2022江苏省苏锡常镇四市高三下学期4月教学情况调研（一）（一模）数学含答案

这是一份2022江苏省苏锡常镇四市高三下学期4月教学情况调研（一）（一模）数学含答案，共9页。

数 学
(满分：150分 考试时间：120分钟)
2022．4
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集U＝R，集合A＝{x||x－2|≤1}，B＝{x|2x－4≥0}，则A∩(∁UB)＝( )
A. (1，2) B. (1，2] C. [1，2) D. [1，2]
2. 在(x－ eq \f(1,x))4的二项展开式中，第二项的系数为( )
A. 4 B. －4 C. 6 D. －6
3. 已知i是虚数单位，设复数z满足iz＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)＋\f(i,2)))＋i，则z的共轮复数z＝( )
A. －1－i B. －1＋i C. 1－i D. 1＋i
4. 如果在一次实验中，测得(x，y)的五组数值如下表所示：
x,0,1,2,3,4y,10,15,20,30,35经计算知，y对x的线性回归方程是y＝6.5x＋a，预测当x＝6时，y＝( )
参考公式：在线性回归方程为样本平均值．
A. 47.5 B. 48 C. 49 D. 49.5
5. 若平面内三个单位向量a，b，c满足a＋2b＋3c＝0，则( )
A. a，b方向相同 B. a，c方向相同
C. b，c方向相同 D. a，b，c两两互不共线
6. 若双曲线C1：y2－3x2＝λ(λ≠0)的右焦点与抛物线C2：y2＝8x的焦点重合，则实数λ＝( )
A. ±3 B. － eq \r(3) C. 3 D. －3
7. 有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是( )
A. “恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件
B. “恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件
C. “至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率
D. “至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率
8. 若正四面体ABCD的棱长为a，O是棱AB的中点，以O为球心的球面与平面BCD的交线和CD相切，则球O的体积是( )
A. eq \f(1,6)πa3 B. eq \f(\r(2),6)πa3 C. eq \f(\r(3),6)πa3 D. eq \f(\r(2),3)πa3
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，则下列说法正确的是( )
A. S6＝2S4－S2 B. S6＝3(S4－S2)
C. S2n，S4n－S2n，S6n－S4n成等差数列 D. eq \f(S2,2)， eq \f(S4,4)， eq \f(S6,6)成等差数列
10. 某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼．学生的体能检测结果X服从正态分布N(75，81)，其中检测结果在60以上为体能达标，90以上为体能优秀，则下列说法正确的是( )
参考数据：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997 4.
A. 该校学生的体能检测结果的数学期望为75
B. 该校学生的体能检测结果的标准差为81
C. 该校学生的体能达标率超过0.98
D. 该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等
11. 下列函数中，最大值是1的函数有( )
A. y＝|sin x|＋|cs x| B. y＝sin2x－cs2x
C．y＝4sin2x cs2x D．y＝ eq \f(tan x tan 2x,tan 2x－tan x)
12. 已知函数f(x)＝a· eq \f(ex,x)－x＋ln x(a∈R)，若对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得f(t)A. －1 B. 0 C. eq \f(1,e) D. 1
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱和圆锥的表面积分别为S1，S2，则 eq \f(S1,S2)＝________．
14. 已知圆C：(x－2)2＋(y＋4)2＝2，点A是x轴上的一个动点，直线AP，AQ分别与圆C相切于P，Q两点，则圆心C到直线PQ的距离的取值范围是________．
15. 已知函数f(x)＝ eq \r(3)sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|< eq \f(π,2))在一个周期内的图象如图所示，其中点P，Q分别是图象的最高点和最低点，点M是图象与x轴的交点，且MP⊥MQ.若f( eq \f(1,2))＝ eq \f(\r(3),2)，则tan φ＝________．
16. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(|x|＋1)＝2f(|x|－1).若当x∈(0，1)时，f(x)＝1－|2x－1|，则f(x)在区间(－1，3)上的值域为________，g(x)＝f(x)－ eq \f(4,5)x在区间(－1，3)内的所有零点之和为________．(本小题第一空2分，第二空3分)
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
在① sin B＋sin C＝ eq \f(10\r(2),9)，② cs B＋cs C＝ eq \f(10,9)，③b＋c＝5这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，sin A＝ eq \f(2\r(2),3)，________，求△ABC的面积．
18.(本小题满分12分)
某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔．为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置“优”“良”“中”三个成绩等第；当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并参加下一个项目的选拔，否则该同学不通过此项目的选拔，且不能参加后续项目的选拔．通过了全部三个项目选拔的同学进入到数学建模社团．现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中获得“优”“良”“中”的概率分别为 eq \f(1,6)， eq \f(p,2)， eq \f(p,3)，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立．
(1) 求甲同学能进入到数学建模社团的概率；
(2) 设甲同学在本次数学建模社团选拔中恰好通过X个项目，求X的概率分布及数学期望．
19.(本小题满分12分)
已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an－ eq \f(1,n（n＋1）)，n∈N*.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 记数列{a eq \\al(2,n) }的前n项和为Sn，求证：Sn< eq \f(4n,2n＋1).
20.(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，AA1＝AB，点D，E分别为棱BC，B1C1上的点，且 eq \f(BD,BC)＝ eq \f(C1E,C1B1)＝t(0(1) 若t＝ eq \f(1,2)，求证：AD∥平面A1EB；
(2) 若二面角C1ADC的大小为 eq \f(π,3)，求实数t的值．
21. (本小题满分12分)
已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为 eq \f(\r(2),2)，且椭圆C的右焦点F到右准线的距离为 eq \r(3).点A是第一象限内的定点，点M，N是椭圆C上两个不同的动点(均异于点A)，且直线AM，AN的倾斜角互补．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若直线MN的斜率k＝1，求点A的坐标．
22. (本小题满分12分)
已知实数a>0，函数f(x)＝x ln a－a ln x＋(x－e)2，e是自然对数的底数．
(1) 当a＝e时，求函数f(x)的单调区间；
(2) 求证：f(x)存在极值点x0，并求x0的最小值．
2022届高三年级模拟试卷(苏锡常镇)
数学参考答案及评分标准
1. C 2. B 3. D 4. B 5. A 6. D 7. C 8. D 9. BCD 10. AD 11. BC 12. AB
13. 2 14. (0， eq \f(1,2)] 15. eq \r(3)－2 16. [－2，2] eq \f(5,2)
17. 解：若选①，sin B＋sin C＝ eq \f(10\r(2),9)＝ eq \f(5,3)sin A，由正弦定理 eq \f(sin A,a)＝ eq \f(sin B,b)＝ eq \f(sin C,c)，
可得b＋c＝ eq \f(5,3)a＝5.以下如③所示．
若选②，因为cs B＋cs C＝ eq \f(10,9)，由余弦定理得 eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＋ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(10,9)，
所以b(a2＋c2－b2)＋c(a2＋b2－c2)＝ eq \f(20,9)abc，
所以(b＋c)(a2－b2－c2＋2bc)＝ eq \f(20,9)abc，其中a2－b2－c2＝－2bc cs A，
所以(b＋c)(1－cs A)＝ eq \f(10,9)a.(4分)
若A为锐角，则cs A＝ eq \r(1－sin2A)＝ eq \r(1－\f(8,9))＝ eq \f(1,3)，则b＋c＝5.
由余弦定理得csA＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(（b＋c）2－a2,2bc)－1＝ eq \f(8,bc)－1，所以bc＝6，
又b＋c＝5，解得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.
所以△ABC的面积为 eq \f(1,2)bc sin A＝ eq \f(1,2)×6× eq \f(2\r(2),3)＝2 eq \r(2).(8分)
若A为钝角，则cs A＝－ eq \r(1－sin2A)＝－ eq \r(1－\f(8,9))＝－ eq \f(1,3)，则b＋c＝ eq \f(5,2)<3＝a，舍去．
综上可得，△ABC的面积为2 eq \r(2).(10分)
若选③，因为b＋c＝5，由余弦定理cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(（b＋c）2－a2,2bc)－1＝ eq \f(8,bc)－1.(3分)
若A为锐角，则cs A＝ eq \r(1－sin2A)＝ eq \r(1－\f(8,9))＝ eq \f(1,3)，则 eq \f(8,bc)－1＝ eq \f(1,3)，
所以bc＝6.又b＋c＝5，解得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.
所以△ABC的面积为 eq \f(1,2)bc sin A＝ eq \f(1,2)×6× eq \f(2\r(2),3)＝2 eq \r(2).(7分)
若A为钝角，则cs A＝－ eq \r(1－sin2A)＝－ eq \r(1－\f(8,9))＝－ eq \f(1,3)，则 eq \f(8,bc)－1＝－ eq \f(1,3)，所以bc＝12.
又b＋c＝5，无解，舍去．(9分)
综上可得，△ABC的面积为2 eq \r(2).(10分)
18．解：(1) 甲同学在每个项目中获得“优”“良”“中”互为互斥事件，则 eq \f(1,6)＋ eq \f(p,2)＋ eq \f(p,3)＝1，解得p＝1.
所以甲同学通过每个项目选拔的概率都为 eq \f(1,6)＋ eq \f(p,2)＝ eq \f(2,3).(2分)
设甲同学能进入到数学建模社团为事件A，
因为甲同学通过每个项目选拔的概率都为 eq \f(2,3)，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立，所以P(A)＝ eq \f(2,3)× eq \f(2,3)× eq \f(2,3)＝ eq \f(8,27).
答：甲同学能进入到数学建模社团的概率为 eq \f(8,27).(5分)
(2) X的可能取值为0，1，2，3，则(6分)
P(X＝0)＝ eq \f(1,3)；P(X＝1)＝ eq \f(2,3)× eq \f(1,3)＝ eq \f(2,9)；
P(X＝2)＝ eq \f(2,3)× eq \f(2,3)× eq \f(1,3)＝ eq \f(4,27)；P(X＝3)＝ eq \f(2,3)× eq \f(2,3)× eq \f(2,3)＝ eq \f(8,27).
所以X的概率分布为
X,0,1,2,3P, eq \f(1,3), eq \f(2,9), eq \f(4,27), eq \f(8,27)(10分)
所以X的数学期望E(X)＝0× eq \f(1,3)＋1× eq \f(2,9)＋2× eq \f(4,27)＋3× eq \f(8,27)＝ eq \f(38,27).(12分)
19. 解： (1) an＋1－an＝－ eq \f(1,n（n＋1）)＝ eq \f(1,n＋1)－ eq \f(1,n).(1分)
所以a2－a1＝ eq \f(1,2)－ eq \f(1,1)，a3－a2＝ eq \f(1,3)－ eq \f(1,2)，…，an－an－1＝ eq \f(1,n)－ eq \f(1,n－1)，其中n≥2，
相加得an－a1＝ eq \f(1,n)－ eq \f(1,1).因为a1＝1，所以an＝ eq \f(1,n)(n≥2).(4分)
当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以数列{an}的通项公式an＝ eq \f(1,n).(5分)
(2) 由(1)得a eq \\al(2,n) ＝ eq \f(1,n2).(6分)
令bn＝ eq \f(4n,2n＋1)，
当n＝1时，b1＝ eq \f(4,3)>a eq \\al(2,1) ＝S1，
当n≥2时，bn－bn－1＝ eq \f(4n,2n＋1)－ eq \f(4（n－1）,2（n－1）＋1)＝ eq \f(1,n2－\f(1,4))> eq \f(1,n2)＝a eq \\al(2,n) ，
所以a eq \\al(2,1) 所以Sn＝a eq \\al(2,1) ＋a eq \\al(2,2) ＋a eq \\al(2,3) ＋…＋a eq \\al(2,n) 所以Sn< eq \f(4n,2n＋1).(12分)
20. 解： (1) 当t＝ eq \f(1,2)时， eq \f(BD,BC)＝ eq \f(C1E,C1B1)＝t＝ eq \f(1,2)，即点D，E分别为BC，B1C1的中点．
在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1，AA1＝BB1，平面BB1C1C为平行四边形，连接DE，
则DE∥BB1，DE＝BB1，所以DE∥AA1，DE＝AA1，
所以四边形DEA1A是平行四边形，所以AD∥A1E.(3分)
因为AD平面A1EB，A1E平面A1EB，所以AD∥平面A1EB.(5分)
(2) (解法1)在平面ABC内，过点C作AD的垂线，垂足为H，连接C1H，则∠C1HC为二面角C1ADC的平面角，即∠C1HC＝ eq \f(π,3).
在直角三角形C1HC中，设C1C＝3，所以CH＝ eq \r(3).
在直角三角形CHA中，CH＝ eq \r(3)，AC＝3，
所以sin ∠CAH＝ eq \f(CH,AC)＝ eq \f(\r(3),3)< eq \f(\r(2),2).
又因为∠CAH为锐角，所以cs ∠CAH＝ eq \f(\r(6),3)，且0<∠CAH< eq \f(π,4)，
所以点H在线段AD的延长线上．(9分)
在△CDA中，sin ∠CDA＝sin ∠CDH＝sin ( eq \f(π,4)＋∠CAH)＝ eq \f(\r(6)＋2\r(3),6)，CD＝ eq \f(CA·sin ∠CAH,sin ∠CDA)＝6－3 eq \r(2)，
所以t＝ eq \f(BD,BC)＝ eq \f(3\r(2)－（6－3\r(2)）,3\r(2))＝2－ eq \r(2).(12分)
(解法2)AA1⊥平面ABC，又∠BAC＝90°，以{ eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))，AA1}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，不妨设AA1＝AB＝3，则点A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，3，0)，C1(0，3，3)，
从而AC1＝(0，3，3)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(－3，3，0)， eq \(BD,\s\up6(→))＝t eq \(BC,\s\up6(→))＝(－3t，3t，0)，所以 eq \(AD,\s\up6(→))＝(3－3t，3t，0).
设平面AC1D的法向量为n1＝(x，y，z)，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n1·AC1＝0，,n1·\(AD,\s\up6(→))＝0，))有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3y＋3z＝0，,3（1－t）x＋3ty＝0，))取n1＝(t，t－1，1－t)，又平面ADC的一个法向量为n2＝(0，0，1)，
因为二面角C1ADC的大小为 eq \f(π,3)，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝cs eq \f(π,3)＝ eq \f(1,2)，(9分)
即 eq \f(1－t,\r(3t2－4t＋2))＝ eq \f(1,2)，得t2－4t＋2＝0.
又因为021. 解： (1) 因为椭圆C的离心率为 eq \f(\r(2),2)，且其右焦点F到右准线的距离为 eq \r(3)，
所以 eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(2),2)，且 eq \f(a2,c)－c＝ eq \r(3)，解得a＝ eq \r(6)，c＝ eq \r(3).(2分)
所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为 eq \f(x2,6)＋ eq \f(y2,3)＝1.(4分)
(2) 设直线MN的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x0，y0)，
直线MN的方程与椭圆方程联立得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,6)＋\f(y2,3)＝1，,y＝x＋m，))
则3x2＋4mx＋2m2－6＝0，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(4,3)m，,x1x2＝\f(2m2－6,3)，,Δ＝16m2－12（2m2－6）>0，))
由 eq \f(y1－y0,x1－x0)＋ eq \f(y2－y0,x2－x0)＝0，得2x1x2＋(m－x0－y0)(x1＋x2)－2x0(m－y0)＝0.
所以2× eq \f(2m2－6,3)＋(m－x0－y0)(－ eq \f(4,3)m)－2x0(m－y0)＝0，
整理得 eq \f(2,3)(2y0－x0)m＋2x0y0－4＝0，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2y0－x0＝0，,2x0y0－4＝0.))(10分)
因为点A在第一象限，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝2，,y0＝1，))
所以点A的坐标为A(2，1).(12分)
22. 解： (1) 当a＝e时，f(x)＝x－eln x＋(x－e)2，
则f′(x)＝1－ eq \f(e,x)＋2(x－e)＝ eq \f(2x2＋（1－2e）x－e,x)＝ eq \f(（2x＋1）（x－e）,x)(x>0).
令f′(x)>0，得x>e；令f′(x)<0，得x所以函数g(x)的单调增区间为(e，＋∞)，单调减区间为(0，e).(3分)
(2) f′(x)＝ln a－ eq \f(a,x)＋2(x－e)＝ eq \f(2x2＋（ln a－2e）x－a,x)，
令t(x)＝2x2＋(ln a－2e)x－a＝0，因为Δ＝(ln a－2e)2＋8a>0，
所以方程2x2＋(ln a－2e)x－a＝0有两个不相等的实根x1，x2(x1因为x1x2＝－ eq \f(a,2)<0，所以x1<0x,(0，x0),x0,(x0，＋∞)
f′(x),－,0,＋
f(x),减,极小值,增所以f(x)存在极值点x0.(7分)
因为2x eq \\al(2,0) ＋(ln a－2e)x0－a＝0，所以2x eq \\al(2,0) －2ex0＝a－x0ln a.
记u(t)＝t－x0ln t，u′(t)＝1－ eq \f(x0,t)，
当0x0时，u′(t)>0，u(t)单调递增．
所以当t＝x0时，u(t)＝t－x0ln t的最小值为u(x0)＝x0－x0ln x0.
所以2x eq \\al(2,0) －2ex0＝a－x0ln a≥x0－x0ln x0，
即2x eq \\al(2,0) －(2e＋1)x0＋x0ln x0≥0.(10分)
因为x0>0，所以2x0＋ln x0－(2e＋1)≥0.
因为v(t)＝2t＋ln t－(2e＋1)在(0，＋∞)上单调递增，且v(x0)≥v(e)＝0，
所以x0≥e，则x0的最小值是e.(12分)