初中数学沪教版 (五四制)八年级下册第二十二章 四边形第四节 平面向量及其加减运算22.7 平面向量当堂检测题

这是一份初中数学沪教版 (五四制)八年级下册第二十二章 四边形第四节 平面向量及其加减运算22.7 平面向量当堂检测题，共37页。试卷主要包含了有向线段，向量，向量的表示，相等的向量，相反的向量，平行向量等内容，欢迎下载使用。


模块一：平面向量的概念
知识精讲
1．有向线段
规定了方向的线段叫做有向线段．
2．向量
既有大小又有方向的量叫做向量．
向量的大小也叫做向量的长度．（或向量的模）
3．向量的表示
（1）向量可以用有向线段直观表示
①有向线段的长度表示向量的长度；
②有向线段的方向表示向量的方向．
（2）常见的表示方法
①向量，长度记为；
②向量、、，长度记为、、．
4．相等的向量
方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量．
5．相反的向量
方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量．
6．平行向量
方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．
例题解析
例1.判断下列语句是否正确：
（1）用有向线段表示向量时，起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量；
（2）表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线
段的终点有可能相同；
（3）向量与向量是同一个向量；
（4）相等向量一定是平行向量；
（5）互为相反的向量不一定是平行向量；
（6）平行向量一定是相等向量或互为相反的向量．
例2．（2020·上海杨浦区·八年级期末）如图，点、在线段上，，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．与是相等向量B．与是平行向量
C．与是相反向量D．与是相等向量
例3．（2019·全国九年级课时练习）给出下列3个命题，其中真命题的个数是（ ）．
①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等．
A．1个B．2个C．3个D．0个
例4．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知四边形是矩形，点是对角线与的交点.下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例5．（2020·上海徐汇区·）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列结论中正确的是（ ）．
A．与是相等向量；B．与是相等向量；
C．与是相反向量；D．与是平行向量．
例6．（2019·上海闵行区·）在矩形中，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
例7.下列说法中正确的是（ ）
A．相反向量是平行向量 B．平行向量是相等向量
C．平行向量的方向相同 D．平行向量的方向相反
例8.已知向量与向量是互为相反的向量，如果，那么 ．
例9.下列说法中错误的是（ ）
A．如果向量与向量平行，那么存在唯一的实数使得；
B．如果、为实数，那么；
C．如果、为实数，那么；
D．如果、为实数，那么．
例10.如果，那么下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．．
例11.下列说法中正确的是（ ）
① ，则 ； ②若，则；
③若 ，则； ④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
例12.四边形OACB是平行四边形，AB、OC是对角线．如果，，
那么= ，= ．
例13．（2019·全国九年级课时练习）如图，、、分别为等边三角形的边、、的中点，在以、、、、、为起点或终点的向量中，求出与平行的向量．
例14.在梯形中，，，，点在上，如果把图中
线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）．
（1）所有与相等的向量；
（2）所有与互为相反的向量；
（3）所有与平行的向量．
例15.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，交CD于点E，如果把图中的线段都表示有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，
找出所有与向量的平行向量；
若CD=2AB，指出所有与向量相等的向量；
联结AC、BE交于点O，在向量、、、中找出两对相反的向量．
例16.甲从点A出发向正东方向走了2千米，到达点B，然后向东北方向前进千米，达到点C，最后向正东方向前进5千米到达D停下，
画出向量、、； （2）求出向量、模的大小
模块二：向量的加法
知识精讲
1．向量的加法
求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．
2．零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作．规定的方向可以是任意的（或者说不确定）；．
因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：．
对于任意向量，都有，．
3．向量的加法满足交换律：．
4．向量的加法满足结合律：．
5．向量加法的三角形法则
求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量．
6．向量加法的多边形法则
几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量．
例题解析
例1.化简：
（1） ；
（2）_______________．
例2．（2021·上海专题练习）在平行四边形中，设，，点是对角线与的交点，那么向量可以表示为（ ）
A．；B．；C．；D．．
例3．（2017·上海八年级期末）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．下列结论不正确的是（ ）
A．∥B．
C．D．
例4．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）在□ABCD中，O是对角线的交点，那么____．
例5．（2019课时练习）平行四边形中，对角线、相交于点，设向量，，则向量______．
例6．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）已知向量 、

求作：．
例7.已知，，∠AOB=60°，则___________．
例8.下列等式中正确的个数是（）
①+=+；②（）=；③+（）=0；④+=．
A．1B．2C．3D．4
例9.如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，设、、、
，则下列结论不正确的是（）
A．B．
C．D．
例10.在四边形ABCD中，，则（）
A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形
C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形
例11.已知正方形ABCD的边长为1，，则为（）
A．0B．3C．D．2
例12．（2019·上海闵行区·）已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，．
（1）填空：________；________；________；（用，的式子表示）
（2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可）
例13.如图，已知向量，其中．
求作：（1）；（2）；
（3）；（4）．
模块三：向量的减法
知识精讲
1．向量的减法
已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法．
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：．
2．向量减法的三角形法则
在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减
向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．
3．向量加法的平行四边形法则
如果，是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公
共起点作两个向量与，相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起
点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是，的和向量，这个
法则叫做向量加法的平行四边形法则．
另外一个对角线向量，即是，的差向量，这个差向量与被减向量共终点．
例题解析
例1.化简：_______________．
例2.下列说法中正确的是（ ）
A． B．对任意两个向量，都是相反向量
C．在△ABC中， D．在四边形ABCD中，
例3.在平行四边形ABCD中，设，则下列中不正确的
（ ）
A． B． C． D．
例4．（2018·上海闵行区·八年级月考）下列各式中错误的是( )
A． B．
C． D．
例5．（2019·上海松江区·）已知向量，（如图），请用向量的加法的平行四边形法则作向量（不写作法，画出图形）
例6．（2019·上海八年级课时练习）一条渔船距对岸4km，以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
例7．（2018·上海宝山区·八年级期末）如图，在ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，AC平分∠DAB．
(1)求∠ACB的度数；
(2)如果AD＝1，请直接写出向量和向量的模．
例8.如图，在图中画出向量．
例9.如图，多边形是正六边形，设，．试用向量和表示向量，，．
例10.已知□OACB，设，试用向量，表示向量．
例11.如图，已知在梯形中，，点在边上，联结，．
（1）填空： ； ．
（2）求作：．
例12.如图所示，是四个全等且相邻的正方形，请用三角形法则说明：
=．
例13.已知中，，求证：四边形ABCD是矩形．
随堂检测
1.若非零向量是的相反向量，则下列说法不正确的是（ ）
A．与的模不一定相等 B．与平行
C．与一定不相等 D．也是的相反向量
2.两个非零向量，互为相反向量，则下列各式正确的个数是（ ）
①； ②； ③； ④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.下列等式中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.下列命题中，假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5.计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
6.已知：矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）利用图中的向量表示： ；
（2）利用图中的向量表示： ；
（3）如果则 ．
7.已知在梯形中，，是的中点，联结和．画出图形，并写出所有与平行的向量．
8.如图，已知中，设，，试用、表示下列向量：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）求作向量：；
（6）求作向量：．
9.已知，点是边的中点，请回答下列问题：
（1）在图中求作与的和向量： ；
（2）如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，所有与
互为相反向量的是 ；
（3） ．
10.已知，，，求作向量：．
第13讲 平面向量的加减法
本节课对向量的概念和性质进行讲解，以及如何利用三角形小法则和平行四边形法则计算向量的加减运算，是平面向量的基础．在学习本章节的过程中，没注意零向量的特殊性以及向量的方向
模块一：平面向量的概念
知识精讲
1．有向线段
规定了方向的线段叫做有向线段．
2．向量
既有大小又有方向的量叫做向量．
向量的大小也叫做向量的长度．（或向量的模）
3．向量的表示
（1）向量可以用有向线段直观表示
①有向线段的长度表示向量的长度；
②有向线段的方向表示向量的方向．
（2）常见的表示方法
①向量，长度记为；
②向量、、，长度记为、、．
4．相等的向量
方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量．
5．相反的向量
方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量．
6．平行向量
方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．
例题解析
例1.判断下列语句是否正确：
（1）用有向线段表示向量时，起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量；
（2）表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线
段的终点有可能相同；
（3）向量与向量是同一个向量；
（4）相等向量一定是平行向量；
（5）互为相反的向量不一定是平行向量；
（6）平行向量一定是相等向量或互为相反的向量．
【难度】★
【答案】（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）正确；（5）错误；（6）错误．
【解析】相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量．
相反的向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量．
平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．
【总结】考察向量的概念．注意向量的两要素：方向和长度．
例2．（2020·上海杨浦区·八年级期末）如图，点、在线段上，，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．与是相等向量B．与是平行向量
C．与是相反向量D．与是相等向量
【答案】B
【分析】由AC=BD，可得AD=BD，即可得与是平行向量，，继而证得结论．
【详解】A、∵AC=BD，
∴，该选项错误；
B、∵点C、D是线段AB上的两个点，
∴与是平行向量，该选项正确；
C、∵AC=BC，
∴AD≠BD，
∴与不是相反向量，该选项错误；
D、∵AC=BD，
∴AD=BC，
∴，该选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．
例3．（2019·全国九年级课时练习）给出下列3个命题，其中真命题的个数是（ ）．
①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等．
A．1个B．2个C．3个D．0个
【答案】D
【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可.
【详解】解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；
②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误；
③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误.
故选D.
【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.
例4．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知四边形是矩形，点是对角线与的交点.下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．
【详解】解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，
∴①向量与向量是相等的向量，正确．
②向量与向量是互为相反的向量，正确．
③向量与向量是相等的向量；错误．
④向量与向量是平行向量．正确．
故选：C．
【点睛】本题考查平面向量，矩形的性质等知识，长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，平行向量也叫共线向量，是方向相同或相反的非零向量．
例5．（2020·上海徐汇区·）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列结论中正确的是（ ）．
A．与是相等向量；B．与是相等向量；
C．与是相反向量；D．与是平行向量．
【答案】D
【分析】根据相等向量、相反向量、平行向量的定义解答即可．
【详解】解：A、AB=CD，但AB不平行于CD，≠，故本选项错误；
B、AD//BC，AB=CD，AC=BD，但AC不平行于BD，≠，故本选项错误；
C、AD//BC，与不一定是相反向量，故本选项错误；
D、AD//BC，与是平行向量，故本选项正确．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了平面向量的相关知识，掌握相等向量、相反向量、平行向量的定义是解答本题的关键．
例6．（2019·上海闵行区·）在矩形中，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可．
【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ．
A. ，故该选项错误；
B. ，但方向不同，故该选项错误；
C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以，故该选项正确；
D. ，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．
例7.下列说法中正确的是（ ）
A．相反向量是平行向量 B．平行向量是相等向量
C．平行向量的方向相同 D．平行向量的方向相反
【难度】★
【答案】A
【解析】平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．
【总结】考察向量的概念．注意向量的两要素：方向和长度．
例8.已知向量与向量是互为相反的向量，如果，那么 ．
【难度】★
【答案】-1
【解析】相反的向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量．
【总结】考察向量的概念．注意向量的两要素：方向和长度．
例9.下列说法中错误的是（ ）
A．如果向量与向量平行，那么存在唯一的实数使得；
B．如果、为实数，那么；
C．如果、为实数，那么；
D．如果、为实数，那么．
【难度】★
【答案】A
【解析】A答案错误，当时，此说法不成立．
【总结】考察向量的线性运算，注意零向量的特殊性．
例10.如果，那么下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．．
【难度】★★
【答案】B
【解析】如果，那么四边形ABDC是平行四边形，则，
所以．
【总结】考察向量的概念．注意向量的两要素：方向和长度．
例11.下列说法中正确的是（ ）
① ，则 ； ②若，则；
③若 ，则； ④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【难度】★★
【答案】B
【解析】①、③正确；②、④错误．
【总结】考察向量的概念．注意向量的两要素：方向和长度．
例12.四边形OACB是平行四边形，AB、OC是对角线．如果，，
那么= ，= ．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】，．
【总结】考察向量的加减运算．
例13．（2019·全国九年级课时练习）如图，、、分别为等边三角形的边、、的中点，在以、、、、、为起点或终点的向量中，求出与平行的向量．
【答案】与平行的向量有、、、、、．
【分析】根据中位线的性质和平行向量的定义即可写出与平行的向量.
【详解】解：∵、分别为等边三角形的边、的中点，
∴EF∥BC
∴与平行的向量有、、、、、．
【点睛】此题考查的是三角形的中位线的性质和平行向量，掌握三角形的中位线平行于第三边和平行向量的定义是解决此题的关键.
例14.在梯形中，，，，点在上，如果把图中
线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）．
（1）所有与相等的向量；
（2）所有与互为相反的向量；
（3）所有与平行的向量．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）、；（3），，，，，，．
【解析】相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量．
相反的向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量．
平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．
【总结】考察向量的概念．注意向量的两要素：方向和长度．
例15.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，交CD于点E，如果把图中的线段都表示有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，
找出所有与向量的平行向量；
若CD=2AB，指出所有与向量相等的向量；
联结AC、BE交于点O，在向量、、、中找出两对相反的向量．
【难度】★★
【答案】（1），，；（2），；
（3）与互为相反的向量；、互为相反的向量．
【解析】∵AB∥CD，
∴四边形ABCE是平行四边形，则
当CD=2AB，所以．
【总结】考察向量的相关概念．注意向量的两要素：方向和长度．
例16.甲从点A出发向正东方向走了2千米，到达点B，然后向东北方向前进千米，达到点C，最后向正东方向前进5千米到达D停下，
画出向量、、； （2）求出向量、模的大小
【难度】★★★
【答案】（1）如图；

（2），．
【解析】（2）由图可知：，
∵，，∴．
∵，∴．
∵，∴．
【总结】考察向量的画法和勾股定理的运用，注意对向量的模的理解．
模块二：向量的加法
知识精讲
1．向量的加法
求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．
2．零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作．规定的方向可以是任意的（或者说不确定）；．
因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：．
对于任意向量，都有，．
3．向量的加法满足交换律：．
4．向量的加法满足结合律：．
5．向量加法的三角形法则
求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量．
6．向量加法的多边形法则
几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量．
例题解析
例1.化简：
（1） ；
（2）_______________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（2）
【总结】考察向量的加法，注意向量加法运算规律．
例2．（2021·上海专题练习）在平行四边形中，设，，点是对角线与的交点，那么向量可以表示为（ ）
A．；B．；C．；D．．
【答案】A
【分析】利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可．
【详解】解：∵ABCD为平行四边形，
∴
∴
∴
故答案选:A
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
例3．（2017·上海八年级期末）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．下列结论不正确的是（ ）
A．∥B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据三角形法则，结合图形，即可判断出不正确的选项．
解：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，
∴∥，A选项正确；
﹣=，B选项错误；
=﹣，C选项正确；
++=，D选项正确；
故选B．
例4．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）在□ABCD中，O是对角线的交点，那么____．
【答案】
【分析】由向量的平行四边形法则及相等向量的概念可得答案．
【详解】解：因为：□ABCD，
所以，，
所以：．
故答案为：．
【点睛】本题考查向量的平行四边形法则，掌握向量的平行四边形法则是解题的关键．
例5．（2019课时练习）平行四边形中，对角线、相交于点，设向量，，则向量______．
【答案】
【分析】根据向量加法的平行四边形法则可得: ,然后根据平行四边形的性质可求出:.
【详解】解:∵平行四边形中, 向量，，
∴,
∴
故答案为: .
【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.
例6．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）已知向量 、

求作：．
【分析】在平面内任取一点，分别作出，，利用向量运算的平行四边形法则即可得到答案．
【详解】解：在平面内任取一点，作，作 ，则即为所求．如下图．

【点睛】已知基底求作向量，就是先取平面上任意一点，先分别作出与基底共线的向量，再利用向量加法的平行四边形法则作出和向量．
例7.已知，，∠AOB=60°，则___________．
【难度】★
【答案】8
【解析】由题意有：△OAB是等边三角形，所以．
【总结】考察向量的加法与几何图形的结合．
例8.下列等式中正确的个数是（）
①+=+；②（）=；③+（）=0；④+=．
A．1B．2C．3D．4
【难度】★★
【答案】C
【解析】①、②、④正确，③错误，正确应为．
【总结】考察向量的加法．注意零向量的特殊性．
例9.如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，设、、、
，则下列结论不正确的是（）
A．B．
C．D．
【难度】★★
【答案】A
【解析】A正确为．
【总结】考察向量的加法，注意零向量的特殊性．
例10.在四边形ABCD中，，则（）
A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形
C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形
【难度】★★
【答案】D
【解析】以AB、AC为邻边作平行四边形ABCD，则可得：．
【总结】考察向量加法的法则与几何图形间的关系．
例11.已知正方形ABCD的边长为1，，则为（）
A．0B．3C．D．2
【难度】★★
【答案】D
【解析】．
【总结】考察向量的加法与正方形性质的结合．
例12．（2019·上海闵行区·）已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，．
（1）填空：________；________；________；（用，的式子表示）
（2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可）
【答案】（1）；；（或）；（2）图见解析， ．
【分析】（1）利用即可求出,首先根据已知可知，然后利用即可求出，利用即可求出；
（2）首先根据已知可知，然后利用三角形法则即可求出．
【详解】（1）．
∵，，
∴，
∴．
；
（2）作图如下：
∵，为的中点，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查向量的运算，掌握向量的运算法则是解题的关键．
例13.如图，已知向量，其中．
求作：（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1） ，为所求；
，为所求；
，为所求；
，为所求．
【解析】向量加法首尾相连．
【总结】考察向量加法的画法A5
A6
An
．
模块三：向量的减法
知识精讲
1．向量的减法
已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法．
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：．
2．向量减法的三角形法则
在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减
向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．
3．向量加法的平行四边形法则
如果，是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公
共起点作两个向量与，相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起
点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是，的和向量，这个
法则叫做向量加法的平行四边形法则．
另外一个对角线向量，即是，的差向量，这个差向量与被减向量共终点．
例题解析
例1.化简：_______________．
【难度】★
【答案】．
【解析】．
【总结】考察向量的减法与加法法则的综合运用．
例2.下列说法中正确的是（ ）
A． B．对任意两个向量，都是相反向量
C．在△ABC中， D．在四边形ABCD中，
【难度】★
【答案】B
【解析】A正确应为，C正确应为；
D正确应为．
【总结】考察向量的加减法的综合运用．
例3.在平行四边形ABCD中，设，则下列中不正确的
（ ）
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】B
【解析】由向量的减法可知B是错误的，正确应为
【总结】考察向量的加减法的运用．
例4．（2018·上海闵行区·八年级月考）下列各式中错误的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的运算法则和运算律判断即可.
【详解】解：A. ，故本选项错误，B，C，D，均正确，
故选：A.
【点睛】本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.
例5．（2019·上海松江区·）已知向量，（如图），请用向量的加法的平行四边形法则作向量（不写作法，画出图形）
【分析】利用向量的加法的平行四边形法则即可解决问题．
【详解】如图:
即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握向量的加法的平行四边形法则，属于中考常考题型．
例6．（2019·上海八年级课时练习）一条渔船距对岸4km，以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
【答案】
【分析】由题意知，由勾股定理求出水流的距离，然后求解河水的流速.
【详解】解：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，
则由，就是渔船实际航行的速度，
航行的时间为
在中，，
【点睛】
本题主要考查了向量在物理中的应用，直角三角形以及勾股定理模型的应用，数形结合是解答本题的关键.
例7．（2018·上海宝山区·八年级期末）如图，在ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，AC平分∠DAB．
(1)求∠ACB的度数；
(2)如果AD＝1，请直接写出向量和向量的模．
【答案】(1)∠ACB＝90°；(2)模分别为1和2．
【分析】（1）证明四边形ABCD是等腰梯形即可解决问题；（2）求出线段CD、AB的长度即可；
【详解】(1)∵CD∥AB，AD＝BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAB＝30°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∴∠ACB＝90°．
(2)∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝∠CAD＝30°，
∴AD＝CD＝BC＝1，
在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，
∴AB＝2BC＝2，
∵，
∴向量和向量的模分别为1和2．
【点睛】本题考查平面向量、等腰梯形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
例8.如图，在图中画出向量．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由向量的减法可知答案．
【总结】考察向量的减法法则的运用．
例9.如图，多边形是正六边形，设，．试用向量和表示向量，，．
【难度】★★
【答案】；；．
【解析】；；．
【总结】考察向量的加减法法则的运用．
例10.已知□OACB，设，试用向量，表示向量．
【难度】★★
【答案】；．
【解析】；．
【总结】考察向量的加减法．
例11.如图，已知在梯形中，，点在边上，联结，．
（1）填空： ； ．
（2）求作：．
【难度】★★
【答案】（1）；；（2）即为所求．
【解析】（1）略；
（2）过点D作DF∥AB，交BC与点F，则即为的和向量．
【总结】考察向量的加减法的运用．
例12.如图所示，是四个全等且相邻的正方形，请用三角形法则说明：
=．
【难度】★★
【解析】．
【总结】考察向量的加减法在几何图形中的运用．
例13.已知中，，求证：四边形ABCD是矩形．
【难度】★★★
【解析】∵，，
∴， ∴四边形ABCD是矩形．
【总结】考察向量的加法在几何证明中的运用，注意对模的准确理解．
随堂检测
1.若非零向量是的相反向量，则下列说法不正确的是（ ）
A．与的模不一定相等 B．与平行
C．与一定不相等 D．也是的相反向量
【难度】★
【答案】A
【解析】A正确答案应为与的模一定相等．
【总结】考察相反向量的概念．
2.两个非零向量，互为相反向量，则下列各式正确的个数是（ ）
①； ②； ③； ④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【难度】★
【答案】C
【解析】①错误，②、③、④正确，故选C．
【总结】考察相反向量的概念及性质．
3.下列等式中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】D
【解析】D答案正确应为．
【总结】考察向量的加法法则，注意零向量的特殊性，向量的模是一个具体的数．
4.下列命题中，假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【难度】★
【答案】D
【解析】D答案错误，两向量方向不一定相同．
【总结】本题主要考查向量的相关概念，注意认真分析．
5.计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【总结】考察向量加减法的运算，注意相关法则的运用．
6.已知：矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）利用图中的向量表示： ；
（2）利用图中的向量表示： ；
（3）如果则 ．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）6.5．
【解析】由向量的加减法可得答案．
【总结】考察向量加减法的运算．
7.已知在梯形中，，是的中点，联结和．画出图形，并写出所有与平行的向量．
【难度】★★
【答案】图形如图所示，
与平行的向量有．
【解析】平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．
【总结】考察平行向量的概念．
8.如图，已知中，设，，试用、表示下列向量：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）求作向量：；
（6）求作向量：．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【解析】利用向量加法法则可得答案．
【总结】考察向量加法的运用．
9.已知，点是边的中点，请回答下列问题：
（1）在图中求作与的和向量： ；
（2）如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，所有与
互为相反向量的是 ；
（3） ．
【难度】★★
【答案】（1）如图所示，即为所求；（2）；（3）．
【解析】（3）．
【总结】考察向量加法法则的运用．
10.已知，，，求作向量：．
【难度】★★
【答案】 ，为所求向量．
【总结】考察利用向量加减法法则进行作图．