江西省部分学校2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷

这是一份江西省部分学校2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷，共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，双曲线等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第二册第一章占70%，选择性必修第一册占30%。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知等比数列中，，公比，则
A．B．C．1D．2
2．抛物线C：的准线方程为
A．B．C．D．
3．已知为等差数列的前n项和，若，，则公差
A．B．1C．2D．3
4．以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为
A．B．
C．D．
5．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．书中记载，有男、子、伯、侯、公从低到高五个级别的诸侯各1人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个（m为正整数），若按这种方法分橘子，则“侯”分得橘子数大于20且小于23的概率为
A．B．C．D．
6．已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，AP⊥平面ABCD，，，E为PB的中点，点F满足，则异面直线EF，CD所成角的余弦值为
A．B．C．D．
7．银行有一种叫做零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期可以取出全部本金与利息的和（简称本利和），这是整取．已知一年期的年利率为1.35%，规定每次存入的钱不计复利．若某人采取零存整取的方式，从今年1月开始，每月1日存入4000元，则到今年12月底的本利和为
A．48027元B．48351元C．48574元D．48744元
8．已知等差数列满足，且，则的取值范围为
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．双曲线：（，）与：（，）的离心率分别为和，则下列结论正确的是
A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上
B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等
C．的最小值为
D．
10．在边长为3的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得，再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，使得，依次进行下去，就形成了如图所示的图案．设第n个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，……），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形EQM的面积为，……），则
A．B．
C．数列是公比为的等比数列D．数列的前n项和的取值范围为
11．已知数列满足，，设的前n项和为，下列结论正确的是
A．数列是等比数列B．
C．D．当时，数列是单调递减数列
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12．已知直线：和：平行，则 ．
13．已知数列的前n项和为，若，且，则 ， ．
14．已知数列的前n项和，满，若对任意的，关于x的不等式恒成立，则实数t的最小值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知数列的通项公式为．
（1）求．
（2）是不是该数列中的项？为什么？
（3）在区间内是否有该数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由．
16．（15分）
已知等差数列满足，．单调递增的等比数列满足，且，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
17．（15分）
如图1，在正方形ABCD中，，对角线AC与BD交于点O，沿对角线AC将△DAC折起到△PAC的位置，如图2所示，已知．
图1图2
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC．
（2）求直线AC与平面PAB所成角的正弦值．
18．（17分）
将数列按照-定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为的一个分群数列，称为这个分群数列的原数列．如，，…，是的一个分群数列，其中第k个括号称为第k群．已知的通项公式为．
（1）若的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k群的中间一项为，求数列的通项公式；
（2）若的一个分群数列满足第k群含有k项，为该分群数列的第k群所有项构成的数集，设，求集合M中所有元素的和．
19．（17分）
已知数列和满足，，且．
（1）求和的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和；
（3）若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围．
高二数学试卷参考答案
1．B
因为，所以．
2．D
抛物线C：的标准方程为，所以C的准线方程为．
3．D
因为，所以，所以．
4．A
联立方程组，解得，即所求圆的圆心坐标为，所以圆心到直线的距离，故所求圆的方程为．
5．C
设“伯”分得t个橘子，则，解得．
因为，m为正整数，所以m的取值集合为．
由，得，即或，所以所求概率为．
6．C
以A为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略），则，，，，所以，．设异面直线EF，CD所成的角为，则．
7．B
所有利息的和为元，到12月底的本利和为元．
8．A
因为，且，所以可设，．因为等差数列，所以，所以．因为，所以．
9．AC
A显然正确；的焦点到其渐近线的距离为b，的焦点到其渐近线的距离为a，故B错误；
，当且仅当时，等号成立，故C正确；
，不是定值，故D错误．
10．AC
设，则，由，得，即，所以，，，A正确，B错误．因为，依此类推可得，所以是首项为3，公比为的等比数列，则，C正确．因为，所以是公比为的等比数列，则，易知是递增数列，所以，因为是离散的，而区间是连续的，所以D错误．
11．ABD
，数列是等比数列，故A正确．
，，，．由，得，B正确．
因为，所以，，故C错误．
当时，是单调递减数列，也是单调递减数列，所以是单调递减数列，故D正确．
12．1
因为，所以，解得．
13．3；90
当时，可得，当时，可得，依次可求得，依此类推可知该数列的周期为2，所以，．
14．
因为，所以（），两式相减得（）．在中，令，得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，．即，所以对任意的恒成立．因为，当且仅当时，等号成立，所以．
15．解：
（1）因为，
所以．
（2）由（1）知，令，解得．
因为，所以无正整数解，即不是该数列中的项．
（3）由（1）知，令，
则，解得．
因为，所以，
所以在区间内有该数列中的项，且只有一项．
16．解：
（1）设数列的公差和的公比分别为d，q．
因为，所以．
又，所以．
所以．
因为，且，，，
所以，即，
解得或．
又数列单调递增，所以，故．
（2）因为，所以，
所以，
上面两式相减得，
即，
所以．
17．（1）证明：由已知得．
在正方形ABCD中，，可得，
所以，可得．
因为PO⊥OB，PO⊥OA，，所以PO⊥平面ABC．
因为平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．
（2）解：易知OA，OB，OP两两垂直，以O为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，，
设向量是平面PAB的法向量，
则，即，
令，得．
设直线AC与平面PAB所成的角为，则．
18．解：
（1）由题意知该分群数列第k群的中间一项为．
因为，所以，即．
（2）由题意知该分群数列第k群含有k项，所以该分群数列前7群为，，，，，，．
又，，所以．
当时，，
当时，或9，
当时，或5或4，
当时，或2，
所以，
故集合M中所有元素的各为．
19．解：
（1）由，得．
又，所以（），化简得（），
所以数列是公差为2的等差数列，则，
所以，
所以．
（2）易知，
所以．
（3）原不等式可化为，
设，则．
因为，
且，
所以，则，即是单调递增数列，
所以．
由，得，即实数k的取值范围为．