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沪教版 (五四制)八年级下册22.4 梯形课时作业
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这是一份沪教版 (五四制)八年级下册22.4 梯形课时作业，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2019·上海市娄山中学八年级月考）下列命题中正确的有( )
①有两个角相等的梯形是等腰梯形；
②有两条边相等的梯形是等腰梯形；
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；
④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分.
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2018·上海市清流中学八年级月考）下列条件中，能判断一个梯形是等腰梯形的是 （ ）
A．一组对角互补
B．一组对角相等
C．一组对角互余
D．一组邻角相等
3．（2018·上海市清流中学八年级月考）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是 （ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
4．（2019·上海八年级单元测试）课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需( )
A．302cmB．30cmC．60cmD．602cm
5．（2018·上海奉贤区·八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等 B．矩形的对角线平分对角
C．菱形的对角线互相平分 D．梯形的对角线互相垂直
6．（2017·上海八年级期末）已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（ ）
A．AC=BD=BCB．AB=AD=CDC．OB=OC，AB=CDD．OB=OC，OA=OD
7．（2019·上海八年级课时练习）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是
A．40°.B．45°.
C．50°.D．60°.
8．（2019·上海八年级课时练习）若一个等腰梯形的周长为30cm，腰长为6cm，则它的中位线长为（ ）
A．12cmB．6cmC．18cmD．9cm
9．（2019·上海八年级课时练习）等腰梯形的下底是上底的3倍，高与上底相等，这个梯形的腰与下底所夹角的度
数为( )．
A．30°B．45°C．60°D．135°
二、填空题
10．（2019·上海市娄山中学八年级月考）如果一个梯形的上底长为a，下底长为b（a11．（2020·上海徐汇区·八年级期末）梯形的中位线长8cm，高10cm，则该梯形的面积为______．
12．（2018·上海市清流中学八年级月考）梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=55°，∠C=78°，则∠D=______.
13．（2018·上海市清流中学八年级月考）若梯形的下底长为10cm，中位线长为8cm，则上底长为______cm.
14．（2018·上海闵行区·八年级月考）在ABC中, M , N分别是AB. AC的中点,且,则∠ANM=____________度
15．（2019·上海八年级课时练习）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD＝3，AB＝4，BC＝7，则∠B＝______
三、解答题
16．（2020·上海徐汇区·八年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．
（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；
（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．
17．（2018·上海市清流中学八年级月考）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD于点O，梯形的高为10cm，求梯形中位线的长.
能力提升
一、单选题
1．（2020·上海徐汇区·八年级期末）下列命题中：
①有两个内角相等的梯形是等腰梯形； ②顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形；
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形； ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
其中真命题有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2018·上海市清流中学八年级月考）以线段a＝16，b＝13，c＝10，d＝6为边作梯形，其中a、c作为梯形的两底，这样的梯形能作（ ）.
A．1个B．2个C．3个D．0个
3．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB，AC⊥BC，那么下列结论不正确的是（ ）
A．AC=2CDB．DB⊥ADC．∠ABC=60°D．∠DAC=∠CAB
二、填空题
4．（2020·上海松江区·八年级期末）如果一个梯形的上底长为，中位线长是，那么这个梯形下底长为__________．
5．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如果一个等腰梯形中位线的长是5cm，腰长是4cm，那么它的周长是_____cm．
6．（2019·上海普陀区·八年级期末）已知在等腰梯形中，，，对角线，垂足为，若，，梯形的高为______．
7．（2019·上海上外附中八年级期中）矩形中，，平分，于点，交于点，若，则__________．
三、解答题
8．（2021·上海市仙霞第二中学）如图，在中，，点是的中点，将沿翻折得到，联结．
（1）求证：；
（2）求的长．
9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知：在△ABC中，AB= AC， ∠BAC =30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：DE =DF．
10．（2020·上海杨浦区·八年级期末）如图，已知在中，，点是内任意一点，点分别是的中点，．求证：四边形是矩形．
11．（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，在梯形中，，，．是边的中点，联结、，且．设，．
（1）如果，求的长；
（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）联结．如果是以边为腰的等腰三角形，求的值．
第12讲 梯形及中位线（练习）
夯实基础
一、单选题
1．（2019·上海市娄山中学八年级月考）下列命题中正确的有( )
①有两个角相等的梯形是等腰梯形；
②有两条边相等的梯形是等腰梯形；
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；
④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】可以采用排除法对各个命题进行分析，从而确定最后答案．
【详解】根据等腰梯形的判定与性质可判断：
①错，应该是同一底边上两角相等的梯形是等腰梯形.
②错，两腰相等的梯形是等腰梯形.
③对，根据等腰梯形的性质.
④对，等腰梯形是轴对称图形.
所以正确的命题有两个.
故选B.
【点睛】本题考查等腰梯形的判定，解题的关键是掌握等腰梯形的判定条件.
2．（2018·上海市清流中学八年级月考）下列条件中，能判断一个梯形是等腰梯形的是 （ ）
A．一组对角互补
B．一组对角相等
C．一组对角互余
D．一组邻角相等
【答案】A
【分析】等腰梯形的判定:两条腰相等的梯形是等腰梯形;两条对角线相等的梯形是等腰梯形;同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.利用判定定理对选项一一判断，即可解答.
【详解】对于A选项，
∵ 梯形的上底与下底平行，
∴ 梯形上底与下底间的同旁内角互补 (两直线平行,同旁内角互补)，
∵ 梯形上底与下底间的同旁内角互补,梯形的一组对角互补，
∴ 梯形同一底上的两个内角相等，
∴ 这个梯形是等腰梯形 (同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形)，
对于B选项,
∵ 等腰梯形的对角是互补的，
∴ 由一组对角相等不能判断一个梯形是等腰梯形，
对于C选项,由“等腰梯形的对角互补”可判断C选项不能判断一个梯形是等腰梯形，
对于D选项,当相等的一组邻角不在同一底边上时,就不能判断一个梯形是等腰梯形,故D选项不能判断一个梯形是等腰梯形，
故选A.
【点睛】此题考查等腰梯形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
3．（2018·上海市清流中学八年级月考）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是 （ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
【答案】C
【分析】由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，得出EF，HG，FG，EH是中位线，再得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明．
【详解】如图所示，因为E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、BD，因为E、F分别是AB、BC的中点，
所以EF=AC，同理可得HG=AC，FG=BD，EH=BD，
又因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BD，因此有EF=FG=GH=HE，
所以连接等腰梯形各中点所得四边形为菱形.
故选C.
【点睛】此题考查三角形中位线的性质，解题关键在于画出图形.
4．（2019·上海八年级单元测试）课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需( )
A．302cmB．30cmC．60cmD．602cm
【答案】C
【分析】由对角线AC、BD互相垂直且相等，可得S梯形ABCD=S△ABD+S△BCD，即可解答．
【详解】解：如图，
∵AC=BD且AC⊥BD，
∴S梯形ABCD=S△ABD+S△BCD，
=12×BD×OA+12×BD×OC，
=12BD2，
又∵等腰梯形ABCD的面积为450cm2，
∴12BD2=450cm2，
解得，BD=30cm．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质，知道梯形ABCD的面积等于三角形ABD的面积加上三角形BCD的面积，并用几何符号表示出来，是解答本题的关键．
5．（2018·上海奉贤区·八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等 B．矩形的对角线平分对角
C．菱形的对角线互相平分 D．梯形的对角线互相垂直
【答案】C
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、梯形的性质判断即可.
【详解】解：A、“平行四边形的对角线相等”是假命题；
B、“矩形的对角线平分对角”是假命题；
C、“菱形的对角线互相平分”是真命题；
D、“梯形的对角线互相垂直”是假命题.
故选C.
【点睛】正确的命题是真命题，错误的命题是假命题.
6．（2017·上海八年级期末）已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（ ）
A．AC=BD=BCB．AB=AD=CDC．OB=OC，AB=CDD．OB=OC，OA=OD
【答案】D
【解析】根据等腰梯形的判定推出即可．
解：A、AC=BD=BC，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
B、AB=AD=CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
C、OB=OC，AB=CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
D、∵OB=OC，OA=OD，
∴∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠ODA，
在△AOB和△DOC中，
OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴∠ABO=∠DCO，AB=CD，
同理：∠OAB=∠ODC，
∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD=360°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是梯形，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
故选D
“点睛”本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的 的应用，解此题的关键是求出AD∥BC，题目的综合性较强，难度中等.
7．（2019·上海八年级课时练习）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是
A．40°.B．45°.
C．50°.D．60°.
【答案】C
【详解】分析：由已知AB∥DC，AD=DC=CB，∠ABD=25°，可得出∠CDB=∠DBC=25°，所以能得出∠ABC=50°，由AD=CB得等腰梯形，从而求出∠BAD的大小．
解答：解：∵AB∥DC，AD=DC=CB，∠ABD=25°，
∴∠CBD=∠CDB=∠ABD=25°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=50°，
又梯形ABCD中，AD=DC=CB，
∴为等腰梯形，
∴∠BAD=∠ABC=50°，
故选C．
8．（2019·上海八年级课时练习）若一个等腰梯形的周长为30cm，腰长为6cm，则它的中位线长为（ ）
A．12cmB．6cmC．18cmD．9cm
【答案】D
【解析】∵上底+下底+两腰=周长，∴（上底+下底）+2×6=30，∴上底+下底=18，
∴中位线=×18=9．故选D.
9．（2019·上海八年级课时练习）等腰梯形的下底是上底的3倍，高与上底相等，这个梯形的腰与下底所夹角的度
数为( )．
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】B
【解析】分别过A，B作高AE，BF∵CD=3AB∴DE=CF=AB
∵AE=AB∴DE=AE∴∠D=45°，故选B.
二、填空题
10．（2019·上海市娄山中学八年级月考）如果一个梯形的上底长为a，下底长为b（a【答案】a：b
【分析】根据三角形面积公式求解即可．
【详解】设梯形的高为
一部分的面积
另一部分的面积
∴它的一条对角线把它分成的两部分的面积比为a：b
故答案为：a：b．
【点睛】本题考查了梯形的面积问题，掌握三角形面积公式是解题的关键．
11．（2020·上海徐汇区·八年级期末）梯形的中位线长8cm，高10cm，则该梯形的面积为______．
【答案】80
【分析】根据梯形中位线定理求出梯形的上底+下底，根据梯形的面积公式计算，得到答案．
【详解】∵梯形的中位线长8，
∴梯形的上底+下底=16，
∴该梯形的面积=×16×10=80() ，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了梯形的中位线定理，掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键．
12．（2018·上海市清流中学八年级月考）梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=55°，∠C=78°，则∠D=______.
【答案】102°.
【分析】根据梯形的性质，同腰的两个角互补来求解．
【详解】由梯形的性质知，∠D=180°−∠C=180°−78°=102°.
故答案为：102°.
【点睛】此题考查梯形，解题关键在于掌握其性质.
13．（2018·上海市清流中学八年级月考）若梯形的下底长为10cm，中位线长为8cm，则上底长为______cm.
【答案】6.
【分析】由梯形的中位线长为8cm，下底长为10cm，根据梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半，即可求得答案．
【详解】∵梯形的中位线=（上底+下底）÷2，梯形中位线长为8cm，下底的长是10cm，
∴梯形的上底=2×8-10=6cm．
故答案为：6.
【点睛】此题考查梯形中位线定理，解题关键在于掌握相关性质定理.
14．（2018·上海闵行区·八年级月考）在ABC中, M , N分别是AB. AC的中点,且,则∠ANM=____________度
【答案】55
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C度数，根据MN是△ABC的中位线，可知∠ANM的度数等于∠C度数．
【详解】解：如图，在△ABC中，
∵∠A＋∠B＝125°，
∴∠C＝180°−（∠A＋∠B）＝180°−125°＝55°，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴MN∥BC，
∴∠ANM＝∠C＝55°．
故答案为：55．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及三角形内角和定理，中位线定理为证明两条直线平行提供了依据，进而为证明角的相等奠定了基础．
15．（2019·上海八年级课时练习）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD＝3，AB＝4，BC＝7，则∠B＝______
【答案】60°
【分析】在BC上截取AB的长度，设BE = AB，证明 四边形AECD为平行四边形，得到 AE=CD，进而△ABE是等边三角形，得解.
【详解】过点A作AE∥DC交BC于E．
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴EC=AD=3，DC=AE．
∴BE=BC-CE=7-3=4．
∴CD=AB=4．
∴AE=AB=BE=4．
∴△ABE是等边三角形．
∴∠B=60°．
故答案为：60°
【点睛】本题考查等腰梯形的性质，解题的关键是掌握等腰梯形的性质.
三、解答题
16．（2020·上海徐汇区·八年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．
（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；
（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．
【答案】（1）；（2）7
【分析】（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，根据平行四边形的性质得到CE=BD，CD=BE，求得AC=BD，推出△ACE是等腰直角三角形，得到AC=CE=6，求得CH=AE=3，根据梯形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，连接DM并延长交AB于G，利用三角形中位线定理求得BG=2MN=4，全等三角形的性质得到CD=AG=3，即可得到结论．
【详解】（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，过点C作CH⊥AB于H，
∵AB∥CD，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴CE=BD，CD=BE，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥CE，
∵AD=BC，AB∥CD，
∴AC=BD，
∴AC=CE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=CE=6，
∴AE=，
∴，
∴梯形ABCD的面积；
（2）如图2，连接DM并延长交AB于G，
∵M、N分别是AC、BD的中点，
∴MN是△DGB的中位线，
∴BG=2MN=4，
∵CD∥AB，
∴∠DCM=∠GAM，
∵M是对角线AC的中点，
∴AM=CM，
∵∠CMD=∠AMG，
∴△AMG≌△CMD（ASA），
∴CD=AG=3，
∴AB=AG+BG=3+4=7．
【点睛】本题考查了梯形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的应用，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．（2018·上海市清流中学八年级月考）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD于点O，梯形的高为10cm，求梯形中位线的长.
【答案】10cm.
【分析】首先根据ABCD是等腰梯形且AC⊥BD，得出△DBE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形三线合一的性质，得出BE=20，从而得出AD+BC=20，再根据梯形中位线的性质即可解答.
【详解】过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形，作DF⊥BE于点F，则DF=10.
∵四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE.
∵ABCD是等腰梯形，
∴BD=AC=DE.
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD，
∴△DBE是等腰直角三角形.
∵DF=10，
∴BE=20，
即AD+BC=20，
∴梯形的中位线为10cm.
【点睛】此题考查梯形的中位线，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
能力提升
一、单选题
1．（2020·上海徐汇区·八年级期末）下列命题中：
①有两个内角相等的梯形是等腰梯形； ②顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形；
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形； ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
其中真命题有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据等腰梯形的判定方法、菱形的判定、矩形的判定逐个判断即可．
【详解】同一底边上两底角相等的梯形是等腰梯形，则命题①是假命题
如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点
连接AC、BD
由中位线定理得：
，
四边形EFGH是平行四边形
又四边形ABCD是矩形
平行四边形EFGH是菱形，则命题②是真命题
由等腰梯形的判定定理可知，两条对角线相等的梯形是等腰梯形，则命题③是真命题
由矩形的判定可知，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，则命题④是真命题
综上，真命题的有②③④，共3个
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰梯形的判定方法、菱形的判定、矩形的判定，熟记各判定方法是解题关键．
2．（2018·上海市清流中学八年级月考）以线段a＝16，b＝13，c＝10，d＝6为边作梯形，其中a、c作为梯形的两底，这样的梯形能作（ ）.
A．1个B．2个C．3个D．0个
【答案】D
【分析】首先若BC=a=16，AD=c=10，AB=d=6，CD=b=13，过点D作DE∥AB，交BC于点E，易得四边形ABED是平行四边形，然后由三角形的三边关系，可判定这样的梯形不存在．
【详解】如图：若BC=a=16，AD=c=10，AB=d=6，CD=b=13，
过点D作DE∥AB，交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=10，DE=AB=6，
∴CE=BC-BE=16-10=6，
∵CE+DE=12∴不能组成三角形，
即以线段a=16，b=13，c=10，d=6为边不能作梯形．
故选D．
【点睛】此题考查梯形的性质，三角形三边关系，关键是利用三角形三边关系判定是否能构成三角形.
3．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB，AC⊥BC，那么下列结论不正确的是（ ）
A．AC=2CDB．DB⊥ADC．∠ABC=60°D．∠DAC=∠CAB
【答案】A
【解析】A、根据三角形的三边关系即可得出A不正确；B、通过等腰梯形的性质结合全等三角形的判定与性质即可得出∠ADB=90°，从而得出B正确；C、由梯形的性质得出AB∥CD，结合角的计算即可得出∠ABC=60°，即C正确；D、由平行线的性质结合等腰三角形的性质即可得出∠DAC=∠CAB，即D正确．综上即可得出结论．
解：A、∵AD=DC，
∴AC＜AD+DC=2CD，A不正确；
B、∵在梯形ABCD中，AD=CB，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA．
在△DAB和△CBA中，，
∴△DAB≌△CBA（SAS），
∴∠ADB=∠BCA．
∵AC⊥BC，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
∴DB⊥AD，B成立；
C、∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，∠ABC+∠DCB=180°，
∵DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°，C正确；
D、∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，D正确．
故选A．
“点睛”本题考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是逐项分析四个选项的正误．本题属于中档题，稍显繁琐，但好在该题为选择题，只需由三角形的三边关系得出A不正确即可．
二、填空题
4．（2020·上海松江区·八年级期末）如果一个梯形的上底长为，中位线长是，那么这个梯形下底长为__________．
【答案】8
【分析】根据梯形的中位线得出EF＝×（AD＋BC），代入求出即可．
【详解】如图：
∵EF是梯形ABCD（AD∥BC）的中位线，
∴EF＝×（AD＋BC），
∵EF＝5cm，AD＝2cm，
∴5cm＝×（2cm＋BC），
解得：BC＝8cm，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了梯形的中位线，能熟记梯形的中位线的性质的内容是解此题的关键．
5．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如果一个等腰梯形中位线的长是5cm，腰长是4cm，那么它的周长是_____cm．
【答案】18
【分析】根据梯形中位线定理求出梯形的上底+下底，根据梯形的周长公式计算，得到答案．
【详解】∵梯形中位线的长是5，
∴梯形的上底+下底=10，
∴等腰梯形的周长=10+4+4=18（cm），
故答案为：18．
【点睛】本题考查了梯形的中位线，掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键．
6．（2019·上海普陀区·八年级期末）已知在等腰梯形中，，，对角线，垂足为，若，，梯形的高为______．
【答案】
【分析】过作交的延长线于，构造．首先求出是等腰直角三角形，从而推出与的关系．
【详解】解：如图：过作交的延长线于，过作于．
，，
四边形是平行四边形，
，，
等腰梯形中，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
即梯形的高为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰梯形性质，作对角线的平行线将上下底和对角线移到同一个三角形中是解题的关键，也是梯形辅助线常见作法．
7．（2019·上海上外附中八年级期中）矩形中，，平分，于点，交于点，若，则__________．
【答案】
【分析】解法一：添加辅助线“过作，交于，于”，再根据已知条件等腰直角三角形的性质、三角形的中位线分别表示出、的长，进一步相减即可得解；
解法二：添加辅助线“过作交于”，利用等腰直角三角形的性质、直角梯形中位线的性质以及已知条件推出，进一步转化即可求解．
【详解】
解：解法一：过作，交于，于，则
∵矩形中平分，
∴、为等腰直角三角形
∴，
∵，
∴，
∴
∴为的中位线，为的中点；
∴．
∴．
解法二：如图，过作交于．
∵矩形中，半分，
∴、、为等腰直角三角形
∴
∴为梯形的中位线
∴
∴
∴，
∴．
故答案是：
【点睛】本题考查矩形的性质、梯形的相关性质、勾股定理以及中位线的性质，合理添加辅助线是解题的关键．
三、解答题
8．（2021·上海市仙霞第二中学）如图，在中，，点是的中点，将沿翻折得到，联结．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，再由折叠的性质得，，再由外角和定理得，则，即可证明结论；
（2）利用勾股定理求出BC的长，由（1）得，设，则，在和中，利用勾股定理列式求出x的值，再根据中位线定理得到即可．
【详解】
解：（1）∵，D是BC中点，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）∵，，，
∴，
由（1）知，
设，则，
∵折叠，
∴AD是BE的垂直平分线，
在和中，
，，
∴，即，解得，
∵D、F分别是BC和BE的中点，
∴．
【点睛】本题考查折叠的性质，中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．
9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知：在△ABC中，AB= AC， ∠BAC =30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：DE =DF．
【分析】利用等腰三角形三线合一的性质得知AD是△ABC的对称轴，利用三角形中位线定理推出F点是线段AC的中点，取AB的中点G，利用三角形中位线定理推出DF=DG，∠DGB =∠BAC =30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可证明结论．
【详解】∵AB= AC，D是BC的中点，∠BAC =30°，
∴AD是△ABC的对称轴，AD⊥BC，
∵DF∥AB，且D是BC的中点，
∴F点是线段AC的中点，
∴DF=AC，
取AB的中点G，连接DG，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG=AC= DF，∠DGB =∠BAC =30°，
∵DE⊥AB，
∴∠GED=90°，
在Rt△DEG中，∠DGE=30°，
∴DE=DG =DF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，作出辅助线证得DF=DG，∠DGB =∠BAC =30°是解题的关键．
10．（2020·上海杨浦区·八年级期末）如图，已知在中，，点是内任意一点，点分别是的中点，．求证：四边形是矩形．
【分析】易证是的中位线，是的中位线，推出，，，，则四边形是平行四边形，由，得，则，证，，推出，即可得出结论．
【详解】解：证明：点、、、分别是、、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定等知识；熟练掌握三角形中位线定理和矩形的判定是解题的关键．
11．（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，在梯形中，，，．是边的中点，联结、，且．设，．
（1）如果，求的长；
（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）联结．如果是以边为腰的等腰三角形，求的值．
【答案】（1）；（2），自变量的取值范围是，且；（3）
【分析】（1）首先过点D作DH⊥BC，垂足为点H，由AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，可求得DH的长，然后设CH=，则 CD=2，利用勾股定理即可求得答案；
（2）首先取CD的中点F，连接EF，由梯形的中位线，可表示出EF的长，易得四边形ABHD是平行四边形，然后由勾股定理可求得答案；
（3）分别从CD=BD或CD=BC去分析求解即可求得答案．
【详解】（1）过点作，垂足为点．
∵，，，
∴．
在中，
∵，
∴，
∴．
设，则，
利用勾股定理，得．
即得，
解得（负值舍去）．
∴；
（2）取CD的中点F，连接EF，
∵为边的中点，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴．
由，，得．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
即得，
在中，利用勾股定理，得．
即得．
解得．
∴所求函数解析式为．
自变量的取值范围是，且．
（3）当是以边为腰的等腰三角形时，有两种可能情况：
或．
①如果，
作于H，
∴，
即得，
∵，
∴．
解得，．
经检验：，，是方程的解，
但不合题意，舍去．
∴；
②如果，则．
即得（不合题意，舍去）．
综上，如果是以边为腰的等腰三角形，的值为．
【点睛】本题属于四边形的综合题．考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识．注意掌握辅助线的作法，掌握方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．
一、单选题
1．（2019·上海市娄山中学八年级月考）下列命题中正确的有( )
①有两个角相等的梯形是等腰梯形；
②有两条边相等的梯形是等腰梯形；
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；
④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分.
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2018·上海市清流中学八年级月考）下列条件中，能判断一个梯形是等腰梯形的是 （ ）
A．一组对角互补
B．一组对角相等
C．一组对角互余
D．一组邻角相等
3．（2018·上海市清流中学八年级月考）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是 （ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
4．（2019·上海八年级单元测试）课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需( )
A．302cmB．30cmC．60cmD．602cm
5．（2018·上海奉贤区·八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等 B．矩形的对角线平分对角
C．菱形的对角线互相平分 D．梯形的对角线互相垂直
6．（2017·上海八年级期末）已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（ ）
A．AC=BD=BCB．AB=AD=CDC．OB=OC，AB=CDD．OB=OC，OA=OD
7．（2019·上海八年级课时练习）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是
A．40°.B．45°.
C．50°.D．60°.
8．（2019·上海八年级课时练习）若一个等腰梯形的周长为30cm，腰长为6cm，则它的中位线长为（ ）
A．12cmB．6cmC．18cmD．9cm
9．（2019·上海八年级课时练习）等腰梯形的下底是上底的3倍，高与上底相等，这个梯形的腰与下底所夹角的度
数为( )．
A．30°B．45°C．60°D．135°
二、填空题
10．（2019·上海市娄山中学八年级月考）如果一个梯形的上底长为a，下底长为b（a
12．（2018·上海市清流中学八年级月考）梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=55°，∠C=78°，则∠D=______.
13．（2018·上海市清流中学八年级月考）若梯形的下底长为10cm，中位线长为8cm，则上底长为______cm.
14．（2018·上海闵行区·八年级月考）在ABC中, M , N分别是AB. AC的中点,且,则∠ANM=____________度
15．（2019·上海八年级课时练习）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD＝3，AB＝4，BC＝7，则∠B＝______
三、解答题
16．（2020·上海徐汇区·八年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．
（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；
（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．
17．（2018·上海市清流中学八年级月考）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD于点O，梯形的高为10cm，求梯形中位线的长.
能力提升
一、单选题
1．（2020·上海徐汇区·八年级期末）下列命题中：
①有两个内角相等的梯形是等腰梯形； ②顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形；
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形； ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
其中真命题有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2018·上海市清流中学八年级月考）以线段a＝16，b＝13，c＝10，d＝6为边作梯形，其中a、c作为梯形的两底，这样的梯形能作（ ）.
A．1个B．2个C．3个D．0个
3．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB，AC⊥BC，那么下列结论不正确的是（ ）
A．AC=2CDB．DB⊥ADC．∠ABC=60°D．∠DAC=∠CAB
二、填空题
4．（2020·上海松江区·八年级期末）如果一个梯形的上底长为，中位线长是，那么这个梯形下底长为__________．
5．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如果一个等腰梯形中位线的长是5cm，腰长是4cm，那么它的周长是_____cm．
6．（2019·上海普陀区·八年级期末）已知在等腰梯形中，，，对角线，垂足为，若，，梯形的高为______．
7．（2019·上海上外附中八年级期中）矩形中，，平分，于点，交于点，若，则__________．
三、解答题
8．（2021·上海市仙霞第二中学）如图，在中，，点是的中点，将沿翻折得到，联结．
（1）求证：；
（2）求的长．
9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知：在△ABC中，AB= AC， ∠BAC =30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：DE =DF．
10．（2020·上海杨浦区·八年级期末）如图，已知在中，，点是内任意一点，点分别是的中点，．求证：四边形是矩形．
11．（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，在梯形中，，，．是边的中点，联结、，且．设，．
（1）如果，求的长；
（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）联结．如果是以边为腰的等腰三角形，求的值．
第12讲 梯形及中位线（练习）
夯实基础
一、单选题
1．（2019·上海市娄山中学八年级月考）下列命题中正确的有( )
①有两个角相等的梯形是等腰梯形；
②有两条边相等的梯形是等腰梯形；
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；
④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】可以采用排除法对各个命题进行分析，从而确定最后答案．
【详解】根据等腰梯形的判定与性质可判断：
①错，应该是同一底边上两角相等的梯形是等腰梯形.
②错，两腰相等的梯形是等腰梯形.
③对，根据等腰梯形的性质.
④对，等腰梯形是轴对称图形.
所以正确的命题有两个.
故选B.
【点睛】本题考查等腰梯形的判定，解题的关键是掌握等腰梯形的判定条件.
2．（2018·上海市清流中学八年级月考）下列条件中，能判断一个梯形是等腰梯形的是 （ ）
A．一组对角互补
B．一组对角相等
C．一组对角互余
D．一组邻角相等
【答案】A
【分析】等腰梯形的判定:两条腰相等的梯形是等腰梯形;两条对角线相等的梯形是等腰梯形;同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.利用判定定理对选项一一判断，即可解答.
【详解】对于A选项，
∵ 梯形的上底与下底平行，
∴ 梯形上底与下底间的同旁内角互补 (两直线平行,同旁内角互补)，
∵ 梯形上底与下底间的同旁内角互补,梯形的一组对角互补，
∴ 梯形同一底上的两个内角相等，
∴ 这个梯形是等腰梯形 (同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形)，
对于B选项,
∵ 等腰梯形的对角是互补的，
∴ 由一组对角相等不能判断一个梯形是等腰梯形，
对于C选项,由“等腰梯形的对角互补”可判断C选项不能判断一个梯形是等腰梯形，
对于D选项,当相等的一组邻角不在同一底边上时,就不能判断一个梯形是等腰梯形,故D选项不能判断一个梯形是等腰梯形，
故选A.
【点睛】此题考查等腰梯形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
3．（2018·上海市清流中学八年级月考）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是 （ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
【答案】C
【分析】由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，得出EF，HG，FG，EH是中位线，再得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明．
【详解】如图所示，因为E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、BD，因为E、F分别是AB、BC的中点，
所以EF=AC，同理可得HG=AC，FG=BD，EH=BD，
又因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BD，因此有EF=FG=GH=HE，
所以连接等腰梯形各中点所得四边形为菱形.
故选C.
【点睛】此题考查三角形中位线的性质，解题关键在于画出图形.
4．（2019·上海八年级单元测试）课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需( )
A．302cmB．30cmC．60cmD．602cm
【答案】C
【分析】由对角线AC、BD互相垂直且相等，可得S梯形ABCD=S△ABD+S△BCD，即可解答．
【详解】解：如图，
∵AC=BD且AC⊥BD，
∴S梯形ABCD=S△ABD+S△BCD，
=12×BD×OA+12×BD×OC，
=12BD2，
又∵等腰梯形ABCD的面积为450cm2，
∴12BD2=450cm2，
解得，BD=30cm．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质，知道梯形ABCD的面积等于三角形ABD的面积加上三角形BCD的面积，并用几何符号表示出来，是解答本题的关键．
5．（2018·上海奉贤区·八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等 B．矩形的对角线平分对角
C．菱形的对角线互相平分 D．梯形的对角线互相垂直
【答案】C
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、梯形的性质判断即可.
【详解】解：A、“平行四边形的对角线相等”是假命题；
B、“矩形的对角线平分对角”是假命题；
C、“菱形的对角线互相平分”是真命题；
D、“梯形的对角线互相垂直”是假命题.
故选C.
【点睛】正确的命题是真命题，错误的命题是假命题.
6．（2017·上海八年级期末）已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（ ）
A．AC=BD=BCB．AB=AD=CDC．OB=OC，AB=CDD．OB=OC，OA=OD
【答案】D
【解析】根据等腰梯形的判定推出即可．
解：A、AC=BD=BC，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
B、AB=AD=CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
C、OB=OC，AB=CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
D、∵OB=OC，OA=OD，
∴∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠ODA，
在△AOB和△DOC中，
OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴∠ABO=∠DCO，AB=CD，
同理：∠OAB=∠ODC，
∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD=360°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是梯形，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
故选D
“点睛”本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的 的应用，解此题的关键是求出AD∥BC，题目的综合性较强，难度中等.
7．（2019·上海八年级课时练习）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是
A．40°.B．45°.
C．50°.D．60°.
【答案】C
【详解】分析：由已知AB∥DC，AD=DC=CB，∠ABD=25°，可得出∠CDB=∠DBC=25°，所以能得出∠ABC=50°，由AD=CB得等腰梯形，从而求出∠BAD的大小．
解答：解：∵AB∥DC，AD=DC=CB，∠ABD=25°，
∴∠CBD=∠CDB=∠ABD=25°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=50°，
又梯形ABCD中，AD=DC=CB，
∴为等腰梯形，
∴∠BAD=∠ABC=50°，
故选C．
8．（2019·上海八年级课时练习）若一个等腰梯形的周长为30cm，腰长为6cm，则它的中位线长为（ ）
A．12cmB．6cmC．18cmD．9cm
【答案】D
【解析】∵上底+下底+两腰=周长，∴（上底+下底）+2×6=30，∴上底+下底=18，
∴中位线=×18=9．故选D.
9．（2019·上海八年级课时练习）等腰梯形的下底是上底的3倍，高与上底相等，这个梯形的腰与下底所夹角的度
数为( )．
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】B
【解析】分别过A，B作高AE，BF∵CD=3AB∴DE=CF=AB
∵AE=AB∴DE=AE∴∠D=45°，故选B.
二、填空题
10．（2019·上海市娄山中学八年级月考）如果一个梯形的上底长为a，下底长为b（a
【分析】根据三角形面积公式求解即可．
【详解】设梯形的高为
一部分的面积
另一部分的面积
∴它的一条对角线把它分成的两部分的面积比为a：b
故答案为：a：b．
【点睛】本题考查了梯形的面积问题，掌握三角形面积公式是解题的关键．
11．（2020·上海徐汇区·八年级期末）梯形的中位线长8cm，高10cm，则该梯形的面积为______．
【答案】80
【分析】根据梯形中位线定理求出梯形的上底+下底，根据梯形的面积公式计算，得到答案．
【详解】∵梯形的中位线长8，
∴梯形的上底+下底=16，
∴该梯形的面积=×16×10=80() ，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了梯形的中位线定理，掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键．
12．（2018·上海市清流中学八年级月考）梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=55°，∠C=78°，则∠D=______.
【答案】102°.
【分析】根据梯形的性质，同腰的两个角互补来求解．
【详解】由梯形的性质知，∠D=180°−∠C=180°−78°=102°.
故答案为：102°.
【点睛】此题考查梯形，解题关键在于掌握其性质.
13．（2018·上海市清流中学八年级月考）若梯形的下底长为10cm，中位线长为8cm，则上底长为______cm.
【答案】6.
【分析】由梯形的中位线长为8cm，下底长为10cm，根据梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半，即可求得答案．
【详解】∵梯形的中位线=（上底+下底）÷2，梯形中位线长为8cm，下底的长是10cm，
∴梯形的上底=2×8-10=6cm．
故答案为：6.
【点睛】此题考查梯形中位线定理，解题关键在于掌握相关性质定理.
14．（2018·上海闵行区·八年级月考）在ABC中, M , N分别是AB. AC的中点,且,则∠ANM=____________度
【答案】55
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C度数，根据MN是△ABC的中位线，可知∠ANM的度数等于∠C度数．
【详解】解：如图，在△ABC中，
∵∠A＋∠B＝125°，
∴∠C＝180°−（∠A＋∠B）＝180°−125°＝55°，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴MN∥BC，
∴∠ANM＝∠C＝55°．
故答案为：55．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及三角形内角和定理，中位线定理为证明两条直线平行提供了依据，进而为证明角的相等奠定了基础．
15．（2019·上海八年级课时练习）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD＝3，AB＝4，BC＝7，则∠B＝______
【答案】60°
【分析】在BC上截取AB的长度，设BE = AB，证明 四边形AECD为平行四边形，得到 AE=CD，进而△ABE是等边三角形，得解.
【详解】过点A作AE∥DC交BC于E．
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴EC=AD=3，DC=AE．
∴BE=BC-CE=7-3=4．
∴CD=AB=4．
∴AE=AB=BE=4．
∴△ABE是等边三角形．
∴∠B=60°．
故答案为：60°
【点睛】本题考查等腰梯形的性质，解题的关键是掌握等腰梯形的性质.
三、解答题
16．（2020·上海徐汇区·八年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．
（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；
（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．
【答案】（1）；（2）7
【分析】（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，根据平行四边形的性质得到CE=BD，CD=BE，求得AC=BD，推出△ACE是等腰直角三角形，得到AC=CE=6，求得CH=AE=3，根据梯形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，连接DM并延长交AB于G，利用三角形中位线定理求得BG=2MN=4，全等三角形的性质得到CD=AG=3，即可得到结论．
【详解】（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，过点C作CH⊥AB于H，
∵AB∥CD，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴CE=BD，CD=BE，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥CE，
∵AD=BC，AB∥CD，
∴AC=BD，
∴AC=CE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=CE=6，
∴AE=，
∴，
∴梯形ABCD的面积；
（2）如图2，连接DM并延长交AB于G，
∵M、N分别是AC、BD的中点，
∴MN是△DGB的中位线，
∴BG=2MN=4，
∵CD∥AB，
∴∠DCM=∠GAM，
∵M是对角线AC的中点，
∴AM=CM，
∵∠CMD=∠AMG，
∴△AMG≌△CMD（ASA），
∴CD=AG=3，
∴AB=AG+BG=3+4=7．
【点睛】本题考查了梯形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的应用，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．（2018·上海市清流中学八年级月考）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD于点O，梯形的高为10cm，求梯形中位线的长.
【答案】10cm.
【分析】首先根据ABCD是等腰梯形且AC⊥BD，得出△DBE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形三线合一的性质，得出BE=20，从而得出AD+BC=20，再根据梯形中位线的性质即可解答.
【详解】过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形，作DF⊥BE于点F，则DF=10.
∵四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE.
∵ABCD是等腰梯形，
∴BD=AC=DE.
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD，
∴△DBE是等腰直角三角形.
∵DF=10，
∴BE=20，
即AD+BC=20，
∴梯形的中位线为10cm.
【点睛】此题考查梯形的中位线，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
能力提升
一、单选题
1．（2020·上海徐汇区·八年级期末）下列命题中：
①有两个内角相等的梯形是等腰梯形； ②顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形；
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形； ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
其中真命题有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据等腰梯形的判定方法、菱形的判定、矩形的判定逐个判断即可．
【详解】同一底边上两底角相等的梯形是等腰梯形，则命题①是假命题
如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点
连接AC、BD
由中位线定理得：
，
四边形EFGH是平行四边形
又四边形ABCD是矩形
平行四边形EFGH是菱形，则命题②是真命题
由等腰梯形的判定定理可知，两条对角线相等的梯形是等腰梯形，则命题③是真命题
由矩形的判定可知，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，则命题④是真命题
综上，真命题的有②③④，共3个
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰梯形的判定方法、菱形的判定、矩形的判定，熟记各判定方法是解题关键．
2．（2018·上海市清流中学八年级月考）以线段a＝16，b＝13，c＝10，d＝6为边作梯形，其中a、c作为梯形的两底，这样的梯形能作（ ）.
A．1个B．2个C．3个D．0个
【答案】D
【分析】首先若BC=a=16，AD=c=10，AB=d=6，CD=b=13，过点D作DE∥AB，交BC于点E，易得四边形ABED是平行四边形，然后由三角形的三边关系，可判定这样的梯形不存在．
【详解】如图：若BC=a=16，AD=c=10，AB=d=6，CD=b=13，
过点D作DE∥AB，交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=10，DE=AB=6，
∴CE=BC-BE=16-10=6，
∵CE+DE=12
即以线段a=16，b=13，c=10，d=6为边不能作梯形．
故选D．
【点睛】此题考查梯形的性质，三角形三边关系，关键是利用三角形三边关系判定是否能构成三角形.
3．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB，AC⊥BC，那么下列结论不正确的是（ ）
A．AC=2CDB．DB⊥ADC．∠ABC=60°D．∠DAC=∠CAB
【答案】A
【解析】A、根据三角形的三边关系即可得出A不正确；B、通过等腰梯形的性质结合全等三角形的判定与性质即可得出∠ADB=90°，从而得出B正确；C、由梯形的性质得出AB∥CD，结合角的计算即可得出∠ABC=60°，即C正确；D、由平行线的性质结合等腰三角形的性质即可得出∠DAC=∠CAB，即D正确．综上即可得出结论．
解：A、∵AD=DC，
∴AC＜AD+DC=2CD，A不正确；
B、∵在梯形ABCD中，AD=CB，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA．
在△DAB和△CBA中，，
∴△DAB≌△CBA（SAS），
∴∠ADB=∠BCA．
∵AC⊥BC，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
∴DB⊥AD，B成立；
C、∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，∠ABC+∠DCB=180°，
∵DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°，C正确；
D、∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，D正确．
故选A．
“点睛”本题考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是逐项分析四个选项的正误．本题属于中档题，稍显繁琐，但好在该题为选择题，只需由三角形的三边关系得出A不正确即可．
二、填空题
4．（2020·上海松江区·八年级期末）如果一个梯形的上底长为，中位线长是，那么这个梯形下底长为__________．
【答案】8
【分析】根据梯形的中位线得出EF＝×（AD＋BC），代入求出即可．
【详解】如图：
∵EF是梯形ABCD（AD∥BC）的中位线，
∴EF＝×（AD＋BC），
∵EF＝5cm，AD＝2cm，
∴5cm＝×（2cm＋BC），
解得：BC＝8cm，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了梯形的中位线，能熟记梯形的中位线的性质的内容是解此题的关键．
5．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如果一个等腰梯形中位线的长是5cm，腰长是4cm，那么它的周长是_____cm．
【答案】18
【分析】根据梯形中位线定理求出梯形的上底+下底，根据梯形的周长公式计算，得到答案．
【详解】∵梯形中位线的长是5，
∴梯形的上底+下底=10，
∴等腰梯形的周长=10+4+4=18（cm），
故答案为：18．
【点睛】本题考查了梯形的中位线，掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键．
6．（2019·上海普陀区·八年级期末）已知在等腰梯形中，，，对角线，垂足为，若，，梯形的高为______．
【答案】
【分析】过作交的延长线于，构造．首先求出是等腰直角三角形，从而推出与的关系．
【详解】解：如图：过作交的延长线于，过作于．
，，
四边形是平行四边形，
，，
等腰梯形中，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
即梯形的高为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰梯形性质，作对角线的平行线将上下底和对角线移到同一个三角形中是解题的关键，也是梯形辅助线常见作法．
7．（2019·上海上外附中八年级期中）矩形中，，平分，于点，交于点，若，则__________．
【答案】
【分析】解法一：添加辅助线“过作，交于，于”，再根据已知条件等腰直角三角形的性质、三角形的中位线分别表示出、的长，进一步相减即可得解；
解法二：添加辅助线“过作交于”，利用等腰直角三角形的性质、直角梯形中位线的性质以及已知条件推出，进一步转化即可求解．
【详解】
解：解法一：过作，交于，于，则
∵矩形中平分，
∴、为等腰直角三角形
∴，
∵，
∴，
∴
∴为的中位线，为的中点；
∴．
∴．
解法二：如图，过作交于．
∵矩形中，半分，
∴、、为等腰直角三角形
∴
∴为梯形的中位线
∴
∴
∴，
∴．
故答案是：
【点睛】本题考查矩形的性质、梯形的相关性质、勾股定理以及中位线的性质，合理添加辅助线是解题的关键．
三、解答题
8．（2021·上海市仙霞第二中学）如图，在中，，点是的中点，将沿翻折得到，联结．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，再由折叠的性质得，，再由外角和定理得，则，即可证明结论；
（2）利用勾股定理求出BC的长，由（1）得，设，则，在和中，利用勾股定理列式求出x的值，再根据中位线定理得到即可．
【详解】
解：（1）∵，D是BC中点，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）∵，，，
∴，
由（1）知，
设，则，
∵折叠，
∴AD是BE的垂直平分线，
在和中，
，，
∴，即，解得，
∵D、F分别是BC和BE的中点，
∴．
【点睛】本题考查折叠的性质，中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．
9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知：在△ABC中，AB= AC， ∠BAC =30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：DE =DF．
【分析】利用等腰三角形三线合一的性质得知AD是△ABC的对称轴，利用三角形中位线定理推出F点是线段AC的中点，取AB的中点G，利用三角形中位线定理推出DF=DG，∠DGB =∠BAC =30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可证明结论．
【详解】∵AB= AC，D是BC的中点，∠BAC =30°，
∴AD是△ABC的对称轴，AD⊥BC，
∵DF∥AB，且D是BC的中点，
∴F点是线段AC的中点，
∴DF=AC，
取AB的中点G，连接DG，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG=AC= DF，∠DGB =∠BAC =30°，
∵DE⊥AB，
∴∠GED=90°，
在Rt△DEG中，∠DGE=30°，
∴DE=DG =DF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，作出辅助线证得DF=DG，∠DGB =∠BAC =30°是解题的关键．
10．（2020·上海杨浦区·八年级期末）如图，已知在中，，点是内任意一点，点分别是的中点，．求证：四边形是矩形．
【分析】易证是的中位线，是的中位线，推出，，，，则四边形是平行四边形，由，得，则，证，，推出，即可得出结论．
【详解】解：证明：点、、、分别是、、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定等知识；熟练掌握三角形中位线定理和矩形的判定是解题的关键．
11．（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，在梯形中，，，．是边的中点，联结、，且．设，．
（1）如果，求的长；
（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）联结．如果是以边为腰的等腰三角形，求的值．
【答案】（1）；（2），自变量的取值范围是，且；（3）
【分析】（1）首先过点D作DH⊥BC，垂足为点H，由AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，可求得DH的长，然后设CH=，则 CD=2，利用勾股定理即可求得答案；
（2）首先取CD的中点F，连接EF，由梯形的中位线，可表示出EF的长，易得四边形ABHD是平行四边形，然后由勾股定理可求得答案；
（3）分别从CD=BD或CD=BC去分析求解即可求得答案．
【详解】（1）过点作，垂足为点．
∵，，，
∴．
在中，
∵，
∴，
∴．
设，则，
利用勾股定理，得．
即得，
解得（负值舍去）．
∴；
（2）取CD的中点F，连接EF，
∵为边的中点，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴．
由，，得．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
即得，
在中，利用勾股定理，得．
即得．
解得．
∴所求函数解析式为．
自变量的取值范围是，且．
（3）当是以边为腰的等腰三角形时，有两种可能情况：
或．
①如果，
作于H，
∴，
即得，
∵，
∴．
解得，．
经检验：，，是方程的解，
但不合题意，舍去．
∴；
②如果，则．
即得（不合题意，舍去）．
综上，如果是以边为腰的等腰三角形，的值为．
【点睛】本题属于四边形的综合题．考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识．注意掌握辅助线的作法，掌握方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．
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