云南省昆明市第一中学2024届高三第八次高考适应性考试数学

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命题、审题组教师 杨昆华 彭力 李文清 李春宣 丁茵 王在方 张远雄 李露 陈泳序 杨耕耘
一、选择题
1．解析：因为，选C．
2．解析：因为，所以，所以，选A．
3．解析：设与夹角为，因为，所以，当时，取最大值3，选A．
4．解析：因为，所以点到圆心的距离恒为，所以点的轨迹方程是以为圆心，为半径的圆，即，选B．
5．解析：过点作，交于点，
因为，，，，平面，所以平面，
又，所以平面，且，可得，
因为，分别为，的中点，则，
所以，，，
因此.
选D.
6．解析：因为，
又因为能被整除，所以能被13整除，所以，选B．
7．解析：为，所以方差大于，因此不能出现点数6，因为，，，则其余的点数都有可能出现，选D．
8．解析：设，则，得，则在上单调递增，在上单调递减，，，则，又，得，所以，选A．
二、多选题
9．解析：因为分数在内的频率为，所以第三组的频数为，故A错误；
因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标，从图中可看出众数的估计值为分，故B 正确；
因为，，所以中位数位于内，设中位数为，则，解得，所以中位数的估计值为分，故C错误；样本平均数的估计值为分，故D正确，选B D．
10．解析：对于A，已知，若，则需，易知当与重合时，平面，平面，所以，故可能成立，故A错误；
对于B，假设直线与平面垂直，又因为，则，显然不合题意，因此假设不成立，即直线与平面不可能垂直，故B正确；
对于C，当为的中点时，连接，，，可知直线平面，则平面为平面，即平面截正四棱柱所得截面多边形为△，所以截面多边形的周长为，故C正确；
对于D， 以为原点，直线，，分别为 ，， 轴建立如图所示坐标系，以题意可知，，则，设，平面的一个法向量为，所以，又，所以，故D错误.
选BC
11．解析：令，得；令，则，得，A对；令，则，得，B对；
由于，
令，则，令，得，令，则，所以既是奇函数又是偶函数，且，则，C对D错，选ABC．
三、填空题
12．解析：抛物线的焦点为，准线方程为，根据题意可得，．
13．解析：由题意，，得，令，则，得，所以．
14．解析：设长方体的高为， 若，则，，则，若要长方体体积最大，则平面内接于长方体，如图
可得，即，则，
所以长方体的体积为 ，
设，其中，则，令，得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以函数在处取得极大值，即最大值，则，因此该长方体的体积的最大值为.
四、解答题
15．解：（1）选择①：因为，
所以，
，
两式相减得，
即，
因为，所以
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
故. ………6分
选择②：因为，所以，
所以，所以，又因为，，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以. ………6分
选择③：因为，
又因为，所以，
所以，
又因为，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，
所以，所以，检验时也满足，
所以. ………6分
（2）由（1）知：，所以，
因为，
所以，
所以，
所以． ………13分
16．解：（1）由表格可得列联表如下．
零假设: 没有的把握认为是否喜欢骑共享单车与性别有关, 根据列联表中的数据:
，
所以,依据的独立性检验, 可以推断零假设不成立．从而有的把握认为是否喜欢骑共享单车与性别有关． ………7分
（2）设事件为“喜欢骑共享单车的人”，事件为“抽取的人为男性”，
事件为“抽取的人为女性”，则．
， ；
， ．
由全概率公式得，
，
所以．
所以从被调查人员中任选一个喜欢骑共享单车的人，该人为男性的概率为． ………15分
17．解：（1）如图，取AC中点O，连接OB，OD，因为是等边三角形，所以，
又四边形是等腰梯形，且D为的中点，所以，
所以平面，又平面，所以. ………6分
（2）以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）得即为二面角的平面角，设，
作于E，由可得，
，故，
作于F，同理可得，所以，
从而，，，，，，所以，
，
，
设平面的法向量为，则，所以，
从而
即，化简得：，
解得：或（舍）
所以二面角的大小为. ………15分
18．解：(1)设的平分线与轴交于点，由题意知，，，A
所以，所以，所以，所以，所以直线的方程为 ………5分
(2)假设存在两点关于直线对称，则，所以 ，
设直线的方程为，联立，得，
则，即,，.
所以的中点坐标为，因为的中点在直线：
所以，所以，所以的中点坐标为，与点A重合，矛盾，所以不存在满足题设条件相异的两点 ………12分
由题意知，，设与椭圆共焦点的双曲线的标准方程为
，设它们的一个交点坐标为，它们的交点为顶点的四边形面积记，所以，当且仅当
取得等号，因为，所以，所以，所以，所以双曲线的标准方程为. ………17分
19．解：（1）的定义域为，
则，
构造，则，
当时，，当时，，
故在区间内单调递减，在区间内单调递增，
所以，所以，
当时，，当时，，
故在区间内单调递减，在区间内单调递增，则，
故要使，即需，即，故； ……………7分
（2）证明：由（1）可知的两个零点一个小于，另一个大于，不妨设，
因为，构造函数，，则，
故在单调递增，则由，
则由可知，即，
即，即，
要证，即证，即证，
构造函数，则，
则，
故在区间内单调递减，则，即，
特别地，取，则有，即
即，故. ……………17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
A
B
D
B
D
A
题号
9
10
11
答案
BD
BC
ABC
性别
是否喜欢骑共享单车
合计
不喜欢
喜欢
男
女
合计