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    2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)数学I一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)1.已知i为虚数单位,复数,则= .2.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一个元素,则实数a的值为 .3.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是 .4.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为,则a= .5.甲乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是 .6.右图是一个算法的流程图,则输出的x的值为 . 7.“直线l1:与直线l2:平行”是“a=2”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”).8.已知等差数列的前n项和为,,,则= .9.已知点M是曲线y=2lnx+x2﹣3x上一动点,当曲线在M处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为 .10.已知,(,),则= .11.如图在矩形ABCD中,E为边AD的中点,AB=1,BC=2.分别以A,D为圆心,1为半经作圆弧EB,EC,将两圆弧EB,EC及边BC所围成的平面图形(阴影部分)绕直线AD旋转一周,所形成的几何体的体积为 .12.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值为,则实数的值是 .13.若函数(a>0且a≠1)在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),则a的取值范围是 .14.如图,在△ABC中,AB=4,D是AB的中点,E在边AC上,AE=2EC,CD与BE交于点O,若OB=OC,则△ABC面积的最大值为 .二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且满足.(1)求A;(2)已知a=,B=,求△ABC的面积.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.(1)证明:AP∥平面EBD ;(2)证明:BE⊥PC.17.(本小题满分14分)某地为改善旅游环境进行景点改造.如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M ),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1 (百米),且F恰在B的正对岸(即BF⊥l3).(1)在图②中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程;(2)游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(∠EPF)最大?请在(1)的坐标系中,写出观测点P的坐标.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为.且经过点(1,),A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点(其中D在x轴上方).(1)求椭圆C的标准方程;(2)若△AEF与△BDF的面积之比为1:7,求直线l的方程.19.(本小题满分16分)已知函数(mR)的导函数为.(1)若函数存在极值,求m的取值范围;(2)设函数(其中e为自然对数的底数),对任意mR,若关于x的不等式在(0,)上恒成立,求正整数k的取值集合.20.(本小题满分16分)已知数列,,数列满足,n.(1)若,,求数列的前2n项和;(2)若数列为等差数列,且对任意n,恒成立.①当数列为等差数列时,求证:数列,的公差相等;②数列能否为等比数列?若能,请写出所有满足条件的数列;若不能,请说明理由.第II卷(附加题,共40分)21.【选做题】本题包括A,B,C三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.A.选修4—2:矩阵与变换已知矩阵,且二阶矩阵M满足AMB,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量。B.选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,曲线l的参数方程为,以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为4sin。(1)求曲线C的普通方程;(2)求曲线l和曲线C的公共点的极坐标。C.选修4—5:不等式选讲已知正数x,y,z满足xyzt(t为常数),且的最小值为,求实数t的值。【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)某商店举行促销反馈活动,顾客购物每满200元,有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次,满400元可以抽奖两次,依次类推)。抽奖的规则如下:在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同的小球,顾客每次从口袋中摸出一个小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球编号一次比一次大(如1,2,5),则获得一等奖,奖金40元;若摸得的小球编号一次比一次小(如5,3,1),则获得二等奖,奖金20元;其余情况获得三等奖,奖金10元.(1)某人抽奖一次,求其获奖金额X的概率分布和数学期望;(2)赵四购物恰好满600元,假设他不放弃每次抽奖机会,求他获得的奖金恰好为60元的概率.23.(本小题满分10分)已知抛物线C:x24py(p为大于2的质数)的焦点为F,过点F且斜率为k(k0)的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.(1)求点G的轨迹方程;(2)当点G的横坐标为整数时,S是否为整数?若是,请求出所有满足条件的S的值;若不是,请说明理由.2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)数学I一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)1.已知i为虚数单位,复数,则= .答案:考点:复数解析:.2.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一个元素,则实数a的值为 .答案:2考点:集合交集运算解析:由题意知a﹣1=1,得a=2.3.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是 .答案:0.08考点:方差解析:首先求得,.4.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为,则a= .答案:3考点:双曲线的渐近线解析:由题意知:,∴a=3.5.甲乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是 .答案:考点:概率解析:乙不输包括乙获胜或和棋,故P=+=.6.右图是一个算法的流程图,则输出的x的值为 . 答案:6考点:算法与流程图解析:第一次:x=4,y=16, 第二次:x=5,y=32, 第三次:x=6,y=64,此时64>10×6+3,输出x,故输出x的值为6.7.“直线l1:与直线l2:平行”是“a=2”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”).答案:必要不充分考点:两直线平行,充要性解析:“直线l1:与直线l2:平行”等价于a=±2,故“直线l1:与直线l2:平行”是“a=2”的必要不充分条件.8.已知等差数列的前n项和为,,,则= .答案:考点:等差数列及其性质解析:.9.已知点M是曲线y=2lnx+x2﹣3x上一动点,当曲线在M处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为 .答案:考点:导数与切线,基本不等式解析:,=1时有最小值1,此时M(1,﹣2), 故切线方程为:,即.10.已知,(,),则= .答案:考点:两角和与差的三角函数,二倍角的三角函数,同角三角函数关系式解析:∵,∴, 则,.11.如图在矩形ABCD中,E为边AD的中点,AB=1,BC=2.分别以A,D为圆心,1为半经作圆弧EB,EC,将两圆弧EB,EC及边BC所围成的平面图形(阴影部分)绕直线AD旋转一周,所形成的几何体的体积为 . 答案:考点:圆柱与球的体积解析:.12.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值为,则实数的值是 .答案:3考点:平面向量数量积解析: ,解得=3.13.若函数(a>0且a≠1)在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),则a的取值范围是 .答案:(1,)考点:函数与导数综合解析:由题意知:与的图像在(1,)上恰有两个交点 考查临界情形:与切于, .14.如图,在△ABC中,AB=4,D是AB的中点,E在边AC上,AE=2EC,CD与BE交于点O,若OB=OC,则△ABC面积的最大值为 . 答案:考点:向量与解三角形、圆的综合解析:设 B,O,E共线,则,解得,从而O为CD中点,故, 在△BOD中,BD=2,,易知O的轨迹为阿圆,其半径, 故.二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且满足.(1)求A;(2)已知a=,B=,求△ABC的面积.解:(1)由正弦定理:,得: B为△ABC内角,故sinB>0,所以, 若,则,与矛盾,故, 因此,又A为△ABC内角,所以; (2)由正弦定理得:, 故.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.(1)证明:AP∥平面EBD ;(2)证明:BE⊥PC.证明:(1)连结AC交BD于点O,连结OE 因为四边形ABCD为平行四边形 ∴O为AC中点,又E为PC中点, 故AP∥OE,又AP平面EBD,OE平面EBD 所以AP∥平面EBD ; (2)∵△PCD为正三角形,E为PC中点 所以PC⊥DE 因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD, 又BD平面ABCD,BD⊥CD ∴BD⊥平面PCD 又PC平面PCD,故PC⊥BD 又BDDE=D,BD平面BDE,DE平面BDE 故PC⊥平面BDE 又BE平面BDE,所以BE⊥PC.17.(本小题满分14分)某地为改善旅游环境进行景点改造.如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M ),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1 (百米),且F恰在B的正对岸(即BF⊥l3).(1)在图②中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程;(2)游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(∠EPF)最大?请在(1)的坐标系中,写出观测点P的坐标.解:(1)以A为原点,l1为x轴,抛物线的对称轴为y轴建系 由题意知:B(1,0.5),设抛物线方程为 代入点B得:p=1,故方程为,x[0,1]; (2)设P(,),t[0,],作PQ⊥l3于Q,记∠EPQ=,∠FPQ= ,, 令,,则: 当且仅当即,即,即时取等 故P(,)时视角∠EPF最大, 答:P(,)时,视角∠EPF最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为.且经过点(1,),A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点(其中D在x轴上方).(1)求椭圆C的标准方程;(2)若△AEF与△BDF的面积之比为1:7,求直线l的方程.解:(1)设焦距为2c,由题意知:; (2)由(1)知:F(﹣1,0),设l:,D(,),E(,),<0< ①, , , 由①②得:,, 代入③得:,又,故, 因此,直线l的方程为.19.(本小题满分16分)已知函数(mR)的导函数为.(1)若函数存在极值,求m的取值范围;(2)设函数(其中e为自然对数的底数),对任意mR,若关于x的不等式在(0,)上恒成立,求正整数k的取值集合.解:(1)因为,所以, 所以, 则, 由题意可知,解得; (2)由(1)可知,, 所以 因为 整理得, 设,则,所以单调递增, 又因为,且+m﹣, 所以存在,使得, 设, 则, 设,则,, 所以单调递增,因为, 所以存在,使得,即, 且当时,,当时,, 所以在上单调递减,在上单调递增, 所以, 因为,所以, 又由题意可知,所以, 解得,所以正整数k的取值集合为{1,2}.20.(本小题满分16分)已知数列,,数列满足,n.(1)若,,求数列的前2n项和;(2)若数列为等差数列,且对任意n,恒成立.①当数列为等差数列时,求证:数列,的公差相等;②数列能否为等比数列?若能,请写出所有满足条件的数列;若不能,请说明理由.解:(1)因为,,所以,且, 由题意可知,数列是以1为首项,2为公差的等差数列, 数列是首项和公比均为4的等比数列, 所以; (2)①设数列的公差为,数列的公差为, 当n为奇数时,, 若,则当时,, 即,与题意不符,所以, 当n为偶数时,,, 若,则当时,,即,与题意不符,所以, 综上,,原命题得证; ②假设可以为等比数列,设公比为q, 因为,所以,所以,, 因为当时,, 所以当n为偶数,且时,, 即当n为偶数,且时,不成立,与题意矛盾, 所以数列不能为等比数列.第II卷(附加题,共40分)21.【选做题】本题包括A,B,C三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.A.选修4—2:矩阵与变换已知矩阵,且二阶矩阵M满足AMB,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量。解:设矩阵M=,则AM=,所以,解得,所以M=,则矩阵M的特征方程为,解得,即特征值为1,设特征值的特征向量为,则,即,解得x=0,所以属于特征值的的一个特征向量为.B.选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,曲线l的参数方程为,以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为4sin。(1)求曲线C的普通方程;(2)求曲线l和曲线C的公共点的极坐标. 解:(1)∵曲线C的极坐标方程为, ∴,则 即: (2), ∴, ∴ (舍)或, 公共点(,3),极坐标(2,).C.选修4—5:不等式选讲已知正数x,y,z满足xyzt(t为常数),且的最小值为,求实数t的值。解:因为 即,当且仅当,,时,上述等号成立, 所以,即,又x,y,z>0,∴xyzt=4.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)某商店举行促销反馈活动,顾客购物每满200元,有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次,满400元可以抽奖两次,依次类推)。抽奖的规则如下:在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同的小球,顾客每次从口袋中摸出一个小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球编号一次比一次大(如1,2,5),则获得一等奖,奖金40元;若摸得的小球编号一次比一次小(如5,3,1),则获得二等奖,奖金20元;其余情况获得三等奖,奖金10元.(1)某人抽奖一次,求其获奖金额X的概率分布和数学期望;(2)赵四购物恰好满600元,假设他不放弃每次抽奖机会,求他获得的奖金恰好为60元的概率.解:由题意知,随机变量X的可能取值为10,20,40且,,所以,即随机变量X的概率分布为所以随机变量X的数学期望;(2)由题意知,赵四有三次抽奖机会,设恰好获得60元为事件A, 因为60=20×3=40+10+10, 所以.23.(本小题满分10分)已知抛物线C:x24py(p为大于2的质数)的焦点为F,过点F且斜率为k(k0)的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.(1)求点G的轨迹方程;(2)当点G的横坐标为整数时,S是否为整数?若是,请求出所有满足条件的S的值;若不是,请说明理由.解:(1)设,则,抛物线C的方程可化为,则,所以曲线C在点A处的切线方程为, 在点B处的切线方程为, 因为两切线均过点G,所以,所以A,B两点均在直线上,所以直线AB的方程为,又因为直线AB过点F(0,p),所以,即G点轨迹方程为; (2)设点G(,),由(1)可知,直线AB的方程为,即, 将直线AB的方程与抛物线联立,,整理得, 所以,,解得, 因为直线AB的斜率,所以,且, 线段AB的中点为M,所以直线EM的方程为:, 所以E点坐标为(0,), 直线AB的方程整理得, 则G到AB的距离, 则E到AB的距离, 所以, 设,因为p是质数,且为整数,所以或, 当时,,是无理数,不符题意, 当时,, 因为当时,,即是无理数,所以不符题意, 当时,是无理数,不符题意, 综上,当G点横坐标为整数时,S不是整数. X102040P
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