第4章 导数及其应用 第4节 利用导数研究函数的极值、最值 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
1.函数的极值与导数
函数极值反映的是函数局部的性质
微点拨对函数极值的理解(1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
微思考若函数f(x)可导,则当f'(x0)=0时,f(x)一定在x=x0处取得极值吗?
提示 不一定.f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,例如f(x)=x3,满足f'(0)=0,但f(x)=x3在x=0处不取得极值.
2.函数的最值与导数(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条__________的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的__________; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值__________比较,其中最大的一个是__________,最小的一个是__________. 
反映的是函数整体的性质
微点拨对函数最值的理解(1)函数在其定义域上或在某给定区间上若存在最大(小)值,则其具有唯一性,即只能有一个最大(小)值;(2)函数的最值可以在区间端点处取得,但极值不能在端点处取得;(3)当函数有最值时,不一定有极值;有极值时,不一定有最值;(4)若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最小值、最大值;若f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最大值、最小值.
常用结论1.有极值的函数一定不是单调函数.2.如果函数f(x)在(a,b)内只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值.3.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,有以下结论:
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若函数f(x)可导,且在x=x0取得极值,则必有f'(x0)=0.(　　)2.一个函数的极大值一定比极小值大.(　　)3.函数在闭区间上的最值一定在端点处取得.(　　)4.函数在开区间上的最值一定是相应的极值.(　　)
题组二 回源教材5.(人教B版选择性必修第三册6.2.2练习B第3题)设函数f(x)=ax3+3x+2有极值,则实数a的取值范围是__________,极值点是__________. 
6.(人教A版选择性必修第二册5.3.2例7改编)给定函数f(x)=(x+1)ex,则函数的最小值为__________. 
8.(2021·新高考Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为__________. 
考点一 利用导数研究函数的极值(多考向探究预测)
考向1 求函数的极值(极值点)例1(1)(2024·浙江杭州模拟)设函数f(x)=2ln x-x2,则(　　)A.x=e为极大值点B.x=1为极大值点C.x=1为极小值点D.无极值点
令f'(x)=0,解得x=1,当x>1时,f'(x)<0,当00,故f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,故x=1是极大值点,故选B.
(2)(2024·山西临汾模拟)函数f(x)=(x-3)ex的极小值为__________. 
解析 由已知得f'(x)=(x-2)ex,显然f'(2)=0,∴当x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,因此f(x)在x=2时取得极小值f(2)=-e2.
规律方法求函数极值(极值点)的方法步骤(1)求函数f(x)的定义域;(2)求f(x)的导数f'(x),并求方程f'(x), =0的根;(3)判断f'(x), =0的根的左右两侧f'(x),值的符号,确定极值点;(4)求出极值.
考向2 已知极值(点)求参数值(范围)例2(1)(2024·辽宁沈阳模拟)若函数f(x)=ax3+3x2+b在x=1处取得极值2,则a-b=(　　)A.-3B.3C.-2D.2
解析 f'(x)=3ax2+6x,依题意知3ax2+6x=0的根为1,且f(1)=2,
此时f(x)=-2x3+3x2+1,f'(x)=-6x(x-1),所以在(-∞,0)内f'(x)<0,在(0,1)内f'(x)>0,在(1,+∞)内f'(x)<0,所以f(x)在x=1处取得极大值,且f(1)=2,符合题意,因此a-b=-2-1=-3,故选A.
(2)(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)的导函数g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,则实数a的值为(　　)A.-1B.0C.1D.2
解析 由题意f'(x)=g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,设h(x)=x2-3x+a,则h(1)=0,即1-3+a=0,解得a=2,当a=2时,f'(x)=(x-1)(x2-3x+2)=(x-1)2(x-2),故当x>2时,f'(x)>0;当x<2时,f'(x)<0,因此x=2是f(x)的极值点,1不是极值点,所以a=2满足题意,故选D.
变式探究1在本例(2)中,其他条件不变,将“若1不是函数f(x)的极值点”改为“若-1是函数f(x)的极值点”,则实数a的值为__________. 
解析 由于-1是函数f(x)的极值点,所以f'(-1)=g(-1)=0,即(-1-1)(1+3+a)=0,解得a=-4,此时f'(x)=(x-1)(x2-3x-4)=(x-1)(x+1)(x-4),经检验符合题意,故实数a的值为-4.
变式探究2在本例(2)中,其他条件不变,将“若1不是函数f(x)的极值点”改为“若1是函数f(x)的极大值点”,则实数a的取值范围为__________. 
考点二 利用导数研究函数的最值(多考向探究预测)
考向1 求函数的最值例3(1)(2024·广东深圳模拟)函数f(x)=x3-3x在区间[-2,0]的最大值和最小值分别为(　　)A.2和-2B.2和0C.1和0D.0和-2
解析 f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f'(x)>0,解得-2因为x>0,所以ex+x>0,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,即f(x)在(0,1)内单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,即f(x)在(1,+∞)内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值即最小值,故f(x)的最小值为f(x)min=f(1)=e+1,故选B.
规律方法求函数最值的方法(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值:①求f(x)的导数f'(x);②解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有点;③计算f(x)在区间[a,b]上使得f'(x)=0的所有点以及端点的函数值;④比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.(2)求函数f(x)在开区间或无穷区间上的最值:先求出函数在给定区间上的极值,再结合单调性、极值情况、函数值的正负情况等作出函数的大致图象,结合图象观察分析得到函数的最值.
考向2 根据函数的最值求参数
规律方法根据函数最值求参数的注意点(1)注意分析判断最值是在极值点还是区间的端点处取得.(2)注意分析区间是无穷区间、开区间还是闭区间.(3)注意结合函数图象及单调性分析最值情况.
考点三 利用导数解决实际问题
例5(2024·广东东莞模拟) 某物流公司购买了一块长AM=30米,宽AN=20米的矩形地块AMPN,规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,点B,D分别在边AM,AN上,假设AB长度为x米.若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑,则当AB长为__________时仓库的库容最大(墙体及楼板所占空间忽略不计). 
规律方法利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量,建立函数关系式 y =f(x),并确定其定义域;(2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和f'(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4)回归实际问题作答.