第4讲 实数复习（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

第4讲 实数复习

本章学习了实数的相关计算，包括开平方、立方、n次方根及分数指数幂，本节将知识点进行总结，帮助同学们更好的掌握实数章节．

一、选择题

1.在中，无理数的个数是（  ）

A．1个    B．2个    C．3个     D．4个

【难度】★

【答案】A

【解析】只有是开方开不尽的数，是无理数，故选A．

【总结】考查无理数的概念，只有无限不循环小数是无理数，开方开不尽的数是一部分．

2.下列说法中正确的是（  ）

A．有理数和数轴上的点一一对应   B．不带根号的数是有理数   

C．无理数就是开方开不尽的数    D．实数与数轴上的点一一对应

【难度】★

【答案】D

【解析】实数与数轴上的点一一对应，无理数是无限不循环小数，可知B、C错误．

【总结】考查实数和数轴的一一对应．

3.当正方体体积是原来的64倍时，它的棱长是原来的（  ）

A．16倍    B．8倍    C．4倍   D．2倍

【难度】★

   【答案】C

   【解析】根据体积计算公式，，可知棱长是原来的倍，故选C．

【总结】考查对正方体体积计算公式的理解应用．

4.下列说法正确的是（  ）

   A．   B．      C．  D．

【难度】★

【答案】C

【解析】，，A、B分数指数幂计算错误，，必须满足，

    D错误，，C正确．

【总结】考查分数指数幂的计算应用，注意中．

5.下列计算正确的是（   ）

    A．     B．           C．                   D． ww.zk5u.com

【难度】★

【答案】D

【解析】根据同底数幂的除法计算法则，可知B、C错误，D正确，注意计算过程中的符号，

    ，C错误．

【总结】考查同底数幂的除法计算，系数相除，指数相减．

6.a、b、c三个数在数轴上的点如图所示，|的值可能

    是（  ）

    A．2c     B．2a2c       C．0        D．2a2b

【难度】★★

【答案】A

【解析】根据数轴上点的位置，可知，且，则有，，，即得原式，故选A．

【总结】考查根据数轴上点的位置去绝对值化简计算．

7.有如下命题：①无理数就是开方开不尽的数；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③无理数包括正无理数，0，负无理数；④如果一个数的立方根是这个数的本身，那么

这个数是1或是0；其中错误的个数是（  ）

    A．1      B． 2     C． 3    D．4

【难度】★★

【答案】D

【解析】①开方开不尽的数是无理数，但无理数不都是开方开不尽的数，如，错误；②0的立

方根是0，非正非负，错误；③0是有理数，不是无理数，错误；④立方根是本身的数还有，

错误；故选D．

【总结】考查无理数和相关立方根知识的应用．

8.下列说法正确的有（    ）个．

（1）0没有方根；（2）负数没有方根；（3）任何一个实数都有奇次方根；

（4）1的任何次方根都等于1；（5）一个数的平方根总有两个；（6）是平方根．

A．1     B． 2     C． 3    D．0

【难度】★★

【答案】A

【解析】（1）0的任何次方根都是0，错误；（2）负数有奇次方根，错误；（4）1的偶次方根是，

1的奇次方根是1，错误；（5）0的平方根只有一个，负数没有平方根，错误；（6）只能说

是2的一个平方根，错误；故（3）正确，故选A．

【总结】考查实数的奇次方根与偶次方根相关的基本概念和知识内容．

9.在实数范围内，下列判断正确的是（    ）．

    A．若|x|=|y|，则x=y     B．若

    C．若    D．若，若x=y

【难度】★★

【答案】D

【解析】A、C错误相同，只能得到，B选项需说明同正才能成立，D正确．

【总结】考查与绝对值和次方根相关的基本知识．

10.如果a、b是任意两个不相等的无理数，那么（1）a+b也是无理数；（2）ab也是  

    无理数；（3）ab也是无理数；（4）也是无理数．以上四个判断不正确的是（ ）．

A．（1）（3）（4）     B．（1）（2）（4）

C．（1）（3）      D．（1）（2）（3）

【难度】★★

【答案】A

【解析】若a、b互为相反数，可知（1）、（3）、（4）都错误．

【总结】考查两个无理数的加、减、乘、除得到的可能性．

11.已知，那么下列不等式关系中正确的是（  ）

    A．   B．  C．   D．

【难度】★★

【答案】B

【解析】，，，由，可知，故选B．

【总结】考查同指数幂的大小比较，比较底数大小即可．

12.要使成立，则a的取值范围（  ）

    A．   B．   C．   D． a为任意实数

【难度】★★

【答案】C

【解析】式子成立，则必须有意义，，可知，得，故选C．

【总结】考查式子成立的条件是让式子中每一部分都有意义．

13.化简的结果为（  ）

    A．a3    B．3a   C．|a3|   D．0

【难度】★★

【答案】D

【解析】式子中每一部分都有意义，则有，得，

    式子计算结果即为0，故选D．

【总结】考查式子成立的条件是让式子中每一部分都有意义．

二、填空题

1.（1）的平方根是____________；（2）的立方根是_________；

    （3）=____________．

【难度】★

【答案】（1）；（2）2；（3）．

【解析】（1）的平方根是；（2），8的立方根是；（3）．

【总结】考查次方根相关的基本概念，注意看清题目要求．

2.（1）如果的平方根是，则a=____________；

   （2）=___________；的5次方根是_________ ．

【难度】★

【答案】（1）81；（2）3；（3）．

【解析】（1），得；（2）；（3）．

【总结】考查次方根的基本概念和相关基本计算．

3.（1）将写成方根的形式是______；  （2）计算：=_________．

【难度】★

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）；（2）．

【总结】考查分数指数幂和负指数幂的基本计算．

4.在数轴上与原点的距离是的点所表示的实数是_________．

【难度】★

【答案】．

【解析】数轴上的点与原点的距离，即为该数的绝对值，绝对值为的数是．

【总结】考查与实数相关的绝对值的应用．

5.（1）大于的整数是______________；

    （2）的整数部分是a，小数部分为b，则=_____________．

【难度】★★

【答案】（1）2；（2）．

【解析】（1）∵， ∴满足条件的整数只有2；

   （2）∵，， ∴．

【总结】考查对无理数取值范围的大致掌握和应用．

6．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）已知则______.

【答案】

【分析】先将所求式子根据完全平方公式进行变形，代入求值后，再求平方根即可．

【详解】∵，∴，∴．

故答案为．

【点睛】本题考查了分式的混合运算、平方根以及完全平方公式，能灵活运用公式进行变形是解答此题的关键．

7．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）若则的取值范围是_________.

【答案】3≤a≤4

【分析】根据二次根式的意义：a（a≥0），再由题中所给代数式的值可确定a的取值范围．

【详解】∵|a﹣3|+|a﹣4|．

又∵（a﹣3）+（4﹣a）=1，∴a﹣3≥0，4﹣a≥0，解得：3≤a≤4．故答案为3≤a≤4．

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据二次根式的结果为非负数的意义，得到相应的关系式求解．

8．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）设的小数部分为则______.

【答案】2

【分析】求出的范围，即可求出b的值，最后代入求出即可．

【详解】∵34，∴b3，∴b（b+6）=（3）×（3+6）

3）×（3）=11﹣9=2．故答案为：2．

【点睛】本题考查了估算无理数大小和二次根式的混合运算的应用，关键是求出b的值．

9．（2019·上海市中国中学七年级期中）大于7-的最小整数是________

【答案】6

【分析】先估算出介于哪两个整数之间，再确定7-的范围，从而可得解.

【详解】∵<<，∴1<<2，∴-2<-<-1，

∴5<7-<6，故大于7-的最小整数是6.

【点睛】此题主要考查了无理数的估算，解答本题的关键是仔细审题，把握7-的取值范围，再找出符合条件的整数．

10．（2019·上海普陀区·七年级期中）若无理数满足1，请写出两个符合条件的无理数__________.

【答案】，；

【解析】解：∵无理数m满足1＜m＜4，∴m=或m=等．故答案为：．

点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的计算能力，答案不唯一．

11．（2018·上海·八年级期中）_________.

【答案】

【解析】原式＝.故答案为：.

12.比较下列各数的大小：

   （1）；   （2）．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），由，可知；

（2），，，即．

【总结】考查两个无理数的大小的比较．

13.（1）当m______时，有意义；

  （2）如果一个数的平方根是a+3和2a-15，则这个数为___________．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）49．

【解析】（1）有意义，则有，得；

（2）一个数两平方根互为相反数，则，得，则该数为．

【总结】考查实数的平方根的相关性质．

14.（1）有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是a，则其中较大的自然

    数的正的平方根是___________；

   （2）已知：a是满足的自然数，则a=___________．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）0或1．

【解析】（1）较小数的平方根是a，则该数为，较大数为，正平方根为；

（2），得，a为自然数，则a为0或1．

【总结】考查数字的平方根的应用．

15.已知，则2xy=_________．

【难度】★★

【答案】12．

【解析】根据被开方数的非负性，可得，得，则．

【总结】考查被开方数非负性的应用．

16.已知：是M的立方根，是x的相反数，且M=3a-7，n≥2的正整  

    数，那么x的n次方根=_________________．

【难度】★★

【答案】．

【解析】是M的立方根，可知，是x的相反数，则有，  

    又M=3a-7，结合可解得，则有，x的n次方根即为．

【总结】考查与数字的次方根相关的知识的应用，注意要分类讨论．

17.（1）用科学计数法表示0.0059600（保留两个有效数字）__________；

   （2）精确到________位，有________个有效数字．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）万，4．

【解析】考查科学记数法相关的精确位数和有效数字的问题．

18.计算： =__________．

【难度】★★

【答案】．

【解析】．．

【总结】考查实数的相关运算．

19.用分数指数幂表示根式，结果为__________．

【难度】★★

【答案】．

【解析】．

【总结】考查分数指数幂与方根之间的互化及相关的计算应用．

20.请你思考下列计算过程，因为112=121，所以；因为，   

    由此猜测=_________．

【难度】★★★

【答案】11111111．

【解析】根据规律可知开方结果每个数位都是1，1的个数是最中间的数字，即为11111111．

【总结】考查归纳猜想的能力．

21.已知=__________．

【难度】★★★

【答案】3．

【解析】由，即，可解得，，由此可得

    ．

【总结】考查配方法知识的应用和根式的化简计算．

22.若=____________．

【难度】★★★

【答案】．

【解析】．

【总结】考查同底数幂的运算法则的逆运用．

23.若是一个负整数，则最小的整数n是________．

【难度】★★★

【答案】6．

【解析】，是负整数，则为平方数，n的最小整数值为6．

【总结】考查平方数的应用，把能开方出来的部分开方出来再计算．

三、解答题

1.计算：

（1）；      （2）．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）1．

【解析】（1）原式；    （2）原式．

【总结】考查实数的相关计算．

2.计算：

   （1）；    （2）；

   （3）；    （4）．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）1；（3）1；（4）60．

【解析】（1）原式；

（2）原式；

（3）原式；

（4）原式．

【总结】考查实数的相关计算．

3.计算：

（1）；        （2）．

【难度】★★

【答案】（1）225；（2）1．

【解析】（1）原式；

   （2）原式．

【总结】考查实数的相关计算．

4.计算：

   （1）；     （2）．

【难度】★★

【答案】（1）4；（2）1

【解析】（1）原式；

   （2）原式．

【总结】考查实数的相关计算，注意分数指数幂与根式之间的互化．

5.化简求值：

（1）已知；      

（2）已知x、y是有理数，且，求x、y的值 ．

【难度】★★

【答案】（1）；（2），．

【解析】（1）由，可知，，原式；

（2），整理即得，x、y为有理数，

该式成立，则必有，解得．

【总结】本题一方面考查绝对值的化简，另一方面考查无理数的相关运算．

6.简答：

（1）如果2x4与3x1是同一个数的两个不同的平方根，求出这个数；   

（2）如果2a+1与3a+4是同一个数的平方根，求出这个数．

【难度】★★

【答案】（1）4；（2）1或25．

【解析】（1）一个数字两个不同的平方根互为相反数，即得，解得：，

    该数即为；

   （2）2a+1和3a+4是同一个数的平方根，则有或，

    解得：或，由此该数即为或25．

【总结】考查平方根的关系，注意两题的差别，第（2）题注意分类讨论．

7.解方程：

（1）；   （2）．

【难度】★★

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1），得，则有，

    即或，分别解得，；

（2），得，则有，解得：．

【总结】本题主要考查实数运算在解方程中的应用．

8.一个正方形花坛边长为5米，扩建后的正方形花坛比原来的面积增加了5平方米，求花坛边长比原来的边长增加了多少米（已知，结果精确到0.01米）

【难度】★★

【答案】．

【解析】设增加边长为，依题意可得，即得，解得：，  

    即，即花坛边长比原来增加约．

【总结】考查根据题意列方程解应用题，注意对精确度的要求．

9.物体从高处坠落时，下降高度h（米）与时间t（秒）的关系是，求下降

100米与下降1000米所需要的时间．

【难度】★★

【答案】分别为和．

【解析】令，得，解得：；

     令，得，解得：．

【总结】本题主要考查实数运算在解方程中的应用．

10.数轴上有点A、B，它们所对应的数分别为1、，C也在此数轴上，C、B两点    

    关于A点对称．

（1） 求点C所对应的数；

（2） 若点D也在此数轴上，且，求点D所对应的数以及AD的长．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）点D对应，或点D对应，

【解析】（1）设点C对应的数是，、两点关于对称，则有，解得：，  

    即点C对应的数是；

（2）设点D对应的数是，，则有，即得或，分别解得或，

    当时，；

    当时，．

【总结】考查数轴上两点间的距离，用右边点对应的数减左边的点对应的数即可，未说明的情况下，注意要分类讨论．

11.已知，

   （1）求的值；   （2）求的值．

【难度】★★

【答案】（1）25；（2）．

【解析】由，，可得，，由此则有：

（1）；

（2）．

【总结】考查完全平方公式在实数运算中的综合应用．

12.已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是，c是的整数部分，

    求的平方根．

【难度】★★

【答案】0．

【解析】依题意可得，解得：；，可得；，

    则有，其平方根为0．

【总结】考查与数字的平方根相关的值的计算．

13．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）若求的立方根。

【答案】±1

【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出x的值，进而求出y的值，再根据立方根的定义即可求出结论．

【详解】由题意得： ，解得：x=－2，∴，∴y=±2．

①当x=－2，y=2时，=1，它的立方根为：1；

②当x=－2，y=－2时，=－1，它的立方根为：－1．

综上所述：的立方根为±1．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及立方根的定义．正确确定x的值是解题的关键．

14．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）

【答案】

【分析】根据幂的乘方及积的乘方化简分数指数，再根据有理数的加法运算计算，最后根据负指数和分数指数的意义化简即可．

【详解】原式= =

====．

【点睛】本题考查了分数指数幂的运算．熟练掌握分数指数幂的运算是解答本题的关键．

15．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）

【答案】

【分析】先把前三项化为分数指数幂，然后用同底数幂的运算法则计算前三项，最后一项交换位置后转化为乘法计算．

【详解】原式==

== =．

【点睛】本题考查了分数指数幂的运算以及二次根式的混合运算．把根式转化为分数指数幂是解答本题的关键．

16．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）

【答案】

【分析】根据平方差公式、完全平方公式以及分数指数的意义解答即可．

【详解】原式=

=

=

=

=．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及分数指数幂．灵活运用二次根式的混合运算法则是解题的关键．

17．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）

【答案】

【分析】根据幂的乘方法则、负整数指数幂的意义、立方根的意义化简，然后利用有理数的混合运算法则计算即可．

【详解】原式=

=

=

=．

【点睛】本题考查了实数的混合运算．掌握幂的乘方法则和负整数指数幂的意义是解答本题的关键．

18.（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）

【答案】

【分析】利用二次根式混合运算法则计算即可得出答案．

【详解】原式==．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题的关键．

19．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）

【答案】

【分析】根据算术平方根及m次方根的意义计算即可．

【详解】原式====．

【点睛】本题考查了算术平方根以及m次方根．解题的关键是求出的值．

20．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）如图,图中每一个小正方形的面积是1,请利用图中的格点,画出一个面积为5的正方形.

【分析】面积为5的正方形的边长为，画出正方形即可．

【详解】面积为5的正方形的边长为，画出图形如下：

．

【点睛】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，在格点三角形中利用勾股定理．

21.若的立方根．

【难度】★★★

【答案】．

【解析】式子每一部分都要有意义，则有，即可得：，，则，

    其立方根为．

【总结】考查式子平方根有意义的条件和相关计算．

22.计算：

（1）；   

（2）．

【难度】★★★

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）原式.

（2）原式

．

【总结】考查与幂的运算相关的综合计算，注意法则的准确运用．

23.化简求值：

  （1）；

  （2）已知：|a|=-a，化简：|1-a|+．

【难度】★★★

【答案】（1）；（2）3．

【解析】（1）原式

；

（2）由可得，则有，，原式．

【总结】考查分数指数幂的化简应用，（1）中用到立方和与立方差公式，教师可选择性的讲解．

24.已知：，求的值．

【难度】★★★

【答案】．

【解析】由，，可得，  

    ，则．

【总结】考查数学中整体思想的灵活应用．

25.若是一个正整数，求（1）最小的自然数a；（2）当取最大的三位数时，  

    a的值．

【难度】★★★

【答案】（1）2；（2）．

【解析】（1）是正整数，则为平方数，为自然数，则最小值为2；

（2）取最大三位数，即，则．

【总结】考查完全平方数的应用，把能开方出来的部分开方出来再计算．

26.化简：．

【难度】★★★

【答案】．

【解析】原式．

【总结】考查二重根式的化简，注意凑出完全平方．

27.已知，求的值．

【难度】★★★

【答案】．

【解析】，则有，，平方可得，

得，原式，由， 代入即得．

【总结】考查整体思想的应用，综合性较强．

28.已知按一定规律排列的一组数：1，

（1） 其中有多少个数小于0.5?

（2） 从这组数中选出若干个数，如果它们的和大于3，那么至少要选几个数?

【难度】★★★

【答案】（1）16；（2）5．

【解析】（1），分母变大，后面的数字逐渐变小，可知后面的数字都小于，

    共16个数；

（2）使所取的数尽可能大，，可知这四个数字之和小于3且接近3，再取一个合适的数即可，即最少要选5个数．

【总结】考查一串数字的大小变化规律的总结应用．

29.从地面上围建一个花坛，底部形状设计如图所示，它的外面由圆弧ABC与正方形

ADEC的三边组成，已知圆弧的半径r=OA=AD，∠AOC=60°，正方形ADEC的面积为30m2，   求花坛底部的周长（保留三个有效数字）．

【难度】★★★

【答案】．

【解析】正方形面积为30m2，可知其边长为，由r=OA=AD，

∠AOC=60°，可知为等边三角形，则有，

由此可得花坛底部周长即为，即地面周长约为．

【总结】考查实数运算在实际问题中的应用，注意对精确度的要求．