2024江苏省苏锡常镇四市高三下学期3月教学情况调研（一）（一模）数学含解析

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|x2＋3x＋2＞0}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则
A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．A⊆B D．B⊆A
2．设(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋a2＋…＋a5＝
A．－2 B．－1 C．242 D．243
3．已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝1，|c|＝eq \r(,3)，则a与b的夹角为
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2,3)π D．eq \f(3,4)π
4．青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现．某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高(单位：cm)近似服从正态分布N(172，σ2)，且身高在168cm到176cm之间的人数占样本量的75%，则样本中身高不低于176cm的约有
A．150人 B．300人 C．600人 D．900人
5．函数f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,3))在区间(0，2π)内的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
6．在平面直角坐标系xOy中，已知A为双曲线C：eq \f(x\s(2),a\s(2))－\f(y\s(2),b\s(2))＝1(a＞0，b＞0)的右顶点，以OA为直径的圆与C的一条渐近线交于另一点M，若|AM|＝eq \f(1,2)b，则C的离心率为
A．eq \r(,2) B．2 C．2eq \r(,2) D．4
7．莱莫恩(Lemine)定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemine线．在平而直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为(0，1)，(2，0)，(0，－4)，则该三角形的Lemine线的方程为
A．2x－3y－2＝0 B．2x＋3y－8＝0
C．3x＋2y－22＝0 D．2x－3y－32＝0
8．已知正项数列{an}满足eq \f(1,a\s\d(1)a\s\d(2))＋eq \f(1,a\s\d(2)a\s\d(3))＋…＋eq \f(1,a\s\d(n)a\s\d(n＋1))＝eq \f(n,2n＋1)(n∈N*)，若a5－2a6＝7，则a1＝
A．eq \f(1,3) B．1 C．eq \f(3,2) D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数z1，z2，z3，下列说法正确的有
A．若z1eq \\ac(\S\UP7(―),z1)＝z2eq \\ac(\S\UP7(―),z2)，则|z1|＝|z2| B．若z12＋z22＝0，则z1＝z2＝0
C．若z1z2＝z1z3，则z1＝0或z2＝z3 D．若|z1－z2|＝|z1＋z2|，则z1z2＝0
10．已知函数f(x)＝eq \f(sinx,2－cs2x)，则
A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于点(π，0)对称
C．不等式f(x)＞x无解 D．f(x)的最大值为eq \f(\r(,2),4)
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点F满足eq \\ac(\S\UP7(→),A\s\d(1)F)＝λeq \\ac(\S\UP7(→),A\s\d(1)B\s\d(1))(0≤λ≤1)，则
(第11题图)
A．当λ＝0时，AC1⊥平面BDF
B．任意λ∈[0，1]，三棱锥F－BDE的体积是定值
C．存在λ∈[0，1]，使得AC与平面BDF所成的角为eq \f(π,3)
D．当λ＝eq \f(2,3)时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为eq \f(56,19)π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知变量x，y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为ŷ＝0.8x＋，据此模型预测当x＝10时ŷ的值为 ▲ ．
13．已知a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，4lgab＋lgba＝4，则eq \f(2,b)＋lneq \f(a,b)的最小值为 ▲ ．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与C交于A，B两点．记线段AB的中点为M，若线段MP的中点在C上，则k的值为 ▲ ；|AF||BF|的值为 ▲ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csB＋1＝eq \f(c,a)．
(1)证明：B＝2A；
(2)若sinA＝eq \f(\r(,2),4)，b＝eq \r(,14)，求△ABC的周长．
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16．(15分)
如图，在四棱锥E－ABCD中，EC⊥平面ABCD，DC⊥BC，AB∥DC，DC＝2AB＝2，CB＝CE，点F在棱BE上，且BF＝eq \f(1,2)FE．
(1)证明：DE∥平面AFC；
(2)当二面角F－AC－D为135°时，求CE．
(第16题图)
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17．(15分)
我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为eq \f(4,5)，每次投弹是否击中目标相互独立．无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为eq \f(1,2)，击中目标两次起火点被扑灭的概率为eq \f(2,3)，击中目标三次起火点必定被扑灭．
(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．
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18．(17分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0，－eq \f(5,3))，过椭圆C：eq \f(x\s(2),a\s(2))＋y2＝1(a＞1)的上项点A作两条动直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x＋1(0＜k1＜k2)分别与C交于另外两点M，N．当k1＝eq \f(\r(,2),2)时，|AM|＝|PM|．
(1)求a的值；
(2)若k1k2＝1，eq \f(|MN|,|NP|)＝eq \f(9,8)，求k1和k2的值．
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19．(17分)
已知函数f(x)＝eq \f(4e\s(x－2),x)－2x(x＞0)，函数g(x)＝－x2＋3ax－a2－3a(a∈R)．
(1)若过点O(0，0)的直线l与曲线y＝f(x)相切于点P，与曲线y＝g(x)相切于点Q．
①求a的值；
②当P，Q两点不重合时，求线段PQ的长；
(2)若x0＞1，使得不等式f(x0)≤g(x0)成立，求a的最小值．
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x
5
6
7
8
9
ŷ
3.5
4
5
6
6.5