第2章 一元二次函数、方程和不等式 第3节 二次函数及其性质 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式:若顶点为(m,n),则f(x)=____________________. (3)零点式:若两个零点为x1,x2,则f(x)=____________________. 
a(x-m)2+n(a≠0)
a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
2.二次函数的图象与性质
微思考如何求解二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[m,n]上的最值?
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.函数f(x)=sin2x+4sin x-1的最小值为-5.(　　)2.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象不经过第一象限,则必有a<0.(　　)3.ax2+bx+c>0的充要条件是a>0且b2-4ac<0.(　　)4.若f(x)=a(x-m)2+n(a>0)且f(x1)>f(x2),则|x1-m|>|x2-m|.(　　)
题组二 回源教材5.(人教B版必修第一册3.1.2节练习B第5题)函数f(x)=2x2+6x,x∈[-5,3]的单调递增区间是__________,单调递减区间是__________. 
6.(人教B版必修第一册第140页复习题B组第4题)已知f(x)=x2+2(a-1)x+2在(-∞,4]上单调递减,则实数a的取值范围是__________. 
解析 依题意有-(a-1)≥4,解得a≤-3.
题组三 连线高考7.(2023·新高考Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是(　　)A.(-∞,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)
解析 (方法1　导数法)由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)·2x(x-a)ln 2,由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)ln 2≤0在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0在(0,1)内恒成立,即a≥(2x)max,所以a≥2.故选D.(方法2　复合函数法)因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数f(x)=2x(x-a)在(0,1)内单调递减,
考点一 二次函数的解析式
例1(1)(2024·山东潍坊模拟)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,1),且过点(2,2),则该二次函数的解析式为(　　)A.y=x2-1B.y=-(x-1)2+1C.y=(x-1)2+1D.y=(x+1)2+1
解析 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+1,将点(2,2)的坐标代入函数解析式得a+1=2,解得a=1,所以二次函数解析式为y=(x-1)2+1,故选C.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过三点A(-1,6),B(1,0),C(2,-9),则f(x)的解析式为____________________. 
f(x)=-2x2-3x+5
(3)(2024·河南郑州模拟)已知二次函数f(x)的两个零点分别是-2和1,且在区间[1,3]上的最小值为-20,则函数f(x)的解析式为____________________. 
f(x)=-2x2-2x+4
规律方法求二次函数解析式的方法求二次函数解析式,一般运用待定系数法,选择规律如下:
考点二 二次函数的图象
例2(多选题)(2024·河南南阳模拟)如图,函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,且图象的对称轴为直线x=1,点B的坐标为(-1,0),则(　　)A.f(1-x)=f(x)B.4a+2b+c>0
解析 由图象知对称轴为直线x=1,所以f(2-x)=f(x),故A选项错误;f(2)=f(0)>0,所以f(2)=4a+2b+c>0,故B选项正确;因为函数图象开口向下,在区间(-∞,1)内单调递增,在区间[1,+∞)内单调递减,且图象关于直线x=1对称,
不等式ax4+bx2>a(x2-2)2+b(x2-2),即ax4+bx2+c>a(x2-2)2+b(x2-2)+c,即f(x2)>f(x2-2),由于图象的对称轴为直线x=1,所以|x2-1|<|x2-2-1|,即|x2-1|<|x2-3|,因此(x2-1)2-(x2-3)2<0,所以2x2-4<0,
规律方法二次函数图象的应用技巧
[对点训练1](多选题)(2024·江苏扬州模拟)设abc<0,则函数y=ax2+bx+c的图象可能是(　　)
考点三 二次函数的性质及其应用(多考向探究预测)
考向1 二次函数的单调性例3(2024·湖北随州模拟)已知函数f(x)=(m+1)x2-mx-1(m∈R)在(0,+∞)内单调递增,则实数m的取值范围为__________.
解析 若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,在(0,+∞)内单调递增,符合题意;
综上所述,实数m的取值范围为[-1,0].
变式探究1在本例中,函数解析式不变,若函数在[1,2]上单调递减,则实数m的取值范围为__________. 
变式探究2在本例中,函数解析式不变,若函数在区间[-3,-2]上不单调,则实数m的取值范围为__________. 
规律方法二次函数单调性的求解策略(1)二次函数的单调性与对应图象的开口方向和对称轴的位置有关,应将二者结合起来分析对称轴与所给区间端点的大小关系,从而建立不等式求解;(2)若二次项系数含有参数,应注意讨论二次项系数为零时是否符合题意;(3)若二次函数在某一个区间上不单调,则说明图象的对称轴位于该区间之内,可由此建立不等关系求解.
考向2 二次函数的最值例4(2024·安徽安庆模拟)已知函数y=ax2-2ax+1+b(a>0).(1)若a=b=1,求y在区间[t,t+1]上的最大值;(2)若函数在区间[2,4]上的最大值为9,最小值为1,求实数a,b的值.
(2)因为函数的图象开口向上,且对称轴为x=1∉[2,4],所以函数在[2,4]上单调递增,所以当x=2时,y取得最小值b+1;当x=4时,y取得最大值16a-8a+1+b=8a+1+b.
规律方法二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型:①函数图象对称轴、区间都是固定的;②函数图象对称轴变动、区间固定;③函数图象对称轴固定、区间变动.(2)解决这类问题的思路:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
[对点训练2](2024·江西景德镇模拟)已知二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,且经过点(2,0)与(3,3).(1)求f(x)的解析式;(2)已知t>0,函数f(x)在区间[t,t+2]上的最小值为-1,求实数t的取值范围.
解 (1)∵二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,且经过点(2,0),∴其与x轴另一交点为(0,0).设f(x)=ax(x-2),将(3,3)代入,解得a=1,∴f(x)=x2-2x.(2)∵二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=1.若01,x∈[t,t+2],f(x)单调递增,则f(x)min=f(t)=t2-2t=-1,解得t=1,舍去.综上所述,t∈(0,1].
规律方法通过换元化为二次函数解决综合问题有些函数本身不是二次函数,但可通过换元转化为二次函数,就可以借助二次函数的性质解决相关问题,但一定要注意确定换元后新“元”的取值范围,在新“元”的取值范围下解决问题.
[对点训练3](2024·浙江余姚模拟)若α,β是方程lg2x-lg x-6=0的两个根,则lgαβ+lgβα的值为__________. 
解析 设lg x=t,因为α,β是lg2x-lg x-6=0的两个根,所以t1=lg α,t2=lg β是方程t2-t-6=0的两个根,所以lg α=-2,lg β=3,