∵二次函数y＝的图像经过A、B两点，
∴，解得：，
∴二次函数的关系式为y＝．
令y＝＝0，解得：x＝1或x＝4，∴C（1，0）．
（2）∵PD∥x轴，PE∥y轴，
∴∠PDE＝∠OAB，∠PED＝∠OBA，
∴△PDE∽△OAB．∴＝＝＝2，
∴PD＝2PE．设P（m，），
则E（m，）．
∴PD＋PE＝3PE＝3×[()－()]＝＝．
∵0＜m＜4，∴当m＝2时，PD＋PE有最大值6．
（3）①当点M在在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，如图1．
∵△ABC的外接圆O1的圆心在对称轴上，设圆心O1的坐标为（，－t）．
∴＝，解得：t＝2，
∴圆心O1的坐标为（，－2），∴半径为．
设M（，y）．∵MO1=，∴，
解得：y=，∴点M的坐标为（）．
②当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2．
∵AO1＝O1B＝，∴∠O1AB＝∠O1BA．∵O1B∥x轴，∴∠O1BA＝∠OAB，
∴∠O1AB＝∠OAB，O2在x轴上，∴点O2的坐标为 （，0），∴O2D＝1，
∴DM＝＝，∴点M的坐标为（，）．
综上所述：点M的坐标为（，）或（，）．
1.【答案】D
【解析】根据题意得：当时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞5．故选D．
2.【答案】B
【解析】设A（a，b），
∵A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴b＝，
∵AB∥x轴，且点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，∴B（ak，）．
∵BC∥y轴，∴C（ak，0），
又∵D为AC的中点，∴D（，），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点D，∴•＝1，解得k＝3，
故选B．
3.【解析】（1）∵点M（−，n）在反比例函数y=−（x<0）的图象上，
∴n=1，∴M（−，1）．∵一次函数y=kx−2的图象经过点M（−，1），
∴1=−k−2．∴k=−2，∴一次函数的解析式为y=−2x−2，∴A（−1，0），B（0，−2）．
（2）=OA×OB=1，设点P的坐标为（a，−2a−2），由题意得，×1×|−2a−2|=2，
解得：a1=1，a2=−3，故P1（−3，4），P2（1，−4）．
4.【解析】（1）把，代入，得，
解得.
故该抛物线的解析式为：.
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为，则易得.
∵，
∴.
整理，得或，
解得或.
则符合条件的点的坐标为：或或.
（3）设直线的解析式为，将，代入，得，解得.
即直线的解析式为.
设点坐标为，则点坐标为，
，
∴当时，有最大值.
此时，，
∴面积的最大值为.
目 录 / contents
倒计时第15天 函数与平面直角坐标系 …………………………………01
倒计时第14天 一次函数 ……………………………………………………17
倒计时第13天 反比例函数 …………………… ……………………35
倒计时第12天 二次函数 ………… …………………………………49
倒计时第11天 函数的综合应用 …………………………………………68
——函数与平面直角坐标系
1.了解：函数的一般概念和函数的表示方法;平面直角坐标系的概念;常量与变量的含义;象限的坐标特点;
2.理解：有序实数对;平面内点的坐标特征;函数的实际应用;函数的三种表示方法及作图象的步骤.
3.会：在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标;会用解析法表示简单函数;会画平面直角坐标系;会求函数值.
4.掌握：坐标平面内点的坐标特征;函数的三种表示方法;函数的实际应用.
5.能：画出平面直角坐标系;在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；能结合具体情境灵活运用多种方式确定物体的位置;在直角坐标系中描述物体的位置、确定物体的位置;能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析;能确定函数自变量的取值范围.
1.从考查的题型来看，主要以选择题或填空题的形式进行考查,属于中、低档题,较简单；
2.从考查的内容来看,考查的重点有:函数的概念与平面直角坐标系的建立;函数的三种表示方法;各象限内坐标的特点;函数自变量的取值范围与平面直角坐标系上点的对称性与动点问题；
3.从考查的热点来看,主要涉及的有:象限内坐标的特点与有序实数对;函数自变量的取值范围与平面直角坐标系上点的对称性与动点问题;函数在实际问题中的应用.
1. 有序数对确定平面内点的位置
用有序数对确定平面内点的位置时，一般采用“行列”定位法、“方位角+距离”定位法、“经纬度”定位法等.
(1)用一个数据可以确定一条直线上点的位置，但确定平面内点的位置必须有两个数据，平面内物体的位置与有序数对之间是一一对应关系.
(2)“行列”定位法是确定平面内物体位置的方法之一，在这种方法中，常把平面分成若干行、列，然后根据行号和列号表示平面内点的位置，在此方法中，要准确记住某点的位置需要两个独立的数据组成有序数对.
(3)“方位角+距离”定位法在生活中比较常见，易错点是在一个图中，要弄清“A在B的什么方向”与“B在A的什么方向”的区别，也就是说方向易弄错.解题时要特别注意.
2.平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的三要素：①两条数轴; ②互相垂直; ③公共原点.
(2)坐标轴上的点不属于任何象限；坐标平面内的任何一个点，不在四个象限内就在坐标轴上.
(3)平面直角坐标系中两条数轴的特征：互相垂直；原点重合；通常取向上、向右为正方向.
(4)单位长度一般取相同.在有些实际问题中，两数轴上的单位长度可以不同.
3.平面直角坐标系内点的坐标特点
(1)点P(a,b)在第一象限，则a>0,b>0;
(2)点P(a,b)在第二象限，则a<0, b >0;
(3)点P(a,b)在第三象限，则a<0, b <0;
(4)点P(a,b)在第四象限，则a>0, b <0.
(5)x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的横、纵坐标都为0；原点既在x轴上，又在y轴上.
(6)判断一个点在哪个象限，关键是看它的坐标符号的正负；判断一个点是否在坐标轴上，关键是看它的坐标中是否有0.
(7)纵坐标都相同的点连成的直线平行于x轴(或与x轴重合)，横坐标都相同的点连成的直线平行于y轴(或与y轴重合).
4.用坐标表示平移、地理位置
(1)点的平移坐标变化规律的简单记忆方法：左右平移→左减右加纵不变，上下平移→上加下减横不变.解题时，一般有两种方法：一是可以根据点的平移规律判断平移情况，也可根据平移情况判断点的平移规律；二是画平面直角坐标系描点进行平移操作.
(2)确定一个物体(或某地)的坐标，关键是选好平面直角坐标系，再通过观察图形，找出物体(或某地)所在点的坐标；选择的平面直角坐标系的原点不同，建立的平面直角坐标系就不同，得到的点的坐标就不同；无论怎样选择坐标原点，虽然得到的坐标不同，但它们的相应位置始终不变;
(3)用方位角和距离表示平面内物体的位置时，采用“方位角+距离”的格式书写，运用此法必须具备两个数据：一是“方位角”，二是“距离”.
5.函数的概念、表示方法、自变量取值范围
(1)函数的实质是两个变量之间的对应关系,在某个变化过程中,必须有两个变量,含有一个变量的代数式可以看作是这个变量的函数.
(2)函数的表示:图象法、解析式法、列表法.函数的三种表示方法应根据实际需要选择，有时需同时使用几种方法.
(3)自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不等于0的实数；当自变量以二次根式形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数；在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．
6.函数的图象、应用
(1)根据题意找出两个变量间函数的大致图象;弄清函数和自变量的意义，结合函数图象作出判断;特别要读懂函数表达的意义与自变量的关系，一般要分段思考.
(2)函数的应用是灵活运用函数的知识去解决实际问题，问题中的信息有的是利用表格提供，要善于从图文、表格中准确获取信息，用函数的知识分析和解决问题.
1．（2019•株洲）在平面直角坐标系中，点A（2，–3）位于哪个象限？
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】点A坐标为（2，–3），则它位于第四象限，故选D．
【考点】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决本题的关键，四个象限的符号特征分别是：第一象限（+，+）；第二象限（–，+）；第三象限（–，–）；第四象限（+，–）．
2．（2019•甘肃）已知点P（m+2，2m–4）在x轴上，则点P的坐标是
A．（4，0） B．（0，4）
C．（–4，0） D．（0，–4）
【答案】A
【解析】∵点P（m+2，2m–4）在x轴上，∴2m–4=0，解得m=2，
∴m+2=4，则点P的坐标是：（4，0）．故选A．
【考点】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．
3．（2009•安顺）函数y=的自变量x的取值范围是
A．x<2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2
【答案】D
【解析】根据题意得：2x–4≥0，解得x≥2．故选D．
【考点】本题考查函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
4．（2019•海南）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0）
C．（﹣1，0） D．（3，0）
【答案】C
【解析】由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，∴点B的对应点B1的坐标（﹣1，0）．故选C．
【考点】本题运用了点的平移的坐标变化规律，关键是由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．
5．(2018·山东滨州) 如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，y=x+1，
当0≤x＜1时，[x]=0，y=x，
当1≤x＜2时，[x]=1，y=x﹣1，
……
故选A．
【考点】本题考查函数的图象．
6．（2019·山东枣庄）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是
A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（1，2）
【答案】A
【解析】∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，∴点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，∴A′的坐标为（﹣1，1）．故选A．
【考点】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
7．（2019•衡阳）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，
∵EF⊥BC，ED⊥AC，∴四边形EFCD是矩形，
∵E是AB的中点，∴EF=AC，DE=BC，∴EF=ED，∴四边形EFCD是正方形，
设正方形的边长为a．
如图1，当移动的距离小于a时，S=正方形的面积–△EE′H的面积=a2–t2；
当移动的距离大于a时，如图2，S=S△AC′H=（2a–t）2=t2–2at+2a2，
∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选C．
【考点】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
8．(2018·湖北咸宁)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米.
其中正确的结论有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】由图可得，甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，
乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，
故选A．
【考点】本题考查函数的图象.
9．(2018·广东广州) 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1 m，其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是
A．504 m2 B． m2
C． m2 D．1009 m2
【答案】A
【解析】由题意知OA4n=2n，∴OA2016=2016÷2=1008，即A2016的坐标为(1008，0)，
∴A2018坐标为(1009，1)，则A2A2018=1009－1=1008(m)，
∴＝A2A2018×A1A2＝×1008×1＝504(m2).
故选A.
【考点】本题考查点的坐标、规律探索．
10．（2019•山东济宁）已知点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），写出一个符合上述条件的点P的坐标__________．
【答案】（1，﹣2）（答案不唯一）
【解析】∵点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），
∴x>0，y<0，
∴当x＝1时，1≤y+4，
解得0>y≥﹣3，
∴y可以为：﹣2，
故写一个符合上述条件的点P的坐标可以为：（1，﹣2）（答案不唯一）．
故答案为：（1，﹣2）（答案不唯一）．
【考点】此题主要考查了点的坐标，正确把握横纵坐标的符号是解题关键．
1．（2019年广东省佛山市顺德区中考数学三模试卷）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（江苏省徐州市2019-2020学年九年级上学期月考数学试题）在函数y＝中，自变量x的取值范围是
A．x≥1 B．x≤1且x≠0 C．x≥0且x≠1 D．x≠0且x≠1
3．（2020年河南省安阳市中考数学一模试题）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
4．（2019年广西玉林市兴业县中考一模数学试题）若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是
A．± B．4 C．±或4 D．4或－
5．（2020年北京市首都师范大学二附中中考零模数学试题）如图，昌平十三陵中的部分皇陵在地图上的位置，若庆陵的位置坐标（﹣1，4），长陵的位置坐标（2，0），则定陵的位置坐标为
A．（5，2） B．（﹣5，2） C．（2，5） D．（﹣5，﹣2）
6．（江西省宜春市2019届九年级4月模拟考试数学试题）如图，在△ABC中，AC＝BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是
A． B．
C． D．
7．（江苏省连云港市海州区海庆中学2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，4）
8．（北京市西城区重点中学2019届九年级模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系中，张敏做走棋游戏，其走法：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…，以此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n能被3除时，余数为1时，则向右走1个单位；当n能被3除时，余数为2时，则向右走2个单位，当走完67步时，棋子所处的位置坐标是
A．（66，22） B．（66，23） C．（67，23） D．（67，22）
9．（北京市通州区北关中学2019年中考数学一模试卷）平面直角坐标系中，点A(，﹣)到x轴的距离是_____．
10．（四川省自贡市田家炳中学2019-2020学年九年级下学期4月月考数学试题）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完．
1．若n是任意实数,则点N(−1，n2+1)在第( )象限.
A．一 B．二
C．三 D．四
2．函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
3．用100元钱在网上书店恰好可购买m本书，但是每本书需另加邮寄费6角，购买n本书共需费用y元，则可列出关系式
A． B．
C． D．
4．若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是
A． B．4 C．或4 D．4或
5．小明从家步行到校车站台，等候坐校车去学校，图中的折线表示这一过程中小明的路程S(km)与所花时间t(min)间的函数关系.下列说法：
①他步行了1km到校车站台；
②他步行的速度是100m/min；
③他在校车站台等了6min；
④校车运行的速度是200m/min.
其中正确的个数是
A．1 B．2
C．3 D．4
6．如图，正三角形ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x(秒)，y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为
7．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到如图所示的螺旋折线，已知点P1（0，1），P2（−1，0），P3（0，−1），则该折线上的点P9的坐标为
A．（−6，24） B．（−6，25） C．（−5，24） D．（−5，25）
1．【答案】B
【解析】点（﹣2，3）在第二象限．
故选：B．
2．【答案】C
【解析】由题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．
故x的取值范围是x≥0且x≠1．
故选C．
3．【答案】A
【解析】由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为：（1﹣2m，1﹣m），
又∵M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：．
故选A．
4．【答案】D
【解析】把y=8代入第二个方程，解得x=4大于2，所以符合题意；
把y=8代入第一个方程，解得： x=，
又由于x小于等于2，所以x=舍去，
所以选D.
5．【答案】D
【解析】根据庆陵的位置坐标（﹣1，4），长陵的位置坐标（2，0），
建立直角坐标系，如图
所以定陵的位置坐标为（﹣5，﹣2），
故选：D．
6．【答案】D
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在△ABC中，AC=BC，∴AD=BD．
①点P在边AC上时，s随t的增大而减小．故A、B错误；
②当点P在边BC上时，s随t的增大而增大；
③当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小，点P与点D重合时，s最小，但是不等于零．故C错误；
④当点P在线段AD上时，s随t的增大而增大．故D正确．故答案选D．
7．【答案】C
【解析】过O′作O′F⊥x轴于点F，过A作AE⊥x轴于点E，
∵A的坐标为（2，），∴AE=，OE=2．
由等腰三角形底边上的三线合一得OB=2OE=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理可求AB=3，则A′B=3，
由旋转前后三角形面积相等得，即，
∴O′F=．
在Rt△O′FB中，由勾股定理可求BF=，∴OF=．
∴O′的坐标为（）．
故选C．
8．【答案】D
【解析】由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，
∵67÷3＝22余1，
∴走完第67步，为第23个循环组的第1步，
所处位置的横坐标为22×3+1＝67，
纵坐标为22×1＝22，
∴棋子所处位置的坐标是（67，22）．
故选：D．
9．【答案】
【解析】∵点A(，﹣)，
∴A点到x轴的距离是：．
故答案为．
10．【答案】8
【解析】由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：20÷4=5升．
设出水管每分钟的出水量为a升，由函数图象，得，解得：．
∴关闭进水管后出水管放完水的时间为：（分钟）．
故答案为：8．
1．【答案】B
【解析】∵n2≥0，∴1+n2≥1，∴点N在第二象限．故选B．
2．【答案】A
【解析】由函数，得到3x+6≥0，解得x≥−2，表示在数轴上，如图所示：故选A．
3．【答案】A
【解析】平均每本书价格为，购买n本书共需费用.故选A．
4．【答案】D
【解析】把y=8代入函数中，先代入上边的方程得x=，∵x≤2，∴x=不合题意，舍去，故x=；再代入下边的方程得x=4，∵x＞2，∴x=4，综上，x的值为4或．故选D．
5．【答案】C
【解析】由图象可得小明步行10分钟，步行了1km到达校车站台，
所以步行的速度为：1000÷10=100（m/min），
由图象可得：小明在校车站台等了16-10=6（min），
利用图象可得：校车行驶的距离为：8-1=7（km），
校车行驶的时间为：30-16=14（min），
所以校车的速度是：7000÷14=500（m/min）．
故①②③正确，④错误.故本题答案为C.
6．【答案】C
【解析】∵正三角形ABC的边长为3 cm，如图，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3 cm．
过C作CD⊥AB，则AD=1.5 cm，CD= cm.
①当点P在AB上时，AP=x cm，PD=|1.5x| cm，
∴y=PC2=()2+(1.5x)2=x23x+9(0≤x≤3)，该函数图象是开口向上的抛物线；
②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=(6x)cm(3＜x≤6)，
则y= PC2=(6x)2=(x6)2(3＜x≤6)，该函数图象是在3＜x≤6上的抛物线.故选C．
7．【答案】B
【解析】由题意,P5在P2的正上方,推出P9在P6的正上方,且到P6的距离=21+5=26，
所以P9的坐标为(−6,25)，故选B．
——一次函数
1.了解：正比例函数的概念; 一次函数的概念;一次函数的图象.
2.理解：一次函数的概念及性质;待定系数法确定一次函数的表达式.
3.会：判断一个函数是否为一次函数;准确判断k的正负、函数增减性和图象经过的象限;用数形结合思想解决此类问题.
4.掌握：一次函数的性质;一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式(组)的联系;一次函数图象的应用;一次函数的综合应用.
5.能：能根据图象信息，解决相应的实际问题;能解决与方程(组)、不等式(组)相关的实际问题.
1.从考查的题型来看，主要以解答题的形式考查,少数题目以填空题或选择题的形式考查，属于中档题.
2.从考查的内容来看,主要涉及一次函数的概念、性质及图象;一次函数与一次方程(不等式)相结合的综合应用.
3.从考查的热点来看,主要涉及一次函数的性质与图象及其与其他方程或不等式的实际问题的综合应用.
1.正比例函数和一次函数的概念
判断一个函数是否为一次函数关键是看它的k值是否不为0和自变量指数是否为1；而要判断一个函数是否为正比例函数还要在一次函数基础上加上b=0这个条件．当k及自变量x的指数含字母参数时，要同时考虑k≠0及指数为1．
2.一次函数的图象
(1)所有一次函数的图象都是一条直线；一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b)的直线；正比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0)的直线．
(2)k>0，b>0时，图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大；
k>0，b<0时，图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大；
k<0，b>0时，图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小；
k<0，b<0时，图象经过第二、三、四象限，y随x的增大而减小．
(3)一次函数y=kx+b是由正比例函数y=kx上下平移得到的，要判断一次函数经过的象限，先由k的正负判断是过第一、三象限还是过第二、四象限，再由b的正负判断是向上平移还是向下平移，从而得出所过象限.而增减性只由k的正负决定，与b的取值无关．准确抓住k、b的正负与一次函数图象的关系是解答关键．
3.正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数解析式y=kx(k0)中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数解析式y=kx+b(k0)中的常数k和B．解这类问题的一般方法是待定系数法．
4.一次函数的应用
主要涉及经济决策、市场经济等方面的应用．利用一次函数与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．解决这类问题的一般步骤：
(1)设定实际问题中的变量；
(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；
(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；
(4)利用函数的性质解决问题；
(5)写出答案．
注意：读图时首先要弄清横、纵坐标表示的实际意义，还要会将图象上点的坐标转化成表示实际意义的量；自变量取值范围要准确，要满足实际意义．
1．（2019•扬州）若点P在一次函数的图象上，则点P一定不在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】一次函数y=-x+4中k=-1<0，b>0，所以一次函数y=-x+4的图象经过一、二、四象限，又点P在一次函数y=-x+4的图象上，所以点P一定不在第三象限，故选C．
【考点】本题考查一次函数图象．
2．（2019•梧州）直线y=3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是
A．y=3x+3 B．y=3x-2 C．y=3x+2 D．y=3x-1
【答案】D
【解析】直线y=3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y=3x+1-2=3x-1．故选D．
【考点】本题考查一次函数图象与几何变换．
3．（2019•绍兴）若三点，，在同一直线上，则的值等于
A．-1 B．0 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y=kx+b，∴∴，∴y=3x+1，
将点（a，10）代入解析式，则a=3，故选C．
【考点】本题考查待定系数法求函数的解析式．
4．(2018·辽宁辽阳)如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是
A．x=-3 B．x=4
C．x= D．x=
【答案】A
【解析】方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b的图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y=ax+b过B（-3，0），∴方程ax+b=0的解是x=-3，故选A．
【考点】本题考查一次函数与方程的关系．
5．（2019•辽阳）若且，则函数的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，且，
∴a>0，b<0．
∴函数的图象经过第一、三、四象限．
故选A．
【考点】此题主要考查一次函数的图象，解题的关键是熟知不等式的性质及一次函数的图象．
6．（2019•临沂）下列关于一次函数的说法，错误的是
A．图象经过第一、二、四象限 B．随的增大而减小
C．图象与轴交于点 D．当时，
【答案】D
【解析】∵，∴图象经过第一、二、四象限，A正确；
∵，∴随的增大而减小，B正确；
令时，，∴图象与轴的交点为，∴C正确；
令时，，当时，，D不正确，故选D．
【考点】本题考查一次函数图象与性质．
7．（2019•枣庄）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、，
设点坐标为，
∵点在第一象限，∴，，
∵矩形的周长为8，
∴，∴，
即该直线的函数表达式是，
故选A．
【名师点睛】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．根据坐标的意义得出x、y之间的关系是解题的关键．
8．（2019•黔东南州）如图所示，一次函数（、为常数，且）的图象经过点，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】函数的图象如图所示，图象经过点，且函数值随的增大而增大，
故不等式的解集是．
故答案为：．
【考点】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解题的关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
9．（2019•南京）已知一次函数（k为常数，k≠0）和．
（1）当k=﹣2时，若>，求x的取值范围；
（2）当x<1时，>．结合图象，直接写出k的取值范围．
【解析】（1）当时，，
根据题意，得，解得．
（2）当x=1时，y=x−3=−2，
把（1，−2）代入y1=kx+2得k+2=−2，解得k=−4，
当−4≤k<0时，y1>y2；
当0
∴k的取值范围是：且．
【考点】一次函数的图象与性质.
10．（2019•湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为（分），图1中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程（米）与甲步行时间（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离（米）与甲步行时间（分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：
（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
（3）在图2中，画出当时关于的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
【解析】（1）由题意，得：甲步行的速度是（米/分），
∴乙出发时甲离开小区的路程是（米）．
（2）设直线的解析式为:，
∵直线过点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为:，
∴当时，，
∴乙骑自行车的速度是（米/分）．
∵乙骑自行车的时间为（分），
∴乙骑自行车的路程为（米）．
当时，甲走过的路程是（米），
∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是（米）．
（3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），
乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分），
当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如图所示．
【考点】本题考查一次函数的实际应用．
11．（2019•陕西）根据记录，从地面向上11 km以内，每升高1 km，气温降低6 °C；又知在距离地面11 km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m（°C），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（°C）
（1）写出距地面的高度在11 km以内的y与x之间的函数表达式；
（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为-26 °C时，飞机距离地面的高度为7 km，求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12 km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12 km时，飞机外的气温．
【解析】（1）∵从地面向上11 km以内，每升高1 km，气温降低6 °C，地面气温为m（°C），距地面的高度为x（km）处的气温为y（°C），
∴y与x之间的函数表达式为：y=m-6x（0≤x≤11）．
（2）将x=7，y=-26代入y=m-6x，得-26=m-42，
∴m=16，
∴当时地面气温为16 °C．
∵x=12>11，
∴y=16-6×11=-50（°C），
假如当时飞机距地面12 km时，飞机外的气温为-50 °C．
【考点】本题考查了一次函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键．
1．（2020年福建省漳州市中考数学三模试题）下列直线与过（﹣2，0），（0，3）的直线的交点在第一象限的是
A．x＝﹣3 B．x＝3 C．y＝﹣3 D．y＝3
2．（2019年陕西省交大附中中考数学第二次模拟试题）若点A（1，a）和点B（4，b）在直线y＝﹣x+m上，则a与b的大小关系是
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．与m的值有关
3．（福建省厦门市湖滨中学2019-2020学年九年级下学期阶段反馈一数学试题）已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0）
C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小
4．（江苏省无锡市敔山湾实验学校2019-2020学年九年级上学期期中数学试题）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2；④当y1＞0且y2＞0时，﹣a＜x＜4．其中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2019年江苏省太仓市九年级数学教学质量调研测试）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，Q为内部一点，则的最小值等于
A． B． C． D．
6．（2019年吉林省长春市汽开区中考数学预测模拟试卷（三））如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，0），则当函数值y小于0时，自变量x的取值范围是_____．
7．（2020年河南省南阳市镇平县九年级第一次摸底数学试题）如图，l1反映了某公司产品的销售收人与销售量的关系，l2 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断：当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量必须_____.
8．（安徽省合肥市蜀山区第四十八中学2019-2020学年九年级上学期10月月考数学试题）一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点．
（1）求出这个一次函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．
9．（浙江省温州南浦中学2019届九年级中考一模试卷数学试题）某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．已知购3台空调、2台彩电需花费2.32万元，购2台空调、4台彩电需花费2.48万元．
（1）计算每台空调与彩电的进价分别是多少元？
（2）已知每台空调的售价为6100元，每台彩电的售价为3900元，设商场计划购进空调台，空调和彩电全部销售完商场获得的利润为元．试写出与的函数关系式；
（3）根据市场需要，商场购进空调不少于10台，且购进的空调和彩电可以全部售完，那么在筹集资金范围内，商场有哪几种进货方案可供选择？选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？
10．（2020年吉林省长春市中考5月第一次模拟数学试题）小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），小明操控无人飞机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）无人机上升的速度为 米/分，无人机在40米的高度上飞行了 分．
（2）求无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式．
（3）求无人机距地面的高度为50米时x的值．
1．一个正比例函数的图象过点（2，−3），它的表达式为
A．y=-32x B．y=23x C．y=32x D．y=-23x
2．已知一次函数和，假设k＞0且,则这两个一次函数的交点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则y＜0时自变量x的取值范围是
A．x＞2 B．x＜2
C．x＞−1 D．x＜−1
4．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s(单位：千米)，甲行驶的时间为t(单位：小时)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：
①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；
②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；
③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；
④甲的速度是乙速度的一半．
其中，正确结论的个数是
A．4 B．3
C．2 D．1
5．如图，在一次函数的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰直角三角形ABC,使∠BAC=90°,设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y,则y与x的解析式是_______.
7．一次函数的图象经过点(﹣2，12)和(3，﹣3)．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）画出这条直线的图象；
（3）设这条直线与两坐标轴的交点分别为A、B，求△AOB的面积．
8．学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．
（1）求A，B两型桌椅的单价；
（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总费用最少的购置方案．
9．如图，直线AB：y=−x−b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且OB∶OC=3∶1．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线BC的函数关系式；
（3）若点P（m，2）在△ABC的内部，求m的取值范围．
1．【答案】B
【解析】与过（﹣2，0），（0，3）的直线的交点在第一象限，∴x＞0，y＞3，因此x＝3满足条件，
故选：B．
2．【答案】A
【解析】因为k＝﹣1＜0，所以在函数y＝﹣x+m中，y随x的增大而减小．
∵1＜4，∴a＞b．故选：A．
3．【答案】C
【解析】将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1，
A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；
B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误；
C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；
D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误，
故选C．
4．【答案】B
【解析】①∵y1＝kx+b的图象从左向右呈下降趋势，∴k＜0正确；
②∵y2＝x+a，与y轴的交点在负半轴上，∴a＜0，故②错误；
③当x＜3时，y1＞y2，故③错误；
④y2＝x+a与x轴交点的横坐标为x＝﹣a，当y1＞0且y2＞0时，﹣a＜x＜4正确；
故正确的判断是①④，正确的个数是2个．故选：B．
5．【答案】D
【解析】如图，将ΔAOQ绕点A逆时针旋转60°得到ΔA0´Q´，连接QQ´，OQ´，BQ´，
由y=-x+可得A(1，0)，B(0，)，∴AO=1，BO=，
由旋转性质可得ΔAO´O，ΔAQQ´都是等边三角形，∴QQ´=AQ，OQ=O´Q´
当A、Q、Q´、0´四点共线时，AQ+OQ+BQ的值最小，即为AO´的长，
∵ΔAQQ´都是等边三角形，AO=1，∴O´()
∴O´H=，OH=，∴BH=BO+OH=
∴AO´==
∴AQ+OQ+BQ的最小值是.故答案为：D.
6．【答案】x＞3
【解析】观察函数图象，可知：当x＞3时，y＜0．故答案为x＞3．
7．【答案】大于4
【解析】根据图象分析可得：当销售量大于4时，a在b的上方，即收入大于成本．故答案为大于4．
8．【解析】（1）把A（﹣1，m），B（n，﹣1）分别代入y＝得﹣m＝﹣2，﹣n＝﹣2，解得m＝2，n＝2，
所以A点坐标为（﹣1，2），B点坐标为（2，﹣1），
把A（﹣1，2），B（2，﹣1）代入y＝kx+b得，解得，
所以这个一次函数的表达式为y＝﹣x+1；
（2）设直线AB交y轴于P点，如图，
当x＝0时，y＝1，所以P点坐标为（0，1），
所以S△OAB＝S△AOP+S△BOP＝×1×1+×1×2＝；
（3）使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
9．【解析】（1）每台空调与彩电的进价分别是5400元与3500元；
（2）；
（3），解得，
∴有三种进货方案：①购进空调10台，彩电20台；②购进空调11台，彩电19台；③购进空调12台，彩电18台．
∵，
∴随的增大而增大，
∵是正整数，其所能取的整数值是10、11、12，
∴当时，取最大值，
∴选择方案③获利最大，即购进空调12台，彩电18台，最大利润为元．
10．【解析】（1）无人机上升的速度为=20米/分，无人机在40米的高度上飞行了6﹣1﹣2=3分．
故答案为20，3；
（2）设y=kx+b，把（9，60）和（12，0）代入得到，
解得 ，
∴无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式为y=﹣20x+240．
（3）易知无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y=20x﹣60（5≤x≤6），
由20x﹣6﹣=50，解得x=5.5，
由﹣2﹣x+240=50，解得x=9.5，
综上所述，无人机距地面的高度为50米时x的值为5.5和9.5．
1．【答案】A
【解析】设函数的解析式是y=kx，根据题意得：2k=−3，解得：k=-32．∴函数的解析式是：y=-32x．故选A．
2．【答案】A
【解析】已知一次函数中k＞0，∴其图象过第一、二、三象限，与y轴交点为（0，5），∵一次函数，且,∴其图象过第一、二、四象限，与y轴交点为（0,7），故两条直线的交点在第一象限，故选A．
3．【答案】D
【解析】当y＜0时，图象在x轴下方，∵其图象与x轴交于点（−1，0），∴y＜0时，自变量x的取值范围是x＜−1，故选D．
4．【答案】B
【解析】由图象可得：出发1小时时，甲、乙在途中相遇，故①正确；
甲骑摩托车的速度为：120÷3=40(千米/小时)，设乙开汽车的速度为a千米/小时，则，解得：a=80，∴乙开汽车的速度为80千米/小时，∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确；
出发1.5小时，乙比甲多行驶了：1.5×(8040)=60(千米)，故②正确；
乙到达终点所用的时间为1.5小时，甲到达终点所用的时间为3小时，故③错误.
∴正确的有①②④，共3个，故选B．
5．【答案】C
【解析】①当0＜x＜6时，设点P(x，x+6)，∵矩形PBOA的面积为5，∴x(x+6)=5，化简，解得，，∴P1(1，5)，P2(5，1)，②当x＜0时，设点P(x，x+6)，∵矩形PBOA的面积为5，∴x(x+6)=5，化简，解得，(舍去)，∴P3(，)，∴在x轴的上方满足上述条件的点P共有3个．故选C．
6．【答案】y=x+1
【解析】过点C作CD⊥OA于点D，则∠CDA＝∠BAC＝∠AOB＝90°，
因为∠CAD＋∠BAO＝90°，∠CAD＋∠ACD＝90°，所以∠BAO＝∠ACD，
又因为AC＝AB，所以△ABO≌△CAD，所以OB＝DA，即x＝y−1，所以y＝x＋1.
故答案为y＝x＋1.
7．【解析】（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，解得：，
则函数的解析式是y=﹣3x+6.
（2）画出函数图象如图：
（3） y=﹣3x+6中，令x=0，解得：y=6，则与y轴交点的坐标是(0，6)，
令y=0，解得：x=2，则与x轴交点的坐标是(2，0)．
则△AOB的面积是：×3×6=9.
8．【解析】（1）设A型桌椅的单价为a元，B型桌椅的单价为b元，
根据题意知，，解得，
即A，B两型桌椅的单价分别为600元、800元.
（2）根据题意知，y=600x+800（200﹣x）+200×10=﹣200x+162000（120≤x≤130）.
（3）由（2）知，y=﹣200x+162000（120≤x≤130），
∴当x=130时，总费用最少，
即购买A型桌椅130套，购买B型桌椅70套，总费用最少，最少费用为136000元．
9．【答案】（1）（0，6）；（2）y=3x+6；（3）−43
解得：b=−6，
∴直线AB的解析式为y=−x+6，∴B点坐标为（0，6）.
（2）∵OB∶OC=3∶1，∴OC=2，
∴点C的坐标为（−2，0），
设BC的解析式是y=kx+6，则0=−2k+6，解得：k=3，
∴直线BC的解析式是：y=3x+6.
（3）把y=2代入y=−x+6得x=4；把y=2代入y=3x+6中得x=−43，
结合图象可知m的取值范围是−43
——反比例函数
1.了解：反比例函数的概念；反比例函数的图象；反比例函数中比例系 数的几何意义.
2.理解：反比例函数的性质；一次函数解析式的确定.
3.会：会判断一个函数是否为反比例函数；会分象限利用增减性；用数形结合思想解决问题.
4.掌握：反比例函数的性质；反比例函数解析式的确定.
5.能：能用待定系数法确定函数解析式；能根据图象信息，解决相应的实际问题；能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明.
1.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题或填空题的形 式出现,少数题目以解答题的形式出现,属于中档题.
2.从考查内容来看,主要有：反比例函数的概念；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数解析式的确定；反比例函数的应用.
3.从考查热点来看,主要有：反比例函数的性质及其解析式的确定；反比例函数与一次函数交点的综合应用；反比例函数与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明.
1.反比例函数的概念
一般地，形如（k是常数，）的函数叫做反比例函数.自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围也是一切非零实数．
方法归纳：判断一个函数是否是反比例函数的关键是看它的横、纵坐标的乘积是否为一个非零常数.当k及自变量x的指数含字母参数时，要同时考虑及指数为．
2.反比例函数的性质
当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
方法归纳：熟练掌握反比例函数的性质，准确抓住“在每个象限内”是解答的关键．
反比例函数的图象位置和函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的.反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号，如已知双曲线在第二、四象限，则可知.
3.反比例函数的图象与画法
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三或第二、四象限，它们关于原点对称.由于反比例函数中自变量，函数值，所以反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.
画反比例函数图象的步骤：列表、描点、连线.
需要注意的是：（1）画反比例函数的图象应多取一些点，这样画出的图象才能标准、对称、美观；（2）随着的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远达不能与坐标轴相交.
4.反比例函数与一次函数的综合运用
一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标为对应方程组的解.
方法归纳：列方程组是关键.坐标要准确，利用增减性时要分象限考虑．
5.反比例函数的图象和k的几何意义
主要涉及与三角形、四边形相关的面积问题，线段长度问题和坐标问题．
如图，过双曲线上任意一点P(x,y)分别作轴、轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积.因为，所以，所以，即过双曲线上任意一点P(x,y)分别作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为.
如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于其中一坐标轴，垂足为F，连接EO，则，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得的三角形的面积为.
1．（2019•安徽）已知点A（1，–3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y=的图象上，则实数k的值为
A．3 B．
C．–3 D．–
【答案】A
【解析】点A（1，–3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A'（1，3）代入y=得k=1×3=3．故选A．
【考点】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
2．（2019•广西）若点（–1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=（k<0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1
C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
【答案】C
【解析】∵k<0，∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，∴当x=–1时，y1＞0，
∵2<3，∴y2
3．（2019·湖北鄂州）在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x+k与y=（k为常数，且k≠0）的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵函数y=﹣x+k与y=（k为常数，且k≠0），∴当k>0时，y=﹣x+k经过第一、二、四象限，y=经过第一、三象限，故选项D错误，当k<0时，y=﹣x+k经过第二、三、四象限，y=经过第二、四象限，故选项C正确，选项A、B错误，故选C．
【考点】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和反比例函数的性质解答．
4．（2019·江苏无锡）如图，已知A为反比例函数y=（x<0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为
A．2 B．﹣2
C．4 D．﹣4
【答案】D
【解析】∵AB⊥y轴，∴S△OAB=|k|，∴|k|=2，∵k<0，∴k=﹣4．故选D．
【考点】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
5．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y=上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y=，则k1+k2的值为__________．
【答案】0
【解析】∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y=上，∴k1=ab；
又∵点A与点B关于x轴对称，∴B（a，–b），
∵点B在双曲线y=上，∴k2=–ab；∴k1+k2=ab+（–ab）=0；
故答案为：0．
【考点】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．
6．（2019•山西）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（–4，0），点D的坐标为（–1，4），反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过点C，则k的值为__________．
【答案】16
【解析】过点C、D作CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为E、F，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，
易证△ADF≌△BCE，
∵点A（–4，0），D（–1，4），
∴DF=CE=4，OF=1，AF=OA–OF=3，
在Rt△ADF中，AD=＝5，
∴OE=EF–OF=5–1=4，∴C（4，4），∴k=4×4=16，
故答案为：16．
【考点】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用菱形的性质、全等三角形、直角三角形勾股定理，以及反比例函数图象的性质；把点的坐标与线段的长度相互转化也是解决问题重要方法．
7．（2019•吉林）已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x=4时，求y的值．
【答案】（1）y=．（2）y=3．
【解析】（1）因为y是x的反例函数，
所以设y=(k≠0)，
当x=2时，y=6．
所以k=xy=12，
所以y=．
（2）当x=4时，y=3．
【考点】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．
8．（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC=2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．
（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；
（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y=；（2）点A的坐标为（，2）．
【解析】（1）如图，过点B作BD⊥OC于D，
∵△BOC是等边三角形，
∴OB=OC=2，OD=OC=1，
∴BD==，
∴S△OBD=OD×BD=，
又∵S△OBD=|k|，∴|k|=，
∵反比例函数y=（k≠0）的图象在第一、三象限，
∴k=，
∴反比例函数的表达式为y=；
（2）∵S△OBC=OC•BD=×2×=，
∴S△AOC=3-=2，
∵S△AOC=OC•yA=2，∴yA=2，
把y=2代入y=，求得x=，
∴点A的坐标为（，2）．
【考点】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，此题的突破点是先由三角形的面积求出反比例函数的解析式．
1．（河北省沧州市任丘市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）反比例函数的图象经过点(-2，3)，则k的值为
A．-3 B．3 C．-6 D．6
2．（湖南省张家界市慈利县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）已知反比例函数，下列结论中不正确的是
A．图像经过点（－1，－1） B．图像在第一、三象限
C．两个分支关于原点成中心对称 D．当x＜0时，y随着x的增大而增大
3．（2020年江苏省南通市启东市中考九年级数学一模试题）如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，AB⊥y轴，若△AOB的面积为2，则k的值为____．
4．（广东省清远市英德市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃）从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知在操作加热前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
5．（2020年江苏省苏州市星海实验中学中考数学3月模拟试题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，.对角线相交于点，反比例函数的图像经过点，分别与交于点.
（1）若，求的值;
（2）连接，若，求的面积.
1．反比例函数是的图象在
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
2．反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论：①常数m＜﹣2；②若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；③y随x的增大而减小；④若P（x，y）在图象上，则P'（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的是
A．①② B．③④
C．②③ D．②④
3．如图，点，依次在的图象上，点，依次在x轴的正半轴上，若，均为等边三角形，则点的坐标为 ．
4．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．
5．某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温y（℃）与通电时间x（min）的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）当0≤x≤8时，求y与x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）某天早上7：20，李老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在8：00上课前能喝到不超过40℃的温开水，问：他应在什么时间段内接水？
1．【答案】C
【解析】∵反比例函数的图象经过点(-2，3)
∴k=-6.
故选C.
2．【答案】D
【解析】当x=-1时，y=-1，∴A是正确的；
∵k=1＞0，反比例函数在第一、三象限，∴B是正确的；
根据反比例函数的图象性质，它是中心对称图形，∴C是正确的；
当x＜0时，随着的增大而减小，∴D是错的.故选D.
3．【答案】－3
【解析】如图，设AB与y轴交于点C，
∵点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，AB⊥y轴，
∴S△OAC=，S△OBC=，
∵△AOB的面积为2，
∴S△AOB= S△OAC+ S△OBC=+=2，
解得：k=±3，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴k=-3.
故答案为：-3
4．【解析】（1）材料加热时，设y=ax+15（a≠0），
由题意得60=5a+15，
解得a=9，
则材料加热时，y与x的函数关系式为y=9x+15（0≤x≤5）．
停止加热时，设y=（k≠0），
由题意得60=，
解得k=300，
则停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y=（x≥5）；
（2）把y=15代入y=，得x=20，
因此从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
5．【解析】（1）∵在矩形ABCD的顶点B，AB＝8，BC＝6，
而OC＝8，
∴B（2，0），A（2，8），C（8，0），
∵对角线AC，BD相交于点E，
∴点E为AC的中点，
∴E（5，4），
把E（5，4）代入y＝得k＝5×4＝20；
（2）∵AC＝＝10，
∴BE＝EC＝5，
∵BF﹣BE＝2，
∴BF＝7，
设OB＝t，则F（t，7），E（t+3，4），
∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点E、F，
∴7t＝4（t+3），解得t＝4，
∴k＝7t＝28，
∴反比例函数解析式为y＝，
当x＝10时，y＝，
∴G（10，），
∴△CEG的面积＝．
1.【答案】B
【解析】∵反比例函数中，k=2＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限．故选B．
2．【答案】D
【解析】∵反比例函数图象经过第一、三象限，∴m＞0，所以①错误；
在每一象限，y随x的增大而减小，所以③错误；
∵A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，∴h＝﹣m，k＝，而m＞0，∴h＜k，所以②正确；
∵m＝xy＝（﹣x）•（﹣y），∴若P（x，y）在图象上，则P'（﹣x，﹣y）也在图象上，所以④正确．
故选D．
3.【答案】(，0)
【解析】作A1C⊥OB1，垂足为C，
∵△A1OB1为等边三角形，∴∠A1OB1=60°，∴tan60°=，∴A1C=OC，
设A1的坐标为（m，），∵点A1在的图象上，∴，解得m=3，∴OC=3，∴OB1=6，
作A2D⊥B1B2，垂足为D，设B1D=a，则OD=6+a，A2D=，∴A2（，），
∵A2（，）在反比例函数的图象上，∴代入，得，化简得，解得：，∵a>0，∴．
∴B1B2=，∴OB2=OB1+B1B2=，所以点B2的坐标为(，0)．
故答案为(，0)．
4．【解析】（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象过格点P（2，2），
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=（x＞0）.
（2）如图所示：矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形．
5．【解析】（1）当0≤x≤8时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将（0，20），（8，100）代入y=kx+b，得：，解得：，
∴当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为y=10x+20.
（2）当8≤x≤a时，设y与x之间的函数关系式为（k2≠0），
将（8，100）代入，得：，解得：k2=800，
∴当8≤x≤a时，y与x之间的函数关系式为，
将（a，20）代入，得：a=40.
（3）依题意，得：≤40，解得：x≥20．
∵x≤40，
∴20≤x≤40．
∴他应在7：40～8：00时间段内接水.
——二次函数
1.了解：二次函数的概念；二次函数的对称轴；二次函数图象与系数的关系.
2.理解：二次函数的性质与图象；确定二次函数的解析式.
3.会：会判断一个函数是否为二次函数；会在对称轴左、右判断函数的增减性；会用数形结合思想解决问题．
4.掌握：二次函数的性质；用待定系数法确定函数解析式；利用二次函数来解决实际问题的基本思路；掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的关系；掌握二次函数图象与一元二次不等式的关系；将实际问题转化为数学中的二次函数问题.
5.能：用待定系数法确定函数解析式.判别式、抛物线与x轴的交点、二次方程的根的情况三者之间的联系.能根据图象信息解决相应的问题．
1.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题与解答题的形 式考查，也可能在填空题中出现，题目难度中高档.
2.从考查内容来看,主要有：二次函数的性质与图象；用待定系数法确定函数解析式；二次函数的最值与平移问题等.
3.从考查热点来看,主要有：二次函数的性质与图象；通过具体问题情境学会用三种方式表示二次函数关系；通过在实际问题中应用二次函数的性质，发展应用二次函数解决实际问题的能力.
1.二次函数的概念
一般地，函数是常数，）叫做二次函数.
方法归纳:（1）二次函数的形式是关于自变量x的二次多项式，其中二次项系数不能为0,如果二次项系数是0,则函数就是，若，则是一次函数；若，则就是，这是一个常函数；
（2）函数关系式必须是整式；
（3）化简后二次函数的最高次数必须是2.
二次函数中系数a、b、c的几何意义：
a决定开口方向，a>0开口向上，a<0开口向下，ab乘积决定对称轴的位置（左同右异）， c决定与y轴的交点位置．
方法归纳：根据a、b、c的符号逐步分析判断．当只有ac或者bc时，要考虑用对称轴方程这个式子去代换变形．
2.二次函数关系式的确定
(1)设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
(2)设交点式：y＝a(x−x1)(x−x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
(3)设顶点式：y＝a(x−h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x−h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数并化为一般式．
方法归纳：用待定系数法确定二次函数关系式的一般形式的步骤是：①写出函数解析式的一般形式；②把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组求出待定系数的值，从而写出函数解析式.
3.二次函数图象与几何变换
二次函数的平移：抛物线y＝ax2与y＝a(x−h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x−h)2＋k中|a|相同，则图象的开口方向和大小都相同，只是位置不同．
方法归纳：平移规律是“左加右减，上加下减”．
4.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数的图象与一元二次方程的根的判别式的关系：抛物线与x轴交点的横坐标恰为一元二次方程的实数根.
因为x轴上的点的纵坐标都为0,所以求抛物线与x轴的交点的横坐标，可利用函数表达式来求，只需令y=0，可得一元二次方程，方程的根即为交点的横坐标.
二次函数与一元二次方程之间的关系如下表：
图象
（）
方程（）根的情况
与轴交点
与轴交点
，
=
无交点
没有交点
5.二次函数的应用
（1）二次函数图象、性质的综合应用
用待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的图象与其他函数图象的交点，与三角形和四边形的综合，面积问题等．
方法归纳：解这类问题的一般方法是数形结合.用数形结合思想将线段长度、图形面积与点的坐标联系起来是关键，同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理．
（2）二次函数与实际应用题的综合运用
待定系数法求抛物线的解析式，配方法求二次函数的最值.
方法归纳：关键是熟练掌握二次函数的性质.
在求二次函数的最值时，一定要准确求出自变量的取值，特别要观察顶点是否在取值范围内，若在，则取顶点纵坐标为最值；若不在，则根据取值范围与对称轴的位置关系和开口方向，利用增减性求最值.
1．（2019•重庆）抛物线的对称轴是
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
【答案】C
【解析】∵，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为．
故选C．
【考点】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．
2．（2019•兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y=-（x+1）2+2上，则下列结论正确的是
A．2>y1>y2 B．2>y2>y1 C．y1>y2>2 D．y2>y1>2
【答案】A
【解析】当x=1时，y1=-（x+1）2+2=-（1+1）2+2=-2；
当x=2时，y1=-（x+1）2+2=-（2+1）2+2=-7，所以2>y1>y2．故选A．
【考点】二次函数的性质．
3．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
【答案】B
【解析】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．
y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．
所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5），故选B．
【考点】本题考查二次函数的图象平移规律．
4．（2019•成都）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【解析】由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0，A选项错误；
函数图象与x轴有两个交点，所以>0，B选项错误；
观察图象可知x=-1时y=a-b+c>0，所以a-b+c>0，C选项错误；
根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1，0），（5，0）两点的中垂线，，
即x=3为函数对称轴，D选项正确，
故选D．
【考点】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的图象．
5．（2019•泸州）已知二次函数（其中是自变量）的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
∵抛物线与轴没有公共点，
∴，解得，
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，
而当时，随的增大而减小，
∴，
∴实数的取值范围是，
故选D．
【考点】本题考查了二次函数图象与x轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
6．（2019•临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：m）与小球运动时间（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
【答案】D
【解析】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，把代入得，解得，
∴函数解析式为，把代入解析式得，，解得：或，∴小球的高度时，或，故④错误，故选D．
7．（2019•云南）已知k是常数，抛物线y=x2+（k2+k-6）x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
（1）求k的值：
（2）若点P在抛物线y=x2+（k2+k-6）x+3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
【解析】（1）∵抛物线y=x2+（k2+k-6）x+3k的对称轴是y轴，
∴，
即k2+k-6=0，
解得k=-3或k=2，
当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去，
当k=-3时，二次函数解析式为y=x2-9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意，
∴k=-3．
（2）∵P到y轴的距离为2，
∴点P的横坐标为-2或2，
当x=2时，y=-5；
当x=-2时，y=-5，
∴点P的坐标为（2，-5）或（-2，-5）．
【考点】本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键．
8．（2019•湘潭）某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
【解析】（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，
则有，解得，
故该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒．
（2）设A种湘莲礼盒降价元/盒，利润为元，依题意
总利润，
化简得，
∵，
∴当时，取得最大值为1307，
故当种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．
【考点】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
9．（2019·内蒙古通辽）已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．
（2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．
【解析】（1）二次函数表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①，则点，
将点的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：；
（2）存在，理由：
二次函数对称轴为：，则点，
过点作轴的平行线交于点，
设点，点，
∵，
则，
解得：或5（舍去5），
故点；
（3）设点、点，，
①当是平行四边形的一条边时，
点向左平移4个单位向下平移16个单位得到，
同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点，
即：，，而，
解得：或﹣4，
故点或；
②当是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：，，而，
解得：，
故点或；
综上，点或或或．
【考点】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
1．（2020年黑龙江省哈尔滨市九年级升学考试模试题（一）数学试题）将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，两次平移后得到的抛物线的解析式为
A． B．
C． D．
2．（2019-2020学年陕西省宝鸡市陈仓区九年级学业考试一模数学试题）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为
A．（﹣3，7） B．（﹣1，7） C．（﹣4，10） D．（0，10）
3．（2020年福建省漳州市中考数学三模试题）已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x1，x2(0＜x1＜x2＜4)时，对应的函数值是y1，y2，且y1＝y2，设该函数图象的对称轴是x＝m，则m的取值范围是
A．0＜m＜1 B．1＜m≤2 C．2＜m＜4 D．0＜m＜4
4．（2020年山东省济南市长清区九年级5月一模数学试题）如图，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a﹣b=0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3，0）；④方程ax2+bx+c﹣3=0有两个相等的实数根；⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y2＜y1.其中正确的是
A．①②③ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③④
5．（2020年内蒙古呼和浩特市九年级中考数学4月模拟试题）在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D．
①在的条件下，当时，n的取值范围是，求抛物线的表达式；
②若D点坐标（4，0），当时，求a的取值范围.
6．（2020年安徽省芜湖市九年级升学一模数学试题）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A、B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同．
（1）求A、B两种型号汽车的进货单价；
（2）销售中发现A型汽车的每周销量yA（台）与售价x（万元/台）满足函数关系yA＝﹣x+20，B型汽车的每周销量yB（台）与售价x（万元/台）满足函数关系yB＝﹣x+14，A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台．问A、B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？
7．（2020年福建省漳州市中考数学二模试题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．
求点P，C的坐标；
直线l上是否存在点Q，使的面积等于的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1．函数的顶点坐标是
A．(1，) B．(，3) C．(1，−2) D．(−1，2)
2．若二次函数的图象与轴有两个交点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
3．如图，二次函数的对称轴是直线，且经过点，则以下结论：
①；②；③；④若方程的两根为和，则，正确的有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．某工厂加工一种商品，每天加工件数不超过100件时，每件成本80元，每天加工超过100件时，每多加工5件，成本下降2元，但每件成本不得低于70元.设工厂每天加工商品x（件），每件商品成本为y（元）.
（1）求出每件成本y（元）与每天加工数量x（件）之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
（2）若每件商品的利润定为成本的20%，求每天加工多少件商品时利润最大，最大利润是多少？
5．已知二次函数（ b，c为常数）．
（1）当b =2，c =−3时，求二次函数的最小值；
（2）当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（3）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
6．如图，抛物线y=－12x2+mx+m+12与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点D在第一象限．
（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；
（3）当△BCD的面积与△ABC的面积相等时，求m的值.
1．【答案】A
【解析】将抛物线先向左平移1个单位得到解析式为：，
再向上平移3个单位，得到解析式为：，
故选A.
2．【答案】D
【解析】∵点A（a-2b，2-4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，
∴（a-2b）2+4×（a-2b）+10=2-4ab，
a2-4ab+4b2+4a-8b+10=2-4ab，
（a+2）2+4（b-1）2=0，
∴a+2=0，b-1=0，
解得a=-2，b=1，
∴a-2b=-2-2×1=-4，
2-4ab=2-4×（-2）×1=10，
∴点A的坐标为（-4，10），
∵对称轴为直线x=-=-2，
∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）．
故选D．
3．【答案】C
【解析】当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），
∴x0＞4，
∴对称轴为x=m中2＜m＜4，
故选C．
4．【答案】C
【解析】∵抛物线的顶点坐标A（﹣1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴2a﹣b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣4，0）
而抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标A（﹣1，3），
∴x=﹣1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以④正确；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（﹣1，3），B点（﹣4，0）
∴当﹣4＜x＜﹣1时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选C．
5．【解析】（1）把y=0代入二次函数得：a（x2-2x-3）=0即a（x-3）（x+1）=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）①抛物线的对称轴为直线x=1，
∵-2≤m≤2时，n的取值范围是-4≤n≤5，
∴n=-4为二次函数的最小值，m=-2时，n=5，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）
把（1，-4）代入y=ax2-2ax-3a得a-2a-3a=-4，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
②∵D点坐标（4，0），PD⊥x轴，
∴点P的横坐标为4，
当x=4时，y=ax2-2ax-3a=5a，
∵D点坐标为（4，0），A点坐标为（-1，0）
∴AD=5
∵PD＞AD
∴|5a|＞5，
∴a＞1或a＜-1．
6．【解析】（1）设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意得＝，解得x＝8，
经检验x＝8是原分式方程的根．
答：A、B两种型号汽车的进货单价为：10万元、8万元．
（2）设两种汽车的总利润为w万元，根据题意得
w＝（x+2﹣10）[﹣（x+2）+18]+（x﹣8）（﹣x+14）
＝﹣2x2+48x﹣256
＝﹣2（x﹣12）2+32
∵﹣2＜0，当x＝12时，w有最大值为32．
答：A、B两种型号的汽车售价各为14万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是32万元.
7．【解析】，
顶点，
令得到，
．
令，，解得或5，
，，
设直线PC的解析式为，则有，
解得，
直线PC的解析式为，设直线交x轴于D，则，
设直线PQ交x轴于E，当时，的面积等于的面积的2倍，
，
，
或，
则直线PE的解析式为，
，
直线的解析式为，
，
综上所述，满足条件的点，．
1.【答案】A
【解析】∵二次函数y=−x2+2x+2=−(x−1)2+3，∴此函数的顶点坐标是(1，3).故选A．
2．【答案】D
【解析】∵抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点，
∴=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，即4-4m＞0，解得：m＜1．
故选D．
3．【答案】C
【解析】由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，-=1，∴abc＜0，-b=2a，2a-b=4a≠0，故①正确，②错误；
x=-1时，a-b+c=0，3a+c=0，c=-3a＞2，a＜-，故③正确；
由对称轴直线x=1，抛物线与x轴左侧交点为（-1，0），可知抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
由图象可知，y=2时，-1＜x1＜0，1＜x2＜3，∴x1+1>0，x2-3<0，∴（x1+1）（x2-3）＜0，故④正确．
故选C．
4．【解析】（1）当时，；
∵,
∴当时，，
∴.
（2）设每天加工的利润为w元，
当时，，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w最大，最大值为1600元；
当时，,
∵，开口向下，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w最大，最大值为1750元，
∵1750>1600，
∴当时，w最大.
答：每天加工125件时，利润最大，为1750元.
5．【解析】（1）当b=2，c=−3时，二次函数的解析式为，即．
∴当x=−1时，二次函数取得最小值−4．
（2）当c=5时，二次函数的解析式为．
由题意得，方程有两个相等的实数根．
所以，解得，
∴此时二次函数的解析式为或．
（3）当c=b2时，二次函数的解析式为．
它的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．
①若
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而增大，
故当x=b时，为最小值．
∴，解得，（舍去）．
②若b≤≤b+3，即−2≤b≤0，
当x=时，为最小值．
∴，解得（舍去），（舍去）．
③若>b+3，即b<−2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而减小，
故当x=b+3时，为最小值．
∴，即.解得（舍去），．
综上所述，或b=−4．
∴此时二次函数的解析式为或．
6.【解析】（1）y=−12x2+mx+m+12=−12（x−m）2+（m+1）22，
∴顶点D（m，（m+1）22），即D（m，12m2+m+12）．
（2）过D作DH⊥x轴于H．令y=−12x2+mx+m+12=0，解得：x=−1或x=2m+1，
则与x轴的交点为A（−1，0），B（2m+1，0），
∴DH=（m+1）22，AH=m−（−1）=m+1，
∴tan∠ADH=m+1（m+1）22=2m+1．
当60°≤∠ADB≤90°时，由对称性得30°≤∠ADH≤45°，
∴当∠ADH=30°时，2m+1=33，∴m=23−1，当∠ADH=45°时，2m+1=1，∴m=1，∴1≤m≤23−1.
（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m．
设过点B（2m+1，0），C（0，m+12）的直线的解析式为y=kx+b，
则&（2m+1）k+b=0&b=m+12，解得&k=-12&b=m+12，即y=−12x+m+12．
当x=m时，y=−12m+m+12=m+12，
∴M（m，m+12），
∴DM=（m+1）22-m+12=m（m+1）2，AB=（2m+1）−（−1）=2m+2．
又∵S△DBC=S△ABC，
∴m（m+1）2•（2m+1）=（2m+2）•（m+12）．解得：m=－1，m=－12，m=2．
又∵抛物线的顶点D在第一象限，
∴m＞0，
∴m=2．
第24题备用图
x
y
C
O
D
A
B
——函数的综合应用
1.了解：函数与一次函数的概念与表达式；反比例函数与二次函数的概念与表达式；一次方程(组)；一次不等式(组)；三角形与四边形、圆的相关问题.
2.理解：函数与一次函数的性质与图象；反比例函数与二次函数的性质与图象.
3.会：确定函数的表达式；运用函数的性质与图象解决与几何图形、方程、不等式相关的问题.
4.掌握：运用函数的性质与图象解决与几何图形、方程不等式相关综合问题的方法；函数之间的综合应用问题.
5.能：运用数形结合的方法与转化思想或方程思想解决函数与其他相关的综合问题.
1.从考查的题型来看，对于一次函数或反比例函数来说,以填空题或选择 题为主,属于中档题；对于二次函数来说,一般以解答题的形式考查,属于中高档题.
2.从考查内容来看,主要有：函数的性质与图象；一次函数与反比例函数,反比例函数与二次函数,一次函数与二次函数,函数与其他综合相关的实际问题.
3.从考查热点来看,主要有：一次函数与反比例函数及二次函数之间的问题；函数与几何图形相关的综合应用.
1.函数之间的综合应用
方法归纳：反比例函数与一次函数的应用,根据反比例函数图象与一次函数图象的交点,建立两个方程,通过组建方程组求得方程组的解，即可进一步确定两个函数解析式.解决问题的关键是发掘题目中的条件,确定图象上的坐标，运用待定系数法解出函数的表达式,再利用数形结合的方法求解其他问题.
二次函数、一次函数及反比例函数相综合是中考命题的热点，可以由一次函数或反比例函数中的简单信息来推断二次函数的部分信息,从而解决三个函数之间的问题.或由二次函数的图象推出a,b,c的符号,来进一步推断一次函数图象与反比例函数图象经过的象限,从图象中获取信息来解决函数的问题,综合一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质来解决函数问题.
2.一次函数、方程、一元一次不等式的综合应用
（1）一元一次方程与一次函数的综合应用
方法归纳：由于任何一元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当函数值确定时，求与之对应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.
（2）一元一次不等式与一次函数的综合应用
方法归纳：①一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0)的函数值不等于0的情形．②直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的图象）的x的取值范围是ax+b>0的解集；使函数值y<0（x轴下方的图象）的x的取值范围是ax+b<0的解集．
运用一次函数与一元一次不等式解决问题的关键是找出等量关系式,同时正确理解关键词“不低于,不超过”的含义,建立不等式组,将一次函数问题转化为一元一次不等式组问题,体现数学中的转化思想.
（3）一次函数与二元一次方程(组)的综合应用
方法归纳：①任意一个二元一次方程都可化成y=kx+b的形式，即每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.②直线y=kx+b上的每一点的坐标均为这个二元一次方程的解.③二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式.④求二元一次方程组的解可以看作求两个一次函数的交点坐标.两直线的交点坐标是两个一次函数解析式y=k1x+b1和y=k2x+b2所组成的关于x、y的方程组的解.
3.二次函数与一元二次方程的应用
方法归纳:①一元二次方程是二次函数当函数y的值为0时的情况．
②二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程的根．
③当二次函数的图象与x轴有两个交点时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与 x轴没有交点时，一元二次方程没有实数根．
4.二次函数与几何图形的综合应用
此类问题常与三角形、特殊的四边形(如矩形 菱形、平行四边形、梯形等) 、圆等图形相综合进行探究,并且常与生活生产中的实际问题相结合求面积最大问题,通常情况下要联想到二次函数的最值问题.也就是说，将实际问题转化为二次函数问题,运用二次函数的顶点坐标(−,)、对称轴x=−,或者二次函数的一般形式y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)转化为二次函数的顶点式y=a(x−h)2+k,进一步确定当x=h时,y的最值是k.
5.二次函数与线段、角等图形的综合运用
二次函数综合题中的线段问题，常涉及的类型有：（1）直接求线段的长或用含字母的代数式表示线段的长；（2）根据题中给出的线段关系求相应字母的值；（3）求三角形或四边形周长的最值；（4）求多边形面积等问题.其中求三角形或四边形周长的最值，一般要将其转化为求某线段长的最值或利用两点之间线段最短来求最值.
此类问题一般是过抛物线上的一动点作x轴的垂线（或y轴的平行线），且与某直线相交于一点，以确定两点之间长度关系的形式出题.解决此类问题时，一般要将线段问题转化为点的坐标问题，根据抛物线和直线上点的坐标特征，设其中一点的坐标，从而得到另一点的坐标，然后用含字母的式子表示两点间的线段长，特别是遇到线段最值问题时，一般要结合二次函数求最值的方法，将二次函数解析式配成顶点式，然后求最值.
6.二次函数与三角形的综合运用
特殊图形的判定问题，常与点的存在性问题相结合，解决此类问题的关键是要熟练掌握特殊图形的判定方法及性质，如：等腰三角形是直角、等边三角形的三边相等.解决此类问题最常用的方法是假设法，一般先假设存在满足题意的点，根据特殊图形的性质画出草图，确定点的位置，然后根据题中已知条件和特殊图形的性质及判定方法建立动点与已知点的关系，最后列方程求解.在画草图时，要做到不重不漏地画出所有可能的情况，以免在求解过程中遗漏答案，对所求出的结果要进行检验，看是否符合题意，如果不符合题意，应舍去.
7.二次函数与四边形的综合运用
解决二次函数与四边形的综合题时，关键是建立合适的函数模型，将四边形问题和二次函数的解析式相结合.此类型题的考查方式比较灵活，经常在四边形特别是正方形、菱形等几何图形中进行变换.解题时，需要在熟练掌握二次函数图象与性质的基础上，运用数形结合和分类讨论思想，将面积问题转化为函数关系问题.解题技巧一般是过特殊点作x轴或y轴的垂线，从而将边之间的关系问题转化为线段问题，建立未知量和已知变量之间的联系，运用勾股定理等有关手段解决相应的问题.
二次函数与几何图形相结合的综合问题,是近年来全国各地中考的热点题型，不仅考查了二次函数和平面几何的基础知识,还可以考查数形结合、分类讨论等数学思想方法,以及阅读理解能力、收集信息、处理信息的能力、运用数学知识对问题的探究能力等.解这类问题的关键是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识,并充分挖掘题目中的隐含条件,以达到解题目的.
8.对于二次函数的综合应用可能融合多个知识点，直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程、分式方程、分式不等式的解，比较大小等问题.利用数形结合的思路，借助函数的图象和性质，形象直观地解决有关不等式最大（小）值、方程的解以及图形的位置关系等问题.利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点的问题.通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案的可行性.建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须检验与实际情况是否相符合.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数.
1．（2019·江苏扬州）若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴对称点都在一次函数y=–x+m的图象上，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵反比例函数上两个不同的点关于y轴对称的点，在一次函数y=–x+m图象上，∴反比例函数与一次函数y=–x+m有两个不同的交点，联立两个函数解方程，∵有两个不同的交点，∴有两个不等的根，∴Δ=m2–8>0，∴m>2或m<–2，故选C．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的根的问题以及不等式求解等．
2．（2019 •青岛）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2-2x和一次函数y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．° B．°
C．° D．
【答案】C
【解析】∵当x=0时，y=ax2–2x=0，即抛物线y=ax2–2x经过原点，故A错误；
∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，
∴ab>0，即a、b同号，
当a<0时，抛物线y=ax2–2x的对称轴x=<0，对称轴在y轴左边，故D错误；
当a>0时，b>0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误；
C正确．故选C．
【考点】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
3．（2018·辽宁葫芦岛）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC==8，
当0≤x≤6时，AP=6﹣x，AQ=x，∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36；
当6≤x≤8时，AP=x﹣6，AQ=x，∴y=PQ2=（AQ﹣AP）2=36；
当8≤x≤14时，CP=14﹣x，CQ=x﹣8，∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260，
故选B．
【考点】(1)动点问题的函数图象；(2)二次函数的应用.
4．（2019•福建）如图，菱形ABCD顶点A在函数y=（x＞0）的图象上，函数y=（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB=2，∠BAD=30°，则k=__________．
【答案】6+2
【解析】连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，
∵函数y=（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，
∴O、A、C三点在同直线上，且∠COE=45°，∴OE=AE，
不妨设OE=AE=a，则A（a，a），
∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴a2=3，∴a=，∴AE=OE=，
∵∠BAD=30°，∴∠OAF=∠CAD=∠BAD=15°，
∵∠OAE=∠AOE=45°，∴∠EAF=30°，∴AF==2，EF=AEtan30°=1，
∵AB=AD=2，∴AF=AD=2，又∵AE∥DG，∴EF=EG=1，DG=2AE=2，
∴OG=OE+EG=+1，∴D（+1，2），∴k=2×（+1）=6+2．故答案为：6+2．
【考点】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，菱形的性质，解直角三角形，关键是确定A点在第一象限的角平分线上．
5．（2017·吉林）如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．
（1）正方体的棱长为 cm；
（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．
【答案】（1）10；（2）y=x+（12≤x≤28）；（3）4 s.
【解析】（1）由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10 cm，12秒后水槽内高度变化趋势改变，故正方体的棱长为10 cm.
（2）设线段AB对应的函数解析式为：y=kx+b，
∵图象过A（12，10），B（28，20），
∴，解得：，
∴线段AB对应的解析式为：y=x+（12≤x≤28）.
（3）∵28−12=16（s），
∴没有立方体时，水面上升10 cm，所用时间为16 s，
∵前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4 s，
∴将正方体铁块取出，经过4 s恰好将此水槽注满．
【考点】几何图形与一次函数的综合应用．
6．（2019•鄂尔多斯）某工厂制作两种手工艺品，每天每件获利比多105元，获利30元的与获利240元的数量相等．
（1）制作一件和一件分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作，两种手工艺品，每人每天制作2件或1件．现在在不增加工人的情况下，增加制作．已知每人每天可制作1件（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作，两种手工艺品的数量相等．设每天安排人制作，人制作，写出与之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润（元）的最大值及相应的值．
【解析】（1）设制作一件获利元，则制作一件获利（）元，由题意得：
，解得：，
经检验，是原方程的根，
当时，，
答：制作一件获利15元，制作一件获利120元．
（2）设每天安排人制作，人制作，则人制作，于是有：
，
∴，
答：与之间的函数关系式为∴．
（3）由题意得：
，
又∵，
∴，
∵，对称轴为，而时，的值不是整数，
根据抛物线的对称性可得：
当时，元．
此时制作产品的13人，产品的26人，产品的26人，获利最大，最大利润为2198元．
【名师点睛】考核知识点：分式方程，二次函数应用.根据题意列出方程，把实际问题转化为函数问题是关键．
7．（2019•河南）如图，抛物线y=ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=–x–2经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B′，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y=kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2+x–2．（2）①点P的坐标为（-2，-2）或（6，10）.②直线l的解析式为y=–x–2，y=x–2或y=x–m–2．
【解析】（1）∵直线y=–x–2交x轴于点A，交y轴于点C，
∴A（-4，0），C（0，-2）.
∵抛物线y=ax2+x+c经过点A，C，
∴，∴
∴抛物线的解析式为y=x2+x–2．
（2）①∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，m2+m–2）.
当△PCM是直角三角形时，有以下两种情况：
（i）当∠CPM=90°时，PC∥x轴，x2+x–2=-2.
解得m1=0（舍去），m2=-2.
∵当m=-2时，m2+m–2=-2.
∴点P的坐标为（-2，-2）.
（ii）当∠PCM=90°时，过点P作PN⊥y轴于点N，
∴∠CNP=∠AOC=90°.
∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，
：∠NCP=∠OAC，∴△GNP∽△AOC，∴，
∵C（0，-2），N（0，m2+m–2），
∴CN=，PN=m.
即，解得a3=0（含去），m4=6.
∵当m=6时，m2+m–2=10，
∴点P的坐标为（6，10）.
综上所述，点P的坐标为（-2，-2）或（6，10）.
②当y=0时，x2+x–2=0，
解得x1=–4，x2=2，
∴点B的坐标为（2，0）．
∵点C的坐标为（0，–2），点B，B′关于点C对称，
∴点B′的坐标为（–2，–4）．
∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），
∴点M的坐标为（m，–m–2）．
利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y=–x+，
直线B′M的解析式为y=x–，
直线BB′的解析式为y=x–2．
分三种情况考虑，如图2所示：
当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y=–x–2；
当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y=x–2；
当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（m，–m–2）时，直线l的解析式为y=x–m–2．
综上所述：直线l的解析式为y=–x–2，y=x–2或y=x–m–2．
【考点】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质．
1．（2020年山东省潍坊市青州市九年级中考数学一模试题）如图，已知一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象有2个公共点，则b的取值范围是
A．b＞2 B．﹣2＜b＜2 C．b＞2或b＜﹣2 D．b＜﹣2
2．（河南省驻马店市上蔡县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，在中，，，点从点沿边，匀速运动到点，过点作交于点，线段，，，则能够反映与之间函数关系的图象大致是
A． B．
C． D．
3．（2020年河南省南阳市镇平县九年级中考模拟数学试题）反比例函数y1=（x＞0）的图象与一次函数y2=﹣x+b的图象交于A，B两点，其中A（1，2）
（1）求这两个函数解析式；
（2）在y轴上求作一点P，使PA+PB的值最小，并直接写出此时点P的坐标．
4．（2020年内蒙古巴彦淖尔市磴口县诚仁中学九年级中考一模数学试题）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表：
销售单价x（元）
85
95
105
115
日销售量y（个）
175
125
75
m
日销售利润w（元）
875
1875
1875
875
（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；
（2）根据以上信息，填空：
该产品的成本单价是 元，当销售单价x= 元时，日销售利润w最大，最大值是 元；
（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
5．（2020年江苏省扬州教育学院附属中学九年级下学期一模数学试题）如图①，一次函数y=x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．
（1）求二次函数的关系式及点C的坐标；
（2）如图②，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PD∥x轴交AB于点D，PE∥y轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）如图③，若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB=∠ACB，求出所有满足条件的点M的坐标．
1.已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是
A．x＜2 B．x＞5 C．2＜x＜5 D．0＜x＜2或x＞5
2.如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB∥x轴，BC∥y轴交x轴于点C，连接AC，交反比例函数y＝（x＞0）图象于点D，若D为AC的中点，则k的值是
A．2 B．3
C．4 D．5
3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx−2的图象与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点.
（1）求A，B两点的坐标；
（2）设点P是一次函数y=kx−2图象上的一点,且满足APO的面积是ABO的面积的2倍，请直接写出点P的坐标．
4.如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在抛物线上，且，求点的坐标；
（3）如图2，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值，并求出面积的最大值.
1．【答案】C
【解析】与的图像有个交点，即有个解．
，
，
∴或．
2．【答案】D
【解析】∵△AOB是等腰直角三角形，AB=，
∴OB=4．
①当P点在OA上时，即0≤x≤2时，
PC=OC=x，S△POC=y=PC•OC=x2，
是开口向上的抛物线，当x=2时，y=2；
OC=x，则BC=4-x，PC=BC=4-x，
S△POC=y=PC•OC=x（4-x）=-x2+2x，
是开口向下的抛物线，当x=4时，y=0．
综上所述，D答案符合运动过程中y与x的函数关系式．
故选：D．
3．【解析】（1）将点A（1，2）代入y1=，得：k=2，
则y1=；
将点A（1，2）代入y2=﹣x+b，得：﹣1+b=2，
解得：b=3，
则y2=﹣x+3；
（2）作点A关于y轴的对称点A′（﹣1，2），连接A′B，交y轴于点P，即为所求，
如图所示：
由得：或，
∴B（2，1），
设A′B所在直线解析式为y=mx+n，
根据题意，得：，
解得：，
则A′B所在直线解析式为y=3x﹣5，
当x=0时，y=，
所以点P（0，）．
4．【解析】（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
，得，
即y关于x的函数解析式是y=-5x+600，
当x=115时，y=-5×115+600=25，
即m的值是25；
（2）设成本为a元/个，
当x=85时，875=175×（85-a），得a=80，
w=（-5x+600）（x-80）=-5x2+1000x-48000=-5（x-100）2+2000，
∴当x=100时，w取得最大值，此时w=2000，
（3）设科技创新后成本为b元，
当x=90时，
（-5×90+600）（90-b）≥3750，
解得，b≤65，
答：该产品的成本单价应不超过65元．
5．【解析】（1）令y＝＝0，得：x＝4，∴A（4，0）．
令x＝0，得：y＝－2，∴B（0，－2）．
∵二次函数y＝的图像经过A、B两点，
∴，解得：，
∴二次函数的关系式为y＝．
令y＝＝0，解得：x＝1或x＝4，∴C（1，0）．
（2）∵PD∥x轴，PE∥y轴，
∴∠PDE＝∠OAB，∠PED＝∠OBA，
∴△PDE∽△OAB．∴＝＝＝2，
∴PD＝2PE．设P（m，），
则E（m，）．
∴PD＋PE＝3PE＝3×[()－()]＝＝．
∵0＜m＜4，∴当m＝2时，PD＋PE有最大值6．
（3）①当点M在在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，如图1．
∵△ABC的外接圆O1的圆心在对称轴上，设圆心O1的坐标为（，－t）．
∴＝，解得：t＝2，
∴圆心O1的坐标为（，－2），∴半径为．
设M（，y）．∵MO1=，∴，
解得：y=，∴点M的坐标为（）．
②当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2．
∵AO1＝O1B＝，∴∠O1AB＝∠O1BA．∵O1B∥x轴，∴∠O1BA＝∠OAB，
∴∠O1AB＝∠OAB，O2在x轴上，∴点O2的坐标为 （，0），∴O2D＝1，
∴DM＝＝，∴点M的坐标为（，）．
综上所述：点M的坐标为（，）或（，）．
1.【答案】D
【解析】根据题意得：当时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞5．故选D．
2.【答案】B
【解析】设A（a，b），
∵A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴b＝，
∵AB∥x轴，且点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，∴B（ak，）．
∵BC∥y轴，∴C（ak，0），
又∵D为AC的中点，∴D（，），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点D，∴•＝1，解得k＝3，
故选B．
3.【解析】（1）∵点M（−，n）在反比例函数y=−（x<0）的图象上，
∴n=1，∴M（−，1）．∵一次函数y=kx−2的图象经过点M（−，1），
∴1=−k−2．∴k=−2，∴一次函数的解析式为y=−2x−2，∴A（−1，0），B（0，−2）．
（2）=OA×OB=1，设点P的坐标为（a，−2a−2），由题意得，×1×|−2a−2|=2，
解得：a1=1，a2=−3，故P1（−3，4），P2（1，−4）．
4.【解析】（1）把，代入，得，
解得.
故该抛物线的解析式为：.
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为，则易得.
∵，
∴.
整理，得或，
解得或.
则符合条件的点的坐标为：或或.
（3）设直线的解析式为，将，代入，得，解得.
即直线的解析式为.
设点坐标为，则点坐标为，
，
∴当时，有最大值.
此时，，
∴面积的最大值为.
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