江苏省徐州市运河中学2023-2024学年八年级下学月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、填空题（每题3分，共24分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 已知，菱形的周长为20，一条对角长为6，则菱形的面积（ ）
A. 48B. 24C. 18D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】画出图形，可得边长AB=5，由于AC⊥BD，由勾股定理可得OA及AC的值，再由菱形的面积等于两对角线的积的一半求得．
【详解】如图，BD=6，
∵菱形的周长为20，
∴AB=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=DB=3，
由勾股定理得OA=4，则AC=8，
所以菱形的面积=AC•BD=×6×8=24．
故选B．
【点睛】考查了菱形的性质，需要用到菱形的对角线互相垂直且平分，及菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
3. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A. AB= CDB. AD= BCC. AB=BCD. AC= BD
【答案】D
【解析】
【分析】易得四边形ABCD为平行四边形，再根据矩形的判定∶对角线相等的平行四边形是矩形即可得出答案．
【详解】解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定，矩形的判定有：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
4. 四边形的中点四边形是矩形，那么四边形一定满足条件（ ）
A. 矩形B. 菱形C. 对角线相等D. 对角线互相垂直
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查判断一个四边形的中点四边形的形状．如果中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线必然互相垂直．
【详解】解：四边形的中点四边形是一个矩形，
四边形的对角线一定互相垂直，只要符合此条件即可，
故选：D．
5. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A. 32B. 16C. 8D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和中位线的性质求解即可．
【详解】∵AD＝AC，
∴是等腰三角形，
∵AE⊥CD，
∴，
∴E是CD的中点，
∵F是BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了三角形的线段长问题，掌握等腰三角形的性质和中位线的性质是解题的关键．
6. 在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等
B. 一组对边相等，一组对角相等
C. 一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D. 一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
一组对边平行，另一组对边相等，这个四边形有可能是等腰梯形可判定A；一组对边相等，一组对角相等，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形可判定B；一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等，是平行四边形，可判定C；一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形可判定D．
【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等，这个四边形有可能是等腰梯形．故此选项不符合题意；
B、一组对边相等，一组对角相等，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等，是平行四边形，故此选项符合题意；
D、一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
7. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：设AP=x，PD=4﹣x．
∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC；
∴△AEP∽△ADC，故=①；
同理可得△DFP∽△DAB，故=②．
①+②得=，
∴PE+PF=．故选A．
考点：矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
点评：此题比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可．
8. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A. 75°B. 60°C. 55°D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
二、填空题（每题3分共24分）
9. 菱形周长为40 cm，它的一条对角线长12 cm，则菱形的面积为___________cm2
【答案】96
【解析】
【分析】首先根据菱形周长为40 cm，可求出菱形的边长为10 cm，已知一条对角线长12cm，则可求出另一条对角线长16cm，菱形的面积等于对角线积的一半，即可求出.
【详解】解：∵菱形周长为40 cm，
∴菱形的边长为10 cm，
又∵一条对角线长12cm，
根据勾股定理，可得出另一条对角线长16cm，
∴菱形的面积为cm2
【点睛】此题主要考查菱形对角线和面积的性质，熟练掌握即可解题.
10. 如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是_______形．如果，，那么四边形的周长等于________cm．
【答案】 ①. 平行四边形 ②. 56
【解析】
【分析】此题主要考查了中点四边形．直接利用三角形中位线定理得出，，得到四边形是平行四边形；由三角形中位线定理得出，，即可得出答案．
【详解】解：连接，，
，，，分别是，，，边的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
，，，分别是，，，边的中点，
同理，，
∴四边形的周长是：．
故答案为：平行四边形；56．
11. 菱形周长为40 cm，它的一条对角线长12 cm，则菱形的面积为___________cm2
【答案】96
【解析】
【分析】首先根据菱形周长为40 cm，可求出菱形的边长为10 cm，已知一条对角线长12cm，则可求出另一条对角线长16cm，菱形的面积等于对角线积的一半，即可求出.
【详解】解：∵菱形周长为40 cm，
∴菱形的边长为10 cm，
又∵一条对角线长12cm，
根据勾股定理，可得出另一条对角线长16cm，
∴菱形的面积为cm2
【点睛】此题主要考查菱形对角线和面积的性质，熟练掌握即可解题.
12. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E为的中点，若，等于______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条边长是解题关键．
由菱形的性质可证得为直角三角形，由E为的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得．再由菱形的性质即可求得长度．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∴为直角三角形．
∵，且点E为线段的中点，
∴．
∴．
故答案为：10．
13. 已知：如图，平行四边形中，平分交于E，平分交于F，若，，则_____．

【答案】2
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得，，，再根据平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定证得，，即可由．
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴
故答案为：2．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质、角平分线的定义．掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
14. 已知□ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=3，则DC边上的高AF的长是_____．
【答案】4.5
【解析】
【详解】分析：根据平行四边形的对边相等，可得CD=AB=4，又因为S▱ABCD=BC•AE=CD•AF，所以求得DC边上的高AF的长是4.5．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，
∴S▱ABCD=BC•AE=CD•AF=6×3=118，
∴AF=4.5．
∴DC边上的高AF的长是4.5．
故答案为4.5．
点睛：此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．还要注意平行四边形的面积的求解方法：底乘以高．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长______cm．
【答案】4
【解析】
【详解】如图：在▱ABCD中，已知AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，又因为AC⊥BC，根据勾股定理可得AC=6cm，即可得OC=3cm，再由勾股定理求得BO=5cm，所以BD=10cm，所以△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）=BD﹣AC=10﹣6=4cm，
故答案为4.
16. 在平面直角坐标系中，□OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向右平移，经过_______秒该直线可将□OABC的面积平分．
【答案】3
【解析】
【分析】若该直线可将平行四边形OABC的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心，设M为平行四边形ABCD的对称中心，利用O和B的坐标可求出其对称中心，进而可求出直线运动的时间．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且点B（6，2），
∴平行四边形ABCD的对称中心M的坐标为（3，1），
∵直线的表达式为y＝2x＋1，
令y=0，2x+1=0，解得x=-
∴直线y＝2x＋1和x轴交点坐标为（−，0）
设直线平移后将平行四边形OABC平分时的直线方程为y＝2x＋b，
将（3，1）代入y＝2x＋b得b＝−5，即平分时的直线方程为y＝2x−5，
令y=0，2x−5=0，解得x=
∴直线y＝2x−5和x轴的交点坐标为（，0），
∵直线y＝2x＋1和x轴交点坐标为（−，0），
∴直线运动的距离为＋＝3，
∴经过3秒的时间直线可将平行四边形OABC的面积平分．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及直线和坐标轴的交点坐标的求法，解题的关键是掌握直线将平行四边形OABC的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心．
三、解答题（共92分）
17. 利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图；
（1）作出关于轴对称的；
（2）作出关于原点对称的中心对称图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图中心对称、作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握中心对称和轴对称的性质．
（1）根据轴对称的性质即可作出关于轴对称的；
（2）根据中心对称的性质即可作出关于原点对称的中心对称图形．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
18. （1）探究规律：如图，已知□ABCD，试用三种方法将它分成面积相等的两部分：

（2）解决问题：兄弟俩共同承包的一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？
【答案】（1）三种方法，如图所示见解析；（2）一人分四边形ABFE，另一人分四边形CDEF．
【解析】
【详解】分析：（1）1、利用平行四边形的对角线；2、连接一组对边的中点；3、过平行四边形的对称中心作一条直线即可．
（2）先找出平行四边形的对称中心，过中心和P作直线即可
详解：（1）三种方法，如图所示：
（2）连接AC、BD相交于点O，过O、P作直线分别交AD、BC于E、F，
则一人分四边形ABFE，另一人分四边形CDEF．
点睛：本题考查平行四边形的性质，解题的关键是需仔细分析题意，结合图形，利用平行四边形的中心对称性即可解决问题．
19. 用反证法证明下列问题：
如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用反证法证明的第一步假设和互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确．
【详解】证明：连接，
假设和互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵在中，点D、E分别在上，
∴不可能平行于，与已知出现矛盾，
故假设不成立原命题正确，
即和不可能互相平分．
【点睛】此题主要考查了反证法的证明，根据反证法步骤得出假设和互相平分进而得出矛盾是解题关键．
20. 已知：平行四边形中，平分交于，平分交于．若，．求平行四边形的周长．
【答案】平行四边形的周长为16或20．
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识．先证明，，再根据的长得出的长，据此求解即可．
【详解】解：如图1，四边形是平行四边形，
，，
平分交于，平分交于，
，，
，，
，
，
，
∴平行四边形周长为；
如图2，四边形是平行四边形，
，，
平分交于，平分交于，
，，
，，
，
，
∴平行四边形的周长为；
综上所述：平行四边形的周长为16或20．
21. 求证：对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．（画图，写已知，求证并证明）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查正方形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识．写出已知、求证．只要证明，且，即可证明四边形是正方形．
【详解】已知：如图，四边形中，，，，，
求证：四边形是正方形．
证明：∵，，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
22. 平行四边形周长为36，，，且，求这个平行四边形的面积．
【答案】平行四边形的面积为40．
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．由平行四边形的对边相等可得一组邻边的和为18，设为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得长，乘以4即为平行四边形的面积．
【详解】解：连接，
平行四边形的周长为36，
，
设为，
，
，
解得，即，
平行四边形的面积为．
23. 在中，点是的中点，平分，于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】
【分析】（1）根据平分，，运用易证明．根据全等三角形的性质，得，，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
（2）根据三角形的中位线定理即可求解．
【小问1详解】
解：延长交于，

平分，于点，
，，
在和中，
，
．
，
点是的中点，
，
是的中位线．
；
【小问2详解】
，
，
是的中位线．
，
故的长为1．
【点睛】此题考查了全等三角形判定和性质以及三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
24. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）详见解析；
（2）75°； （3）．
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质易证∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形和角平分线的性质得出∠CDE＝∠CED＝45°，则EC＝DC，推出∠CDO＝60°，证明△OCD是等边三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出结果；
（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可．
【小问1详解】
证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
小问3详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，
由（1）可知，∠OCB＝30°，
∴AC=2AB=4，
∴，
∴矩形OEC的面积．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
25. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处，FG是折痕，连接BF．
（1）求证：四边形BGDF是菱形；
（2）求折痕FG的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接BD，FG与BD相交于点O，根据折叠的性质得到，，，由得，求出，得到即可求解；
（2）先利用勾股定理计算出，设得到，，在中根据勾股定理得到，可解得BF的值，然后根据菱形的面积公式计算FG的长．
【小问1详解】
证明：连接BD，FG与BD相交于点O，如图．
∵矩形ABCD纸片折叠，使点D与点B重合，
∴FG垂直平分BD，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形BGDF为菱形；
【小问2详解】
解：在中，，
设，则，，
在中，，
即，
解得，即．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了矩形的性质、菱形的判定方法以及勾股定理．
26. 在四边形中，，，，，点从出发以1cm/s的速度向运动，点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．

（1）t取何值时，四边形为矩形？
（2）是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形？
【答案】（1）时，四边形为矩形；
（2）4或
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的判定，当时，四边形为平行四边形，又由，平行四边形是矩形，列出方程求解即可；
（2）是动点，点在点的左边和右边所构成的四边形都可能是平行四边形，分类讨论列方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，，则，，则，
∵，即，
∴当时，四边形为平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，
则有，解得，
答：时，四边形为矩形；
【小问2详解】
解：∵，是上一点，即，
①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
综上所述s或s时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
27. 我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图1，，则四边形为等邻角四边形．

（1）定义理解：以下平面图形中，一定是等邻角四边形的是______；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）如图2，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连接，，且，求证：四边形为等邻角四边形；
（3）如图3，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由．
【答案】（1）②④ （2）见解析
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等邻角四边形的定义即可直接得出答案；
（2）连接，证明，得出，从而得到，，即可证明四边形为等邻角四边形；
（3）过点P作，证明得到，再由矩形得到，即可得出．
【小问1详解】
解：∵矩形和正方形都有一组邻角相等，
∴矩形和正方形是等邻角四边形，
故答案：②④；
【小问2详解】
证明：连接，

∵垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为等邻角四边形．
【小问3详解】
，理由如下：
过点P作，垂足为F，

∵，
∴，
∴，
∵四边形为等邻角四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了新定义“等邻角四边形”，涉及线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质等知识，正确理解“等邻角四边形”的定义是解题的关键．